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1 
 
UFS - Universidade Federal de Sergipe 
CCET – Centro de Estatística e Ciências Atuariais 
Disciplina: Estatística Aplicada 
Profa.: Marta Ribeiro 
 
 
 
 
O CONCEITO DE ESTATÍSTICA A Estatística é uma parte da matemática 
aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na 
tomada de decisões. 
(A Estatística possui dois grandes ramos: I – Estatística Descritiva: 
compreende a coleta, a organização, a descrição dos dados, o cálculo, de 
forma a apresentar coeficientes de forma conveniente e comunicativa. II – 
Estatística Indutiva ou Inferencial: compreende procedimentos empregados 
na análise e na interpretação dos dados para chegar a grandes conclusões ou 
inferências sobre populações com base em dados amostrais, associados a 
uma margem de incerteza. Fundamentam ainda as medidas de incerteza que 
resultam na teoria da probabilidade.) 
 
 
Estatística: Conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados, sua organização 
em tabelas e gráficos e a análise desses dados. 
 - Instrumento fundamental utilizado para o estudo quantitativo e qualitativo dos 
fenômenos aleatórios e coletivos, quaisquer que sejam seus campos de observação. 
População: é um conjunto de elementos em que há um atributo comum entre todos ele, 
pode ser classificada como Finita (contagem limitada) ou Infinita (não é suscetível de 
contagem final) 
Amostra: é um conjunto (subconjunto da População) cujas propriedades se estudam 
com o fim de generalizá-los para a População 
Rol: é um conjunto de dados ou valores ocorrentes de grandeza, ou seja, valores 
numéricos relativos às medidas efetuadas. 
Amplitude do Rol: conhecido também como amplitude ou intervalo total, é 
simplesmente o resultado da diferença entre o maior e o menor valores do rol, ou seja, 
observar a amplitude de variação do que está sendo observado. 
AT = M – n 
Variável: é uma característica a ser avaliada em cada um dos elementos da população 
2 
 
 
 
Freqüência Simples ou Absoluta: é o número de vezes que uma variável estatística se 
apresenta, se repete no rol estatístico 
Frequência Relativa: é o resultado do quociente entre a freqüência absoluta e o número 
total de elementos do rol estatístico 
Fr = fabs / n 
Frequência Percentual: é a freqüência relativa quando multiplicada por 100. 
Frequencia Acumulada: é a soma de todas as freqüências, se feita na ordem crescente é 
chamada Freq. Acumulada Abaixo ou Direta, se feita na ordem decrescente é chamada 
Freq. Acumulada Acima ou Indireta. 
Intervalo de Classe: Serve para facilitar a visualização do conjunto, trata os dados como 
se estivessem concentrados no ponto central do intervalo 
3 
 
Unidade I 
Estatística Descritiva 
1) Para Variáveis Discretas 
Construção de Distribuição de Frequência para Variáveis Discretas 
a) Dados Brutos 
84 88 90 78 80 89 94 95 77 81 
83 87 91 83 92 90 92 77 86 86 
99 93 83 94 76 98 70 81 76 87 
 
b) Rol 
70 77 80 83 84 87 89 91 93 95 
76 77 81 83 86 87 90 92 94 98 
76 78 81 83 86 88 90 92 94 99 
 
c) Frequência Simples (fi ou fs) 
xi fi xi fi 
70 1 88 1 
76 2 89 1 
77 2 90 2 
78 1 91 1 
80 1 92 2 
81 2 93 1 
83 3 94 2 
84 1 95 1 
86 2 98 1 
87 2 99 1 
Total 17 - 13 
 
d) Frequncia Relativa (fr) e Frquencia Percentual (f%) 
𝑓𝑟 =
𝑓𝑖
 𝑓𝑖
 e 𝑓% = 𝑓𝑟 ∙ 100 
Para Variável Quantitativa 
i xi fi fr f% 
1 0 4 0,20 20 
2 1 7 0,35 35 
3 2 5 0,25 25 
4 3 2 0,10 10 
5 4 1 0,05 5 
6 5 1 0,05 5 
4 
 
