AULAS DE PROBABILIDADE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRÁRIAS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA RURAL 
PROF.ª CAMILA APARECIDA DA SILVA MARTINS 
ALEGRE-ES 
2012 
ESTATÍSTICA BÁSICA 
CAP. 3 – PROBABILIDADES 
 
INTRODUÇÃO 
 
A teoria matemática da probabilidade fornece 
instrumentos para construção e análise de 
modelos matemáticos relativos a fenômenos 
aleatórios. 
 
Ao estudarmos um fenômeno aleatório, temos 
diante de nós um experimento cujo resultado não 
pode ser previsto. 
Historicamente, o propósito original da teoria das 
probabilidades limitava-se à descrição e ao estudo 
dos jogos de azar e quase todo o esforço era 
concentrado no cálculo do valor de certas 
probabilidades de interesse. 
 
Entretanto, a obtenção de valores numéricos de 
probabilidade não é o principal objetivo da teoria, e 
assim surge a descoberta de leis gerais, e a 
construção de modelos teóricos satisfatórios. 
Com a advento da teoria das probabilidades, foi 
possível estabelecer as distribuições de 
probabilidade, consideradas hoje a espinha dorsal 
da teoria estatística, pois todos os processos 
inferenciais são aplicações de distribuições de 
probabilidade. 
 
 Assim, o conhecimento dos conceitos advindos da 
teoria das probabilidades é de grande importância 
para uma correta utilização da técnica estatística. 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 MODELO DETERMINÍSTICO 
 
• É aquele modelo em que, a partir das condições 
em que o experimento é realizado, pode-se 
determinar seu resultado. 
 
• Sabe-se, por exemplo, que a expressão: 
 
e = - 4,9 t2 + vot 
 
• Representa a distância vertical percorrida por um 
objeto acima do solo, sendo vo a velocidade 
inicial e t o tempo gasto na queda. Portanto, 
conhecidos os valores de vo e t, o valor de e fica 
implicitamente determinado. 
 
• É importante observar que existe uma relação 
definida entre t e e que determina a quantidade 
no primeiro membro da equação, se aquelas do 
segundo membro forem fornecidas. 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 MODELO PROBABILÍSTICO 
 
• É aquele modelo em que as condições de 
execução de um experimento não determinam o 
resultado final, mas sim o comportamento 
probabilístico do resultado observável. 
 
• Considere-se, por exemplo, a seguinte situação: 
deseja-se determinar qual a precipitação 
pluviométrica que ocorrerá numa determinada 
localidade como resultado de uma tempestade 
que se avizinha. 
 
• Dispõe-se de informações sobre pressão 
barométrica em vários pontos, variação de 
pressão, velocidade do vento, entre outras 
informações. 
 
• Embora, essas informações sejam importantes, 
não são capazes de responder a questão 
levantada, qual seja, a de quanta chuva irá cair. 
EXPERIMENTOS PROBABILÍSTICOS 
OU ALEATÓRIOS 
 São aqueles experimentos cujos resultados 
podem não ser os mesmos, ainda que sejam 
repetidos sob condições essencialmente idênticas. 
 
 São exemplos de experimentos probabilísticos: 
 E1: Lançar uma moeda 10 vezes e observar o 
número de caras obtidas. 
 E2: Selecionar uma carta de um baralho com 52 
cartas e observar seu “naipe”. 
 E3: Jogar um dado ao ar e observar a sua face 
superior. 
ESPAÇO AMOSTRAL 
 O conjunto de todos os possíveis resultados de 
um experimento ou, em outras palavras, é o 
conjunto universo relativo aos resultados de um 
experimento. Esse conjunto será representado pela 
letra S. 
 
 Assim, pode-se dizer que, a cada experimento 
aleatório sempre estará associado um conjunto de 
resultados possíveis ou espaço amostral. 
 Aos experimentos aleatórios exemplificados 
anteriormente estão associados os seguintes 
espaços amostrais, respectivamente: 
 
• S1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
• S2 = {ouro, paus, copas, espadas} 
• S3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
EVENTOS 
 Denomina-se evento a todo conjunto particular 
de resultados de S ou ainda, a todo subconjunto 
de S. 
 
 Será útil considerarmos o espaço todo S e o 
conjunto vazio  como eventos. O primeiro é 
denominado evento certo e o segundo, evento 
impossível, e temos: 
 
P(S) = 1 
P() = 0 
 
 Em particular, se S é um espaço amostral 
discreto ou enumerável composto de n pontos 
amostrais, existem 2n subconjuntos ou eventos 
que podem ser formados a partir de S. 
 
