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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-2 Questa˜o 2 (2,5 pontos) De acordo com o que vimos no EP3, uma proposic¸a˜o do tipo p e q e´ falsa se pelo menos uma das duas proposic¸o˜es, p ou q, forem falsas, isto e´, se (∼ p) ou (∼ q). De forma semelhante, p ou q e´ falsa se ambas as proposic¸o˜es p e q forem falsas, isto e´, se (∼ p) e (∼ q). Vimos ainda que uma sequeˆncia da forma ∃x ∈ X|p(x) e´ falsa se ∀x ∈ X,∼ p(x), isto e´, e´ falso que ”algum x em X tal que p(x) e´ verdadeiro”se ”para todo x em X, p(x) for falso”. Da mesma forma, ∀x ∈ X,p(x) e´ falsa se ∃x ∈ X| ∼ p(x), isto e´, e´ falso que ”para todo x em X, p(x) e´ verdadeira”se ”existe algum x em X para o qual p(x) e´ falsa”. Juntando as informac¸o˜es acima, escreva a negac¸a˜o das sentenc¸as abaixo. Escreva com palavras, sem utilizar simbologia lo´gico-matema´tica. (a) Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o. (b) Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com carta˜o. (c) Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio. (d) Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio. (e) Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o ou existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente. (f) Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro e todos os clientes que compraram ontem compraram um presente. Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – 2018-2 2 Nos itens acima, observe que a expressa˜o ”que comprou ontem”determina o conjunto de clientes dos quais se fala, ou seja, fazem o papel do conjunto ”X”nas expresso˜es ”∃x ∈ X”e ”∀x ∈ X”. Assim, por exemplo, a expressa˜o, ”Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o”pode ser pensada como ”∀c ∈ X, ’c comprou ontem’ ou ’c pagou com o carta˜o’ ”; pensar assim ajudara´ a escrever as negac¸o˜es. Soluc¸a˜o: (a) Algum cliente que comprou ontem, na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o. Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma: Todo cliente que comprou ontem, pagou em dinheiro ou com o carta˜o. m ∀c ∈ X,′ c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′ Assim, a negac¸a˜o sera´ ∃c ∈ X | ∼ (′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′) m ∃c ∈ X | ∼ (′c pagou em dinheiro′) e ∼ (′c pagou com o carta˜o′) m Algum cliente que comprou ontem, na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o (b) Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com carta˜o Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma: Algum cliente que comprou ontem pagou em dinheiro ou com carta˜o. m ∃c ∈ X | ′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′ Assim, a negac¸a˜o sera´ ∀c ∈ X,∼ (′c pagou em dinheiro′ ou ′c pagou com o carta˜o′) m ∀c ∈ X,∼ (′c pagou em dinheiro′) e ∼ (′c pagou com o carta˜o′) m Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro e na˜o pagou com o carta˜o Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – 2018-2 3 (c) Algum cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um pro- duto para uso pro´prio Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma: Todo cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio m ∀c ∈ X,′ c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′ Assim, a negac¸a˜o sera´ ∃c ∈ X | ∼ (′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′) m ∃c ∈ X | ∼ (′c adquiriu um presente′) ou ∼ (′c adquiriu um produto para uso pro´prio′) m Algum cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um produto para uso pro´prio (d) Todo cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um pro- duto para uso pro´prio Pode-se chegar a esta conclusa˜o da seguinte forma: Algum cliente que comprou ontem adquiriu um presente e um produto para uso pro´prio m ∃c ∈ X | ′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′ Assim, a negac¸a˜o sera´ ∀c ∈ X,∼ (′c adquiriu um presente′ e ′c adquiriu um produto para uso pro´prio′) m ∀c ∈ X,∼ (′c adquiriu um presente′) ou ∼ (′c adquiriu um produto para uso pro´prio′) m Todo cliente que comprou ontem na˜o adquiriu um presente ou na˜o adquiriu um produto para uso pro´prio (e) Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o e todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um presente Para chegar a esta conclusa˜o, podemos denotar p :′ Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o′ q :′ existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente.′ Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 1 – 2018-2 4 Queremos escrever a negac¸a˜o de ”p ou q”, que sera´ ”∼ p e ∼ q”. Temos ∼ p :′ Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o′ ∼ q :′ Todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um presente.′ Assim, a negac¸a˜o de ” ’Todos os clientes que compraram ontem pagaram em carta˜o’ ou ’existe algum cliente que comprou ontem que tenha comprado um presente’ ”e´ ” ’Algum cliente que comprou ontem na˜o pagou em carta˜o’ e ’Todo cliente que comprou ontem, na˜o comprou um presente’ ”. (f) Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro ou algum cliente que comprou ontem na˜o comprou um presente Para chegar a esta conclusa˜o, podemos denotar p :′ Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro′ q :′ todos os clientes que compraram ontem compraram um presente.′ Queremos escrever a negac¸a˜o de ”p e q”, que sera´ ”∼ p ou ∼ q”. Temos ∼ p :′ Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro′ ∼ q :′ Algum cliente que comprou ontem na˜o comprou um presente.′ Assim, a negac¸a˜o de ” ’Existe algum cliente que tenha comprado ontem que tenha pago em dinheiro’ e ’todos os clientes que compraram ontem compraram um presente’ ”e´ ” ’Todo cliente que comprou ontem na˜o pagou em dinheiro’ ou ’algum cliente que comprou ontem na˜o comprou um presente’ ”. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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