Aula 7 - Sistema Equações Lineares I Eliminação Gaussiana

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1
SISTEMA 
DE 
EQUAÇÕES 
LINEARES I Conceitos iniciais
Eliminação Gaussiana
2
SISTEMA DE EQUAÇÕES 
LINEARES I
Conceitos iniciais e Eliminação Gaussiana
Prof. Antônio Luís Valente
ALGEBRA LINEAR – ENGENHARIA AGROINDUSTRIAL/FURG – AULA 7
Adaptado de “Álgebra Linear”
Alfredo Steinbruch & Paulo Winterle (2006)
3
Um terreno de 8000 m2
deve ser dividido em
dois lotes.
O lote maior deverá ter
1000 m2 mais que o lote
menor.
Calcule a área que cada
um deverá ter:
Situação-problema I
Mapa Santo Antônio da Patrulha - RS
A=8000m2
4
LOTE X
LOTE Y





1000
8000
yx
yx
Solução:
:incógnitas duas com
equações duas de sistema um temos
menor lote ao destinada área ay 
maior lote ao destinada área ax 
Sendo


5
4500
10003500 logo
3500
2/7000
800010002
8000)1000(
1000
8000











x
x
y
y
y
yy
yx
yx
Logo, o maior lote terá uma área de 4500m2 e o menor terá um 
área de 3500m2
LOTE X
LOTE Y
66
Situação-problema II:
Na natureza, as coisas estão sempre mudando, se transformando, e o ser humano,
para garantir a sua sobrevivência e melhorar sua existência, precisa conhecer e
dominar estes processos de mudança.
Um dos métodos encontrados para se descrever estas transformações foi o de
procurar nestas o que permanece constante durante a mudança.
OzHyO xH 222 
O que permanece constante nessa mudança? Como os átomos não são
modificados, o número de átomos de cada elemento no início da reação deve ser
igual ao número de átomos desse mesmo elemento no fim da reação.
Fonte: Boldrini et al.(1980) :OH de moléculas z produzindo O de moléculasy a reagem H de moléculasx 
:modo seguinte dodescrever podemos que mudança um é Esta
?precisamos oxigênio de e hidrogênio de quanto Mas,
O).(H águaproduzir para
 )(O oxigênio o com reage )(H hidrogênio o que Sabemos
222
2
22
77
OzHyO xH 222 





0z2y
02z2x






2
z
yz2y 0z2y
zx2z 2x 02z2x tz
2
t
y
tx
tz Fazendo
livre. variávela é z




t 2 4
x 2 4
y 1 2
z 2 4
O4H2O4H
O2HO2H
222
222


:equações as satisfazer devem z y, x,incógnitas nossas as Portanto,
z.2y oxigênio, o para e 2z,2x ter devemos hidrogênio o para Assim, 
Sistema de 
equações
8
1. INTRODUÇÃO
Estas equações 
são lineares
73  yx
13
2
1
 zxy
732
4321
 xxxx
Não envolvem quaisquer produtos ou raízes de variáveis.
Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não
aparecem como argumentos de funções trigonométricas,
logarítmicas ou exponenciais.
9
Equações lineares podem ter uma ou mais variáveis. 
Esse tipo de equação ocorre regularmente no campo 
da matemática aplicada. 
Acontece naturalmente durante a modelagem de um 
fenômeno, sendo particularmente útil quando 
equações não-lineares podem ser reduzidas para 
equações lineares. 
10
423  xzzyx
senxy 
53  yx
Estas 
equações 
são não 
lineares
054 34  xxx
922  yx
10. yx
11
732  yx
byaxa  21
 e b ,aa 21
São constantes reais
x e y 
bxaxaxaxa
nn
 ...
332211
São as variáveis
Mais geralmente, podemos escrever:
Equação linear:
12
2. EQUAÇÃO LINEAR
Equação linear é uma equação da forma:
bxaxaxaxa
nn
 ...
332211
teindependen termoo é e
, variáveisdas escoeficient srespectivo os são,
 s);(incógnita variáveisas são, qual na
n321
321
b
,...a,a,aa
,...x,x,xx n
78852 4321  xxxx
13
3. SOLUÇÃO OU RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Os valores das variáveis que transformam uma
equação linear em identidade, isto é, que
satisfazem à equação, constituem sua solução.
Essas valores são denominados raízes da
equação linear.
14
823 321  xxx
Solução de uma Equação Linear
Podemos escrever também
RAÍZES DA EQUAÇÃO
x, y, z ...para evitar subscritos
Quando os sistemas contém um grande número de 
variávies. É mais eficiente usar variáveis subscritas 
como xo,x1, x2....
8)3(2)2()5(
8)1(26)0(
8)1(24)2(