 O conjunto que reúne todos esses subconjuntos é 
chamado de espaço de eventos ou classe de 
eventos. 
 Exemplo 1: Seja S = {1, 2, 3} 
• Temos então, n = 3  23 = 8 eventos 
 
 A1 = {}, A2 = {1} A3 = {2} A4 = {3} 
 A5 = {1, 2} A6 = {1, 3} A7 = {2, 3} A8= {1, 2, 3} 
 
 No caso contínuo, os eventos são colocados na 
forma de intervalos, como por exemplo: 
• B = {a  x  b}. 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS 
 Dois eventos são mutuamente exclusivos se, e 
somente se, a ocorrência de um impede a 
ocorrência do outro. 
 
 Correspondentemente, caracterizam-se, na 
teoria dos conjuntos, por dois conjuntos 
disjuntos, isto é, que não possuem nenhum 
ponto em comum. 
 Como exemplo, considere-se os seguintes casos: 
 
(i)No lançamento de um dado, a ocorrência de uma 
face elimina a possibilidade de ocorrência das 
outras cinco. 
 
(ii)Seja S o espaço amostral referente à retirada de 
uma carta de um baralho de 52 cartas. Seja A o 
evento retirada de um ás e B o evento retirada de 
uma carta de ouro. Vê-se que a possibilidade de 
ocorrer A e B ao mesmo tempo não está 
descartada, ou seja, ocorrer ás de ouro. Logo, os 
eventos A e B não são mutuamente exclusivos. 
 Em outras palavras, dois eventos A e B são 
mutuamente exclusivos se o seu conjunto 
interseção for vazio, ou seja: 
 
A  B =   A e B são disjuntos. 
EVENTOS INDEPENDENTES 
 Dois eventos são independentes se a 
probabilidade de que ocorram juntos é igual ao 
produto das probabilidades de que ocorrem 
separado. 
 
P(A  B) = P(A) x P(B) 
 
 Esta é a condição de independência de dois 
eventos. 
 Como exemplo, considere a seguinte situação: 
• Um dado e uma moeda são jogados ao mesmo 
tempo. Qual é a probabilidade de ocorrer cara na 
moeda e face 6 no dado? (Na Tabela 1 está o S). 
Dado Moeda 
Cara Coroa 
1 1; Cara 1; Coroa 
2 2; Cara 2; Coroa 
3 3; Cara 3; Coroa 
4 4; Cara 4; Coroa 
5 5; Cara 5; Coroa 
6 6; Cara 6; Coroa 
Tabela 1. Eventos possíveis no jogo de um dado e uma 
moeda 
 A Tabela 1 mostra que seis dos 12 eventos do 
espaço amostral (S) correspondem a saída de 
cara na moeda. Então a probabilidade desse 
evento é: 
P Cara = 
6
12
=
1
2
 
 A Tabela 1 também mostra que dois dos 12 
eventos correspondem à saída de seis no dado. A 
probabilidade é: 
P 6 = 
2
12
=
1
6
 
 Na mesma Tabela, você vê que apenas um dos 
12 eventos corresponde ao que foi pedido: cara 
na moeda e 6 no dado – um conjunto interseção. 
A probabilidade é: 
P Cara ∩ 6 = 
1
12
 
 Então, para este exemplo: 
P Cara ∩ 6 =P Cara) x P(6 =
1
2
x
1
6
=
1
12
 
 Diferença nos conceitos: 
 
 Eventos mutuamente exclusivos – se um evento 
ocorre, o outro evento não pode ocorrer – não são 
independentes. 
 
 Pense no jogo de uma moeda: quando se joga uma 
moeda, não há como ocorrer cara e coroa ao mesmo 
tempo. Logo, esses eventos são mutuamente 
exclusivos. Eles são independentes? 
 
• Não: a probabilidade de sair cara é 1/2, mas dada a 
condição de que ocorreu coroa, é zero. Então a 
probabilidade de sair cara muda, se sair coroa. 
Pense nisso. 
CONCEITO DE PROBABILIDADE 
 Como a teoria das probabilidades está, 
historicamente, ligada aos jogosde azar, esta 
associação gerou inicialmente um conceito 
chamado conceito clássico ou probabilidade “a 
priori”, devido a Pierre S. Laplace. 
 
 O conceito de frequência relativa como 
estimativa de probabilidade ou probabilidade “a 
posteriori” surgiu posteriormente, através de 
Richard E. Von Mises. 
CONCEITO CLÁSSICO OU PROBABILIDADE 
“A PRIORI” 
 Seja E um experimento e S um espaço amostral, a 
ele associado, composto de n pontos amostrais. 
 
 Define-se a probabilidade de ocorrência de um 
evento A, indicada por P(A), como sendo a relação 
entre o número de pontos favoráveis (f) a 
realização do evento A e o número total de pontos 
(n), ou seja: 
 
 
 
 
 
n
f
AP 
 n = f + c, onde: f = número de pontos favoráveis 
ao evento A e c = número de pontos contrários 
a realização do evento A. 
 
 Podemos completar definindo a probabilidade de 
realização do acontecimento contrário, indicada 
por , onde: 
 
 
 
 
 Obviamente: P(A) + = 1 = 1 - P(A). 
 
