3ª Lista- Combinação Linear, Espaço Gerado, Dependência e Independência Linear

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo -
Votuporanga
Álgebra Linear - Engenharia Civil
Terceira Lista de Exercícios
2o semestre - 2014
Professora Elen Cristina Mazucchi
. Combinação Linear, Espaço Gerado, Dependência e Independência Linear.
Exercício 1: Determine o valor de k para que o vetor u = (−1, k,−7) seja combinação linear
dos vetores v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1). (Resp.: k = 13)
Exercício 2: Determinar uma condição para x, y e z, de modo que (x, y, z) seja combinação
linear de v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1). (Resp.: (x, y, z) = (y + 2z, y, z))
Exercício 3: Mostrar que o conjunto A = {(3, 1), (5, 2)} gera o R2.
Exercício 4: Seja o espaço vetorial M(2, 2) e os vetores v1 =
[
1 0
1 1
]
, v2 =
[ −1 2
0 1
]
e
v3 =
[
0 −1
2 1
]
. Escrever o vetor v =
[
1 8
0 5
]
como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3.
(Resp.: v = 4v1 + 3v2 − 2v3.)
Exercício 5: Seja o conjunto A = {(−1, 3,−1), (1,−2, 4)} . Determinar:
a) O subespaço G(A). (Resp.: G(A) =
{
(x, y, z) ∈ R3 / 10x+ 3y − z = 0})
b) O valor de k para que o vetor v = (5, k, 11) pertença ao subespaço G(A). (Resp.:
k = −13)
Exercício 6: Determinar os subespaços do R3 gerados pelos seguintes conjuntos:
a) A = {(2,−1, 3)} . (Resp.: G(A) = {(x, y, z) ∈ R3 / x = −2y, z = −3y})
b)A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)} . (Resp.: G(A) = {(x, y, z) ∈ R3 / x+ y − z = 0})
c) A = {(−1, 1, 0), (0, 1,−2), (−2, 3, 1)} . (Resp.: R3)
Exercício 7: Seja o espaço vetorial M(2, 2). Determinar o subespaço gerado pelos vetores:
a) v1 =
[ −1 2
1 0
]
e v2 =
[
2 1
−1 1
]
. Resp.:
{[
a b
c d
]
; b = −2a− 5d e c = −a− d
}
b)v1 =
[ −1 0
0 1
]
, v2 =
[
1 −1
0 0
]
e v3 =
[
0 1
1 0
]
. Resp.:
{[
a b
c d
]
; a = b− c+ d = 0
}
1
Exercício 8: Verificar se o vetor v = (−1,−3, 2, 0) pertence ao subespaço gerado pelos
vetores v1 = (2,−1, 3, 0), v2 = (1, 0, 1, 0) e v3 = (0, 1,−1, 0). (Resp.: Pertence)
Exercício 9: Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD.
a) A = {(2,−1, 3)} (Resp.: L.I.)
b) A = {(2,−1, 0), (−1, 3, 0) (3, 5, 0)} (Resp.: L.D.)
c) A = {(2, 1, 3), (0, 0, 0) (1, 5, 2)} (Resp.: L.D.)
d) A = {(1,−1,−2), (2, 1, 1) (−1, 0, 3)} (Resp.: L.I.)
Exercício 10: Sendo V o espaço vetorial das matrizes 2x3, verificar se {A,B,C} é L.I. ou
L.D., sendo A =
[ −1 2 1
3 −2 4
]
, B =
[
0 −1 2
−2 1 0
]
e C =
[ −1 0 5
−1 0 3
]
. (Resp.: L.I.)
Exercício 11: Determinar o valor de k para que
{[
1 0
1 0
]
,
[
1 1
0 0
]
,
[
2 −1
k 0
]}
seja
L.D.. (Resp.:k = 3)
Exercício 12: Classificar os seguintes subconjuntos do P2 em LI ou LD.
a)
{
2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2} (Resp.: L.D.)
b)
{
1− x+ 2x2, x− x2, x2} (Resp.: L.I.)
Exercício 13: Classifique os seguintes conjuntos de vetores do R4 em L.I. ou L.D..
a) {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1) (−1, 2, 0,−1)} (Resp.: L.I.)
b) {(0, 1, 0,−1), (1, 1, 1, 1) (1, 2, 1, 0)} (Resp.: L.D.)
c) {(−1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0) (0, 0, 1,−1), (1, 2, 1,−2)} (Resp.: L.I.)
Exercício 14: Determinar o valor de k para que seja L.I. o conjunto {(−1, 0, 2), (1, 1, 1), (k,−2, 0)} .
(Resp.: k 6= −3)
2