Apostila Física Experimental 1

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Curso introdutório de 
 
Fundamentos da Física Experimental 
 
Um guia para as atividades de laboratório 
 
 
 
 
Elaborado por: 
 
Marcia Muller 
José Luís Fabris 
 
Novembro de 2008 
 
Fundamentos da Física Experimental Márcia Muller e José Luís Fabris 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR -Departamento de Física 2
Prefácio 
A idéia original que será abordada neste texto é a de que, por meio de uma Disciplina de 
Fundamentos da Física Experimental, sejam desenvolvidas elementos e habilidades da 
metodologia científica que possam ser empregados nas mais diversas áreas do 
conhecimento. Não se trata de realizar experimentos complexos, mas sim por meio de 
montagens simples, criar uma metodologia que possa auxiliar nos problemas 
enfrentados no cotidiano quer do professor, do pesquisador ou mesmo da pessoa. 
Abordaremos nas páginas seguintes questões relacionadas com a resolução de 
problemas, desde a identificação do problema em si, passando pelo estabelecimento das 
possíveis técnicas para sua solução, finalizando com a análise dos resultados obtidos e 
sua conclusão geral. 
Para o desenvolvimento da Disciplina, optamos por um encaminhamento um tanto 
diferente dos habitualmente encontrados nos cursos de Métodos de Física Experimental. 
A idéia é não fazer uma abordagem dos diversos conteúdos necessários ao curso na 
forma de itens fragmentados, mas sim de forma integrada ao longo de todo o trabalho. 
Assim, por exemplo, o funcionamento dos instrumentos de medição será abordado à 
medida que estes se tornarem necessários. Também procuramos não nos estender 
demais abordando diversos instrumentos, mas sim fornecer as bases para compreensão e 
extensão do que há de fundamental nestes instrumentos a outros que porventura possam 
ser necessários. Os conceitos estatísticos (erro, valor médio, desvio padrão...) 
necessários ao tratamento de dados experimentais também serão apresentados segundo a 
mesma filosofia. No tocante a questão de gráficos, uma importante ferramenta na área 
experimental, procuramos fazer uma abordagem inicial que possibilite a elaboração de 
um gráfico otimizado sem softwares especializados. Numa segunda etapa, os recursos 
computacionais serão então explorados permitindo um incremento na qualidade dos 
resultados obtidos. 
Ao concluir esta Disciplina, você deverá estar apto a satisfazer as demandas diversas 
não apenas deste Curso de Licenciatura em Física, mas também deverá estar mais 
preparado para o desempenho de suas futuras atuações profissionais. 
 
 
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Índice 
Capítulo 1 - Discussão geral introdutória..................................................... 
 1.1 - A metodologia científica na Física Experimental.......................................... 
Capítulo 2 - Medidas e seus erros............................................................. 
 2.1 - Classificação dos erros................................................................................ 
 2.2 - Tratamentos estatísticos de medidas com erros aleatórios 
 2.3 - Tratamento de medidas com erros sistemáticos 
 2.4 - Incerteza padrão e indicação do valor medido 
 2.5 - Algarismos significativos 
 2.6 - Arredondamentos 
Capítulo 3 - Propagação de incertezas 
 3.1 - Algumas fórmulas de propagação 
 3.2 - Estimativas de erros 
Capítulo 4 - Gráficos 
4.1 - Construção gráfica 
4.2 - Ajuste de reta 
4.3 - Método da “mão livre” 
4.4 - Método dos mínimos quadrados 
4.5 - Gráficos em computador 
Capítulo 5 - Histogramas 
Capítulo 6 - As distribuições Binomial, de Poisson e Gaussiana 
 
 
 
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Índice de tabelas e figuras 
Tabela 1 - Espessura de uma moeda de um real, medida com um paquímetro com 
resolução de 0.02 mm. 
Tabela 2 - Espessura de uma moeda de um real, medida com um paquímetro com 
resolução de 0.02 mm. 
Tabela 3 - Frequência de aparição do valor da espessura de uma moeda de um real, ao 
longo de 8 medições. 
Tabela 4 - Exemplos de arredondamentos de números. 
Tabela 5 - Dimensões do corpo de prova empregados, medidos com paquímetro de 
resolução de ..... mm. 
Tabela 6 - Idade em meses de diversas crianças e os correspondentes dados de altura. 
Tabela 7 - Dados obtidos para período do pêndulo em função do comprimento do 
mesmo, e valores de período elevado ao quadrado. 
Tabela 8 - Valores obtidos yi (distância focal da lente) em mm 
Tabela 9 - Tabela para construção do histograma com oito intervalos, obtida a partir dos 
dados da tabela 8. O símbolo “├─ “ indica intervalo fechado à esquerda; note que o 
valor inicial do primeiro intervalo foi ajustado para englobar o valor mais baixo de yi. 
Figura 1 - Boa exatidão (“accuracy”) e precisão ruim. 
Figura 2 - Boa precisão e exatidão (“accuracy”) ruim. 
Figura 3 - Paquímetro com nônio de 20 divisões. 
Figura 4 - Paquímetro simples com nônio de 10 divisões. 
Figura 5 - Paquímetro simples com nônio de 20 divisões. 
Figura 8 - Leitura de uma régua milimetrada. 
Figura 9 - Leitura de um paquímetro. 
Figura 10 - Deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU: (a) símbolos 
muito pequenos, sem legendas, sem barras de erros; (b) grandezas sem unidade, má 
ocupação do espaço, sem barras de erros; (c) má ocupação do espaço, linha irregular 
conectando os pontos; (d) diagramação adequada. 
Figura 11 - Reta ajustada aos pontos experimentais do deslocamento em função do 
tempo para um móvel em MRU. 
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Figura 12 - Gráfico representando dados de medições feitas em condições de 
reprodutibilidade. A cada ponto experimental está associada uma incerteza estatística 
diferente. 
Figura 13 - Gráfico representando dados de medições feitas em condições de 
repetitividade. 
Figura 14 - Tela inicial do programa OriginTM. 
Figura 15 - Tela do programa OriginTM com a planilha de dados preenchida. 
Figura 16 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM . 
Figura 17 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM devidamente preenchida 
e com o local de salvamento definido. 
Figura 18 - Planilha de dados salvos. 
Figura 19 - Planilha de dados com a inclusão de uma coluna adicional. 
Figura 20 - Tela que permite inserir dados automaticamente numa coluna. 
Figura 21 - Preenchimento da tela que permite inserir dados automaticamente numa 
coluna. 
Figura 22 - Tela que permite nomear uma coluna de dados. 
Figura 23 - Tela da planilha de dados com o nome escolhido para cada coluna. 
Figura 24 - Inserindo uma coluna de erros na planilha de dados. 
Figura 25 - Planilha de dados com as colunas de erros. 
Figura 26 - Planilha de dados com as colunas de erros preenchidas. 
Figura 27 - Selecionando as colunas que serão plotadas. 
Figura 28 - Gráfico plotado com os dados fornecidos ao programa. 
Figura 29 - Procedimento ajustar de uma reta aos dados plotados. 
Figura 30 - Tela final mostrando o gráfico ajustado e os erros respectivos. 
Figura 31 - Histograma com oito intervalos para os valores medidos da distância focal 
da lente. 
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Figura 32 - Distribuição gaussiana de probabilidades, mostrando o valor médio medido 
e o desvio padrão experimental, bem como a relação entrea probabilidade e a área sob a 
curva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 1 - Discussão geral introdutória 
Este capítulo faz uma abordagem sobre a metodologia que deve ser empregada quando 
se realiza um trabalho experimental seja ele, uma simples experiência desenvolvida em 
sala de aula, ou um trabalho de pesquisa. Serão apresentadas no transcorrer do capítulo 
as formas adequadas de documentar as atividades e os resultados obtidos. As 
informações aqui obtidas deverão ser aplicadas na disciplina e futuramente nas 
atividades profissionais. 
1.1 - A metodologia científica na Física Experimental 
A primeira questão que deve se considerada aqui diz respeito à documentação detalhada 
de todas as atividades desenvolvidas durante o período letivo. A melhor maneira de se 
providenciar tal documentação é por meio do emprego de um caderno de laboratório. 
Neste caderno, todas as atividades pertinentes deverão ser anotadas, seguindo o 
esquema cronológico da Disciplina. Este caderno poderá ser utilizado como fonte de 
consulta individual durante as avaliações, e será ele próprio um dos instrumentos que 
permitirá a verificação do desempenho do aluno. 
A cada dia, sugere-se a utilização da seguinte sequência de anotações: 
Data, Experimento, Equipe 
Anote o dia em que o experimento foi realizado, o nome do experimento, e os nomes 
dos participantes da equipe encarregada da execução das atividades. 
Objetivos 
Aqui, de forma sucinta e numerada, deverão ser estabelecidos os objetivos gerais do 
experimento. A clara definição destes objetivos permitirá o planejamento e 
desenvolvimento de toda a experiência. Os objetivos não devem ser muito extensos nem 
em número demasiado, de forma a não dispersar a atenção em atividades e detalhes 
desnecessários. Esta parte é de suma importância para o sucesso do experimento, e a ela 
deve ser dada a devida atenção. 
Materiais e Métodos 
Uma vez que se tenha definido o que se deseja com dado experimento, deve-se traçar 
um plano de atividades que permita alcançar os objetivos previamente estabelecidos. 
Podem compor este item a teoria necessária para a realização do experimento, os 
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equipamentos e materiais empregados no seu desenvolvimento com respectivos 
diagramas das montagens e descrição das características técnicas dos instrumentos, 
bem como a descrição dos procedimentos empregados na realização dos experimentos. 
Resultados Experimentais 
Nesta etapa devem ser apresentados os resultados das medições realizadas durante todo 
o transcorrer do experimento. Não se deve apagar ou descartar dados suspeitos de 
estarem incorretos; isto pode resultar em dificuldades para a realização de análises 
posteriores. Não esqueça que muitos resultados importantes nas mais diversas áreas do 
conhecimento humano surgiram de “erros” em experimentos! 
Duas importantes ferramentas que podem ser empregadas aqui são as tabelas e gráficos. 
Estes são tão importantes que serão discutidos em detalhes mais adiante. 
Discussões e Conclusões 
Finalmente, tudo que você realizou no experimento deve agora ser considerado. A 
interpretação dos dados aponta para alguma característica ou lei? O que se pode 
aprender do que foi experimentado? Evite conclusões e discussões que nada somam 
como por exemplo “a teoria se verifica na prática” ou “o experimento foi válido”! 
Você deve ser capaz de não apenas aprender com sua prática, mas também possibilitar 
as outras pessoas compreender o que foi feito, concordar ou discordar das conclusões e 
seguir seus passos para refazer o mesmo experimento, eventualmente com uma nova 
abordagem ou metodologia. 
Tabelas 
As tabelas podem ser utilizadas para agrupar séries de dados coletados em 
experimentos, bem como resultados de análises estatísticas aplicadas a estes dados. 
Deve-se tomar o cuidado para dar um nome a cada tabela, com uma legenda para 
facilitar sua compreensão. Esta legenda é normalmente apresentada na parte superior da 
tabela. Se for o caso, na tabela deve-se indicar também a unidade da grandeza que está 
sendo analisada. Veja exemplos abaixo, onde constam os dados de 8 medições do 
diâmetro de uma moeda, realizada com um paquímetro com resolução de 0.02 mm. 
 