Total 
 
20 1,00 100 
 
Para Variável Qualitativa 
 
Número de 
estabelecimentos 
Estado Unidades (fi) fr f% 
São Paulo 38 0,281 28,1 
Guanabara 30 0,222 22,2 
Rio Grando do Sul 35 0,259 25,9 
Minas Gerais 15 0,111 11,1 
Demais Estados 17 0,127 12,7 
Total 135 1 100,0 
 
 
Gráficos 
 
Figura 1 Diagrama de Colunas 
 
5 
 
 
Figura 2 Diagrama de Barras 
 
 
 
6 
 
 
e) Frequências Acumuladas: Simples (Fi), Relativa (Fr), Percentual (F%) 
xi fi Fi fr Fr f% F% 
0 4 4 0,20 0,20 20 20 
1 7 11 0,35 0,55 35 55 
2 5 16 0,25 0,80 25 80 
3 2 18 0,10 0,90 10 90 
4 1 19 0,05 0,95 5 95 
5 1 20 0,05 1,00 5 100 
Total 20 - 1,00 - 100 - 
 
Gráficos 
7 
 
 
Medidas de Posição para Variáveis Discretas: Média (𝒙 ), Mediana (Md), Moda 
(Mo) 
Média: 𝑥 =
 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 ou 𝑥 =
 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Mediana: 
1º) n é ímpar: Posição mediana: 𝑃 =
𝑛+1
2
 
2º) n é par: a Posição mediana é a média dos postos 𝑃1 =
𝑛
2
 e 𝑃2 =
𝑛+2
2
 => 𝑃 = 
𝑃1+𝑃2
2
 
Moda: é o valor (xi) com maior freqüência (fi) 
xi fi xifi Fi 
0 4 0 4 
1 7 7 11 
2 5 10 16 
3 2 6 18 
4 1 4 19 
5 1 5 20 
Total 20 32 - 
8 
 
 
𝑥 =
32
20
= 1,6 ou 𝑥 =
0+0+0+0+ … +3+3+4+5
20
= 1,6 
Md (n = 20): 𝑃1 =
𝑛
2
=
20
2
= 10º e 𝑃2 =
𝑛+2
2
=
20+2
2
= 11º => 𝑀𝑑 =
1+1
2
= 1 
Mo = 1 
 
Medidas de Dispersão para Variáveis Discretas: Variância (s
2
), Desvio-padrão (s), 
Coeficiente de Variação (CV) 
Variância: 𝑠2 =
 (𝑥𝑖−𝑥 )
2𝑛
𝑖=1
𝑛
 ou 𝑠2 =
 (𝑥𝑖−𝑥 )
2𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
Desvio-padrão: 𝑠2 
Coeficiente de Variação: 𝐶𝑉 =
𝑠
𝑥 
 
Conjunto pequeno de dados: 15 12 10 17 16; n = 5 
𝑥 =
15 + 12 + 10 + 17 + 16
5
=
70
5
= 14 
xi (𝑥𝑖 − 𝑥 ) (𝑥𝑖 − 𝑥 )
2 
10 -4 16 
12 -2 4 
15 1 1 
16 2 4 
17 3 9 
Total - 34 
 
𝑠2 =
34
5
= 6,8 ; 𝑠 = 6,8 = 2,61 ; 𝐶𝑉 =
2,61
14
= 0,1864 = 18,64% 
2) Para Variáveis Contínuas 
Construção de Distribuição de Frequencia para Variáveis Contínuas 
xi fi Fi fr Fr f% F% 
21,2 1 1 0,04 0,04 4 4 
21,3 2 3 0,08 0,12 8 12 
21,4 5 8 0,20 0,32 20 32 
21,5 7 15 0,28 0,60 28 60 
21,6 4 19 0,16 0,76 16 76 
21,7 3 22 0,12 0,88 12 88 
21,8 1 23 0,04 0,92 4 92 
21,9 2 25 0,08 1,00 8 100 
Total 25 - 1,00 - 100 - 
 
