Lista 4 derivadas parciais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Professora: Daniele Freitas
Disciplina: Ca´lculo II
Conteu´do: Derivadas Parciais
4a Lista
1. Seja f(x, y) = ln(x+ y − 1).
a) Estime f(1, 1);
b) Estime f(e, 1);
d) Determine o domı´nio de f ;
e) Estabelec¸a a imagem de f .
2. Seja f(x, y) = x2e3xy.
a) Calcule f(2, 0);
b) Determine o domı´nio de f ;
c) Estipule a imagem de f .
3. Determine e esboce o domı´nio da func¸a˜o f(x, y) =
√
1 + x− y2. Qual e´ a imagem de f?
4. Seja f(x, y, z) = e
√
z−x2−y2 .
a) Calcule f(2,−1, 6);
b) Estabelec¸a o domı´nio de f ;
c) Determine a imagem de f .
5. Seja g(x, y, z) = ln(25− x2 − y2 − z2).
a) Calcule g(2,−2, 4);
b) Determine o domı´nio de g;
c) Estipule a imagem de g.
6. Determine e fac¸a o esboc¸o do domı´nio das seguintes func¸o˜es.
a) f(x, y) =
√
x+ y;
b) f(x, y) =
√
y − x ln(y + x);
1
c) f(x, y) =
√
y − x2
1− x2 ;
d) f(x, y) =
√
x2 + y2 − 1 + ln(4− x2 − y2).
7. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite na˜o existe.
a) lim
(x,y)→(5,−2)
(x5 + 4x3y − 5xy2);
b) lim
(x,y)→(6,3)
xycos(x− 2y);
c) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
;
d) lim
(x,y)→(0,0)
x2 + sen2(y)
2x2 + y2
;
e) lim
(x,y)→(0,0)
xycos(y)
3x2 + y2
;
f) lim
(x,y)→(0,0)
6x3y
2x4 + y4
;
g) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
;
h) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
.
8. Determine h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto no qual h e´ cont´ınua.
a) g(t) = t2 +
√
t, f(x, y) = 2x+ 3y − 6;
b) g(t) =
√
t− 1√
t+ 1
, f(x, y) = x2 − y.
9. Determine o maior conjunto no qual as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas.
a) F (x, y) =
sen(xy)
ex − y2 ;
b) F (x, y) =
x− y
1 + x2 + y2
;
c) F (x, y) = ex
2y +
√
x+ y2;
d) G(x, y) = ln(x2 + y2 − 4);
e) f(x, y, z) =
√
y
x2 − y2 + z2 ;
f) f(x, y) =

x2y3
2x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0).
g) f(x, y) =
{ xy
x2 + xy + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
2
10. Determine as derivadas parciais de primeira ordem das func¸o˜es abaixo.
a) f(x, y) = x5 + 3x3y2 + 3xy4;
b) z = xe3y;
c) f(s, t) =
st2
s2 + t2
;
d) f(r, s) = r ln(r2 + s2);
e) w = ln(x+ 2y + 3z);
f) w =
√
r2 + s2 + t2;
g) f(x, y, z, t) = xyz2tg(yt);
h) f(x, y, z, t) =
xy2
t+ 2z
.
11. Use a definic¸a˜o de derivadas parciais como limites para achar fx(x, y) e fy(x, y).
a) f(x, y) = x2 − xy + 2y2;
b) f(x, y) =
√
3x− y.
12. Determine as derivadas parciais de segunda ordem para as func¸o˜es abaixo.
a) f(x, y) = x4 − 3x2y3;
b) f(x, y) = ln(3x+ 5y);
c) z = ytg(2x);
d) v =
√
x+ y2.
13. Verifique se as concluso˜es do Teorema de Clairaut sa˜o verdadeiras, isto e´, se uxy = uyx.
a) u = xsen(x+ 2y);
b) u = ln(
√
x2 + y2).
14. Determine as derivadas parciais indicadas.
a) f(x, y) = 3xy4 + x3y2; fxxy e fyyy
b) f(x, y) = x2e−ct; fttt e ftxx
c) f(x, y, z) = cos(4x+ 3y + 2z); fxyz e fyzz
d) f(r, s, t) = r ln(rs2t3); frss e frst
15. Determine se as func¸o˜es abaixo e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o de Laplace uxx + uyy = 0.
a) u = ln(
√
x2 + y2);
b) u = e−xcos(y)− e−ycos(x).
16. Mostre que as seguintes func¸o˜es e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o da onda utt = a
2uxx.
a) u = (x− at)6 + (x+ at)6;
b) u = sen(x− at) + ln(x+ at).
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17. Determine uma equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie no ponto especificado.
a) z = 4x2 − y2 + 2y; (−1, 2, 4)
b) z =
√
4− x2 − 2y2; (1,−1, 1)
c) z = ycos(x− y); (2, 2, 2)
18. Use a Regra da Cadeia para determinar
dz
dt
.
a) z = x2y + xy2; x = 2 + t4, y = 1− t3
b) z =
√
x2 + y2; x = e2t, y = e−2t
c) z = x ln(x+ 2y); x = sen(t), y = cos(t)
19. Utilize a Regra da Cadeia para determinar
∂z
∂s
e
∂z
∂t
.
a) z = x2 + xy + y2, x = s+ t, y = st
b) z =
x
y
, x = set, y = 1 + se−t
c) z = exytgy, x = s+ 2t, y =
s
t
20. Utilize a equac¸a˜o 1 de derivac¸a˜o impl´ıcita para determinar
dy
dx
.
a) y5 + x2y3 = 1 + yex
2
;
b) cos(x− y) = xey;
c) sen(x) + cos(y) = sen(x)cos(y).
21. Utilize a equac¸a˜o 2 de derivac¸a˜o impl´ıcita para determinar
∂z
∂x
e
∂z
∂y
.
a) x2 + y2 + z2 = 3xyz;
b) xyz = cos(x+ y + z);
c) yz = ln(x+ z).
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