 
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Tabela 1 - Espessura de uma moeda de um real, medida com um paquímetro com resolução de 0.02 mm. 
Medida Espessura (mm)
1 1.82 
2 1.84 
3 1.86 
4 1.84 
5 1.88 
6 1.82 
7 1.82 
8 1.80 
 
Outros formatos de tabela com os mesmos dados podem ser utilizados, dependendo do 
espaço disponível para apresentação ou a finalidade a que se destina. 
Tabela 2: Espessura de uma moeda de um real, medida com um paquímetro com resolução de 0.02 mm. 
Medida no. 1 2 3 4 5 6 7 8 
Espessura (mm) 1.82 1.84 1.86 1.84 1.88 1.82 1.82 1.80 
 
Tabela 3 - Frequência de aparição do valor da espessura de uma moeda de um real, ao longo de 8 
medições. 
Espessura (mm) Frequência 
1.80 1 
1.82 3 
1.84 2 
1.86 1 
1.88 1 
Total 8 
 
 
 
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Capítulo 2 – Medidas e seus erros 
Sempre que realizamos um experimento para medir alguma grandeza o valor medido 
deve vir acompanhado de uma unidade, que pode ser expressa no Sistema Internacional 
de Unidades de Medida (SI), e do erro correspondente. Independentemente da forma 
como a medida é realizada, por mais cuidadoso que seja o processo de medição, o 
resultado obtido sempre estará sujeito a um erro experimental. 
2.1 - Classificação dos erros 
Os erros experimentais podem ser classificados como erros sistemáticos ou erros 
aleatórios também chamados de erros estatísticos. 
Erros sistemáticos são aqueles gerados por fontes identificáveis e, portanto podem ser 
eliminados ou compensados. Os erros sistemáticos numa medida experimental podem 
ser resultantes de uma limitação imposta pelos equipamentos usados, de variações de 
parâmetros externos que influenciam a grandeza que está sendo medida, bem como da 
metodologia empregada pelo operador e de aproximações e simplificações realizadas 
para por em prática o experimento. Portanto, o erro sistemático é sempre o mesmo nos n 
resultados, ou seja, os resultados são todos desviados para a mesma direção com relação 
ao valor real. 
Como exemplo, erros sistemáticos podem ser introduzidos em uma medida: pelo uso de 
um equipamento descalibrado ou defeituoso (termômetro, cronômetro, paquímetro, 
multímetro...), pela variação da temperatura ambiente que afeta uma medida 
espectroscópica, pelo posicionamento angular do observador ao visualizar a escala do 
equipamento (erro de paralaxe), ou ainda desconsiderando a resistência do ar na medida 
da aceleração da gravidade baseada no tempo de queda de um corpo. 
Logo, quando o experimento é idealizado deve-se tentar identificar e eliminar o maior 
número possível de fontes de erros sistemáticos. A solução está, portanto, no adequado 
planejamento do experimento. Os erros sistemáticos fazem com que as medidas feitas 
estejam acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão ("accuracy") da medida 
(ver figura1). 
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Figura 1 - Exatidão (“accuracy”) ruim e precisão boa. 
Na prática, pode ocorrer que seja dispendioso ou complicado, ou simplesmente 
desnecessário reduzir ou corrigir os erros sistemáticos (por exemplo, em experiências 
didáticas, onde o maior interesse não é exatamente o resultado final da medição). Neste 
caso, os erros sistemáticos não corrigidos ou minimizados são chamados de erros 
sistemáticos residuais. Neste texto, adotamos o ponto de vista de que as incertezas 
sistemáticas residuais devem ser consideradas como incertezas estatísticas, para 
efeito de expressar a incerteza final no resultado de uma medição. 
Os erros aleatórios, por sua vez, são provocados por fatores imprevisíveis e causam 
flutuações no valor medido mesmo quando a medição é repetida usando os mesmos 
equipamentos e empregando a mesma metodologia. É importante salientar que estes 
erros ocorrem mesmo numa experiência bem planejada. Os erros aleatórios afetam a 
precisão ("precision") da medida (ver figura 2). 
 