9 
 
Gráficos 
 
Figura 5 Histograma 
 
10 
 
 
Figura 6 Polígono de Frequência 
 
Figura 7 Polígono de Frequência relativa acumulada 
11 
 
Medidas de Posição para Variáveis Contínuas: Média (𝒙 ), Mediana (Md), Moda 
(Mo) 
Média: 𝑥 =
 𝑥𝑖𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 , xi = PM (Ponto Médio) 
𝑃𝑀 =
𝑙𝑖+𝑙𝑠
2
 , onde 𝑙𝑖 é o limite inferior e 𝑙𝑠 é o limite superior do intervalo de classe 
Mediana: 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +
 
𝑛
2
 −𝐹𝑎𝑛𝑡
𝑓𝑖
∙ ℎ 
Onde 
𝑙𝑖 = limite inferior da classe mediana 
n = n° total de elementos 
𝐹𝑎𝑛𝑡 = frequencia simples acumulada da classe anterior à que contém a mediana 
h = amplitude da classe mediana 
𝑓𝑖 = freqüência simples da classe mediana 
 
Moda: 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 +
𝑓𝑖−𝑓𝑎𝑛𝑡
2𝑓𝑖−(𝑓𝑎𝑛𝑡 +𝑓𝑝𝑜𝑠𝑡 )
∙ ℎ 
Onde 
𝑙𝑖 = limite inferir da classe modal 
𝑓𝑖 = freqüência simples da classe modal 
𝑓𝑎𝑛𝑡 = freqüência simples da classe anterior à classe que contém a moda 
h = amplitude da classe modal 
 
Medidas de Dispersão para Variáveis Contínuas: Variância (s
2
), Desvio-padrão (s), 
Coeficiente de Variação (CV) 
Variância: 𝑠2 =
 (𝑥𝑖−𝑥 )
2𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 , 𝑥𝑖 = PM (Ponto Médio) 
Desvio-padrão: 𝑠2 
Coeficiente de Variação: 𝐶𝑉 =
𝑠
𝑥 
 
 
12 
 
Exemplo: 
Agrupamentos em classes de frequencia ou intervalos de classe (ic) 
ic 
Limites aparentes 
Limites reais fi Primeira notação Segunda notação 
1 40⊢45 40-44 39,5-44,5 3 
2 45⊢50 45-49 44,5-49,5 8 
3 50⊢55 50-54 49,5-54,5 16 
4 55⊢60 55-59 54,5-59,5 12 
5 60⊢65 60-64 59,5-64,5 7 
6 65⊢70 65-6964,5-69,5 3 
7 70⊢75 70-74 69,5-74,5 1 
Total 
 
50 
 
Ic Limites reais xi fi Fi 𝑥𝑖𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥 )
2 ⋅ 𝑓𝑖 
1 39,5-44,5 42 3 3 126 468,75 
2 44,5-49,5 47 8 11 376 450,00 
3 49,5-54,5 52 16 27 832 100,00 
4 54,5-59,5 57 12 39 684 75,00 
5 59,5-64,5 62 7 46 434 393,75 
6 64,5-69,5 67 3 49 201 468,75 
7 69,5-74,5 72 1 50 72 306,25 
Total - 50 - 2725 2262,50 
 
𝑥𝑖 =
2725
50
= 54,5 
𝑀𝑑 = 49,5 +
 
50
2
 −11
16
⋅ 5 = 53,875 
𝑀𝑜 = 49,5 +
16−8
2⋅16−(8+12)
⋅ 5 = 52,833 
𝑠2 =
2262,50
50
= 45,25 
𝑠 = 45,25 = 6,73 
𝐶𝑉 =
6,73
54,5
= 0,1234 = 12,34% 
23 
 
