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Lista de Exercícios para o Teste 2
Exercícios sobre vetores e suas coordenadas
1) Considere o vetor v=(2,3) e as seguintes bases do
plano:
. Escreva as coordenadas do
vetor v nessas bases.
2) Considere as bases acima. Se , calcule
.
3)Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau
2. Quais as coordenadas do vetor
Exercícios sobre Transformações Lineares e suas
matrizes
4)Um prédio retangular definido pelos vetores (2,1)
e (-1,2) deve ser girado de 45 graus no sentido anti-
horário. Calcule os novos vetores utilizando a
linearidade da rotação.
5)Seja p um polinomio de grau 2 e T a transformação
que leva p em sua integral definida no intervalo (0,1).
Escreva a matriz de T utilizando as bases 
6)Considere a transformação linear T que leva um
polinomio de primeiro grau em sua integral indefinida
no subespaço dos polinomios de grau 2 gerado por .
Escreva a matriz de T.
7)Seja T uma transformação do plano no plano e
considere as bases 
. Dado que
2
. Dado que
 calcule .
8) Seja T uma transformação linear tal que T(1,0) =
(1,0) e T(0,1) = (0,0.5). Calcule .
Exercícios sobre Transformações Lineares e seus
autovetores
9)a)Uma transformação linear projeta ortogonalmente
qualquer vetor na reta t(1,1) e depois duplica o
tamanho do vetor projetado. Encontre seus autovalores e
autovetores.
 b)Faça o mesmo de acima, considerando agora que a
projeção na reta t(1,1) é feita obliquamente na direção
do vetor (1,0).
10)Calcule os autovetores e autovalores de uma
transformação que gira vetores de um ângulo teta em
torno do eixo (1,1,1) e os projeta ortogonalmente no
mesmo eixo.
11) T é uma transformação que reflete vetores do 
pelo plano x-y: T(x,y,z,w) = (x,y,-z,-w). Calcule seus
autovalores e autovetores.
12) Encontre um autovetor para as transformações
abaixo, sem fazer contas, apenas escrevendo suas
matrizes:
 A)T(x,y) = (2x+3y,3y) B) T(x,y,z) =
(x+2z,3x+4y,5x+6z)
13)Calcule os autovalores e autovetores, se houver
algum, da transformação:
A) 
B) 
14) Seja uma transformação linear. Atribua
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14) Seja uma transformação linear. Atribua
V ou F às proposições abaixo:
A)T tem no máximo n autovetores L.I.
B)T tem no mínimo n autovetores L.I.
C)T tem no máximo n autovalores distintos
D)T tem no mínimo n autovalores distintos
15) Seja uma transformação linear.
Responda e dê exemplos: O conjunto de autovetores de T
pode ser:
A) Vazio? B) Todo o plano? C) Unidimensional? D)
Duas retas?
16)Escreva uma matriz 2x2, não-diagonal, que possui
os seguintes espectros:
A){1,0} B){1,2} C){1,-1} D){2}
17) Considere a transformação linear do plano no
plano que leva o vetor (1,2) no vetor (2,4) e que
mantém parado o vetor (-1,2). Escreva a matriz de T na
base canonica.
18)Seja T(x,y) = (y,x). Calcule , onde k é um
número natural
19)Seja T(x,y) = (-y,x). T possui autovetores?
20)Calcule o centésimo número da sequência de
Fibonacci.
21)Seja A uma matriz tal que suas colunas são LD.
Calcule um autovalor para A. Justifique.
22)Seja A uma matriz e v um vetor tal que quando
aplicamos A em v duas vezes seguidas, obtemos o próprio
vetor v como resposta. Quais são os autovalores de A?
23) Seja A uma matriz 2x2. Cheque que a soma dos
elementos da diagonal de A (o traço de A) é igual à
soma dos autovalores de A. Cheque também que o produto
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soma dos autovalores de A. Cheque também que o produto
dos autovalores é igual ao determinante de A.
24) Uma matriz de Markov é aquela em que todos os
elementos são não-negativos e a soma dos elementos de
qualquer coluna é igual a 1. Seja A uma matriz de
Markov 2x2, assinale as respostas corretas:
A) 1 é sempre autovalor de A
B) O vetor (1,1) é sempre autovetor de A
C) O vetor (1,-1) é sempre autovetor de A
D) Det(A) é sempre maior que 1
E) Traço(A) é sempre maior que 1
F) Se a soma dos elementos do vetor v é igual a 1,
então o mesmo ocorre para Av.
25)Suponha que numa hipotética eleição, a cada dia,
o candidato A perde 40% de seus votos para o candidato
B; e o candidato B perde 50% de seus votos para o
candidato A. No primeiro dia, o candidato A possui 43%
do total dos votos e o candidato B possui 57%. Como
ficará a distribuição de votos no décimo dia? E no
centésimo?
26) Suponha que na atual eleição presidencial, Dilma
perde diariamente 12% de seus votos para Marina e 8%
para Aécio. Marina perde 14% de seus votos para Dilma e
6% para Aécio. Aécio perde 15% de seus votos para Dilma
e 18% para Marina. Qual será o resultado final se a
eleição ocorre em 20 dias?
27) Sejam A e B matrizes 3x3 tal que A é triangular
superior e B é triangular inferior. Classifique em
Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
 I)(1,0,0) é um autovetor de A
 II)(0,0,1) é um autovetor de B
28) Escreva uma matriz A 2x2, sem nenhum elemento
nulo, onde:
 A) A tenha autovalores iguais
 B) A tenha apenas um autoespaço de dimensão 1
 C) A não possua autovetores e o determinante de A
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 C) A não possua autovetores e o determinante de A
seja diferente de 1
 D) 
29) Sejam a e b números positivos. Mostre que se
 são autovalores de , então são
autovetores de A.
Exercícios sobre Transformações Lineares e seus
Núcleo e Imagem
30) Seja um conjunto linearmente
independente e T uma transformação linear tal que
. Classifique em Verdadeira ou Falsa as
afirmações abaixo:
 I) 
 II) 
31) Seja A uma matriz qualquer e R a sua forma
escalonada. Classifique em Verdadeira ou Falsa as
afirmações abaixo:
 I) Dimensão da imagem de A é igual à dimensão da
imagem de R
 II) A imagem de A é igual à imagem de R
32) Defina uma transformação linear que não seja
injetiva, mas que seja sobrejetiva.
33) Sejam . A imagem inversa de um
vetor é o conjunto .Classifique em
Verdadeira ou Falsa as afirmações abaixo:
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 I) A imagem inversa de é um espaço vetorial.
 II) Se a dimensão do núcleo de A é 2, então a
imagem inversa de é sempre um plano.
34) Considere um sistema linear Ax=b, onde A é mxn,
m=n-1. Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmações
abaixo:
 I) Se o núcleo de A é uma reta, então o sistema
sempre tem solução.
 II) Se o núcleo de A é um plano, então o sistema
sempre tem solução.