Figura 2 – Precisão ruim e exatidão (“accuracy”) boa. 
É importante salientar que nem sempre se pode identificar as fontes de erros aleatórios. 
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Erros aleatórios podem ser introduzidos por flutuações nas condições ambientais: 
mudanças não previsíveis na temperatura, voltagem da linha, correntes de ar, vibrações. 
Por exemplo, por correntes de ar ou vibrações numa medida de massa usando uma 
balança, causadas por passagem de pessoas perto do aparato experimental ou veículos 
nas vizinhanças. 
Os erros aleatórios podem ser minimizados reduzindo os fatores aleatórios que 
interferem no processo de medição. Outra solução para reduzir estes erros consiste na 
repetição do experimento, sob as mesmas condições, várias vezes seguida de um 
tratamento estatístico dos resultados. 
Existem também os erros grosseiros causados por enganos e que, portanto, não podem 
ser considerados erros do ponto de vista da teoria de erros. Não é admissível apresentar 
resultados que contenham erros grosseiros. Quando houver suspeita da ocorrência de 
um erro grosseiro em uma medida esta deve ser repetida, se possível, ou eliminada do 
conjunto de dados. 
Concluindo, o erro é inerente ao processo de medição e nunca é completamente 
eliminado, porém podemos minimizá-lo. Costuma-se dizer que “Não existe medida sem 
erro”. 
2.2 - Tratamentos estatísticos de medidas com erros aleatórios 
Os erros sistemáticos desviam os valores medidos do valor real de uma mesma 
quantidade, enquanto que os erros aleatórios produzem uma flutuação dos resultados em 
torno do valor real da grandeza e portanto uma distribuição simétrica de erros. Assim, se 
as medidas forem realizadas cuidadosamente e com planejamento, sob as mesmas 
condições e mantendo a mesma metodologia, buscando desta maneira sempre 
minimizar os erros sistemáticos, uma boa estimativa do valor real da grandeza medida é 
fornecida pela média aritmética dos valores medidos. Sendo assim, o valor mais 
provável da grandeza será: 
∑
=
=
N
i
i
N
yy
1
 (1) 
Onde yi é o valor obtido na i-ésima medida, e N é o número total de medidas realizadas. 
O valor médio é diferente do valor verdadeiro porém a incerteza associada com o valor 
médio é menor que a incerteza para cada um dos valores yi. 
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Ao se realizar várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência 
de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da 
média. Espera-se que o valor médio se torne tanto mais preciso quanto maior for o 
número de medidas. 
Para uma série de medidas a dispersão, que indica quanto os resultados se espalham em 
relação ao valor médio por causa dos erros aleatórios, pode ser calculada a partir do 
desvio médio quadrático ou desvio padrão obtido a partir dos resultados experimentais. 
 Suponha que foram realizadas N medidas de uma grandeza y, que forneceram os 
valores y1, y2, y3, ... yN para a grandeza. 
Para cada medida calcula-se o desvio com relação ao valor médio: 
yyd ii −= (2) 
A melhor estimativa experimental para o desvio padrão σ (desvio padrão experimental) 
será: 
( )∑
=
−−≅
N
i
i yyN 1
2
1
1σ (3) 
Ou ainda: 
∑
= −
−−≅
N
i
i yN
Ny
N 1
22
11
1σ (4) 
A segunda equação é mais fácil de ser resolvida, pois só é necessário calcular o 
somatório de yi2 no lugar do somatório de ( )2yyi − . 
Se fossem realizados k conjuntos de n medições da grandeza , cada conjunto forneceria 
um valor médio. Sendo assim, teríamos k valores médios para a grandeza. Estes valores 
médios apresentam uma dispersão em torno do valor médio verdadeiro que é fornecida 
pelo desvio padrão do valor médio σm. 
( )∑
=
−≅
k
j
mvjm yyk 1
21σ (5) 
A melhor estimativa para o desvio padrão do valor médio é: 
Nm
σσ = (6) 
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O desvio padrão do valor médio de uma grandeza é a incerteza final correspondente 
aos erros estatísticos nas medições. 
Esta estimativa leva em conta a dispersão causada pelos erros estatísticos, contudo, 
ainda restam os eventuais erros sistemáticos que devem ser determinados para que o 
resultado possa ser corrigido. 
2.3 - Tratamento de medidas com erros sistemáticos 
O desvio associado aos erros sistemáticos é bem mais difícil de ser avaliado e não existe 
nenhum método padrão bem estabelecido para fazer isto. Portanto neste caso o bom 
senso do operador é fundamental uma vez que, por mais bem elaborada que seja a 
experiência, sempre haverá um erro sistemático residual. Geralmente o limite de erro Lr 
é estimado verificando o manual fornecido pelo fabricante dos equipamentos 
empregados. Uma relação que pode ser usada para estimar o erro sistemático residual é 
apresentada a seguir: 
2
r
r
L≅σ (7) 
Esta relação pode ser empregada no caso de uma distribuição gaussiana de erros e um 
limite de erro com aproximadamente 95% de confiança. 
2.4 - Incerteza padrão e indicação do valor medido 
As incertezas estatística e sistemática podem ser combinadas pela expressão a seguir 
fornecendo a incerteza padrão σp: 
222
rmp σσσ += (8) 
Assim, o valor da grandeza medida é expresso como: 
pyy σ±= (9) 
Quando não existem informações suficientes dos equipamentos o limite de erro Lr pode 
ser estimado como sendo a menor divisão ou menor leitura fornecida pelo instrumento. 
Por exemplo, se uma régua é usada como instrumento de medida o erro estimado com 
base na menor divisão da régua será 1 mm. 
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Exercício 1: A distância focal de uma lente foi medida N=10 vezes usando uma régua 
milimetrada. Foram obtidos os seguintes valores em mm: 204,1; 205,3; 208,0; 207,5; 
206,3; 205,5; 207,2; 204,8; 208,2; 207,1Calcular o valor médio y , o desvio padrão experimental σ, o desvio padrão do valor 
médio σm, o desvio padrão do erro sistemático σr, a incerteza padrão σp e expressar o 
valor médio corretamente. 
 
Paquímetro como instrumento de medição 
O paquímetro é um instrumento capaz de medir distâncias com frações de décimos ou 
centésimos de milímetros ou polegadas. Isto é possível graças a uma escala adicional 
que desliza sobre a régua principal chamada de nônio ou vernier. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 - Paquímetro com nônio de 20 divisões. 
Utilizando os bicos, as orelhas ou a haste de medição adequadamente, o instrumento 
pode realizar medidas de dimensões externa, interna e profundidade. Existem diferentes 
tipos de paquímetros, porém todos apresentam características de funcionamento 
semelhantes. O nônio tem n divisões que correspondem a (N-1) divisões da régua 
principal. Esta relação pode ser encontrada facilmente quando o nônio é posicionado 
sobre a régua de tal forma que a posição dos zeros das duas escalas coincidam. 
Suponha, por exemplo, que o nônio tenha 10 divisões que correspondem a 9 divisões da 
régua principal. Usando regra de três simples encontramos que uma divisão do nônio 
corresponde a 9/10 de divisão da régua ou, que a primeira divisão do nônio é 1/10 mais 
curta que a da régua principal. 
Assim, se a primeira divisão da régua corresponde a 1 mm, a primeira divisão do nônio 
corresponderá a 0,9 mm. Consequentemente, quando os zeros das duas escalas 
medida de diâmetro externo
medida de diâmetro interno
medida de profundidade
trava 
régua 
nônio 
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coincidem, a distância entre o 1 da escala principal e o 1 do nônio é de 0,1 mm, entre o 
2 da escala principal e o 2 do nônio é de 0,2 mm e assim por diante. Isso permite que se 
meça exatamente até 0,1 mm (a resolução do instrumento), pois a diferença entre a 
menor divisão da régua e a menor divisão do nônio é de 0,1 mm. 
Quando um objeto é posicionado entre os bicos de medição, a medida L da dimensão do 
objeto corresponde a distância entre o zero da régua e o zero do nônio. O valor de L será 
o valor expresso em milímetros correspondente ao número de divisões da régua antes do 
zero do nônio, somado a fração da menor divisão da régua que falta para o zero do 
nônio. Esta fração é obtida encontrando a divisão do nônio que coincide com a da régua 
principal e multiplicando pela resolução ou seja, pelo menor valor que pode ser medido. 
Exercício 2: Em um paquímetro o nônio tem 10 divisões que correspondem a 9 divisões 
da régua principal, sendo que a menor divisão da régua principal corresponde a 1 mm. 
Qual é a resolução do instrumento? Quando é realizada uma dada medida o nônio 
desliza sobre a régua obtendo-se a leitura da figura abaixo. Qual o valor medido para a 
dimensão deste objeto? 
 
 
Figura 4 - Paquímetros simples com nônio de 10 divisões. 
Exercício 3: Em um paquímetro, o nônio está dividido em 20 partes, sendo que quando 
os zeros da régua principal e do nônio são coincidentes, a 20a divisão do nônio coincide 
com a marca de 19 mm da régua principal. Qual será a precisão deste paquímetro? 
Exercício 4: Qual a resolução do paquímetro da figura abaixo? Qual a leitura feita no 
instrumento? 
 
Figura 5 - Paquímetro simples com nônio de 20 divisões. 
a) b) 
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2.5 - Algarismos significativos 
Algarismo significativo em um número pode ser entendido como sendo aquele que 
sozinho tem algum significado quando o número é escrito na forma decimal. Portanto, 
os zeros a esquerda do primeiro número diferente de zero são algarismos não 
significativos. 
O número de casas decimais que devem ser apresentadas num resultado experimental é 
determinado pela incerteza padrão neste resultado. Não existe uma regra bem definida 
para estabelecer o número de dígitos da incerteza padrão, porém podem ser adotadas 
algumas regras: 
• A incerteza padrão deve ser dada com 2 algarismos quando o primeiro algarismo 
na incerteza for 1 ou 2. 
• A incerteza padrão deve ser dada com 1 ou 2 algarismos quando o primeiro 
algarismo na incerteza for 3 ou maior. 
• A incerteza maior do que 99 deve ser escrita usando notação científica ou 
trocando as unidades. 
A rigor não há problema em escrever a incerteza padrão com mais de 2 algarismos 
significativos. No entanto tem-se que analisar se é possível determinar a incerteza com 
tal exatidão. 
Exemplos: Se o valor calculado da incerteza padrão for 0,132 m, a forma mais adequada 
para indicar esta incerteza será 0,13 m ou 13 cm. Se por outro lado a incerteza calculada 
for 3,49 cm, ela pode ser indicada como 3,5 cm ou 3 cm. Porém, usando a regra, uma 
incerteza calculada levemente diferente da anterior, 3,51 cm por exemplo, pode ser 
escrita como 3,5 cm ou 4 cm. Assim, os valores próximos, 3,49 e 3,51, seriam 
arredondados para 3 ou 4 que são valores bem diferentes. Este problema desaparece se a 
incerteza é indicada com 2 algarismos significativos. Uma incerteza de 800 m deve ser 
escrita com notação científica como 8,0 x 102 m ou 8 x 102 m e a incerteza calculada de 
0,09623 cm, como 0,096 cm ou 0,10 cm. 
Não se deve usar mais do que dois algarismos significativos para expressar a incerteza, 
uma vez que é muito difícil de se obter a incerteza com tal precisão. 
 