 
UFS – Universidade Federal de Sergipe 
CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
DECAT – Departamento de Estatística e Ciências Atuariais 
Disciplina: Estatística Aplicada 
Profa.: Marta Ribeiro 
Unidade III 
AMOSTRAGEM 
 
 
 
Quando se deseja colher informações sobre um ou mais aspectos de um grupo 
grande ou numeroso, verifica-se, muitas vezes, ser praticamente impossível fazer um 
levantamento do todo. Daí a necessidade de investigar apenas uma parte dessa 
população ou universo. O problema da amostragem é, portanto, escolher uma parte (ou 
amostra), de tal forma que ela seja a mais representativa possível do todo e, a partir dos 
resultados obtidos, relativos a essa parte, poder inferir, o mais legitimamente possível, 
os resultados da população total, se esta fosse verificada (pesquisa censitária). 
Conceituando: 
a) Universo ou População: é o conjunto de seres animados ou inanimados que 
apresentam pelo menos uma característica em comum. 
b) Amostra: é uma porção ou parcela, convenientemente selecionada do universo 
(população), é um subconjunto do universo. 
 As populações podem ser finitas como, por exemplo, o conjunto de pré-escolares 
residentes na cidade de São Paulo em determinado ano civil, ou infinitas como, por 
exemplo, o conjunto de pesagens que podem ser feitas de determinado corpo sólido. Por 
outro lado, existem populações que, embora finitas, podem ser consideradas como 
infinitas para finalidade estatística, uma população pode ser considerada como 
praticamente infinita toda vez que o número de elementos que constitui a amostra é 
Objetivo da aula: Apresentar exemplos para fixação de conceitos de 
amostragem. 
 
24 
 
“muito menor” do que o número de elementos que constitui a população (n/N < 0,05 
onde: n = nº elementos da amostra; N = nº elementos da população). 
 As medidas estatísticas obtidas com base na população são denominadas 
parâmetros; as medidas estatísticas obtidas com base na amostra são denominadas 
estimativas dos parâmetros. 
O universo ou população de uma pesquisa depende do assunto a ser investigado, 
e a amostra, porção ou parcela do universo, que realmente será submetida à verificação, 
é obtida ou determinada por uma técnica específica de amostragem. 
Há duas grandes divisões no processo de amostragem (determinação da amostra 
a ser pesquisada): a probabilística e a não probabilística. 
 
1. Amostragem Probabilística 
 
 As técnicas de amostragem probabilística, ou aleatórias, ou ao acaso, 
desenvolveram-se, sob o aspecto teórico. A característica primordial é poder ser 
submetida a tratamento estatístico, que permite compensar erros amostrais e outros 
aspectos relevantes para a representatividade e significância da amostra. 
 
1.1 Amostragem Aleatória Simples 
 
É o método básico de amostragem aleatória, pela sua facilidade de selecionar 
amostras, analisar dados e reduzir erros de amostragem. O método se fundamenta no 
princípio de que todos os membros de uma população têm a mesma probabilidade de 
serem incluídos na amostra. 
Numeram-se todos os componentes da população, dando a cada um deles apenas 
um número. A seguir, determina-se o total de componentes da amostra e, utilizando a 
tabela de números aleatórios, selecionam-se os elementos a serem pesquisados. 
 
Exemplo: Há 980 alunos em uma Faculdade. Deseja-se entrevistar 450, com a 
finalidade de obter sua opinião sobre os aspectos teóricos e práticos das disciplinas ali 
lecionadas. Depois de numerados todos os alunos, de 1 a 980, a seleção, feita com o uso 
25 
 
da tabela de números aleatórios, deve ser de grupos de três algarismos, em virtude do 
total de alunos ser 980. 
 A amostra aleatória simples pode apresentar dois tipos: 
a) sem reposição, o mais utilizado, em que cada elemento só pode entrar uma vez para a 
amostra; 
b) com reposição, quando os elementos da população podem entrar mais de uma vez 
para a mostra. 
 
