Lista 2 coordenadas polares e eq parametricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Professora: Daniele Freitas
Disciplina: Ca´lculo II
Conteu´do: Equac¸o˜es Parame´tricas e Coordenadas Polares
2a Lista
1. i) Esboce a curva usando as equac¸o˜es parame´tricas para determinar os pontos. Indique com
uma seta a direc¸a˜o na qual a curva e´ trac¸ada quando o paraˆmetro aumenta;
ii) Elimine o paraˆmetro para encontrar uma equac¸a˜o cartesiana da curva.
a) x = 3t− 5, y = 2t+ 1;
b) x = t2 − 2, y = 5− 2t, −2 ≤ t ≤ 3;
c) x = t2, = t3;
d) x = sen(θ), y = cos(θ), 0 ≤ θ ≤ pi;
e) x = 4cos(θ), y = 5sen(θ),
−pi
2
≤ θ ≤ pi
2
.
2. Encontre uma equac¸a˜o da tangente a` curva no ponto correspondente ao valor do paraˆmetro
dado.
a) x = t4 + 1, y = t3 + t, t = −1;
b) x = cos(θ) + sen(2θ), y = sen(θ) + cos(2θ), θ = 0.
3. Encontre uma equac¸a˜o da tangente a` curva no ponto dado.
a) x = 2sen(2t), y = 2sent(t), (
√
3, 1);
b) x = sen(t), y = sen(t+ sen(t)), (0, 0).
4. Ache
dy
dx
e
d2y
dx2
. Para quais valores de t a curva e´ coˆncava para cima e para quais valores de t
ela e´ coˆncava para baixo?
a) x = 4 + t2, y = t2 + t3;
b) x = t3 − 12t, t2 − 1;
c) x = 2sen(t), y = 3cos(t), 0 < t < 2pi.
5. Encontre os pontos na curva onde a tangente e´ horizontal ou vertical.
a) x = 10− t2, y = t3 − 12t;
1
b) x = 2t3 + 3t2 − 12t, y = 2t3 + 3t2 + 1;
c) x = 2cos(θ), sen(2θ).
6. Mostre que a curva x = cos(t), y = sen(t)cos(t) tem duas tangentes em (0, 0) e encontre suas
equac¸o˜es.
7. Em que pontos na curva x = t3 + 4t, y = 6t2 a tangente e´ paralela a` reta com equac¸o˜es
x = −7t, y = 12t− 5?
8. Encontre as equac¸o˜es das tangentes a` curva x = 3t2 + 1, y = 2t3 + 1 que passam pelo ponto
(4,3).
9. Calcule a a´rea limitada pela curva x = t− 1
t
, y = t+
1
t
e a reta y = 2, 5.
10. Encontre a a´rea limitada pela curva x = cos(t), y = et, 0 ≤ t ≤ pi
2
e as retas y = 1 e x = 0.
11. Calcule o comprimento da curva.
a) x = 1 + 3t2, y = 4 + 2t3, 0 ≤ t ≤ 1;
b) x = et + e−t, y = 5− 2t, 0 ≤ t ≤ 3.
12. Calcule a a´rea da superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o da curva dada ao redor do eixo x.
a) x = t3, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1;
b) x = 3t− t3, y = 3t2, 0 ≤ t ≤ 1.
13. Calcule a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o da curva dada ao redor do eixo y.
a) x = 3t2, y = 2t3, 0 ≤ t ≤ 5;
b) x = et − t, y = 4e t2 , 0 ≤ t ≤ 1.
14. Marque no plano o ponto cujas coordenadas polares sa˜o dadas e depois encontre dois outros
pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e outro com r < 0.
a)
(
1,
pi
2
)
;
b)
(
−2, pi
4
)
;
c)
(
2,
−pi
7
)
.
15. Dado os pontos em coordenadas polares, encontre os pontos em coordenadas cartesianas.
a)
(
3,
pi
2
)
;
b)
(
−1, pi
3
)
;
c)
(
−2, −5pi
6
)
.
2
16. As coordenadas cartesianas de um ponto sa˜o dadas.
i) Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r > 0 e 0 ≤ θ < 2pi;
ii) Encontre as coordenadas polares (r, θ) do ponto, onde r < 0 e 0 ≤ θ < 2pi.
a) (1, 1);
b) (−1,−√3);
c) (2
√
3,−2).
17. Encontre a equac¸a˜o cartesiana para a curva descrita pela equac¸a˜o polar dada.
a) r = 2;
b) r = 3sen(θ);
c) rcos(θ) = 1;
d) r = 2sen(θ) + 2cos(θ);
18. Encontre uma equac¸a˜o polar para a curva representada pela equac¸a˜o cartesiana dada.
a) x = 3;
b) x = −y2;
c) x2 + y2 = 9;
d) x+ y = 9.
19. Esboce a curva com equac¸a˜o dada.
a) r = sen(θ);
b) r = 2(1− sen(θ));
c) r = sen(2θ);
d) r2 − 3r + 2 = 0;
e) r = −3cos(θ).
20. Calcule a inclinac¸a˜o da reta tangente para a curva polar dada no ponto especificado pelo valor
de θ.
a) r = 2sen(θ), θ =
pi
6
;
b) r = 2− sen(θ), θ = pi
3
;
c) r = 1 + cos(θ), θ =
pi
6
;
d) r = ln(θ), θ = e.
21. Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente e´ horizontal ou vertical.
a) r = 3cos(θ);
b) r = 1 + sen(θ);
c) r = cos(θ) + sen(θ)
3
22. Encontre a a´rea da regia˜o que e´ limitada pelas curvas dadas que esta´ no setor especificado.
a) r =
√
θ, 0 ≤ θ ≤ pi
4
;
b) r = e
θ
2 , pi ≤ θ ≤ 2pi;
c) r = sen(θ),
pi
3
≤ θ ≤ 2pi
3
;
d) r =
√
sen(θ), 0 ≤ θ ≤ pi.
23. Calcule o comprimento da curva polar.
a) r = 3sen(θ), 0 ≤ θ ≤ pi
3
;
b) r = e2θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi;
c) r = θ2, 0 ≤ θ ≤ 2pi;
d) r = θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
4