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2.6 - Arredondamentos 
Nos exemplos acima ocorreram alguns arrendondamentos após se truncar o resultado. A 
necessidade de realizar arredondamentos ocorre frequentemente uma vez que o 
resultado obtido após operações realizadas com 2 ou mais quantidades devem ser 
escritos com o mesmo número de algarismos significativos. O arredondamento também 
deve ser empregado para eliminar algarismos significativos excedentes. Supondo que a 
quantidade precisa ser arredondada num dado algarismo X. Por exemplo, a grandeza 
...W, YXABC... . O arredondamento deve seguir as seguintes regras: 
• Se após o algarismo X tem-se um conjunto ABC entre 000 e 499, este conjunto 
deve ser simplesmente eliminado (é o arredondamento para baixo). 
• Se após o algarismo X tem-se um conjunto ABC entre 500 e 999, este conjunto 
deve ser eliminado e o algarismo X deve ter o seu valor aumentado de 1 (é o 
arredondamento para cima). 
• No caso X500000..., o arredondamento deve ser tal que o algarismo X seja par 
depois do arredondamento. 
Tabela 4 - Exemplos de arredondamentos de números. 
2,42 2,4 
3,789 3,79
4,4499 4,4 
5,4500 5,4 
5,5500 5,6 
 
Experimento 1: Elabore no seu caderno de laboratório uma descrição do experimento 
de acordo com o roteiro a seguir: 
Data:______________________ 
Experimento: Medida das Dimensões de Corpos de Prova Utilizando o Paquímetro 
Equipe:_____________________________________________________________ 
Objetivos: 
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• Empregar corretamente o paquímetro para determinação das dimensões de 
corpos de prova 
• Determinar os erros aleatórios e sistemáticos envolvidos no experimento 
• Expressar os valores medidos e suas incertezas padrão 
Materiais e Métodos: 
• Teoria: Serão utilizados os conceitosestatísticos de valor médio, desvio padrão 
experimental σ, desvio padrão do valor médio σm, o desvio padrão do erro 
sistemático σr e incerteza padrão σp. 
• Equipamentos e materiais: Paquímetro com resolução de ..... mm, corpo de 
prova com forma ......, feito de .... e com dimensões a serem determinadas. 
• Procedimentos empregados: Para cada dimensão do corpo de prova, foram 
realizadas 10 medições com o paquímetro. 
Resultados experimentais: 
Os resultados das medições para cada uma das dimensões do corpo de prova estão 
apresentados na tabela 1. 
Tabela 5 - Dimensões do corpo de prova empregados, medidos com paquímetro de resolução de ..... mm. 
 medida Dimensão 1 (mm) Dimensão 2 (mm) ..... 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
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Cálculos: Com os dados da tabela 1, foram encontradas as grandezas estatísticas 
associadas, para cada dimensão medida. (Apresentar os resultados e expressar os 
valores medidos com as respectivas incertezas padrão.) 
Discussões e Conclusões: 
Comente os resultados, compare os valores obtidos e as incertezas padrão, discuta 
possíveis fontes de erro, indique o que poderia ser feito para reduzir as incertezas.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 - Propagação de incertezas 
A propagação de incertezas ocorre quando uma grandeza é obtida indiretamente a partir 
de valores obtidos experimentalmente para outras grandezas. Como cada valor 
experimental possui uma incerteza padrão, estas incertezas irão se propagar para a 
grandeza indireta. E o valor da grandeza será expresso como: 
ww σ± (10) 
Onde w é a grandeza obtida indiretamente e σw é a incerteza propagada. 
3.1 - Algumas fórmulas de propagação 
As relações que permitem calcular a incerteza propagada para alguns casos comuns são 
mostradas a seguir. 
a) Se a grandeza é obtida pela soma ou subtração: 
...±±±= zyxw (11) 
A incerteza propagada é calculada como: 
...222 +++= zyxw σσσσ (12) 
Onde zyx σ,,σσ e são as incertezas padrão associadas com cada uma das grandezas 
medidas diretamente. 
b) Se a grandeza é obtida por uma relação linear: 
baxw += (13) 
Onde a e b são constantes, a incerteza propagada será dada por: 
xw aσσ = (14) 
c) Se a grandeza é obtida pelo produto ou por uma razão: 
xyw = ou 
y
xw = (15) 
Nestes casos a incerteza propagada será: 
22



+

=
yx
w yxw
σσσ (16) 
d) Se a grandeza é obtida pelo produto de grandezas elevadas a certas potências p e q: 
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qp yxw = (17) 
A incerteza propagada será: 
22



+

=
y
q
x
pw yxw
σσσ (18) 
Nota: Todas as expressões apresentadas aqui podem ser encontradas a partir da equação geral 
K+


∂
∂+



∂
∂+


∂
∂= 2
2
2
2
2
2
2
zyxw z
w
y
w
x
w σσσσ 
3.2 - Estimativas de erros 
Existem algumas regras gerais para efetuar a leitura de instrumentos de medição e fazer 
as estimativas das incertezas correspondentes. Alguns exemplos serão discutidos a 
seguir. 
Como regra geral, quando é realizada uma medida com um determinado instrumento de 
medição, o valor medido deve ser representado com todos os dígitos que o instrumento 
permite ler diretamente, mais um dígito que deve ser estimado pelo observador. O ideal 
é medir várias vezes a grandeza calcular a média e o desvio padrão para determinar a 
incerteza estatística. Entretanto, quando somente uma medida é realizada, existe a 
possibilidade de estimar a incerteza estatística a partir do limite do erro estatístico. 
O limite de erro estatístico é definido como: 
eeL σ3= (19) 
O limite de erro estatístico possibilita o estabelecimento de um intervalo de confiança 
com 99,7% de possibilidade de acerto, quando os erros estatísticos seguem uma 
distribuição gaussiana. 
Podemos citar como exemplo uma medida realizada com uma régua graduada em 
milímetros. O valor medido deve incluir a fração de milímetro que pode ser estimada 
pelo observador. Considere a leitura indicada na régua da figura 8. 
 
 
 
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Figura 8 - Leitura de uma régua milimetrada. 
A medida indicada diretamente pela régua é 11 milímetros e a fração de milímetro pode 
ser estimada como 0,3 mm. Assim, o resultado de medição e 11,3 mm. O erro de 
medida pode ser considerado aleatório, e se diferentes pessoas realizarem a leitura da 
régua os resultados podem flutuar provavelmente entre 11,0 mm e 11,6 mm. Pode 
parecer grande esta flutuação, mas não se deve esquecer que também existe um erro 
associado com o ajuste do zero da régua. 
Assim, podemos estimar o limite de erro aleatório ou estatístico como (11,6 -
11,0)mm/2= 0,3 mm e desta forma obter a incerteza estatística: 
mm 0,1
3
≈= ee Lσ (20) 
Existe ainda o erro limite de calibração Lr (que corresponde a um erro sistemático), 
representado pela menor divisão da escala, no caso Lr =1 mm. A incerteza sistemática 
associada será (ver eq. 7): 
mm 0,5 
2
≅= rr Lσ (21) 
A incerteza padrão é obtida conforme a equação 8: 
mm 0,5 22 ≅+= rep σσσ (22) 
E o resultado da medição pode ser escrito como: 
( )mmy 5,03,11 ±= (23) 
Neste caso a incerteza estatística é desprezível em comparação com a incerteza 
sistemática representada pelo limite de calibração e a incerteza padrão pode ser 
representada pela metade da menor divisão ou menor leitura fornecida pelo 
equipamento. No entanto, podem existir situações nas quais os erros aleatórios são 
comparáveis ou até maiores do que os erros de calibração. Nestes casos adotar a metade 
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da menor divisão como incerteza, resulta em incertezas subestimadas. Na medição de 
um comprimento com uma régua existem várias fontes de erros como variações na 
graduação original da escala, variações na graduação devido a efeitos térmicos ou 
deformações, erro de leitura associado com paralaxe ou avaliação da fração, erro de 
posicionamento e alinhamento do objeto, etc. 
Quando um paquímetro é utilizado, pode acontecer a situação de nenhuma marca do 
nônio coincidir exatamente com uma marca da régua. Portanto, deve ser estimado o 
algarismo seguinte. Por exemplo, considere a situação da figura 9. 
 