3 pois equação da soluçãouma é (5,-2,3) terno o
3 pois equação da soluçãouma é (0,6,-1) terno o
3 pois equação da soluçãouma é (2,4,1) terno o
:que Dizemos
82zy3x
linear equação a Dada
15
4. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES
A um conjunto de equações lineares se dá
nome de sistema de equações lineares.













m
nmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
........................................................
...
...
...
332211
33333232113
22323222112
11313212111








24482
16224
10642
321
321
321
xxx
xxx
xxx








24482
16224
10642
zyx
zyx
zyx
ou podemos escrever assim:
16













m
nmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
........................................................
...
...
...
332211
33333232113
22323222112
11313212111
O subscrito duplo nos coeficientes das variáveis é um 
recurso útil que é usado para especificar a localização do 
coeficiente no sistema.
O primeiro subscrito no coeficiente aij indica a equação 
na qual o coeficiente ocorre e o segundo subscrito indica 
qual variável ele multiplica.
a12 ocorre na 
primeira equação 
e multiplica a 
variável x2
17
Um sistema de equacões lineares (abreviadamente, sistema
linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas
variáveis.
Em matemática, a teoria de sistemas lineares é um ramo da
álgebra linear, uma matéria que é fundamental para a matemática
moderna.
Algoritmos computacionais para achar soluções são uma parte
importante da álgebra linear numérica, e tais métodos têm uma
grande importância na engenharia, física, química, ciência da
computação e economia.
Um sistema de equações não-lineares freqüentemente pode ser
aproximado para um sistema linear, uma técnica útil quando se
está fazendo um modelo matemático ou simulação
computadorizada de sistemas complexos.
18
5. FORMA MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR













m
nmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
........................................................
...
...
...
332211
33333232113
22323222112
11313212111
Como duas matrizes são iguais se, e somente
se, suas entradas correspondentes são iguais,
nós podemos substituir as m equações do
sistema por uma única equação matricial:





































n
3
2
1
nmn3m32m211m
nn3333232113
n2n323222112
n1n313212111
b
...
b
b
b
xa...xaxaxa
.................................................
xa...xaxaxa
xa...xaxaxa
xa...xaxaxa
A matriz mx1 à esquerda desta
equação pode ser escrita como um
produto


















































n
3
2
1
n
3
2
1
mnm3m2m1
3n333231
2n232221
1n131211b
...
b
b
b
x
...
x
x
x
a...aaa
...............
a...aaa
a...aaa
a...aaa
Denotando estas matrizes por A, X e
B, respectivamente, o sistema original
de m equações em n incógnitas foi
substituída pela única equação
matricial
BAX 
A - Matriz dos coeficientes do sistema
bAx 
19
EXERCÍCIO 1
B.AX matricial
equação única uma como dado lineares equações
de sistema o expressem que B e X A, matrizes Encontre









04x5xx
1xx9x
75x3x2x
a)
321
321
321











27x9x3x
0x9x5x2x
38xx5x
1x3x4x
b)
432
4321
421
431
20



































0
1
7
3451
119
532
2
1
, B
x
x
x
, X Aa) 











































