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Universidade Federal de Pernambuco 3a Avaliação de Álgebra Linear 30 de janeiro de 2015 Aluno: Turma: As respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta. Questão 1 Considere o produto interno para P2 dado por < a1 + b1x+ c1x 2, a2 + b2x+ c2x 2 >= 2a1a2 + 3b1b2 + c1c2 a) (0,5) Calcule a norma de p(x) = 1 + x+ 2x2. b) (0,5) Verifique se a base β = {1 + x, x2, 1− x} é ortogonal. Questão 2 (1,5) Seja W = [(1, 1)] um subespaço gerado do R2. Determine os operadores projeção orto- gonal e reflexão (PW (x, y) e RW (x, y), respectivamente) na direção de W. Questão 3 Considere o espaçoM2x2 com o seu produto interno usual〈[ a1 b1 c1 d1 ] , [ a2 b2 c2 d2 ]〉 = a1a2 + b1b2 + c1c2 + d1d2 SejaW = [[ 1 1 0 1 ] , [ 0 −1 1 −1 ]] um subespaço gerado deM2x2. a) (1,0) Determine uma base para o complemento ortogonal deW , isto é, paraW⊥. b) (0,5) Determine o ângulo θ entre as matrizes w1 = [ 1 2 3 4 ] e w2 = [ 4 3 2 1 ] . c) (1,0) Determine uma base ortogonal paraW a partir dos vetores geradores dados. Questão 4 Em R3, considere o produto interno usual e o operador linear dado por T (x, y, z) = ( 3x− 4z 5 , y, 4x+ 3z 5 ) a) (1,0) T é um operador auto-adjunto? b) (1,0) T é um operador ortogonal? Questão 5 (3,0) Determine a equação reduzida e classifique a quádrica dada pela equação 2x2 + 2y2 − z2 − 6xy +√2x−√2y + 1 5 = 0 1
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