Análise Infinitesimal I - Conjuntos Ordenados e Cardinalidade

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 5
54. Mostre que (N,≤) e (Q,≤) sa˜o totalmente ordenados.
55. Mostre que (N,÷) na˜o e´ totalmente ordenado, sendo a relac¸a˜o definida por x÷ y se e so´ se x divide y.
56. Considere o conjunto (P(X),⊆), onde X e´ um conjunto arbitra´rio.
(a) Prove que (P(X),⊆) e´ parcialmente ordenado. Verifique se e´ totalmente ordenado.
(b) Indique, se existirem, o elemento mı´nimo e o elemento ma´ximo de P(X).
(c) Sejam A e B subconjuntos arbitra´rios de X. Prove que o ı´nfimo e o supremo de {A,B} existem.
Indique esses elementos.
Cardinalidade
57. Prove que
(a) Os conjuntos {x ∈ N|1 ≤ x ≤ 26} e { 12n |n ∈ N} sa˜o numera´veis.
(b) Os conjuntos P = {x ∈ N|x e´ par} e I = {x ∈ N|x e´ ı´mpar} sa˜o numera´veis.
(c) Os conjuntos Z e Q sa˜o numera´veis.
(d) Todo o subconjunto de um conjunto numera´vel e´ numera´vel.
(e) Se (Ai)i∈N e´ uma sucessa˜o de conjuntos numera´veis, enta˜o ∪Ai∈N e´ tambe´m numera´vel.
58. Prove que
(a) O intervalo [0, 1] de R na˜o e´ numera´vel.
(b) ∀a, b ∈ R, o intervalo [a, b] na˜o e´ numera´vel.
(c) R na˜o e´ numera´vel.
59. Use o Teorema de Cantor - Schro¨eder - Bernstein para provar que ∀a, b, c, d ∈ R tais que a 6= b e c 6= d
se tem
]a, b[ ∼= [c, d] ∼=]−∞,+∞[.
60. Prove que se S for um conjunto infinito e S ⊆ T enta˜o T e´ infinito.
61. Prove que se A e B forem conjuntos infinitos enta˜o A ∪B e´ infinito.
62. Prove que se S for um subconjunto de R contendo um intervalo aberto na˜o-vazio enta˜o S ∼= R.
63. (a) Prove que se A for finito e x 6∈ A enta˜o A ∪ {x} e´ finito.
(b) A partir de (a) conclua que se A for infinito e x ∈ A, enta˜o A− {x} e´ infinito.
(c) Prove por induc¸a˜o que, se A for finito e x1, x2 . . . , xn forem elementos na˜o pertencentes a A, enta˜o
A ∪ {x1, x2, . . . , xn} e´ finito.
64. Seja X um conjunto infinito e Y um conjunto finito. Mostre que existe uma func¸a˜o sobrejectiva
f : X → Y e uma func¸a˜o injectiva g : Y → X.
65. ∗ Prove, por reduc¸a˜o ao absurdo, que o cardinal de N e´ menor ou igual ao cardinal de qualquer conjunto
infinito.
66. Indique, justificando, se sa˜o verdadeiras ou falsas as seguintes afirmac¸o˜es:
1
(a) ∅ × N e´ um conjunto finito.
(b) O conjunto {1, 1, 1, ..., 1, ...} e´ infinito numera´vel.
(c) Se f :A→ B e´ injectiva e A e´ um conjunto infinito numera´vel, enta˜o B e´ numera´vel.
(d) O conjunto de todas as circunfereˆncias centradas na origem cuja medida do raio e´ racional e´ um
conjunto numera´vel.
(e) Os conjuntos N e Q\N sa˜o numericamente equivalentes.
(f) [0, 1] \ { 12n , n ∈ N} ∼= R.
67. Desafio 3: Para cada func¸a˜o f : N→ N seja
Af = {n ∈ N : f(n) 6= 1}
Prove que o conjunto X das func¸o˜es f : N→ N tais que Af e´ finito e´ um conjunto numera´vel.
O sistema dos nu´meros reais
68. Prove que o conjunto R e´ totalmente ordenado pela relac¸a˜o ”≤”.
69. Prove que, ∀a, b ∈ R,
(a) |a+ b| ≤ |a|+ |b|( Desigualdade triangular):
(b) |a− b| ≥ ||a| − |b||.
70. Prove que um subconjunto A de R e´ limitado se e so´ se ∃M ∈ R ∀x ∈ A : |x| ≤M .
71. Sendo f : A → R, determine, caso existam, o supx∈A f(x) e infx∈A f(x), em cada um dos seguintes
casos:
a) f(x) = x2; A = [−1, 1[ b)f(x) = lnx; A = R+
c) f(x) = x2 − 4x+ 3; A = [1, 5] d)f(x) = cosx+ 2 sin x2 ; A = [−2pi, 2pi].
72. Sejam A ⊆ R e α um majorante de A.
(a) Mostre que as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
i. α e´ o supremo de A;
ii. ∀� > 0∃x ∈ A : x > α− �.
(b) Formule a correspondente caracterizac¸a˜o para o ı´nfimo de A.
73. Seja −A = {−x|x ∈ A}, onde A e´ um subconjunto na˜o vazio de R limitado superiormente. Mostre
que inf(−A) = −sup(A).
74. Sejam A e B subconjuntos de R.
(a) Suponha que A ⊆ B. Prove que
i. se α e´ um majorante de B, tambe´m e´ um majorante de A;
ii. se A for na˜o vazio e B for limitado superiormente, enta˜o supA ≤ supB.
(b) Mostre que, se α e´ um majorante de A e β e´ um majorante de B, enta˜o max{α, β} e´ um majorante
de A ∪B e min{α, β} e´ um majorante de A ∩B.
(c) Se A e B forem na˜o vazios e limitados superiormente, enta˜o
sup(A ∪B) = max{supA, supB}.
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