 AP
 
n
c
AP 
 AP
 AP
 Exemplo 2: 
 Seja E o experimento relativo ao lançamento de um 
dado. Seja A o evento ocorrência da face 6. 
Considerando que os pontos de S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
são equiprováveis, isto é, cada ponto de S tem a 
mesma probabilidade de ocorrer, tem-se que: 
 
6
1
AP 
 Pois o S possui 6 pontos dos quais um é 
favorável a ocorrência do evento A. 
 Seja o espaço amostral referente ao número de 
caras obtidos em 3 lances de uma moeda e A o 
evento ocorrência de uma cara. 
 Neste caso: 
 
S = {0, 1, 2, 3} e A = {1} 
 
 Aqui, o conceito clássico não pode ser 
imediatamente aplicado pois, os pontos de S não 
são equiprováveis, ou seja, P A ≠ 
1
4
 . 
 Exemplo 3: 
 Observando-se o espaço amostral original: 
 
 S = {cacaca, cacaco, cacoca, cocaca, cacoco, 
cocaco, cococa, cococo} 
 
 Vê-se que A = {cacoco, cocaco, cococa} e, logo: 
 
 
 
 Já que, nesse caso, S é equiprovável. 
 
8
3
AP 
 Fatos: 
 
 O conceito clássico só pode ser utilizado em 
situações onde o espaço amostral é enumerável, 
finito e equiprovável. 
 
 Sendo , no caso infinito todos os eventos 
teriam probabilidade zero de ocorrer. 
 
 
n
f
AP 
FREQUÊNCIA RELATIVA OU PROBABILIDADE 
“A POSTERIORI” 
 Seja E um experimento e A um evento. Se após 
n realizações do experimento E, n suficientemente 
grande, forem observados m resultados 
favoráveis à A, então uma estimativa da 
probabilidade P(A) é dada pela frequência 
relativa: n
m
f 
. 
 Se jogarmos um dado 90 vezes e obtivermos o 
resultado da Tabela a seguir, teremos na frequência 
relativa a probabilidade “a posteriori” e na 
frequência esperada relativa, a probabilidade “a 
priori”. 
 
 Quando o número de tentativas aumenta 
consideravelmente, as duas se aproximam. 
 Exemplo 4: 
Tabela 1. Resultado hipotético do lançamento de um dado 90 vezes consecutivos. 
Face Nº 
Frequência 
observada 
Frequência 
relativa 
Frequência 
esperada 
Frequência 
esperada 
relativa 
1 12 12/90 = 0,133 15 1/6 = 0,167 
2 17 17/90 = 0,189 15 1/6 = 0,167 
3 15 15/90 = 0,167 15 1/6 = 0,167 
4 18 18/90 = 0,200 15 1/6 = 0,167 
5 10 10/90 = 0,111 15 1/6 = 0,167 
6 18 18/90 = 0,200 15 1/6 = 0,167 
 90 1,000 
 
 Exemplo 5: 
 Em 660 lançamentos de uma moeda, foram 
observadas 310 caras. Qual é a probabilidade de 
obter-se coroa, em um lançamento dessa 
moeda? 
 Aqui, a estimativa f da probabilidade p será: 
0,5303
660
350
f 
CONCEITO MODERNO OU AXIOMÁTICO 
 Seja E um experimento e S um espaço amostral 
associado ao E. A cada evento A de S 
associaremos um número real P(A), denominado 
probabilidade de ocorrência do evento A, se forem 
satisfeitas as seguintes condições ou axiomas: 
i. P(A)  0, para qualquer evento A em S. 
ii. P(S) = 1. 
iii. Se A e B são dois eventos de S e são 
mutuamente exclusivos, então: 
 P(A  B) = P(A) + P(B) 
 
. 
 Este último axioma pode ser generalizado para o 
caso de um número finito de eventos mutuamente 
exclusivos, ou seja: 
 

n
1i
i
AP
P(A1  A2  ........  An ) = P(A1) + P(A2) + ....... + P(An) = 
 Se Ai  Aj =  para todo par (i, j) com i  j. 
 Decorre daí, duas propriedades importantes, ou 
sejam: 
 0  P(A)  1 
 P(A ) = P(S) – P(A) = 1 – P(A) 
ESPAÇO AMOSTRAL FINITO 
 Seja S um espaço amostral finito: 
S = (a1, a2, ... , an) 
 
 Um espaço de probabilidade finito é obtido 
associando-se a cada ponto ai  S, um número 
real pi, chamado de probabilidade de ai, 
satisfazendo às seguintes condições: 
i. pi  0, para i = 1, 2, ..... , n. 
ii. p1 + p2 + .... + pn = 
 
1p
n
1i
i


ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS 
 Seja S um espaço de probabilidade finito. Se 
cada ponto de S tem a mesma probabilidade de 
ocorrer, então o espaço amostral chama-se 
equiprovável ou uniforme. 
 