2
0
3
1
7130
1952
8015
1304
4
3
2
1
, B
x
x
x
x
, X Ab) 
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 1
21
6. MATRIZ AMPLIADA













m
nmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
........................................................
...
...
...
332211
33333232113
22323222112
11313212111
















mmnmmm
n
n
n
baaaa
baaaa
baaaa
baaaa
...
..................
...
...
...
321
33333231
22232221
11131211
É uma abreviação da escrita de um sistema de m equações
lineares. Cada linha dessa matriz é uma representação uma
equação correspondente no sistema.
SISTEMA DE EQUAÇÕES MATRIZ AMPLIADA
Para isto, coloca-se ao lado da matriz dos coeficientes das variáveis, separadas
por uma traço vertical, a matriz-coluna dos termos independentes.
22








0563
1342
92
321
321
321
xxx
xxx
xxx












0563
1342
9211
EXEMPLO - Matriz Ampliada
Quando construímos a matriz
ampliada, as incógnitas devem
estar escritas na mesma ordem
em cada equação e as constantes
que não multiplicam incógnitas
(termos independentes) devem
estar à direita, após o traço.
Termos independentes
23








1724
12248
852
32
321
31
xx
xxx
xx
EXERCÍCIO 2
Encontre a matriz ampliada do sistema abaixo:
24
SOLUÇÃO EXERCÍCIO 2












17240
12248
8502
25
7. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Os valores das variáveis que transformam
simultaneamente as equações de um sistema
linear em identidade,isto é, que satisfazem
todas as equações do sistema, constituem sua
solução.
Esses valores são denominados raízes do
sistema de equações lineares.
26
8. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Na resolução de sistemas de equações, onde a matriz
A é quadrada, podemos empregar uma regra prática
conhecida como REGRA DE GRAMER.
A Regra de Cramer dá a solução de um sistema de equações lineares em 
termos de determinantes.
O método recebeu este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752). 
RECORDANDO...
8.1 MÉTODO DE CRAMER
27










nnnn2n21n1
2n2n222112
1n1n212111
bxa...xaxa
........................................
bxa...xaxa
bxa...xaxa
Seja o sistema
:maneira seguinteda obtido é x incógnita cada de valor O i
D
Dx
x ii 
n21
i
i
b,..,b ,b conhecidos tesindependen termos pelos procurada
incógnita da escoeficient dos coluna a se-ndo substituiobtém seque tedeterminanDx
 sistema)do nte(determina incógnitas das escoeficient pelos formado tedeterminan D
 sistema;do variáveis x 



nnn2n1
2n2221
1n1211
a...aa
............
a...aa
a...aa
A detD 
nnn2n
2n222
1n121
1
a...ab
............
a...ab
a...ab
Dx 
nnnn1
2n221
1n111
2
a...ba
............
a...ba
a...ba
Dx 
nn2n1
22221
11211
n
b...aa
............
b...aa
b...aa
Dx 
28





13y2x
4y3x
11D2)9
32
13
detAD
32
13
A 






 
 (
1x
11
11
D
Dx
x11
31-
14
Dx 


1y
11
11-
D
Dy
y11
1-2
43
Dy 
Exemplo 1 – Método de Cramer
29
Exemplo 2 – Método de Cramer








