Análise Infinitesimal I - Limites e Continuidade

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 8
91. Estude a continuidade das seguintes func¸o˜es nos domı´nios indicados :
(a) f(x) =
√
x, 0 ≤ x <∞ (b) f(x) = |x|x , x 6= 0
(c) f(x) =
{
x sin 1x se x 6= 0
0 se x = 0
, x ∈ R (d) f(x) = [x], −10 ≤ x < 10
(f) f(x) =

cos 1x se x ∈
]−pi2 , 0[
0 se x = 0
1
log(sinx) se x ∈
]
0, pi2
[ (g)f(x) = { 1− x se x ∈ Q(x− 1)2 − 2 se x 6∈ Q
92. Sejam X,Y ⊂ R, f : X → R, g : Y → R tais que f(X) ⊂ Y . Sejam a ∈ X ′ e b ∈ Y ∩ Y ′ . Mostre que:
(i) Se lim
x→a f(x) = b e g e´ cont´ınua em b, enta˜o limx→a g(f(x)) = g(b).
(ii) Se f e´ cont´ınua em a e g e´ cont´ınua em f(a), enta˜o gof e´ cont´ınua em a.
93. (a) Calcule, se existir, lim
x→−3
g(f(x)), sendo f(x) = x+ 7 e g(x) = x2.
(b) Estude a continuidade das func¸o˜es fog e gof , nos respectivos domı´nios de definic¸a˜o, sendo f(x) =
lnx e g(x) = 1
1−x2 .
94. ∗ Prove que se f : X → R e´ uma func¸a˜o mono´tona e descont´ınua em a ∈ X ′ , enta˜o f tem uma
descontinuidade essencial de 1a espe´cie em x = a.
95. Demonstre o corola´rio do teorema de Weierstrass:
Corola´rio 1. Se f e´ cont´ınua num intervalo [a, b], enta˜o f e´ limitada em [a, b].
96. Verifique se a func¸a˜o f e´ limitada e, caso existam, determine os seus extremos.
(a) f : [−1, 2[→ R, tal que f(x) = x2 − 1 (b) f : [0, pi4 [→ R, tal que f(x) = tanx
(c) f(x) = |x−2|x−2 , x 6= 2.
97. Demonstre os seguintes corola´rios do Teorema do Valor Interme´dio:
Corola´rio 2. Sejam I um intervalo e f : I → R uma func¸a˜o cont´ınua. Se a, b ∈ I e f(a) < d < f(b),
enta˜o existe c ∈ I tal que f(c) = d.
Corola´rio 3. Se I e´ um intervalo e f : I → R e´ cont´ınua, enta˜o f(I) e´ um intervalo.
98. Prove que existe um nu´mero real c tal que:
(a) 0 < c < pi2 e sin c = 0, 7; (b)
pi
2 < c < pi e cos c = −34 ;
(c) c3 = 2; (d) c > 0 e c2 = 3.
99. Mostre que a equac¸a˜o x3 − x− 1 = 0 tem uma soluc¸a˜o em R.
100. Seja f(x) = tanx. Verifique que f
(
pi
4
)
= 1 e f
(
3pi
4
)
= −1. Pode concluir que existe c ∈ ]pi4 , 3pi4 [ tal
que f(c) = 0? Porqueˆ?
1
101. Considere a func¸a˜o definida por f(x) = x2 − 3x+ 2.
(a) Calcule f(0) e f(3).
(b) Mostre que existe pelo menos um c ∈ [0, 3] tal que f(c) = 0.
(c) Explique porque e´ que esta situac¸a˜o na˜o contradiz o Teorema do Valor Interme´dio.
102. (a) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [0, 1] tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1. Mostre que existe c ∈ [0, 1] tal que
f(c) = c. (A um ponto x tal que f(x) = x chama-se ponto fixo da func¸a˜o f .)
(b) Deˆ um exemplo de uma func¸a˜o cont´ınua f : [0, 1[→ [0, 1[ que na˜o tenha nenhum ponto fixo.
103. Desafio 4: Prove o
Teorema 4. Se f e´ cont´ınua num intervalo limitado e fechado [a, b], enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua
em [a, b].
104. Estude a continuidade uniforme das seguintes func¸o˜es nos domı´nios indicados :
(a) f(x) = 2x, ]−∞,+∞[ (b) g(x) = x2, ]− a, a[, 0 < a <∞
(c) h(x) = x2, ]−∞,+∞[ (d) f + g , com f e g uniformemente cont´ınuas em [a, b].
Limites de sucesso˜es
105. Com base na definic¸a˜o, verifique as seguintes igualdades:
(a) limn→∞ 12n+1 = 0 (b) limn→∞
3n+2
2n+1 =
3
2 (c) limn→∞
√
2+n
2−n2 = 0
(d) limn→∞ 2n−7pi−n = −2 (e)limn→∞(n− n2) = −∞ (f)limn→∞(2n+ (−1)nn) = +∞
106. Mostre que
(a) se lim
n→∞x2n = a e limn→∞x2n+1 = a, enta˜o (xn)n∈N converge e limn→∞xn = a;
(b) se lim
n→∞x2n = +∞ e limn→∞x2n+1 = +∞, enta˜o tambe´m limn→∞xn = +∞.
107. Calcule, caso existam, os seguintes limites:
(a) lim
n→∞
(n+1)2
n2+1
(b) lim
n→∞
2n2−3n+1√
n4+1
(c) lim
n→∞
√
n(n+ 1)− n
(d) lim
n→∞
√
3n−1−√n+2√
2n+5−√4n+1 , n ≥ 3 (e) limn→∞
ln(3n+19)
lnn , n ≥ 2 (f) limn→∞
3n+(−2)n
3n+1+(−2)n+1
(g) lim
n→∞
(
n2
3 sin
2 pi
3n
)3
(h) lim
n→∞n
3 sin2 1n (i) limn→∞
nn
n!
108. Estude a convergeˆncia das sucesso˜es de termo geral
(a) un =
{
1− 4n se n ı´mpar
n2−3n−2
n2+n
se n par;
(b) un =
{
(−1)n + 2n se n ı´mpar
cos((n− 1)pi) se n par;
(c) un =

0 se n = 3k, k ∈ N
(−1)n 1n se n = 3k + 1, k ∈ N
( 1pi )
n se n = 3k + 2, k ∈ N;
(d) un =
{
1 + 1n se n par
sinn
n se n ı´mpar.
109. Usando o Teorema das Sucesso˜es Enquadradas, determine o limite das sucesso˜es:
(a) un =
cos2(n)
n+1 , n ∈ N; (b) un = n
√
3n + 4n + 7n, n ∈ N;
(c) un =
∑n
i=1
1
(n+i)2
, n ∈ N; (d) un =
∑n+6
i=4
1
3√n3+i , n ∈ N.
2