1.2 Amostragem Aleatória Sistemática 
 
 A população, ou a relação de seus componentes, deve ser ordenada, de forma tal 
que cada elemento seja identificado pela sua posição. Não há utilização de tabelas de 
números aleatórios. 
Exemplo: numa população de 100 peças, para obtermos 10 amostras sistemáticas 
podemos retirar as peças de número 10, 20, 30, e assim por diante, até completarmos 10 
amostras sistematicamente colhidas. 
Para encontrarmos os pontos onde faremos as coletas sistemáticas das amostras, 
podemos seguir os seguintes passos (conforme exemplo): 
- Define-se o tamanho da população: N= 1600 
- Define-se o tamanho da amostragem total: n= 100 
 
𝑁
𝑛
=
1600
100
= 16 
- Sorteia-se um número de 1 a 16, que será o primeiro número da amostra, logo as 
próximas amostras serão retiradas de 16 em 16. 
 
1.3 Amostragem Aleatória Estratificada 
 
 Os estratos são formados pelo pesquisador, segundo as necessidades de seu 
estudo. A base para constituição de estratos são geralmente atributos dos indivíduos 
como idade, sexo, etnia, nacionalidade, profissão, renda. Ao formar os estratos, deve-se 
atentar para que todos os elementos da população estejam enquadrados nos mesmos e 
que nenhum indivíduo possa ser colocado em dois estratos diferentes. 
26 
 
Exemplo: Aplicar um questionário sobre satisfação com os serviços da agencia 
em 10 clientes de um banco de dados de 100 pessoas. Verifica-se que das 100 pessoas 
30% são mulheres e 70% são homens. Delimita-se que dos 10 clientes a serem 
entrevistados 3 devem ser mulheres e 7 homens. 
 
1.4 Amostra Aleatória por Conglomerados ou Grupos 
 
É um método muito utilizado por motivos de ordem prática e econômica, onde 
divide-se uma população em pequenos grupos e sorteia-se um número suficiente desses 
pequenos grupos (conglomerados), cujos elementos constituirão a amostra. 
Neste método, existem pelo menos dois níveis de amostragem: 
a) os conglomerados são sorteados de forma aleatória e todos os componentes dos 
conjuntos escolhidos são pesquisados; 
b) os conglomerados são subdivididos em outros conjuntos e o sorteio aleatório se faz 
entre os subgrupos, sendo pesquisados todos os seus elementos; 
c) alguns conglomerados são escolhidos aleatoriamente e, em cada um, os indivíduos a 
serem pesquisados são sorteados de forma aleatória simples – amostragem em dois 
estágios, combinando o de conglomerados com o aleatório simples; 
d) os conglomerados são subdivididos em subgrupos e a seleção se faz em três estágios: 
alguns são sorteados aleatoriamente e, em cada aglomerado escolhido, são sorteados, 
também de forma aleatória, alguns subgrupos; finalmente, nos subgrupos selecionados, 
são escolhidas de forma aleatória as pessoas a serem pesquisadas. Esta forma de 
amostragem também combina as técnicas de conglomerados com a do aleatório simples. 
 