Figura 9 - Leitura de um paquímetro 
Duas marcas do nônio se aproximam de marcas da régua. Verificamos que a primeira 
está mais próxima da marca da régua do que a segunda, logo podemos estimar o 
próximo algarismo como 1, 2, 3, 4 ou 5. E a leitura pode ser admitida como ...,...3 mm. 
O limite de erro estatístico na avaliação do último dígito é menor ou igual a 4 e portanto 
a incerteza associada será: 
mm 0,013
3
≤= ee Lσ (24) 
O limite de erro de calibração, que é a menor leitura do paquímetro, será 0,1 mm no 
caso de um paquímetro com nônio de 10 divisões e fornece uma incerteza:mm 0,05 
2
≅= rr Lσ (25) 
Assim, a incerteza padrão será: 
mm 0,05 22 ≅+= rep σσσ (26) 
No caso de um cronômetro digital disparado e parado manualmente o limite de erro 
estatístico pode ser estimado lembrando que existe um erro associado ao início e final 
da cronometragem devido ao operador. 
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Pode-se admitir o limite de erro estatístico como sendo de 0,5 s e o desvio padrão: 
s 0,17 
3
== ee Lσ (27) 
A menor leitura do cronômetro é 0,01 s e, portanto, o desvio associado que corresponde 
ao erro de calibração (ou sistemático) é de 0,005 s. 
Este caso é um exemplo aonde a incerteza estatística é bem maior que a incerteza de 
calibração do instrumento. 
Quando nas medidas é empregado um equipamento digital é possível estimar o último 
dígito da leitura por meio das flutuações observadas neste dígito. É óbvio que para isto é 
de suma importância escolher uma escala adequada para a medição. Por exemplo, 
usando um multímetro digital a medição indicou 1,34 _ V. O último dígito oscilou entre 
1 e 5, e portanto podemos estimar o último dígito como sendo 3. O limite de erro 
estatístico neste caso será estimado como 0,003 V, e o desvio padrão correspondente 
como 0,001 V. 
Experimento 2: Usando os resultados obtidos no experimento 1 e seguindo um roteiro 
semelhante, calcular o volume do corpo de prova (paralelepípedo) e expressar o 
resultado com a incerteza propagada. 
zyxV ..= , 
222


+


+

=
zyx
V zyxV
σσσσ , VVV σ±= 
Experimento 3: Pêndulo simples: Usar um pêndulo simples com pequenas oscilações 
para calcular a aceleração da gravidade local (com propagação de erros) sem gráficos. 
Para um valor de L, medir diversos T. 
Elaborar o roteiro para realização do experimento, anexar teoria e avaliar corretamente 
todas as fontes de erro envolvidas. A propagação de erros em g é dada por: 
22 2 

+

=
TL
g TLg
σσσ 
 
 
 
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Capítulo 4 - Gráficos 
A apresentação de resultados de experiências e medições em formato gráfico pode ser 
considerada um capítulo em separado na física experimental, tamanha a diversidade de 
opções e a quantidade de dados que podem ser extraídos deles. No entanto, algumas 
normas gerais devem ser observadas logo de início para que se possa tirar o máximo 
proveito dos gráficos. 
 4.1 - Construção gráfica 
Deve-se tomar o cuidado para dar um nome a cada gráfico, com uma legenda para 
facilitar sua compreensão. Esta legenda é normalmente apresentada na parte inferior do 
gráfico. 
Os gráficos devem conter nos seus eixos o nome da grandeza que está sendo mostrada e 
sua respectiva unidade. Os números que vão indicar a escala de valores da grandeza sob 
consideração devem ser de tamanho adequado, sem um número excessivo de casas 
decimais. Eventualmente pode-se indicar a existência de um fator multiplicador comum 
a todos os valores na própria legenda do eixo. Para a marcação de cada dado deve ser 
escolhido um símbolo de tamanho adequado, sobre o qual também devem ser 
apresentadas as respectivas barras de erro de cada medida (tenha em mente que 
nenhuma medição é isenta de erro!). Se aos dados experimentais for ajustada uma curva 
que siga uma lei física ou apenas uma linha para facilitar a visualização, isto deve ser 
claramente dito (use legendas para identificar cada caso). Também se deve tomar o 
devido cuidado para que os pontos experimentais do gráfico não fiquem acumulados em 
apenas uma região; todo o espaço disponível deve ser utilizado, o que facilita não só a 
interpretação como a obtenção de valores. 
A seguir são mostrados alguns gráficos, indicando o que deve ser buscado para uma boa 
diagramação. 
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0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25
30
(a)
0 5 10 15 20 25 30
0
5
10
15
20
25
30
(b)
es
pa
ço
tempo
 
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-5
0
5
10
15
20
25
30
(c)
de
sl
oc
am
en
to
 (m
)
tempo (s)
0 2 4 6 8 10
0
5
10
15
20
25 (d)
de
sl
oc
am
en
to
 (m
)
tempo (s)
 pontos experimentais
 ajuste linear
x(t) = -2.70 m + 2.71 t
 
Figura 10 - Deslocamento em função do tempo para um móvel em MRU: (a) símbolos muito pequenos, 
sem legendas, sem barras de erros; (b) grandezas sem unidade, má ocupação do espaço, sem barras de 
erros; (c) má ocupação do espaço, linha irregular conectando os pontos; (d) diagramação adequada. 
4.2 - Ajuste de reta 
Um problema frequentemente encontrado no tratamento de resultados experimentais é o 
ajuste dos dados. O procedimento de ajustar uma função a um conjunto de dados 
experimentais é conhecido como regressão. O problema pode ser formulado da seguinte 
maneira: 
Duas grandezas x e y são relacionadas pela expressão analítica abaixo: 
( ),...,, baxfy = (28) 
Onde f é uma função conhecida e a,b,... são parâmetros desconhecidos. 
Experimentalmente são determinados os pares de valores ( ) Niyx ii ,...,2,1 para , = e 
se quer determinar os parâmetros a,b,... de tal maneira que a curva ( ),...,, baxfy = 
melhor se aproxime dos valores experimentais. 
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Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR -Departamento de Física 28
Quando a relação analítica entre x e y é linear, uma reta é ajustada ao conjunto de dados 
experimentais e a regressão é dita linear. Neste caso a expressão analítica que relaciona 
x com y é: 
baxy += (29) 
Para efetuar o ajuste dos dados experimentais a função dada pela equação 29 é preciso 
encontrar os parâmetros desta reta de maneira que ela se aproxime o máximo possível 
dos pontos experimentais ( ) , ii yx . 
Vamos discutir dois métodos que podem ser empregados para resolver este problema: 
• O método da “mão livre” 
• O método dos mínimos quadrados 
Ambos tratam de adaptar ao conjunto de pontos experimentais a reta que mais se 
aproxime de todos eles ao mesmo tempo. 
4.3 - Método da “mão livre” 
O método da “mão livre” utiliza o bom senso do observador já que ele mesmo terá que 
ajustar a melhor reta a partir da observação visual do conjunto de pontos ( ) , ii yx . 
Utilizando uma régua transparente posicionada sobre o gráfico contendo todos os 
pontos experimentais, o observador pode escolher a reta que passa pelo meio da 
distribuição dos pontos. Este procedimento tenta garantir que a distância entre a reta e 
os pontos experimentais seja minimizada. Obviamente o método fornece resultados 
aproximados uma vez que a escolha da melhor reta é subjetiva e depende muito da 
prática e bom senso do observador. 
Uma vez ajustada a melhor reta aos dados experimentais, pode-se determinar os valores 
das constantes a e b que correspondem aos coeficientes angular e linear da reta, 
respectivamente. 
( )
( )
c
si
si
yb
xx
yya
=
−
−=
 (30) 
Onde isis xxyy ,,, são pontos pertencentes a reta escolhida, e yc corresponde a leitura no 
gráfico onde a mesma intercepta o eixo y. 
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Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR -Departamento de Física 29
0 5 10 15 20
0
30
60
90
120
150
180
210
xs xi
ysyi
yc
COEF. ANGULAR: a=150/15=10 m/s
(20-5)=15
(2
10
-6
0)
=1
50
(5,60)
(20,210)
 
D
E
S
LO
C
A
M
E
N
TO
 (m
)
TEMPO (s)
 
Figura 11 - Reta ajustada aos pontos experimentais do deslocamento em função do tempo para um móvel 
em MRU. 
Exercício 5: Foram efetuadas as medidas das alturas de várias crianças com idades 
diferentes e os dados obtidos são apresentados na tabela abaixo. Estime o erro 
estatístico para a medida de altura realizada usando uma escala milimetrada. Suponha 
insignificante o erro na idade em meses (as crianças são medidas exatamente no dia em 
que fazem o aniversário mensal). Encontre a melhor reta que se ajusta aos dados 
experimentais e a expressão obtida de correlação entre idade e altura. 
Tabela 6 - Idade em meses de diversas crianças e os correspondentes dados de altura. 
Idade 
(meses) 
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 
Altura 
(cm) 
76,1 77 78,1 78,2 78,8 79,7 79,9 81,1 81,2 81,8 82,8 83,5
Faça um gráfico das alturas (eixo y) contra as idades (eixo x). Ajuste uma reta usando o 
método da “mão livre” e a partir do gráfico encontre os coeficientes linear e angular da 
reta. Expresse os resultados encontrados na forma da equação de uma reta. 
Experimento 4: Determinação da aceleração da gravidade utilizando um pêndulo 
simples (sem propagação de erros) com gráfico. Para o pêndulo simples, a relação entre 
o período e o seu comprimento é dada pela expressão: 
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L
g
T
g
LT
2
2 4 2 ππ =⇒= (31) 
Esta é a equação de uma reta baxy += , onde y=T2 e x=L, com coeficiente linear b=0 
e coeficiente angular ga
24π= . 
Neste experimento, medir uma única vez o período do pêndulo para pequenas 
oscilações e diferentes comprimentos. Encontrar a aceleração da gravidade usando 
método de ajuste a “mão livre”. Cuidado: gráfico de T2 x L para resultar uma reta (este 
processo chama-se linearização). Neste ponto ainda não iremos analisar os erros 
envolvidos nas medidas nem o erro propagado para a aceleração da gravidade obtida. 
Isto será objeto de análise na secção 4.4. 
4.4 - Método dos mínimos quadrados 
O método dos mínimos quadrados pode ser deduzido para medições feitas em condições 
de repetitividade (N medições feitas sob as mesmas condições) ou em condições de 
reprodutibilidade (N medições feitas sob condições diferentes). 
Exemplos de medições feitas em condições de reprodutibilidade são aquelas realizadas 
por meio de diferentes métodos, diferentes experimentadores ou diferentes instrumentos 
de forma que a distribuição dos erros estatísticos pode ser diferente para cada medição. 
Neste caso, a cada um dos valores medidos está associada uma incerteza padrão 
diferente. A situação descrita pode ser visualizada com a ajuda da figura 12. 
0 2 4 6 8 10
0
10
20
30
40
50
60
 f(x
)
x 
Figura 12 - Gráfico representando dados de medições feitas em condições de reprodutibilidade. A cada 
ponto experimental está associada uma incerteza estatística diferente. 
 