32z3yx
03z2y4x
1zy3x














231
324
113
A 60




231
324
113
detAD
6
1
60
10
D
Dx
x10
233
320
111
Dx 





6
5
60D
Dy
y5
231-
34
113
Dy 





50
00
3
1
60D
Dz
z
331-
04
13
Dz 



20
202
1
30
EXERCÍCIO ALUNOS – Método de Cramer








2zy3x
3zy2x
8z2yx
3z2,y1,x
45Dz
30Dy
15Dx
15D





31
8.2 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (2 incógnitas)
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e
substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa
equação do 1º grau com uma única incógnita.
32
8.3 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO (3 incógnitas)
Isolar uma das incógnitas. 
x + 2y + z = 12
x = 12– 2y – z 
Nas outras duas equações 
substituímos o valor da incógnita 
isolada
x – 3y + 5z = 1
12 – 2y – z – 3y + 5z = 1
–2y –3y –z + 5z = 1 – 12 
–5y + 4z = – 11
2x – y + 3z = 10
2 (12 – 2y – z) – y + 3z = 10
24 – 4y – 2z – y + 3z = 10
–4y –y – 2z + 3z = 10 – 24 
–5y + z = – 14 
Essas duas equações constituirão um 
sistema com duas variáveis e duas 
incógnitas, que poderá ser resolvido por 
qualquer método. 
–5y + z = – 14 z = – 14 + 5y
–5y + 4z = –11
–5y + 4 (–14 + 5y) = –11
–5y – 56 + 20y = –11
–5y + 20y = –11 + 56
15y = 45
y = 45 / 15
y = 3 
z = – 14 + 5y
z = –14 + 5 (3)
z = –14 + 15 
z = 1
33
Todo sistema de
equações lineares tem
ou nenhuma solução, ou
exatamente uma, ou
então uma infinidade de
soluções.
Anton&Rorres, (2001)
34
SISTEMA COMPATÍVEL
Sistema Determinado
Sistema Indeterminado
SISTEMA INCOMPATÍVEL
Quando admite solução
Quando admite uma única
solução
Quando admite mais de uma 
solução (infinitas soluções)
Quando não admite soluçãoS
is
te
m
a
s
 d
e
 E
q
u
a
ç
õ
e
s
 
L
in
e
a
re
s * Chamado também sistema consistente
* Chamado também sistema inconsistente
9. CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
(em função de suas soluções)
35
10. EXEMPLO DE SISTEMAS COM RESPEITO
ÀS SUAS SOLUÇÕES
Para ilustrar as possibilidades que podem ocorrer na
resolução de sistema de equações lineares, vamos
considerar um sistema arbitrário de duas equações
lineares nas variáveis x e y:





222
111
cybxa
cybxa
Os gráficos destas equações são retas, digamos
21 e rr
36
A) As retas r1 e r2 podem ser paralelas, caso em
que não há interseção e consequentemente não
existe nenhuma solução do sistema:
B) As retas r1 e r2 podem cortar-se em um único
ponto, caso em que o sistema tem exatamente
uma solução:
C) As retas r1 e r2 podem coincidir, caso em
que o existe uma infinidadede soluções para
o sistema:
x
x
x
y
y
y
Sistema Incompatível
Sistema Compatível e Determinado
Sistema Compatível e Indeterminado
 r1
2r
 r1
2r
2r r1
37
Sistema compatível e determinado (única solução):
As equações lineares abaixo representam duas retas no plano
cartesiano que têm o ponto (2,3) como interseção.
Sistema com compatível e indeterminado (infinitas
soluções):
As equações lineares representam retas paralelas
sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos
que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as
retas).
4x + 2y = 100
8x + 4y = 200
Sistema Incompatível (que não tem solução):
As equações lineares representam retas paralelas no plano
cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas
retas.
3x-2y=-2
3x-2y=2
12  yx
1 yx 1 xy
12  xy
Exemplo de sistemas com respeito às suas soluções
3
2


y
x
38
11. SISTEMA COMPATÍVEL
Diz-se que um sistema de equações lineares é
compatível quando admite solução, isto é,
quando tem raízes.
a)Determinado (admite uma única solução)
b)Indeterminado (admite mais de uma solução)
* Chamado também sistema consistente
39
11.1. SISTEMA COMPATÍVEL DETERMINADO
Um sistema compatível é determinado quando
admite uma única solução.
O sistema





2543
1822
yx
yx
é compatível e determinado, pois tem como raízes unicamente
4
3


y
x
40





152
103
yx
yx
3
3
)1(10
1
1717
315220
15
3
220
15
3
10
2
3
10











 





 


xx
y
y
yy
y
y
y
y
y
x
3)B(8, ponto2,1);A( Pontor reta 
4)D(2, pontoC(1,-7); Pontos reta 
1)I(3, Ponto:sistema do Solução 
Exemplo 1 - Sistema Compatível e Determinado
Fonte: Dante,2001)
222
111
cybxa
cybxa