Exemplo: pesquisa das técnicas de aferição do conhecimento, utilizadas por professores 
das escolhas públicas e privadas do 2º Grau, em um município (procedimento „c‟) 
 
27 
 
UFS – Universidade Federal deSergipe 
CCET – Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
DECAT – Departamento de Estatística e Ciências Atuariais 
Disciplina: Estatística Aplicada 
Profa.: Marta Ribeiro 
 
 
Distribuição Amostral 
 
 Seja X uma variável de uma população com média µ e variância 𝜎2, então: 
E(𝑥 ) = µ = 
 𝑥𝑖
𝑛
= 𝑝𝑖 𝑥 𝑖 
V(X) = 𝜎2 𝑥 =
𝜎2
𝑛
=
 (𝑥𝑖−𝑥 )
2
𝑛
 (amostra feita com reposição) 
V(X) = 𝜎2 𝑥 =
𝜎2
𝑛
 
𝑁−𝑛
𝑁−1
 (amostra feita sem reposição) 
Onde: n = número de elementos da amostra 
 N = número de elementos da população 
 
A variável padronizada, N (0; 1), associada a 𝑥 é: 
 𝑧 =
𝑥 −𝜇
𝜎
 𝑛
 ou 𝑧 =
𝑥 −𝜇
 𝜎
2
𝑛
 
𝑁−𝑛
𝑛−1
 
 
 
Estimativa Pontual 
 
 Estimar um valor para um parâmetro. Como exemplo, o melhor estimador para a 
média populacional µ é a média amostral 𝑥 . 
 
Estimação por Intervalo 
 
Intervalo de Confiança para a Média Populacional 
 
1º Caso: 𝜎 é conhecido 
𝑃 −𝑍∝
2 
<
𝑥 −𝜇
𝜎
 𝑛
< 𝑍∝
2 
 = 1 − 𝛼 
28 
 
𝑃 𝑥 − 𝑍∝
2 
∙
𝜎
 𝑛
< 𝜇 < 𝑥 + 𝑍∝
2 
∙
𝜎
 𝑛
 = 1 − 𝛼 
 
Onde: α = nível de significância 
 1 – α = Intervalo de confiança 
 
 
 
2º Caso: 𝜎 é desconhecido 
 Quando 𝜎 é desconhecido, utiliza-se: 𝑠 = 
 (𝑥𝑖−𝑥 )
2
𝑛−1
 
 Se a amostra for grande (n > 30) usa-se s na expressão do 1º Caso (do 
𝜎 conhecido), caso contrário, utiliza-se uma nova estatística: 
𝑡 =
𝑥 −𝜇
𝑠
 𝑛
 Estatística t de Student, com n-1 graus de liberdade 
𝑃 𝑥 − 𝑡𝑛−1,∝ 2 ∙
𝑠
 𝑛
< 𝜇 < 𝑥 − 𝑡𝑛−1,∝ 2 ∙
𝑠
 𝑛
 = 1 − 𝛼 
 
 
Intervalo de Confiança para a Proporção da População 
 
Média: 𝑝 =
𝑋
𝑛
 
Desvio padrão: 𝜎𝑝 = 
𝑝 𝑞 
𝑛
 
𝑃 𝑝 − 𝑍𝛼
2 
 
𝑝 𝑞 
𝑛
< 𝑝 < 𝑝 + 𝑍𝛼
2 
 
𝑝 𝑞 
𝑛
 = 1 − 𝛼 
 
 
Determinação do tamanho da amostra 
 
Média: 𝑛 = 
𝑍𝛼
2 
𝜎
𝐸
 
 
Proporção: 𝑛 = 
 𝑍𝛼
2 
 
2
∙0,25
𝐸2
 ou 𝑛 = 
 𝑍𝛼
2 
 
2
𝑝 𝑞 
𝐸2
 
 
29 
 
Ex.1: De uma população infinita com µ = 15 e 𝜎 = 8, retirou-se uma amostra de n = 49. 
Qual a probabilidade da média dessa amostra situar-se entre 13 e 17 unidades? 
 
 
 
 
 
 
 
Os três maiores problemas surgidos com estimativa de 𝜇 são determinação: 
(a) da precisão de 𝑥 como estimativa de 𝜇; 
(b) do tamanho necessário da amostra para atingir determinada precisão para a 
estimativa de 𝜇; 
(c) de um intervalo de confianção para 𝜇. 
 