 Em particular, se S contém n pontos, então a 
probabilidade de cada ponto será 
1
n
. 
 
 Por outro lado, se um evento A contém r pontos, 
então P(A) = 
r
n
. 
 
Este método de avaliar P(A) é frequentemente 
enunciado da seguinte maneira: 
 
Sdeelementosdenúmero
Adeelementosdenúmero
AP 
ou 
 
 
(S)n
(A)n
ocorreSamostralespaçooqueemvezesdenúmero
ocorrerpodeAqueemvezesdenúmero
AP 
TEOREMAS DO CÁLCULO 
DE PROBABILIDADES 
 O cálculo de probabilidades, além dos axiomas, 
possui nos teoremas a serem enunciados um 
poderoso instrumento de auxílio. 
 
 Os diagramas de Venn, são úteis na 
compreensão tanto dos teoremas como dos 
processos de demonstração. 
Teorema 1. Se  é um conjunto vazio, então P() = 0 
 Demonstração: 
 Seja A um evento qualquer. 
 Considerando que: A   = . 
• Temos que: P(A  ) = P(A) + P() (Axioma 3) 
• Como A   = A, então: P(A) = P(A) + P(). 
• Logo: P() = P (A) – P(A) 
• P() = 0 
Teorema 2. Se A é o complemento do evento A, 
então: P(A ) = 1 – P(A). 
Demonstração: 
 Considere que: S = A  A e A ∩ A = . Então: 
• P(A  A ) = P(A) + P(A ). 
• Assim: P(S) = P(A  A ) = P(A) + P(A ); 
• 1 = P(A) + P(A ). 
• P(A )= 1 - P(A). 
A 
S 
A 
P(S) = 1 
 Exemplo 6: 
 Um agente de compras declara que há uma 
probabilidade de 0,90 de que um fornecedor 
enviará uma carga livre de peças defeituosas. 
 
 Utilizando o complemento podemos afirmar que 
há uma probabilidade de 1 – 0,90 = 0,10 de que a 
carga conterá peças defeituosas. 
Teorema 3. Se A e B são dois eventos quaisquer e 
B é o complemento do evento B, então: 
P(A  B ) = P(A) – P(A  B). 
S 
A B 
A  B A  B 
A = (A  B ) + (A  B) 
A = (A  B ) + (A  B) 
P (A) = P (A  B ) + P (A  B), 
pois A  B e A  B são mutuamente exclusivos. 
 
 Logo: P (A  B ) = P (A) - P (A  B). 
 
 FATO: 
• Do mesmo modo: P( A  B) = P(B) - P(A  B) 
 
 Exemplo 7: 
 Jogar um dado e observar o resultado. 
• S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 
• Sejam os eventos: 
• A = {a face é potência de 2} e 
• B = {a face é par}. 
 
• Então, A = {2, 4} e B = {2, 4 e 6}. 
• P(A) = 2/6 e P(B) = 3/6 
 
 
Teorema 4. Teorema da Soma de Probabilidades 
 É útil quando temos dois eventos e estamos 
interessados em conhecer a probabilidade de que 
pelo menos um deles ocorra. 
 
 Dados dois eventos A e B, estamos interessados 
em conhecer a probabilidade de que o evento A 
ou evento B ocorra, ou ambos ocorram: 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)A 
A  B A  B 
B 
A  B 
S 
 
B) A ( B) (A B 
)A (B A B A 





 
 
 
B) A ( B) (A P P(B) 
)A (B A P B) P(A 





• A e (A  B) são mutuamente exclusivos. 
• (A  B) e (A  B) são mutuamente exclusivos. 
 
B) A ( P B) (A P P(B) 
)A (B P (A) P B) P(A 





 Subtraindo-se membro a membro, tem-se: 
 
P(A  B) – P(B) = P(A) + P(A  B) – P(A  B) - P(A  B) 
 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
 