Fundamentos da Física Experimental Márcia Muller e José Luís Fabris 
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Na dedução do método as variáveis xi são consideradas isentas de erros, e são 
consideradas somente as incertezas estatísticas em fi(x), ou seja, em yi. No entanto, 
quando as incertezas em xi são significativas elas podem ser transferidas para as 
variáveis yi. Existem regras para isso, mas esse procedimento não será abordado neste 
texto. 
Na dedução do método dos mínimos quadrados são usadas somente incertezas 
estatísticas, desconsiderando as incertezas sistemáticas (no entanto, as incertezas 
sistemáticas residuais devem ser consideradas). Isto é justificado pelo fato do erro 
sistemático desviar todos os pontos experimentais numa mesma direção, o que só afeta 
o coeficiente linear da reta e não o angular. O método dos mínimos quadrados minimiza 
a soma dos desvios ao quadrado dos pontos experimentais relativamente a reta ajustada, 
obviamente não sendo influenciado pelo erro sistemático. Vale observar que se a 
determinação do coeficiente linear é um dado importante no experimento, os possíveis 
erros sistemáticos devem ser identificados e eliminados a priori. 
Quando as medidas são feitas sob as mesmas condições, ou seja, em condições de 
repetitividade, os dados são levantados por um mesmo experimentador e com os 
mesmos instrumentos. Nessa situação a incerteza padrão para todos os valores de y é a 
mesma e a solução é simplificada. Veja o exemplo da figura 13. 
0 2 4 6 8 10
0
10
20
30
40
50
60
 f(x
)
x 
Figura 13 - Gráfico representando dados de medições feitas em condições de repetitividade. 
Sendo assim, o método dos mínimos quadrados permite ajustar retas a pontos 
experimentais em diferentes condições: pontos com incertezas arbitrárias para as 
grandezas x e y, pontos com incertezas iguais para as grandezas x e y, e reta passando 
pela origem. Neste método as equações que fornecem os valores das constantes de 
ajuste a e b em cada situação são deduzidas usando conceitos matemáticos. Em suma o 
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método consiste em encontrar os valores dos coeficientes a e b que fornecem o menor 
valor possível para a soma dos quadrados das distâncias verticais da reta a cada um 
dos pontos experimentais. 
Na situação em que as incertezas em fi(x) são iguais (condição de repetitividade) as 
equações mostram que os valores de a e b são independentes da incerteza padrão nos 
pontos experimentais. Isto é interessante pois mostra que se pudermos supor que as 
incertezas são aproximadamente iguais, mesmo que o valor destas incertezas não seja 
conhecido é possível fazer o ajuste da reta e encontrar os valores de a e b. 
Se a incerteza padrão σp (dos dados experimentais) é conhecida, as incertezas em cada 
parâmetro, σa e σb, podem ser obtidas. 
Ajuste de reta a pontos experimentais com incertezas iguais 
Conforme o método dos mínimos quadrados, os melhores valores para a e b e para as 
suas incertezas são dados pelas expressões a seguir se as incertezas para os diferentes 
pontos puderem ser consideradas aproximadamente iguais. 
2
11
2
111


−






−


=
∑∑
∑∑∑
==
===
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
xxN
yxyxN
a (32) 
 
2
11
2 

−

= ∑∑
==
N
i
i
N
i
i
a
xxN
Nσσ (33) 
 
2
11
2
111
2
1


−






−




=
∑∑
∑∑∑∑
==
====
N
i
i
N
i
i
N
i
i
N
i
ii
N
i
i
N
i
i
xxN
xyxxy
b (34) 
 
Fundamentos da Física Experimental Márcia Muller e José Luís Fabris 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR -Departamento de Física 33
2
11
2
1
2


−





=
∑∑
∑
==
=
N
i
i
N
i
i
N
i
i
b
xxN
x
σσ (35) 
Ajuste de reta passando pela origem a pontos experimentais com incertezas iguais 
No caso particular de uma reta passando pela origem as expressões acima são 
simplificadas e temos: 






=
∑
∑
=
=
N
i
i
N
i
ii
x
yx
a
1
2
1 (36) 


= ∑
=
N
i
i
a
x
1
2
σσ(37) 
Coeficiente de correlação 
Para avaliar o quanto os valores observados estão próximos da reta ajustada pelo 
método dos mínimos quadrados é usado o coeficiente de correlação linear R (coeficiente 
de Pearson). 
11 +≤≤− R (38) 
Quanto mais próximo de -1 ou +1 melhor será o ajuste. 
O coeficiente de correlação de Pearson é calculado pela relação: 
2
11
2
2
11
2
111
. 

−



−


−
=
∑∑∑∑
∑∑∑
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
N
i
N
ii
yyNxxN
yxyxN
R (39) 
Exercício 6: Usando os dados fornecidos no exercício 5 e as expressões do método dos 
mínimos quadrados calcule os coeficientes da reta e expresse os resultados encontrados 
na forma da equação de uma reta. Compare os resultados obtidos e tire conclusões sobre 
a aplicação destes dois métodos. 
 
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Experimento 5: Determinação da aceleração da gravidade utilizando um pêndulo 
simples. Usar os dados do experimento 4 para encontrar a aceleração da gravidade 
usando método gráfico com utilização do método dos mínimos quadrados. Cuidado, 
lembre-se que o gráfico deve ser de T2 x L para resultar numa reta. Estime os erros nas 
medidas de período usando as técnicas de estimativas de erros estudadas. Será preciso 
propagar o erro para o T2. Usar para isso a fórmula de propagação de potência (equação 
18). 
A estimativa de σT2 deve levar em consideração a propagação de erros na potência T2: 
Da equação 17, qp yxw = , com q = 0, p = 2 e x = T, ⇒ w = T2 
e da equação 18: 
22



+

=
y
q
x
pw yxw
σσσ ⇒ TTT TTT σ
σσ 22
2
2
2 =

= (40) 
Note que o erro propagado para os valores de período ao quadrado não são iguais. No 
entanto iremos supô-los como aproximadamente iguais, o que vai nos permitir a 
utilização das equações do método dos mínimos quadrados para incertezas iguais, que 
são mais simples. Usar o maior para que o erro seja superestimado. 
 A validade dessa aproximação será verificada na próxima secção. 
Tendo o desvio padrão para o T2 podemos calcular o coeficiente angular a da 
melhor reta e seu erro σa. (reta passando pela origem). 
 
 
 
 
 
Tendo sido calculado o coeficiente angular a da melhor reta e seu erro σa podemos 
obter o g e seu erro σg: 
 
 
2Tσ
2Tσ
2
2
1
2
1
T
ii
ii
N
i
i
N
i
ii
Ty
Lx
x
yx
a
σσ =
=
=






=
∑
∑
=
=




=
∑
=
N
i
i
a
x
1
2
σσ
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Para encontrar o erro em g será preciso propagar a incerteza: 
Da equação 13, , com a’ =4π2, b’ =0 e x=a-1, ⇒ w=g=4π2a-1 e da equação 
14: 
 
 
Da equação : com q = 0, p = -1 e x = a ⇒ w = a-1 
 
 
e da equação: ⇒ 
 
 
Finalmente: 
 
 
4.5 - Gráficos em computador 
A utilização de computadores e programas específicos para a construção de gráficos é 
uma poderosa ferramenta que pode ser empregada no tratamento de dados e análise de 
resultados experimentais. Normalmente, os programas utilizam rotinas baseadas no 
método dos mínimos quadrados para obter a função analítica que melhor se ajusta aos 
dados experimentais. Utilizaremos o programa OriginTM para construção de gráficos 
com auxílio de computador. Os dados empregados serão aqueles obtidos no 
experimento 4, onde foram medidos os períodos de oscilação T do pêndulo simples para 
diferentes comprimentos L do pêndulo. Para cada par (L,T), uma única medição de cada 
12
22
2
2
44 4..
4 2
−==⇒==
=⇒=
a
a
g
g
aangcoef
L
g
T
g
LT
πππ
ππ
'' bxaw +=
xw a σσ '= 124 −= ag σπσ
qp yxw =
22



+

=
y
q
x
pw yxw
σσσ 2
2
1 11
aa
a aaa
σσσ =

−= −−
a
g
a
aa
g
σσπσ == 224
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grandeza foi realizada, sendo as incertezas encontradas através da técnica da Estimativa 
de Erros (item 3.2) 
Ao iniciar o programa, uma tela semelhante a figura 14 deve aparecer. 
 