Ex.2: Um aditivo para gasolina está sendo testado para ver se aumenta a quilometragem. 
Vinte e cinco carros recebem 5 galões de gasolina e são postos a andar até que a 
gasolina termine. 
No fim do experimento, calcula-se a quilometragem média para cada carro. Os cálculos 
forneceram uma média de 𝑥 = 18,5 milhas por galão e um desvio padrão de s = 2,2 
milhas por galão para os 25 carros. 
Experiências com carros da mesma espécie dos que foram usados antes não empregando 
aditivos indicou que, aproximadamente, 𝜇 = 18,0 e 𝜎 = 2,0 milhas por galão. 
 
Supondo que o aditivo não tenha nenhum efeito sobre a quilometragem, resolva os 
seguintes problemas: 
a) Determinar a precisão da probabilidade de 𝑥 como uma estimativa de 𝜇. 
b) Mostre o tamanho do experimento a ser feito se quisermos ter a certeza com um grau 
de probabilidade de 0,95 de que a experiência não comete erros de mais de ½ milha por 
galão. 
c) encontre um intervalo de confiança de 95% para 𝜇. 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deixando de supor que o aditivo não tenha nenhum efeito sobre a média ou a variância, 
encontrar um intervalo de confiança de 95% para 𝜇. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Ex.3: Escolhe-se uma amostra aleatória de 100 alunos de certa escola. Aplica-se a eles 
um teste de inteligência para determinação do QI. Os pontos deste teste fornecem os 
valores amostrais 𝑥 = 112 e s = 11. Qual é um intervalo de confiança para o quociente 
de inteligência médio na escola, baseando-se nesses valores da amostra? Calcular para: 
a) 95% 
b) 90% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.4: Estimar a percentagem de adultos do sexo masculino em certa cidade, que fuem 
pelo menos um maço de cigarros por dia. Suponhamos que uma amostra aleatória de 
tamanho 300 fornecesse 36 de tais indivíduos. Determinar: 
a) a precisão da proporção da amostra como uma estimativa de p. 
b) o tamanho que deve ter a amostra para que a probabilidade seja de 0,95 de que o erro 
da estimativa não vá exceder a 0,02 unidades. 
c) um intervalo de confiança de 95% para p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Teste de Hipótese 
 
Hipótese Nula: 𝐻0:𝜃 = 𝜃0 
Hipótese Alternativa: 𝐻1:𝜃 > 𝜃0; 𝐻1:𝜃 < 𝜃0; 𝐻1:𝜃 ≠ 𝜃0 
 
Tipos de Teste: Unilateral (a Esquerda ou a Direita) e Bilateral. 
 
Tipos de Erro: 
Decisão 𝐻0 Verdadeiro 𝐻0 Falso 
Não rejeitar Decisão Correta Erro do Tipo II 
Rejeitar Erro do Tipo I Decisão Correta 
 
Valores críticos de Z (𝑍𝑐) 
Teste Nível de Significância (𝛼) 
0,10 0,05 0,01 
Unilateral 1,28 1,64 2,33 
Bilateral 1,64 1,96 2,58 
 
Resolução para Teste de Hipótese: 
1º) Formulação das Hipóteses 𝐻0 e 𝐻1; 
2º) Fixação do Nível de Significância; 
3º) Valor Crítico; 
4º) Valor tabular; 
5º) Decisão: concluir se rejeita ou não 𝐻0. 
 
 
33 
 
Teste de Hipótese para Média 𝑍𝑐 =
(𝑥 −𝜇)
𝜎
 𝑛
 ; 𝑡𝑐 =
(𝑥 −𝜇)
𝑠
 𝑛
 
 
Ex.1: Uma peça tem especificação média de 5cm com desvio padrão de 0,08cm. Em 
uma amostra aleatória de 49 peças encontrou-se uma média de 5,05cm. Pode-se afirmar, 
tendo em vista a amostragem, que as peças fabricadas atendam à especificação ao nível 
de significância de 5%? (rejeita-se 𝐻0) 
𝑍𝑐 =
(𝑥 − 𝜇)
𝜎
 𝑛
 
 
Ex.2: Determinada tubulação deve ter um diâmetro externo médio de 10cm com desvio 
padrão de 0,18cm. Uma amostra de tamanho 36 apresentou um diâmetro médio de 
9,94cm. Com base na amostra pode-se afirmar que a tubulação, ao nível de significância 
de 0,02, atende às especificações do fabricante? (não rejeita 𝐻0) 
𝑍𝑐 =
(𝑥 − 𝜇)
𝜎
 𝑛
 
 
Ex.3: Cem clientes selecionados aleatoriamente foram convidados dentre 400 para 
participarem da promoção de abertura de uma loja e gastaram em média R$245,70. Os 
idealizadores dessa nova técnica de vendas esperava que o consumo médio fosse no 
mínimo de R$250,00, com desvio padrão de R$66,00. Ao nível de significância de 5%, 
é legítima a pretensão dos idealizadores? (não rejeita 𝐻0) 
𝑍𝑐 =
(𝑥 − 𝜇)
 𝜎
2
𝑛 
𝑁 − 𝑛
𝑁 − 1 
 
 
 Teste de Hipótese para Proporção 
Ex.4: O diretório dos estudantes de uma Universidade informa que no máximo até 6 
meses depois de formado pelo menos 50% dos graduados estão empregados. Em uma 
turma de 30 formandos 10 informaram ter obtido emprego dentro dos 6 meses. A 
afirmação do diretório é correta ao nível de significância de 5%? (rejeita-se 𝐻0) 
𝑍𝑐 =
𝑝 − 𝑃
 
𝑝𝑞
𝑛
 
34 
 
Teste de Hipótese para diferença de médias 
 
𝑍𝑐 = 
 𝑥 1−𝑥 2 − 𝜇1−𝜇2 
 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎1
2
𝑛2
 ; 𝑡𝑐 = 
 𝑥 1−𝑥 2 − 𝜇1−𝜇2 
 
𝑠1
2
𝑛1
+
𝑠1
2
𝑛2
 
 
 
Ex.5: O salário por hora médio na construção civil para operários especializados na 
cidade A é R$6,00 com desvio padrão de 2,00, enquanto que na cidade B é R$5,40 com 
desvio padrão R$1,80, isto constatados um duas amostras de 40 operáriosem A e 50 
operários em B. Teste ao nível de significância de 5% se existe diferenças de salário 
entre as duas cidades. (não rejeita 𝐻0) 
𝑍𝑐 = 
 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝜇1 − 𝜇2 
 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎1
2
𝑛2
 
 
Ex.6: Duas Turmas A e B possuem 40 e 50 alunos respectivamente. Na Turma A o grau 
médio foi 74 com desvio padrão 8, enquanto que na Turma B a média foi 78 com desvio 
padrão 7. Existem diferenças significativas entre os aproveitamentos das duas classes so 
nível de significância de 5%? (rejeita-se 𝐻0) 
𝑍𝑐 = 
 𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝜇1 − 𝜇2 
 
𝜎1
2
𝑛1
+
𝜎1
2
𝑛2
 
 
Teste de Hipótese para diferença de proporções 
Ex.7: Uma pesquisa de opinião entre 300 eleitores do Bairro X e 200 eleitores do Bairro 
Y determinou 56% e 48%, respectivamente, da preferência a favor de determinado 
candidato. Ao nível de significância de 0,05 há diferença entre os dois bairros quanto a 
preferência? (não rejeita-se 𝐻0) 
𝑍𝑐 = 
 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝑃1 − 𝑃2 
 
𝑝 1𝑞 1
𝑛1
+
𝑝 2𝑞 2
𝑛2