 Fato: 
• Para três eventos quaisquer A, B e C, temos que: 
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A  B) - P(A  C) - P(B  C) + P(A  B  C) 
Demonstração: 
A  B  C = A  (B  C) 
P(A  B  C) = P[A  (B  C)] 
P(A  B  C) = P(A) + P(B  C) – P[A  (B  C)] 
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(B  C) - P[(A  B)  (A  C)] 
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(B  C) – [P(A  B) + P(A  C) - P(A  B  C)] 
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A  B) – P(A  C) - P(B  C) +P(A  B  C) 
 Fato: 
• Para quatro eventos quaisquer A, B, C e D, temos 
que: 
P(A  B  C  D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) – P(A  B) - P(A  C) - P(A  D) - 
P(B  C) - P(B  D) - P(C  D) + P(A  B  C) + P(A  B  D) + P(A  C  D) + 
P(B  C  D) - P(A  B  C  D) 
A  B  C  D = A  (B  C  D) 
P(A  B  C  D) = P[(A  B)  (C  D)] 
P(A  B  C  D) = P(A  B) + P(C  D) – P[(A  B)  (C  D)] 
P(A  B  C  D) = P(A) + P(B) - P(A  B) + P(C) + P(D) – P(C  D) – P(B  D) 
– P(C  D) - P[(A  B)  (C  D)] 
P(A  B  C  D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) – P(B  C) – P(B  D) – P(C  D) 
+ P(A  B  C) – [P(A  B) + P(A  C) + P(A  D) - P(A  B  C) - 
P(A  B  D) - P(A  C  D) + P(A  B  C  D) ] 
P(A  B  C  D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) – P(B  C) – P(B  D) – P(C  D) 
+ P(A  B  C) – [P(A  B) + P(A  C) + P(A  D) - P(A  B  C) - P(A  B  D) - 
P(A  C  D) + P(A  B  C  D) ] 
P(A  B  C  D) = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) – P(A  B) - P(A  C) - P(A  D) – 
P(B  C) – P(B  D) – P(C  D) + P(A  B  C) + P(A  B  D) + 
P(A  B  D) + P(A  C  D) - P(A  B  C  D) 
Teorema 5. Se A  B, então P(A)  P(B) 
 Demonstração: 
S 
B A 
 Podemos escrever: 
• B = A  (A  B) 
• P(B) = P(A) + P(A  B), pois A e (A  B) são 
mutuamente exclusivos. 
• Logo: P(A  B) = P(B) – P(A), mas pelo axioma 
(i), vem: P(B) – P(A) ≥ 0. 
• Tal que: P(A) ≤ P(B) 
Teorema 6. Para um evento A qualquer, 0  P(A)  1 
 Demonstração: 
S 
A 
• P(A)  0 pelo axioma (i) 
• Resta provar que P(A)  1 
• Pelo Teorema 5, A  S, logo: P(A)  P(S) 
• Pelo axioma (ii), tem-se que P(S) = 1, logo: 
 P(A)  1  0  P(A)  1 
EXERCÍCIOS 
1.Um algarismo é escolhido dentre os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5 e em seguida uma segunda seleção é 
feita entre os quatro algarismos restantes. Admita 
que os 20 resultados possíveis tem a mesma 
probabilidade. Determine a probabilidade de que 
um algarismo ímpar seja escolhido: 
a) Na primeira vez; 
b) Na segunda vez; 
c) Ambas as vezes; 
d) Se Xi é o algarismo obtido na i-ésima seleção, 
calcular P(2X1 + X2  8). 
 2
a
 seleção (X2) 
 S 1 2 3 4 5 
 1 (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) 
1
a
 seleção (X1) 2 (2, 1) (2, 3) (2, 4) (2, 5) 
 3 (3, 1) (3, 2) (3, 4) (3, 5) 
 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 5) 
 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) 
 
 Uma vez que os resultados são equiprováveis e S contém 
20 pontos. 
 Cada ponto de S ocorre com probabilidade igual a 1/20. 
.  Resposta: 
a) A = {ímpar na primeira vez} 
 
P A =
12
20
=
3
5
 
 
5
3
10
6
!3!2
!3.4.5
!1!1
!1.2
.
!2!1
!2.3
!2)(5!2
!5
!1)(2!1
!2
.
!1)(3!1
!3
C
C.C
P(A)
2
5
1
2
1
3 



 
P(A) = P(I2a | I1a) . P(I1a) + P(P2a | I1a) . P(I1a) = 
5
3
20
12
5
3
.
4
2
5
3
.
4
2

 3/5 
 2/5 
 I 
 P 
 I 
 P 
 2/4 
 2/4 
 I 
 P 
 3/4 
 1/4 
b) B = {ímpar na segunda vez} 
 
P B =
12
20
=
3
5
 
 
5
3
10
6
!3!2
!3.4.5
!1!1
!1.2
.
!2!1
!2.3
!2)(5!2
!5
!1)(2!1
!2
.
!1)(3!1
!3
C
C.C
P(B)
2
5
1
2
1
3 



 3/5 
 2/5 
 I 
 P 
 I 
 P 
 2/4 
 2/4 
 I 
 P 
 3/4 
 1/4 
P(B) = P(I2a | P1a) . P(P1a) + P(I2a | I1a) . P(I1a) = 
5
3
20
12
5
3
.
4
2
5
2
.
4
3