41
Exemplo 2 - Sistema Compatível e Determinado
http://pt.wikiversity.org/wiki/Ficheiro:Intersecting_Lines.svg





93
1
yx
yx
42
Lembrando a equação geral do 
plano
0 dczbyax
),,( cban 

plano ao normal vetor um de scomponente as mrepresenta e onde ca,b
)4,2,3(05423:  nzyx
Exemplo:
Exemplo 3 - Sistema Compatível e Determinado
43








3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
05423:  zyx
0 dczbyax








3333232113
2323222112
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Cada equação de um sistema linear em
três variáveis determina um plano.
ou
Uma solução do sistema
corresponde a um ponto na
interseção desses planos
Compare:
1 2
3
44
)
5
9
,
5
12
,
5
9
(I com odeterminad e
compatível é sistema o
32
6
32









zyx
zyx
zyx
A solução do sistema
corresponde a um ponto na
interseção desses planos
oDeterminad e Compatível Sistema
Exemplo:
I
45
Um sistema compatível é indeterminado
quando admite mais de uma solução (na
verdade, admite infinitas soluções).
O sistema





20048
10024
yx
yx
é compatível e indeterminado, pois admite infinitas soluções
y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ...
x 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 ...
11.2. SISTEMA COMPATÍVEL INDETERMINADO
46
Exemplo 4 - Compatível e Indeterminado





1293
862
yx
yx
,-1)1D( pontoC(-2,-2); Pontos reta 
B(1,-1) pontoA(-2,-2); Pontor reta 
adoIndetermin e Compatível Sistema
sistema do solução
são que
 pares infinitos
existem que indicam
escoincident retas As
Fonte: Dante,2001)
222
111
cybxa
cybxa


47





2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
adoIndetermin e Compatível Sistema
Cada equação de um sistema linear em três variáveis determina um plano.
sistema do solução
são que pontos Infinitos
Observação:
48
12. SISTEMA INCOMPATÍVEL
Um sistema é incompatível (também chamado
inconsistente) quando não admite solução.
É incompatível, pois a expressão 3x+9y não pode ser simultaneamente 
igual a 12 e igual a 15 para os mesmos valores de x e y.





1593
1293
yx
yx
49
Exemplo 5 - Sistema Incompatível





242
52
yx
yx
B(1,2) pontoA(-1,-3); Pontor reta 
,0)1D( pontoC(-1,-1); Pontos reta 
sistema do
solução seja que reais
 números de par existe
 não logoy, para
 real valor existe não
80
2010
24410
24)25(2
25





y
y
yy
yy
yx
elIncompatív Sistema
Fonte: Dante,2001)
222
111
cybxa
cybxa


50
elIncompatív Sistema








3333
2222
1111
dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
Cada equação de um sistema linear em três variáveis
determina um plano.
3N
51
13. SISTEMAS EQUIVALENTES





1242
4263
yx
yx
são equivalentes porque admitem a mesma solução:
Diz-se que dois sistemas de equações lineares
são equivalentes quando admitem a mesma
solução.





62
142
yx
yx
2
10


y
x
52








24482
16224
10642
zyx
zyx
zyx








16224
24482
10642
zyx
zyx
zyx








16224
24482
5321
zyx
zyx
zyx
a)
b)
c)
Todos os 3 sistemas 
são equivalentes, 
isto é, têm a mesma 
solução
1
3
2



z
y
x
53
14. OPERAÇÕES ELEMENTARES
Um sistema de equações lineares se
transforma num sistema equivalente quando se
efetuam as seguintes operações elementares:
I- Permutação de duas equações (trocar duas equações entre si)
II – Multiplicação de uma equação por um número real diferente
de zero
III – Substituição de uma equação por sua soma com outra
equação previamente multiplicada por um número real diferente
de zero.
54
Sistema de equações 
lineares
Sistema 
equivalente
Operações 
elementares
Mesma solução
55








16224
24482
10642
zyx
zyx
zyx
OBSERVAÇÕES
a)Quando se desejar permutar, por exemplo, a
2a. equação pela 3a. de um sistema de
equações lineares, se escreverá assim:








24482
16224
10642
zyx
zyx
zyx
23
L
56
b) Quando se desejar multiplicar
a 1a.equação, por exemplo,
por ½, se escreverá assim:








16224
24482
10642
zyx
zyx
zyx








16224
24482
5321
zyx
zyx
zyx
)
2
1
(1L
57
c) Quando se desejar substituir a 2a.equação,
por exemplo, pela soma dela com a 1a.
equação, previamente multiplicada por -2, se
escreverá assim:








16224
24482
5321
zyx
zyx
zyx








16224
14240
532
zyx
zyx
zyx
)2(
122
 LLL
Obs: sinal=da expressão*
58
15. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO
Quando num sistema de equações lineares os
termos independentes são todos nulos, o
sistema é chamado homogêneo.
Todo sistema linear homogêneo tem pelo menos uma solução,
denominada solução trivial, que é, qualquer que seja o sistema,
xi=0, xi representando as variáveis e i =1,2,3,….m.










0839
0583
0427
0352
zyx
zyx
zyx
zyx
59
O método básico de
resolver um sistema
de equações lineares
é substituir o sistema
dado por um sistema
novo que tem o
mesmo conjunto-
solução mas que é
mais simples de
resolver.
16. SOLUÇÕES DOS SISTEMAS
DE EQUAÇÕES LINEARES
60
Este sistema novo é geralmente obtido numa
sucessão de passos aplicando três tipos de
operações para eliminar sistematicamente as
incógnitas:
1.Multiplicar uma equação inteira por uma
constante não-nula.
2.Trocar duas equações entre si.
3.Somar um múltiplo de uma equação a uma
outra equação.
61
Estas 3 operações correspondem às seguintes
operações nas linhas da matriz ampliada:
1.Multiplicar uma linha inteira por uma
constante não-nula.
2.Trocar duas linhas entre si.
3.Somar um múltiplo de uma linha a uma outra
linha.
OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRE LINHAS
62
17. MÉTODO DE GAUSS
Eliminação Gaussiana
O método de Gauss (Escalonamento) consiste
em fazer operações elementares (entre
linhas) até chegar em um novo sistema
equivalente (que terá a mesma solução que o
inicial) com a forma triangular.
Para isso, as operações elementares serão
realizadas nas linhas da matriz ampliada.
63
5
3


y
x
3
4
12
124
2104
2)5(24
224
5
4
20
204








x
x
x
x
x
yx
y
y
Exemplo 6 – Eliminação Gaussiana





2132
224
yx
yx





 
2132
224
Resolver o sistema por eliminação Gaussiana:





 
2132
224
Matriz 
ampliada







2
1
122 LLL





 
2040
224
Matriz 
Triangular
Solução:
Portanto:
64
Para zerar
o elemento a21
Exemplo 7 – Eliminação Gaussiana








7322
5131
6123
321
321
321
xxx
xxx
xxx










7322
5131
6123 Matriz 
ampliada







3
1
122 LLL







3
2
133 LLL







7
2
233 LLL










7322
3
3
2
3
7
0
6123
















3
3
7
3
2
0
3
3
2
3
7
0
6123










7322
5131
6123
65
1
45
21
7
15
7
15
21
45
3
3


x
x
 
1
6)1(23
623
1
3
7
3
7
3
2
3
3
7
3
3
2
3
7
31
3
2
3
7
3
3
2
3
7
1
31
321
2
2
2
2
2
32









x
xx
xxx
x
x
x
x
x
xx
















7
15
21
45
00
3
3
2
3
7
0
6123
Matriz final
Portanto:
Solução:
1,1,1 321  xxx
66
EXERCÍCIO 1 – Eliminação Gaussiana








0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
Resolver o sistema por eliminação Gaussiana:
Ex 3a – lista 7 exercícios
67
Matemática, Contexto&Aplicações – Luiz Roberto Dante,2001 – Editora Ática
Bibliografia
Álgebra Linear - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle,2006 - Editora Pearson, Makron Books