Pyndick - resposta exercicios cap7

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Pindyck & Rubinfeld, Capítulo 7, Custos :: EXERCÍCIOS 
1. Suponha que uma empresa fabricante de computadores tenha os custos 
marginais de produção constantes a $1.000 por computador produzido. 
Entretanto, os custos fixos de produção são iguais a $10.000. 
a. Calcule as curvas de custo variável médio e de custo total médio para essa 
empresa. 
O custo variável de produção de uma unidade adicional, o custo 
marginal, é constante e igual a $1.000: CV = $1000Q, e 
1000$1000$ ===
Q
Q
Q
CVCVMe O custo fixo médio é 
Q
000.10$ . O 
custo total médio é dado pela soma do custo variável médio e do 
custo fixo médio: 
Q
CTMe 000.10$000.1$ += . 
b. Caso fosse do interesse da empresa minimizar o custo total médio de 
produção, ela preferiria que tal produção fosse muito grande ou muito 
pequena? Explique. 
A empresa preferiria a maior produção possível, pois o custo total 
médio diminui à medida que aumenta Q. Se Q se tornasse 
infinitamente grande, o CTMe seria igual a $1.000. 
2. Se uma empresa contratar um trabalhador atualmente desempregado, o 
custo de oportunidade da utilização do serviço do trabalhador é zero. Isso é 
verdade? Discuta. 
Do ponto de vista do trabalhador, o custo de oportunidade de seu 
tempo corresponde ao período de tempo que ele deixa de gastar com 
outras atividades, incluindo atividades pessoais ou de lazer. O custo 
de oportunidade de empregar uma mãe desempregada com filhos 
pequenos é certamente diferente de zero! A dificuldade de atribuir 
um valor monetário ao tempo de que um indivíduo desempregado 
deixará de gozar ao ser empregado não deveria nos levar à 
conclusão de que seu custo de oportunidade é zero. 
Do ponto de vista da empresa, o custo de oportunidade de empregar 
o trabalhador não é zero; a empresa poderia, por exemplo, adquirir 
outra máquina em vez de empregar o trabalhador. 
3.a. Suponha que uma empresa deva pagar uma taxa anual de franquia, que 
corresponda uma quantia fixa, independente da empresa realizar qualquer 
produção. Como esta taxa afetaria os custos fixos, marginais e variáveis da 
empresa? 
O custo total, CT, é igual ao custo fixo, CF, mais o custo variável, 
CV. Os custos fixos não variam com a quantidade produzida. Dado 
que a taxa de franquia, FF, é um valor fixo, os custos fixos da 
empresa aumentam no valor da taxa. Logo, o custo médio, dado por 
Q
CVCF + , e o custo fixo médio, dado por 
Q
CF , aumentam no valor 
da taxa média de franquia FF
Q
. Observe que a taxa de franquia 
não afeta o custo variável médio. Além disso, tendo em vista que o 
custo marginal é a variação no custo total associada à produção de 
uma unidade adicional e que a taxa de franquia é constante, o custo 
marginal não se altera. 
b. Agora suponha que seja cobrado um imposto proporcional ao número de 
unidades produzidas. Novamente, como tal imposto afetaria os custos fixos, 
marginais e variáveis da empresa? 
Seja t o imposto por unidade. Quando um imposto é cobrado sobre 
cada unidade produzida, o custo variável aumenta em tQ. O custo 
variável médio aumenta em t, e dado que o custo fixo é constante, o 
custo total médio também aumenta em t. Além disso, dado que o 
custo total aumenta em t para cada unidade adicional, o custo 
marginal também aumenta em t. 
4. Um artigo recente publicado na Business Week afirmava o seguinte: 
Durante a recente queda nas vendas de automóveis, a GM, a Ford, e 
a Chrysler decidiram que era mais econômico vender automóveis 
para as locadoras com prejuízo do que despedir funcionários. Isto 
porque é caro fechar e abrir fábricas, em parte porque a negociação 
sindical atual prevê a obrigatoriedade das empresas pagarem 
salários a muitos trabalhadores, mesmo que estes não estejam 
trabalhando. 
 
Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se 
referindo ao lucro contábil ou econômico? Explique brevemente como eles 
se distinguem neste caso. 
 
 
Quando o artigo menciona a venda de carros com prejuízos, está se 
referindo ao lucro contábil. O artigo afirma que o preço obtido na 
venda dos automóveis para as locadoras era menor do que seu 
custo contábil. O lucro econômico seria a diferença entre o preço e 
o custo de oportunidade dos automóveis. Tal custo de 
oportunidade representa o valor de mercado de todos os insumos 
utilizados na produção dos automóveis. O artigo menciona que as 
empresas automobilísticas devem pagar a seus trabalhadores 
mesmo que estes não estejam trabalhando (e, portanto, 
produzindo automóveis). Isso implica que os salários pagos a tais 
trabalhadores são custos "irreversíveis" e, conseqüentemente, não 
entram no custo de oportunidade da produção. Por outro lado, os 
salários são incluídos nos custos contábeis, que devem, portanto, 
ser maiores do que o custo de oportunidade. Logo, o lucro contábil 
deve ser menor do que o lucro econômico. 
 
5. Um fabricante de cadeiras contrata sua mão de obra para a linha de 
montagem por $22 por hora e calcula que o aluguel de suas máquinas seja de 
$110 por hora. Suponha que uma cadeira possa ser produzida utilizando-se 4 
horas entre tempo de trabalho e de máquina, sendo possível qualquer 
combinação entre os insumos. Se a empresa atualmente estiver utilizando 3 
horas de trabalho para cada hora de máquina, ela estará minimizando seus 
custos de produção? Em caso afirmativo, qual a razão? Em caso negativo, de 
que forma a empresa poderia melhorar essa situação? 
Se a empresa pode produzir uma cadeira utilizando quatro horas de 
trabalho ou quatro horas de máquina, ou qualquer combinação dos 
insumos, então a isoquanta é uma linha reta com inclinação de -1 e 
interceptos em K = 4 e L = 4, conforme mostra a Figura 7.5. 
A linha de isocusto, CT = 22L + 110K tem inclinação de 
2,0
110
22 −=− (com o capital no eixo vertical) e interceptos em 
110
CTK = e 
22
CTL = . O ponto de custo mínimo é uma solução de 
canto, onde L = 4 e K = 0. Nesse ponto, o custo total é $88. 
Capital
Trabalho
2
1
3
4
1 2 3 4 5
Isoquanta para Q = 1
Isocusto (inclinação = -0,20)
Solução de canto
m inim izadora de custo
 
Figura 7.5 
6. Suponha que economia entre em recessão e o custo de mão de obra caia 50%, 
sendo que se espera que venha a permanecer em tal nível por um longo tempo. 
Mostre graficamente de que forma essa variação de preço do trabalho em relação 
ao preço do capital influenciaria o caminho de expansão da empresa. 
A Figura 7.6 mostra uma família de isoquantas e duas curvas de 
isocusto. As unidades de capital são medidas no eixo vertical e as 
unidades de trabalho no eixo horizontal. (Observação: A figura 
pressupõe que a função de produção que dá origem às isoquantas 
apresente rendimentos constantes de escala, o que resulta num 
caminho de expansão linear. Entretanto, os resultados a seguir não 
dependem dessa hipótese.) 
Se o preço do trabalho diminui enquanto o preço do capital é 
constante, a curva de isocusto gira para fora em torno de seu 
intercepto no eixo do capital. O caminho de expansão é o conjunto 
de pontos nos quais a TMST é igual à razão dos preços; logo, à 
medida que as curvas de isocusto giram para fora, o caminho de 
expansão gira na direção do eixo do trabalho. Com a redução do 
preço relativo do trabalho, a empresa utiliza mais trabalho à 
medida que a produção aumenta. 
Capital
Trabalho
2
1
3
4
1 2 3 4 5
Cam inho de expansão 
antes da redução no salário
Cam inho de expansão 
após a redução no salário
 
Figura 7.6 
 
 
7. Você é responsável pelo controle de custos em um grande distrito de trânsito 
metropolitano. Um consultor contratado lhe apresenta o seguinte relatório: 
Nossa pesquisa revelou que o custo de operação de um ônibus a 
cada viagem é de $30, independentemente do número de 
passageiros que esteja transportando.Cada ônibus tem capacidade 
para transportar 50 passageiros. Nas horas de pico, quando os 
ônibus estão lotados, o custo médio por passageiro é de $0,60. 
Entretanto, durante as horas fora de pico, a média de passageiros 
transportados cai para 18 pessoas por viagem e o custo sobe para 
$1,67 por passageiro. Conseqüentemente, recomendamos uma 
operação mais intensa nas horas de pico, quando os custos são 
menores, e um número menor de operações nas horas fora de pico, 
nas quais os custos são mais altos. 
Você seguiria as recomendações do consultor? Discuta. 
O consultor não entende a definição de custo médio. O aumento do 
número de passageiros sempre diminui o custo médio, 
independente de se tratar de uma hora de pico ou não. Se o número 
de passageiros cair para 10, os custos aumentarão para $3,00 por 
passageiro. Além disso, nas horas de pico os ônibus estão lotados. 
Como seria possível aumentar o número de passageiros? Em vez de 
seguir as recomendações do consultor, seria melhor incentivar os 
passageiros a passar a usar os ônibus nas horas fora de pico - 
através, por exemplo, da cobrança de preços mais elevados nas 
horas de pico. 
8. Uma refinaria de petróleo é composta de diferentes unidades de equipamento 
de processamento, cada qual com diferentes capacidades de fracionamento do 
petróleo cru, com alto teor de enxofre, em produtos finais. O processo produtivo 
dessa refinaria é tal que o custo marginal do processamento de gasolina é 
constante até um certo ponto, desde que uma unidade de destilação básica esteja 
sendo alimentada por petróleo cru. Entretanto, à medida que a capacidade desta 
unidade se esgota, o volume de petróleo cru que pode ser processado no curto 
prazo se revela limitado. O custo marginal de processamento da gasolina é 
também constante até um determinado limite de capacidade, quando o petróleo 
cru passa por uma unidade mais sofisticada de hidrocraqueamento. Elabore o 
gráfico do custo marginal da produção de gasolina, quando são utilizadas uma 
unidade de destilação básica e uma unidade de hidrocraqueamento. 
A produção de gasolina envolve duas etapas: (1) destilação do 
petróleo cru; e (2) refino do produto destilado, que é transformado 
em gasolina. Dado que o custo marginal de produção é constante 
até o limite de capacidade para ambos os processos, as curvas de 
custo marginal apresentam formato semelhante em L. 
 
Custo M arginal
QuantidadeQ 1 Q 2
CM g1
CM gT
CM g2
 
Figura 7.8 
O custo total marginal, CMgT, é a soma dos custos marginais dos 
dois processos, i.e., CMgT = CMg1 + CMg2, onde CMg1 é o custo 
marginal da destilação até o limite de capacidade, Q1, e CMg2 é o 
custo marginal de refino até o limite de capacidade, Q2. O formato 
da curva de custo total marginal é horizontal até o menor limite de 
capacidade. Se o limite de capacidade da unidade de destilação for 
menor que o limite da unidade de hidrocraqueamento, o CMgT será 
vertical ao nível de Q1. Se o limite da unidade de 
hidrocraqueamento for menor que o limite da unidade de 
destilação, o CMgT será vertical ao nível de Q2. 
9. Você é o gerente de uma fábrica que produz motores em grande quantidade 
por meio de equipes de trabalhadores que utilizam máquinas de montagem. A 
tecnologia pode ser resumida pela função de produção: 
Q = 4 KL 
em que Q é o número de motores por semana, K é o número de máquinas, e L o 
número de equipes de trabalho. Cada máquina é alugada ao custo r = $12.000 
por semana e cada equipe custa w = $3.000 por semana. O custo dos motores é 
dado pelo custo das equipes e das máquinas mais $2.000 de matérias primas 
por máquina. Sua fábrica possui 10 máquinas de montagem. 
a. Qual é a função de custo de sua fábrica — isto é, quanto custa produzir 
Q motores? Quais os custos médio e marginal para produzir Q motores? 
Com os custo médios variam com a produção? 
K é fixo ao nível de 10. A função de produção de curto prazo é, 
portanto, Q = 40L. Isso implica que, para qualquer nível de 
produção Q, o número de equipes de trabalho contratadas será 
40
QL = . A função de custo total é dada pela soma dos custos de 
capital, trabalho, e matérias primas: 
CT(Q) = rK + wL + 2000Q = (12.000)(10) + (3.000)(Q/40) + 
2.000 Q 
 = 120.000 + 2.075Q 
A função de custo médio é dada por: 
CMe(Q) = CT(Q)/Q = 120.000/Q + 2.075 
e a função de custo marginal é: 
∂ CT(Q) / ∂ Q = 2.075 
Os custos marginais são constantes e os custos médios são 
decrescentes (devido ao custo fixo de capital). 
b. Quantas equipes são necessárias para produzir 80 motores? Qual o custo 
médio por motor? 
Para produzir Q = 80 motores, são necessárias 
40
QL = ou L=2 
equipes de trabalho. O custo médio é dado por 
CMe(Q) = 120.000/Q + 2.075 ou CMe = 3575. 
c. Solicitaram a você que fizesse recomendações para o projeto de uma 
nova fábrica. O que você sugeriria? Em particular, com que relação 
capital/trabalho (K/L) a nova planta deveria operar? Se custos médios 
menores fossem o único critério, você sugeriria que a nova fábrica tivesse 
maior ou menor capacidade que a atual? 
Agora, abandonamos a hipótese de que K é fixo. Devemos 
encontrar a combinação de K e L que minimiza os custos para 
qualquer nível de produção Q. A regra de minimização de custo é 
dada por: 
w
PMg
r
PMg LK = 
Para calcular o produto marginal do capital, observe que, se 
aumentarmos K em 1 unidade, Q aumentará em 4L, de modo que 
PMgK = 4L. Analogamente, observe que, se aumentarmos L em 1 
unidade, Q aumentará em 4K, de modo que PMgL = 4K. 
(Matematicamente, L
K
QPMgK 4=∂
∂= e K
L
QPMgL 4=∂
∂= .) 
Inserindo essas fórmulas na regra de minimização de custo, 
obtemos: 
4
1
000.12
000.344 ===⇒=
r
w
L
K
w
K
r
L . 
A nova planta deveria operar com uma razão capital/trabalho de 
1/4. 
A razão capital-trabalho da empresa é atualmente 10/2 ou 5. Para 
reduzir o custo médio, a empresa deveria utilizar mais trabalho e 
menos capital para gerar a mesma produção ou contratar mais 
trabalho e aumentar a produção. 
*10. A função custo de uma empresa fabricante de computadores, relacionando 
seu custo médio de produção, CMe, com sua produção acumulada, QA (em 
milhares de computadores produzidos), e com o tamanho de sua fábrica em 
termos de milhares de computadores produzidos anualmente, Q, é dada, para 
uma produção na faixa entre 10.000 e 50.000 computadores, pela equação 
CMe = 10 - 0,1QA + 0,3Q. 
a. Existe um efeito de curva de aprendizagem? 
A curva de aprendizagem descreve a relação entre a produção 
acumulada e os insumos necessários para produzir uma unidade de 
produção. O custo médio mede os requisitos de insumo por unidade 
de produção. Existe um efeito de curva de aprendizagem se o custo 
médio cai à medida que aumenta a produção acumulada. No caso 
em questão, o custo médio diminui à medida que aumenta a 
produção acumulada, QA. Logo, existe um efeito de curva de 
aprendizagem. 
b. Existem rendimentos crescentes ou decrescentes de escala? 
Para medir os rendimentos de escala, calcule a elasticidade do custo 
total, CT, com relação à produção, Q: 
CMe
CMg
Q
CT
Q
CT
Q
Q
CT
CT
EC =∆
∆
=∆
∆
= 
Se a elasticidade for maior (menor) que 1, há rendimentos 
decrescentes (crescentes) de escala, pois o custo total aumenta mais 
(menos) rápido que a produção. A partir do custo médio, podemos 
calcular o custo total e o custo marginal: 
CT = Q(CMe) = 10Q - (0,1)(QA)(Q) + 0,3Q2, logo 
QQA
dQ
dCTCMg 6,01,010 +−== . 
Dado que o custo marginal é maior do que o custo médio (pois 0,6Q 
> 0,3Q), a elasticidade, EC, é maior que 1; há rendimentos 
decrescentes de escala. O processo produtivo apresenta um efeito de 
curva de aprendizagem e rendimentos decrescentes de escala. 
c. Ao longo de sua existência, a empresa já produziu um totalde 40.000 
computadores e estará produzindo 10.000 máquinas este ano. No ano que 
vem, ela planeja aumentar sua produção para 12.000 computadores. Seu 
custo médio de produção aumentará ou diminuirá? Explique. 
Primeiro, calcule o custo médio no ano corrente: 
CMe1 = 10 - 0,1QA + 0,3Q = 10 - (0,1)(40) + (0,3)(10) = 9. 
Segundo, calcule o custo médio no ano seguinte: 
CMe2 = 10 - (0,1)(50) + (0,3)(12) = 8,6. 
(Observação: A produção acumulada aumentou de 40.000 para 
50.000) 
O custo médio diminuirá devido ao efeito da aprendizagem. 
11. A função de custo total a curto prazo de uma empresa expressa pela equação 
C=190+53Q, em que C é o custo total e Q é a quantidade total produzida, sendo 
ambos medidos em dezenas de milhares de unidades. 
a. Qual é o custo fixo da empresa? 
Quando Q = 0, C = 190, de modo que o custo fixo é igual a 190 (ou $1.900.000). 
b. Caso a empresa produzisse 100.000 unidades de produto, qual seria seu 
custo variável médio? 
Com 100.000 unidades, Q = 10. O custo total é 53Q = (53)(10) = 530 
por unidade (ou $5.300.000 por 10.000 unidades). O custo variável 
médio é 53$
10
530$ ==
Q
CVT por unidade ou $530.000 por 10.000 
unidades. 
c. Qual é o custo marginal por unidade produzida? 
Com um custo variável médio constante, o custo marginal é igual ao 
custo variável médio, $53 por unidade (ou $530.000 por 10.000 
unidades). 
d. Qual é seu custo fixo médio? 
Para Q = 10, o custo fixo médio é 19$
10
190$ ==
Q
CFT por unidade ou 
($190.000 por 10.000 unidades). 
e. Suponha que a empresa faça um empréstimo e expanda sua fábrica, Seu 
custo fixo sobe em $50.000, porém seu custo variável cai em $45.000 para 
cada 10.000 unidades. A despesa de juros (I) também entra na equação. 
Cada aumento de 1% na taxa de juros eleva os custos em $30.000. Escreva 
a nova equação de custo 
O custo fixo muda de 190 para 195. O custo total diminui de 53 
para 45. O custo fixo também inclui pagamento de juros: 3I. A 
equação do custo é 
C = 195 + 45Q + 3I. 
*12. Suponha que a função de custo total a longo prazo para uma empresa seja 
expressa pela equação cúbica: CT = a + bQ + cQ2 + dQ3. Mostre (utilizando o 
cálculo integral) que esta função de custo é consistente com a curva de custo 
médio com formato em U, pelo menos para alguns valores dos parâmetros a, b, c, 
d. 
Para mostrar que a equação de custo cúbica implica uma curva de 
custo médio com formato de U, utilizamos a álgebra, o cálculo e a 
teoria econômica para impor restrições sobre os sinais dos 
parâmetros da equação. Essas técnicas são ilustradas no exemplo 
abaixo. 
Primeiro, se a produção é igual a zero, então, CT = a, onde a 
representa os custos fixos. No curto prazo, os custo fixos são 
positivos, a > 0, porém, no longo prazo, onde todos os insumos são 
variáveis, a = 0. Logo, impomos a restrição de que a deve ser zero. 
Em seguida, sabendo que o custo médio deve ser positivo, divide-se 
CT por Q: 
CMe = b + cQ + dQ2. 
Essa equação é simplesmente uma função quadrática, que pode ser 
representada graficamente em dois formatos básicos: formato de U 
e formato de U invertido. Estamos interessados no formato de U, 
ou seja, em uma curva com um ponto de mínimo (custo médio 
mínimo), em vez do formato de U invertido, com um ponto de 
máximo. 
À esquerda do ponto de mínimo, a inclinação deve ser negativa. No 
ponto de mínimo, a inclinação deve ser zero, e à direita, a inclinação 
deve ser positiva. A primeira derivada da curva de custo médio 
com relação a Q deve ser igual a zero no ponto de mínimo. Para 
uma curva de CMe com formato de U, a segunda derivada da curva 
de custo médio deve ser positiva. 
A primeira derivada é c + 2dQ; a segunda derivada é 2d. Se a 
segunda derivada deve ser positiva, d > 0. Se a primeira derivada 
deve ser igual a zero, resolvendo para c em função de Q e d 
obtemos: c = -2dQ. Se d e Q são positivos, c deve ser negativo: c < 0. 
A restrição sobre b baseia-se no fato de, no seu ponto de mínimo, o 
custo médio dever ser positivo. O ponto de mínimo ocorre quando c 
+ 2dQ = 0. Resolve-se para Q em função de c e d: Q c
d
= − >
2
0 . Em 
seguida, substitui-se Q por este valor na nossa expressão de custo 
médio, e simplifica-se a equação: 
2
2
22


 −+

 −+=++=
d
cd
d
ccbdQcQbCMe , ou 
0
444
2
42
22222
>−=+−=+−=
d
cb
d
c
d
cb
d
c
d
cbCMe 
o que implica 
d
cb
4
2
> . Dado que c2 >0 e d > 0, b deve ser positivo. 
Em resumo, para curvas de custo médio de longo prazo com formato 
de U, a deve ser zero, b e d devem ser positivos, c deve ser negativo, e 
4db > c2. Entretanto, as condições não asseguram que o custo 
marginal seja positivo. Para assegurar que o custo marginal possua 
um formato de U e que seu ponto de mínimo seja positivo, utilizando o 
mesmo procedimento, ou seja, resolvendo para Q no custo marginal 
mínimo −c d/ ,3 e substituindo na expressão do custo marginal b + 2cQ 
+ 3dQ2, encontramos que c2 deve ser menor que 3bd. Observe que os 
valores dos parâmetros que satisfazem essa condição também 
satisfazem 4db > c2; o contrário, porém, não é verdadeiro. 
Por exemplo, sejam a = 0, b = 1, c = -1, d = 1. O custo total é Q - Q2 
+ Q3; o custo médio é 1 - Q + Q2; e o custo marginal é 1 - 2Q + 3Q2. 
O custo médio mínimo é Q = 1/2 e o custo marginal mínimo é 1/3 
(suponha que Q seja medido em dúzias de unidades, de modo que 
não há produção de unidades fracionadas). Veja a Figura 7.12. 
Custos
0.17 0.33 0.50 0.67 0.83 1.00 Quantidade
em dúzias
1
2
CM g
CM e
 
Figura 7.12 
*13. Uma empresa de computadores produz hardware e software utilizando a 
mesma fábrica e os mesmos trabalhadores. O custo total da produção de 
unidades de hardware H e de unidades de software S é expresso pela equação: 
CT = aH + bS - cHS, 
na qual a, b, e c são positivos. Esta função de custo total é consistente com a 
presença de rendimentos crescentes ou decrescentes de escala? E com 
economias ou deseconomias de escopo? 
Há dois tipos de economias de escala a se considerar: economias de 
escala multiproduto e economias de escala específicas a cada 
produto. Aprendemos na Seção 7.5 que as economias de escala 
multiproduto para o caso de dois produtos, SH,S, são dadas por 
))(())((
),(
,
SH
SH CMgSCMgH
SHCTS += 
onde CMgH é o custo marginal de produção de hardware e CMgS é o 
custo marginal de produção de software. As economias de escala 
específicas a cada produto são: 
))((
),0(),(
H
H CMgH
SCTSHCTS −= e 
))((
)0,(),(
S
S CMgS
HCTSHCTS −= 
onde, CT(0,S) implica a não produção de hardware e CT(H,0) 
implica a não produção de software. Sabe-se que o custo marginal 
de um insumo é a inclinação do custo total com relação àquele 
insumo. Sendo 
ScHbaHbSHcSaCT )()( −+=+−= , 
obtém-se CMgH = a - cS e CMgS = b - cH. 
Inserindo tais expressões nas fórmulas de SH,S, SH, e SS: 
 SH ,S = aH + bS − cHSH a − cS( )+ S b − cH( ) ou 
 S aH bS cH S
H a Sb cH SH S,
= + −+ − >2 1, porque cHS > 0. Além disso, 
)(
)(
cSaH
bScHSbSaHSH −
−−+= , ou 
 1
)(
)(
)(
)( =−
−=−
−=
cSa
cSa
cSaH
cHSaHSH e similarmente 
1
)(
)( =−
−−+=
cHbS
aHcHSbSaHSS 
Há economias de escala multiproduto, SH,S > 1, porém rendimentos 
de escala específicos a cada produto constantes, SH = SS = 1. 
Temos economias de escopo se SC > 0, onde (a partir da equação 
(7.8) no texto): 
),(
),(),0()0,(
SHCT
SHCTSCTHCTSC
−+= , ou, 
),(
)(
SHCT
cHSbSaHbSaHSC
−+−+= , ou 
0
),( SHCT
cHSSC = 
Dado que ambos cHS e CT são positivos, ocorrem economias de escopo.