c) A  B = { ambas as vezes} 
P A  B =
6
20
=
3
10
 
10
3
20
6
!3!2
!3.4.5
!2!1
!2
.
!1!1
!2.1.3
!2)(5!2
!5
!0)(2!1
!2
.
!2)(3!1
!3
C
C.C
 B) P(A 
2
5
0
2
2
3 



 
 3/5 
 2/5 
 I 
 P 
 I 
 P 
 2/4 
 2/4 
 I 
 P 
 3/4 
 1/4 
P(A) = P(I2a / I1a) . P(I1a) = 
10
3
20
6
5
3
.
4
2

 X2 
 
(2X1 + X2) 
1 2 3 4 5 
 1 4 5 6 7 
X1 2 5 7 8* 9* 
 3 7 8* 10* 11* 
 4 9* 10* 11* 13* 
 5 11* 12* 13* 14* 
 
P(2X1 + X2 ) = 
20
13
d) P(2X1 + X2  8): 
2. Sejam A, B e C três eventos arbitrários. Escreva 
as expressões correspondentes aos eventos 
abaixo e as fórmulas para o cálculo das 
probabilidades em termos de P(A), P(B), P(C), 
P(A  B), P(A  C), P(B  C) e P(A  B  C). 
a) A não ocorrência dos três eventos: 
)CBAP()CBAP(CBACBA 
 
 
 = 1 – P(A  B  C) 
 = 1 – [ P(A) + P(B) + P(C) - P(A  B) - P(A  C) - P(B  C) + P(A  B  C)] 
b) Pelo menos um dos três eventos ocorre: 
A  B  C 
P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A  B) - P(A  C) – 
P(B  C) + P(A  B  C) 
3. Uma caixa contém 6 bolas vermelhas, 4 azuis e 
3 pretas. Se uma pessoa escolhe aleatoriamente 
uma destas bolas, qual é a probabilidade de 
escolher: 
a) 1 bola vermelha 
b) 1 bola azul ou preta 
Resposta: 
a) P(V) = 
6
13
 
b) P(A  P) = 
4 + 3
13
=
7
13
 
DIAGRAMA DE ÁRVORE 
 Um experimento E consiste em se jogar uma 
moeda e jogá-la pela segunda vez, caso ocorra 
uma cara. Se uma coroa ocorre no primeiro 
lançamento, então um dado é lançado uma única 
vez. Para listar os elementos de S, temos que 
construir um diagrama de árvore: 
C 
K 
C 
K 
1 
6 
2 
3 
4 
5 
S = {(C, C) (C, K) (K, 1) ... (K,6) 
Probabilidade Condicional 
 A noção de probabilidade condicional é uma 
ferramenta básica da teoria das probabilidades. 
As considerações seguintes conduzem de modo 
natural à definição formal. 
 
 Exemplo: 
• Suponha que a Tabela a seguir represente uma 
possível divisão dos alunos matriculados em uma 
Universidade Federal, num dado ano. 
 
Curso 
Sexo 
Homens (H) Mulheres (F) Total 
Geologia (G) 70 40 110 
Biologia (B) 15 15 30 
Estatística (E) 10 20 30 
Computação (C) 20 10 30 
Total 115 85 200 
 
 Vamos indicar por A o evento que ocorre quando, 
escolhendo-se ao acaso um aluno da 
Universidade. Se ele for um estudante de 
Biologia, Geologia, Estatística, Computação, 
Homens e Mulheres. 
 
 Desta forma, observamos que: 200
30
N
N
P(A) A 
200
115
N
N
P(H) H 
200
15
N
N
H)P(A AH 
, 
 
 
200
130
200
15
200
115
200
30
H)P(AP(H)P(A)H)P(A 
 Podemos considerar agora a subpopulação 
formada pelos homens. 
 
 A probabilidade de que um aluno da Universidade, 
escolhido ao acaso nessa subpopulação, seja um 
estudante de Biologia é igual a: Onde NAH é o número de homens estudantes de 
Biologia. O resultado é então: 
H
AH
N
N
115
15
 O símbolo mais comumente adotado é P( A | H), 
que pode ser lido como a “probabilidade do 
evento A (estudante de Biologia) dado o evento H 
(que a pessoa escolhida seja do sexo 
masculino)”. Em linguagem Matemática: 
(H)P
)HAP(
N
N
)H|P(A
H
AH


 É claro que cada subpopulação pode ser 
considerada como sendo uma nova população. 
 
 termo subpopulação é utilizado por conveniência 
de linguagem, servindo para indicar que existe 
uma população maior sendo considerada. 
 
 Definição: Seja B um evento cuja probabilidade é 
positiva. Para um evento A, arbitrário, definimos. 
(B)P
)BAP(
)B|P(A


 A quantidade assim definida será chamada de 
probabilidade condicional de A na hipótese B 
(ou dado B). No caso de todos os pontos 
amostrais terem probabilidades iguais, P(A / B) é o 
quociente do nº de pontos amostrais comuns a A e 
B, pelo número de pontos de B. B
AB
N
N
 Do mesmo modo tem-se que: 
0P(A),
(A)P
)BAP(
)A|P(B 


. 
 Considerar probabilidades condicionais de vários 
eventos com relação a uma hipótese particular H é 
equivalente a escolhermos H como um novo 
espaço amostral, com probabilidades proporcionais 
às probabilidades originais. 
 
