AD1 Questão 4 2018 2 Gabarito Métodos Determinísticos I

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
(a) Racionalize e simplifique o nu´mero
√
50√
(−3)2 −√11
Sem calcular o valor de qualquer uma das ra´ızes quadradas que aparecem na racionalizac¸a˜o, diga
se este nu´mero e´ maior ou menor que −5√2. Explique seu racioc´ınio.
(b) Treˆs aumentos consecutivos de 10% em um prec¸o correspondem a qual aumento u´nico de quantos
porcento?
(c) Treˆs aumentos consecutivos e de mesmo percentual de um prec¸o, correspondem a um aumento
final de 30% do prec¸o. Determine o percentual empregado nos treˆs aumentos consecutivos
(utilize uma calculadora, se necessa´rio, mas deixe claro a conta feita e o racioc´ınio utilizado).
Soluc¸a˜o:
(a) Temos
√
50√
(−3)2 −√11 =
√
52 · 2√
9−√11
=
5
√
2
3−√11
=
5
√
2
3−√11 ·
3 +
√
11
3 +
√
11
=
5
√
2 · (3 +√11)
32 − (√11)2
=
15
√
2 + 5
√
2 · √11
9− 11
=
15
√
2 + 5
√
22
−2
= −15
√
2 + 5
√
22
2
Note que
−15
√
2 + 5
√
22
2
< −15
√
2
2
= −15
2
·
√
2 = −7,5
√
2 < −5
√
2.
Algumas observac¸o˜es sobre os ca´lculos utilizados na racionalizac¸a˜o:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – 2018-2 2
• Na˜o podemos fazer √(−3)2 = −3, isto e´, na˜o se pode “cortar”a raiz quadrada com o
quadrado. De maneira geral, na˜o e´ verdade que
√
a2 = a, pois, para nu´meros negativos
isto na˜o estara´ correto. O que sempre e´ verdade e´ que
√
a2 = |a|.
• Se a 6 0, e´ verdade que (√a)2 = a. Nas contas acima, isto foi utilizado para obter(√
11
)2
= 11.
(b) Vamos considerar um prec¸o P0 qualquer. Um aumento de 10% corresponde a multiplicar P0 por
1 + 10% = 1 +
10
100
=
110
100
=
11
10
.
Assim, o prec¸o apo´s um aumento sera´ de
P1 = P · 11
10
=
11P
10
.
O segundo aumento levara´ este prec¸o a
P2 = P1 · 11
10
=
11P
10
· 11
10
=
121P
100
.
O terceiro aumento levara´ este prec¸o a
P3 = P2·11
10
=
121P
100
·11
10
=
1331P
1000
=
1331
1000
·P = 133,1
100
·P =
(
100
100
+
33,1
100
)
·P = 1+33,1%P.
Assim, treˆs aumentos de 10% correspondem a um u´nico aumento de 33,1%.
Outra forma de pensar seria a partir de um prec¸o arbitra´rio inicial. Fac¸amos, por exemplo,
P = 100. Assim, o prec¸o apo´s um aumento sera´ de
P1 = 100 · 11
10
= 110.
O segundo aumento levara´ este prec¸o a
P2 = 110 · 11
10
=
1210
10
= 121.
O terceiro aumento levara´ este prec¸o a
P3 = 121 · 11
10
=
1331
10
= 133,1 = 100% + 33,1%.
Assim, treˆs aumentos de 10% correspondem a um u´nico aumento de 33,1%.
(c) Cada aumento de a% corresponde a uma multiplicac¸a˜o por
1 + a%.
Assim, aumentar 3 vezes um prec¸o corresponde a multiplicar por
(1 + a%)3,
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Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – 2018-2 3
logo, o prec¸o P , aumentado 3 vezes consecutivas nos dara´
P · (1 + a%)3.
Pore´m, este valor corresponde a um u´nico aumento de 30%, ou seja, a
P · (1 + 30%) = P · 100 + 30
100
= P · 130
100
= P · 13
10
,
logo
P · (1 + a%)3 = P 13
10
.
Com isso
(1 + a%)3 =
13
10
,
e, portanto,
1+a% =
3
√
13
10
= 3
√
1,3 = 1,0913928831... = 1+0,0913928831... = 1+
9,13928831...
100
= 1+9,13928831...%
Assim, um aumento de 30% corresponde a 3 aumentos consecutivos de aproximadamente 9,14%.
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