Figura 14 - Tela inicial do programa OriginTM. 
As colunas A(X), B(Y), C(Y), ... no Worksheet Data1, servem para a inserção dos 
dados coletados. Para o pêndulo simples, a relação entre o período e o seu comprimento 
é dada pela expressão (31). Embora não seja necessária a linearização dos gráficos 
quando se faz o tratamento dos gráficos com auxílio do computador, optaremos pela 
linearização para possibilitar a comparação com os resultados do experimento 5 (item 
4.4). 
L
g
T
g
LT
2
2 4 2 ππ =⇒= 
Esta é a equação de uma reta baxy += , onde y=T2 e x=L, com coeficiente linear b=0 
e coeficiente angular ga
24π= . Assim, devemos inserir na coluna A(X) os dados 
referentes aos valores de L, na coluna B(Y) os dados referentes aos valores de T, e na 
coluna C(Y) ainda inexistente os dados referentes a T2. O ajuste de uma reta aos dados 
experimentais no gráfico de L (no eixo X) contra T2 (no eixo Y) permitirá encontrar a 
aceleração da gravidade g a partir do coeficiente angular pela expressão ag
24π= . 
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Suponha que os resultados encontrados para as medições sejam os mostrados na tabela 
7. Estamos supondo que os valores de L e T foram medidos apenas uma única vez, de 
forma que os erros estatísticos devem ser encontrados utilizando a técnica da estimativa 
de erros (secção 3.2). 
Tabela 7 - Dados obtidos para período do pêndulo em função do comprimento do mesmo, e valores de 
período elevado ao quadrado. 
L(mm) T(s) T2 (s2) 
150,3 0,79 0,6241 
217,7 0,92 0,8464 
242,1 1,03 1,0609 
303,6 1,12 1,2544 
404,5 1,29 1,6641 
423,2 1,31 1,7161 
 
Posicione o cursor do mouse na célula A(1) e clique sobre a mesma com o botão 
esquerdo do mouse (todos os cliques são com o botão esquerdo, a menos que se 
especifique o contrário), insira o dado correspondente. Adote o mesmo procedimento 
para inserir os dados nas outras células. Após a introdução dos dados de L e T nas 
colunas A(X) e B(Y) respectivamente, a tela deve se apresentar como a da figura 15. 
Note que o separador decimal que deve ser empregado (vírgula ou ponto) depende da 
configuração do computador. 
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Figura 15 - Tela do programa OriginTM com a planilha de dados preenchida. 
Salve o projeto em algum local, clicando em File → Save Project As. A tela abaixo 
deve aparecer: 
 
Figura 16 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM . 
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É possível definir a pasta (pré-existente) onde o projeto será salvo (por exemplo, 
Salvar: Apostila), bem com um nome para o projeto (por exemplo, Nome do arquivo: 
PenduloSimples). A tela deve aparecer como na figura17. 
 
Figura 17 - Tela de salvamento de dados do programa OriginTM devidamente preenchida e com o local de 
salvamento definido. 
Após pressionar a tecla Salvar, o programa deve retornar a tela como a da figura 18. 
 
Figura 18 - Planilha de dados salvos. 
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Note que ainda precisamos inserir os dados de T2, e para isto é necessária a inclusão de 
mais uma coluna no Worksheet. Clique em Column → Add new Columns, defina o 
número de novas colunas necessárias (no caso 1) e pressione OK. O programa retorna 
uma tela como na figura 19 . Não esqueça de salvar o seu projeto regularmente para 
evitar perda de dados. 
 
Figura 19 - Planilha de dados com a inclusão de uma coluna adicional. 
Agora você pode inserir manualmente os dados de T2 na coluna C(Y), ou então realizar 
esta tarefa automaticamente. A segunda opção é mais rápida quando se tem um grande 
número de dados. Posicione o cursor na primeira célula da coluna C(Y), no caso C(1), e 
clique ali. Clique com o mouse em Colum → Set Column Values, e a tela deve se 
apresentar como na figura 20. 
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Figura 20 - Tela que permite inserir dados automaticamente numa coluna. 
Digite no espaço em azul a expressão matemática que deve ser efetuada, ou seja, elevar 
a coluna B(Y) ao quadrado (col(B)^2), e indique a quais células a expressão deve ser 
aplicada, ou seja, For row [i] 1 to 6. A tela deve estar como na figura 21. 
 
Figura 21 - Preenchimento da tela que permite inserir dados automaticamente numa coluna. 
Após pressionar OK, a coluna C(Y) estará preenchida com os valores de T2. 
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Quando um Worksheet começa a apresentar muitas colunas com dados, é possível criar 
uma descrição adicional (um rótulo ou label) para identificá-las. Para isto, clique com o 
botão direito sobre a célula A(X) para selecionar esta coluna, clique em Properties e no 
espaço Column Label digite um nome para esta coluna (por exemplo, L (mm)). A tela 
deve estar como na figura 22. 
 
Figura 22 - Tela que permite nomear uma coluna de dados. 
Pressione OK e nomeie da mesma forma as colunas B(Y) e C(Y). Após isto, a tela deve 
estar como na figura 23. 
 
Figura 23 - Tela da planilha de dados com o nome escolhido para cada coluna. 
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O próximo passo é definir os erros experimentais que serão considerados no gráfico. No 
exemplo, será utilizada a técnica de Estimativa de Erros (secção. 3.2). Conforme 
discutido na secção onde foi apresentado o Método dos Mínimos Quadrados (secção 
4.4), apenas os erros estatísticos (aleatórios e sistemáticos residuais) devem ser 
considerados, deixando de lado os erros sistemáticos. Utilizando as equações 20, 21 
e 22, a incerteza medida no comprimento do pêndulo L com uma régua graduada em 
milímetros é σL =0,5 mm, para todos os valores medidos. Insira uma nova coluna D(Y), 
clique com o botão direito sobre ela, posicione o mouse sobre Set As e depois sobre 
XError, clicando aí com o botão esquerdo. Antes do clique a tela deve se apresentar 
com no figura 24. 
 
Figura 24 - Inserindo uma coluna de erros na planilha de dados. 
Nomeie a coluna como, por exemplo, Er(L) para indicar o Erro de L, e introduza os 
valores estimados de σL (0,5 mm). 
Já a estimativa de σT2 deve levar em consideração a propagação de erros na potência T2. 
Veja como isto foi feito na descrição do experimento 5. 
Novamente, considerando apenas os erros estatísticos (aleatórios e sistemáticos 
residuais), a incerteza na medida do período é de σT = 0,17 s (veja eq. 27), para todos os 
valores de T medidos. 
No entanto, a incerteza não será a mesma para todos os valores de T2, devendo ser 
calculada individualmente para cada valor específico de T (equação 40). Introduza uma 
nova coluna E(Y), associe-a ao erro de Y (Set As, YError) e atribua um nome 
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(Properties, Column Label) como por exemplo Er(T^2). A tela deve estar como na 
figura 25. 
 
Figura 25 - Planilha de dados com as colunas de erros. 
Para calcular os erros associados a cada valor de T2, posicione o cursor na primeira 
célula da coluna E(yEr±) e clique ali. Clique com o mouse em Colum → Set Column 
Values e digite a expressão para cálculo de cada erro, conforme a equação 40: 
2*col(B)*0.17 
Ao final desta etapa, a tela deve se apresentar como na figura 26. 
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Figura 26 - Planilha de dados com as colunas de erros preenchidas. 
Para plotar o gráfico, clique em Plot → Scatter, e selecione as colunas adequadas para 
formar o gráfico, conforme a figura 27. 
 
Figura 27 - Selecionando as colunas que serão plotadas. 
 
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Clique em OK e o gráfico deve aparecer como na figura 28. No caso, o erro associado 
ao eixo X é menor que o tamanho dos símbolos, e não aparece no gráfico. 
 
Figura 28 - Gráfico plotado com os dados fornecidos ao programa. 
Clicando duas vezes sobre a legenda de cada eixo (X Axis Title e Y Axis Title), é 
possível atribuir a legenda adequada, respectivamente L (mm) e T2 (s2). 
Para ajustar uma reta, clique sobre Tools → Linear Fit (ver figura 29) marque a opção 
“Through Zero” uma vez que para este problema a reta deve passar pela origem, 
desmarque a opção “Use Reduced Chi^2” para que o erro não seja subestimado, 
marque a opção “Error as Weight” para indicar que as barras de erro devem ser 
consideradas no ajuste, e clique sobre “Fit” (ver figura 30) 
OBS. IMPORTANTE: A opção Analysis → Fit Linear não obriga a passagem da reta 
pela origem, o que nesse caso poderia resultar num erro maior e não corresponde à 
realidade do problema. 
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Figura 29 - Procedimento ajustar de uma reta aos dados plotados. 
O valor do coeficiente angular ajustado aparece no quadro Results Log. CUIDADO: o 
coeficiente angular da reta fornecido pelo Origin é o parâmetro B = 0,004109, e o erro 
correspondente é ± 5,22094 x 10-4. 
 
Figura 30 - Tela final mostrando o gráfico ajustado e os erros respectivos. 
Conforme já discutimos, este valor está relacionado com g através da relação: 
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2
22
 792067,9607
004109,0
)14159,3.(44
s
mm
B
g === π 
Já a estimativa de σg deve levar em consideração a propagação de erros: 
Da equação 13, baxw += , com a=4π2, b=0 e x=B-1, ⇒ w=g=4π2B-1 
e da equação 14: 
xw aσσ = ⇒ 124 −= Bg σπσ (41) 
Da equação 17, qp yxw = , com q = 0, p = -1 e x = B, ⇒ w = B-1 
e da equação 18: 
22



+

=
y
q
x
pw yxw
σσσ ⇒ 21
2
1 11 BB
B
B
BBBBB
σσσσ ==

−= −−− (42) 
Substituindo a equação (42) na equação (41) temos o erro propagado para σg: 
2
2
4
2
2
2 / 776489,1220
004109,0
10 22094,544 smmx
B
B
g ===
−
πσπσ (43) 
Como esta incerteza é maior do que 99, vamos mudar as unidades para expressá-la 
corretamente (com dois algarismos significativos): 
2 2,1 s
m
g =σ 
e 
( )
2 2,16,9 s
mg ±= 
Deve ser notado que a incerteza relativa aqui é razoavelmente elevada, sendo igual a 
%12%100 ≅=
g
gσε . (44) 
O resultado desta incerteza é inerente ao processo da estimativa dos erros 
experimentais, onde valores superestimados de incertezas são preferidos a valores 
subestimados quando apenas uma medida de cada parâmetro é realizada. 
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Experimento 6: Com os dados do experimento 4, empregar a técnica computacional 
descrita no item 4.5 para calcular o valor da aceleração da gravidade g, utilizando 
gráficos e a propagação de erros. 
Observação: Se desejássemos reduzir os valores de incertezas no experimento anterior 
para uma estimativa mais precisa de g, deveríamos substituir a técnica de Estimativa de 
Erros pela técnica da realização de várias medidas de T e L para cada valor de L, e 
calcular os Erros Estatísticos conforme apresentado no item 2.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 5 - Histogramas 
O histograma ou gráfico de barras é um tipo de gráfico particularmente útil quando se 
deseja mostrar os resultados de um grande número de medições da mesma grandeza, 
que devido a erros de medição, apresenta uma grande flutuação estatística, ou então 
quando se deseja conhecer a flutuação estatística de uma certa grandeza em torno de seu 
valor médio. Num histograma não são mostrados individualmente os pontos medidos, 
mas sim se mostra a frequência F(yi) com a qual um dado valor aparece, ou então a 
frequência com que estes valores aparecem dentro de uma faixa de valores ∆y. A 
frequência de aparição é normalmente expressa como a frequência relativa ao número 
total N de eventos, 
N
yN
yF ii
)(
)( = (45) 
onde N(yi) é o número de vezes que o evento i aparece. Claro que N(yi) será 
proporcional ao intervalo ∆y da faixa, e esta deve ser escolhida de modo a resultar em 
um gráfico compreensível. 
Como exemplo, imagine que a medição da distância focal y de uma lente convergente 
resultou nos valores constantes da tabela 6, ordenados segundo a ordem crescente dos N 
= 60 valores medidos. 
Tabela 8 - Valores obtidos yi (distância focal da lente) em mm 
 
Como primeiro passo para a elaboração do histograma, deve-se determinar o valor de 
∆y, de forma que N(yi) seja da ordem de 10 para intervalos próximos do valor médio 
(isso reduz a incerteza quando se deseja determinar o valor verdadeiro Nv(yi) por um 
processo probabilístico). Uma estimativa inicial do intervalo ∆y é: 
mm
N
yy
y 11
60
204289minmax ≅−=−=∆ (46) 
204 206 208 210 211 218 219 222 222 223 
227 229 230 232 235 235 235 235 237 237 
237 237 238 238 239 239 239 239 239 240 
240 241 243 244 244 246 246 248 248 249 
250 250 253 256 257 257 257 259 259 260 
262 265 267 268 269 269 269 273 285 289 
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onde 860 ≅=N corresponde ao número de intervalos a ser empregado para 
construção do histograma. 
A determinação do valor central yi de cada um destes intervalos também é importante. A 
escolha mais conveniente é aquela onde o centro do intervalo central coincida com o 
valor médio dos N = 60 resultados: 
mmmmmmy
N
y
N
j
j 243 05.24360
 145831
1
≅=== ∑
=
 (47) 
A partir destes valores podemos calcular os limites do intervalo central como 
}{ }{ 5.248;5.2372/;2/ =∆+∆− yyyy , (48) 
e a partir daí estabelecer todos os outros intervalos. 
Isso permite classificar os dados numa tabela de frequências absolutas N(yi) ou relativas 
F(yi)=N(yi)/N, bem como a densidade de probabilidade definida como 
y
yF
yH iie ∆=
)(
)( (49) 
Conhecida esta densidade de probabilidade, a probabilidade de ocorrer um resultado no 
intervalo pequeno {yi;∆y} pode ser escrita como 
yyHPyP ieii ∆≅∆= ).()( (50) 
Tabela 9 - Tabela para construção do histograma com oito intervalos, obtida a partir dos dados da tabela 
8. O símbolo “├─ “ indica intervalo fechado à esquerda; note que o valor inicial do primeiro intervalo foi 
ajustado para englobar o valor mais baixo de yi. 
yi 
(mm) 
yi_central 
(mm) 
N(yi) F(yi) He(yi) 
(10-3 mm-1) 
204.0 ├─ 215.5 210 5 0.08 7.6 
215.5 ├─ 226.5 221 5 0.08 7.6 
226.5 ├─ 237.5 232 12 0.2 18.2 
237.5 ├─ 248.5 243 17 0.28 25.7 
248.5 ├─ 259.5 254 10 0.17 15.1 
259.5 ├─ 270.5 265 8 0.13 12.1 
270.5 ├─ 281.5 276 1 0.02 1.5 
281.5 ├─ 292.5 287 2 0.03 3.0 
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200 220 240 260 280 300
0
5
10
15
20
25
H
e(y
i) 
x 
10
-3
m
m
-1
y (mm) 
Figura 31 - Histograma com oito intervalos para os valores medidos da distância focal da lente. 
 
Experimento 7: Com os dados da tabela 8, refazer as contas que levaram à construção 
da tabela 9, e a partir daí utilizar o programa OriginTM para construção do histograma da 
figura 31. 
Comentários: 
1. Após inserir os dados no Worksheet, selecione Plot→Column e faça as 
associações das colunas adequadas com os eixos do gráfico. 
2. Tecle com o botão direito do mouse sobre o gráfico e selecione Plot Detail na 
aba Spacing e ajuste para 0 % o Gap Between Bars (a separação entre as barras 
verticais será ajustada para zero). 
3. Faça os demais ajustes necessários ao gráfico. 
 
 
 
 
 
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Capítulo 6 – Funções de Distribuição 
Quando se realiza um experimento, normalmente estamos interessados na determinação 
de certa grandeza chamada mensurando. No entanto, como regra geral, o valor 
verdadeiro de um mensurando é uma quantidade sempre desconhecida, que só pode ser 
determinado aproximadamente devido a erros de medição. A exceção é quando se 
deseja realizar a aferição de um instrumento pela medição de um padrão primário ou de 
uma grandeza exata (como a velocidade da luz, por exemplo) onde o valor verdadeiro é 
conhecido. A situação mais comum é, por exemplo, em uma experiência didática, a 
medição de uma grandeza para a qual o valor verdadeiro já é conhecido com boa 
aproximação (ou pelo menos com um erro muito menor do que aquele resultante do 
processo de medição que será empregado). No entanto, devemos ter em mente que no 
formalismo da teoria de erros o valor verdadeiro de um mensurando é sempre uma 
quantidade desconhecida. A determinação deste valor é o objetivo final do processo de 
medição. 
Vamos agora refinar a idéia de densidade de probabilidade abordada quando 
construímos o histograma da figura 30. 
Consideremos um processo simples, no qual a probabilidade de ocorrência