 O fator de proporcionalidade P(H) é necessário 
para que se tenha a probabilidade total do novo 
espaço igual a 1. 
 Essa formulação mostra que todos os teoremas 
gerais sobre probabilidades são válidos também 
para probabilidades condicionais, com respeito a 
qualquer hipótese particular H. 
 
 Por exemplo, a relação fundamental para a 
probabilidade da ocorrência de A ou B ou ambos, 
toma a forma: 
   H|B)(AP)H|B(P)H|A(PH/B)(AP 
 Se A e B forem mutuamente exclusivos, então: 
  )H|B(P)H|A(PH|B)(AP . 
 Para o exemplo mencionado, se A e B indicam, 
respectivamente, os eventos “alunos 
matriculados em Estatística” e “aluno é mulher”, 
então: 200
20
)B(AP 
200
30
P(A) 
3
2
20030
20020
)A|(BP 
, 
 e, portanto, 
 Dada a informação da ocorrência de um evento, 
teremos a redução do espaço amostral. A 
probabilidade condicional pode ser avaliada 
diretamente no espaço amostral reduzido. 
 No exemplo anterior: 3
2
30
20
)B|(AP 
. 
Exemplo 9: 
Exemplo 10: 
 Dois dados são lançados: 
 Considere os eventos: 
• A = {(X1, X2) | X1 + X2 = 10} 
• B = {(X1, X2) | X1 > X2} 
 Avaliar: 
a) P(A) b) P(B) c) P(A / B) d) P(B / A) 
 Solução: 
a) A = {(6,4) (5,5) (4, 6)} 
P(A) = 3/36 = 1/12 
b) P(B) = 15/36 
c) P(A | B) = 
P(A ∩ B)
P(B)
= 
1/36
15/36
= 
1
15
 
d) P(B | A) = 
P(A ∩ B)
P(A)
= 
1/36
3/36
= 
1
3
 
Teorema do Produto das Probabilidades 
 Vimos que a probabilidade condicional de A na 
hipótese H (ou dado H) é: 
 
 
 
 A fórmula acima é frequentemente utilizada na 
forma de produto: 
 
 
 Esse resultado é conhecido pelo nome de 
Teorema do Produto das Probabilidades (ou 
Teorema das Probabilidades Compostas). 
 
(H)P
)HAP(
)H|P(A


P(H).H)|P(AH)P(A 
 Para generalizar esse resultado para três eventos 
A, B, C, tome em primeiro lugar H = B  C como 
hipótese e, então, aplique a fórmula anterior uma 
vez mais; segue-se então que: 
  P(H).H)|P(A.C)(B|APC)BP(A 
 As generalizações para quatro ou mais eventos 
saem diretamente pelo mesmo processo. 
 Enfim: “A probabilidade da ocorrência simultânea 
de dois eventos A e B, do mesmo espaço 
amostral, é igual ao produto da probabilidade de 
um deles pela probabilidade condicional do outro, 
dado o primeiro.” 
Exemplo 11: 
 Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas 
peças são retiradas, uma após a outra, sem 
reposição. Qual a probabilidade de que ambas 
sejam boas? 
 Solução: 
• A = a 1ª peça é boa e B = a 2ª peça é boa 
• P(A ∩ B) = P(A) . P(B / A) = 
8
12
. 
7
11
 = 
14
33
 = 0,4242 
Independência Estocástica ou Probabilística 
 A probabilidade condicional P(A | H) não é, em 
geral, igual a P(A). No caso em que P(A | H) = 
P(A). Diremos que A é estocasticamente 
(probabilisticamente) independente de H. 
P(H).P(A)H)P(A 
 Essa equação é simétrica em A e H, e mostra que 
sempre que A for estocasticamente independente 
de H, o mesmo se pode dizer de H com relação a 
A. É preferível, portanto, começarmos com a 
seguinte definição simétrica. 
 Definição: Dois eventos A e H dizem-se 
estocasticamente independentes ou simplesmente, 
independentes, se for válida a igualdade: 
 Esta definição engloba a situação na qual P(H) = 0, 
caso em que P(A | H) não é definida. 
 
 O termo estatisticamente independente é sinônimo 
de independência estocástica. 
P(H).P(A)H)P(A 
 Suponhamos agora três eventos A, B e C, tais 
que: 








P(C).P(B)C)P(B
P(C).P(A)C)P(A(a)
P(B).P(A)B)P(A
P(C).P(B).P(A)C)BP(A(b) 
 são independentes dois a dois. 
 
 Se os eventos A, B e C satisfazem a (a) e (b), eles 
são mutuamente independentes. 
 
 Definição: Os n eventos A1, A2, ......., An dizem-se 
mutuamente independentes, se para todas as 
combinações 1  i < j < k < ....  n, as regras de 
multiplicação se aplicam. Teremos: 
)P(A.)P(A)AP(A
jiji
 )P(A.)P(A.)P(A)AAP(A
kjikji
 )P(A........)P(A.)P(A)A.......AP(A
njinji

.................................................. 
.................................................. 
O número total de equações definidas é 2n – n –1. 
• A primeira linha corresponde a C
2
n
 equações, a 
segunda C
3
n
, etc. Temos, portanto: 
• C
2
n
 + C
3
n
 + ... + C
n
n
 = (1+1)n - C
1
n
 - C
0
n
 = 2n - n -1 
• Condições, que devem ser satisfeitas. Por outro 
lado, as C
2
n
 condições da primeira linha são 
suficientes para garantir independência dois a dois. 
Teorema da Probabilidade Total 
 Sejam B1, B2, ... e Bn eventos mutuamente 
exclusivos e exaustivos (B1, B2, ..... e Bn é um 
conjunto de eventos mutuamente exclusivos e 
exaustivos se qualquer dos eventos Bi e Bj não 
podem ocorrer ao mesmo tempo e um deles deve 
ocorrer. 
 Enunciaremos agora um teorema útil que 
relaciona a probabilidade de um evento com 
probabilidades condicionais, o qual é chamado 
Teorema da Probabilidade Total. 
 Simbolicamente, Bi  Bj = , para i  j e B1  B2 
 ....  Bn = S). Então, para um evento arbitrário 
A, tem-se: 




n
1i
ii
nn2211
)P(B.)B|P(AP(A)
)P(B.)B|P(A....)P(B.)B |P(A )P(B.)B |P(A P(A)
Demonstração: Seja o diagrama de Venn a seguir: 
A 
B1 
B2 B3 
Bn 
... 
1BA
2BA 3BA
nBA
 Diagrama associado ao Teorema da Probabilidade 
Total. 
 É claro que podemos escrever A como a união de 
eventos mutuamente exclusivos, isto é: 
A = (A  B1)  ((A  B2)  .....  (A  Bn) logo, 
P(A) = P(A  B1) + P((A  B2) + ..... + P(A  Bn) 
 Mediante a aplicação da definição de 
probabilidade condicional, onde: 
    )P(B.A/BP)BP(A
)P(B
)BP(A
B|AP
iii
i
i
i



 Teremos:         )P(B.B|AP.....)P(B.B|AP )P(B.B|APAP nn2211 
   


n
1i
ii
)P(B.B|APAP 
 A utilidade deste resultado reside no fato de que 
as probabilidades que compõem o somatório 
acima são em geral mais fáceis de calcular do 
que a própria probabilidade de A. 
Teorema de Bayes 
 Com base na definição de probabilidade 
condicional, pode-se estabelecerum resultado 
útil, geralmente conhecido como Teorema de 
Bayes, o qual apresentaremos agora. 
 
 Sejam A e B dois eventos arbitrários com P(A) > 0 
e P(B) > 0. Então: 
 
P(A)
P(B).P(A/B)
A|BP 
 Combinando este resultado com o Teorema da 
Probabilidade Total, temos como consequência: 
 



n
1 i
ii
jj
j
)P(B.)B/P(A
)P(B.)P(A/B
A|BP
 Para qualquer j onde os Bi representam um 
conjunto de eventos mutuamente exclusivos e 
exaustivos. 
 O resultado dado pela Fórmula anterior é 
chamado Teorema de Bayes, em honra do filósofo 
inglês Thomas Bayes, e sua utilidade consiste em 
permitir-nos calcular a probabilidade a posteriori 
P(B|A) em termos das informações a priori P(B) e 
P(A). 
EXERCÍCIO 
 
4. Extraem-se aleatoriamente duas cartas de um 
baralho comum de 52 cartas. Determine a 
probabilidade de serem ambas ases, se a 
primeira carta: 
a) É reposta (com reposição); 
b) Não é reposta (sem reposição). 
Resposta: 
 
Sejam os eventos: A1 = {ás na 1ª extração} 
 A2 = {ás na 2ª extração} 
 
Desejamos P(A1  A2) = P(A1) . P(A2 | A1) 
a) Como, na 1a extração, há 4 ases em 52 cartas, 
P(A1) = 4/52. E se a carta é reposta antes da 2ª 
extração, então P(A2 | A1) = 4/52, pois há ainda 4 
ases entre as 52 cartas na 2ª extração. Então: 
     
169
1
52
4
.
52
4
A|AP.APAAP
12121













     
221
1
51
3
.
52
4
A|AP.APAAP
12121













b) Como em (a), P(A1) = 4/52. Mas, devido à 
ocorrência de um às na 1ª extração, há agora 
apenas 3 ases entre 51 cartas restantes, de 
modo que: P(A2 | A1) = 3/51. Então: