O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada

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O Determinante como uma Forma Multilinear
Alternada
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
21 de maio de 2004
Uma func¸a˜o f do conjunto das matrizes n× n em R e´ chamada forma multilinear
ou n-linear se para qualquer matriz A, n× n, e escalares α e β,
f


A1
...
Ak−1
αX + βY
Ak+1
...
An


= αf


A1
...
Ak−1
X
Ak+1
...
An


+ βf


A1
...
Ak−1
Y
Ak+1
...
An


,
onde X = [x1 . . . xn ] e Y = [ y1 . . . yn ].
Teorema 1. Se f e´ uma forma multilinear, enta˜o para qualquer matriz A, n× n,
f


A1
...
An

 =
n∑
k1=1
n∑
k2=1
. . .
n∑
kn=1
a1k1a2k2 . . . anknf


Et
k1
...
Et
kn


Demonstrac¸a˜o. Cada linha i pode ser escrita como
Ai =
n∑
ki=1
aikiE
t
ki
.
1
2
Assim, aplicando-se a multilinearidade segue que
f


A1
...
An

 = f


∑
n
k1=1
a1k1E
t
k1
...∑
n
kn=1
anknE
t
kn

 =
n∑
k1=1
a1k1f


Et
k1∑
n
k2=1
a2k2E
t
k2=1
...∑
n
kn=1
anknE
t
kn

 =
=
n∑
k1=1
n∑
k2=1
. . .
n∑
kn=1
a1k1a2k2 . . . anknf


Et
k1
...
Et
kn


Assim uma forma multilinear fica inteiramente determinada se conhecemos os nn va-
lores f


Et
k1
...
Et
kn

, para k1 = 1, . . . , n, . . . kn = 1, . . . , n.
Dizemos que uma forma multilinear e´ alternada se
f


A1
...
Ak
...
Al
...
An


= 0, sempre que Ak = Al.
Proposic¸a˜o 2. Uma forma multilinear e´ alternada se, e somente se, ela e´ anti-
sime´trica, isto e´, para qualquer matriz A, n× n,
f


A1
...
X
...
Y
...
An


= −f


A1
...
Y
...
X
...
An


, para X = [x1 . . . xn ] e Y = [ y1 . . . yn ].
O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada 21 de maio de 2004
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Demonstrac¸a˜o. Se f e´ alternada, enta˜o
0 = f


A1
...
X + Y
...
X + Y
...
An


= f


A1
...
X
...
X
...
An


+ f


A1
...
X
...
Y
...
An


+ f


A1
...
Y
...
X
...
An


+ f


A1
...
Y
...
Y
...
An


= 0 + f


A1
...
X
...
Y
...
An


+ f


A1
...
Y
...
X
...
An


+ 0,
de onde segue que f e´ anti-sime´trica. Deixamos para o leitor como exerc´ıcio mostrar que
se f e´ anti-sime´trica, enta˜o f e´ alternada.
Como consequ¨encia ime´diata desta proposic¸a˜o temos o seguinte resultado.
Corola´rio 3. Se f e´ uma forma multilinear alternada, enta˜o para toda permutac¸a˜o σ dos
inteiros 1, . . . , n e toda matriz A, n× n,
f


Aσ(1)
...
Aσ(n)

 = εσf


A1
...
An

 ,
onde εσ e´ o sinal da permutac¸a˜o σ, ou seja, εσ e´ igual a +1 se σ e´ o resultado de um
nu´mero par de transposic¸o˜es e e´ igual a −1 se e´ o resultado de um nu´mero ı´mpar de
transposic¸o˜es.
Assim, toda forma multilinear alternada e´ determinada pelo seu valor na matriz iden-
tidade In, como mostra o pro´ximo resultado.
21 de maio de 2004 Reginaldo J. Santos
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Teorema 4. Se f e´ uma forma multilinear alternada, enta˜o para qualquer matriz A,
n× n,
f


A1
...
An

 =
∑
σ
εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f(In)
Demonstrac¸a˜o. Sendo f multilinear temos que
f


A1
...
An

 =
n∑
k1=1
n∑
k2=1
. . .
n∑
kn=1
a1k1a2k2 . . . anknf


Et
k1
...
Et
kn


Neste somato´rio sa˜o nulas todas as parcelas em que ha´ repetic¸o˜es dos ı´ndices k1, . . . , kn,
restando apenas aquelas em que
(k1, k2, . . . , kn) = (σ(1), . . . , σ(n))
e´ uma permutac¸a˜o dos inteiros. Neste caso,
a1k1a2k2 . . . ankn = a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)
e a parcela correspondente
a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f


Et
σ(1)
...
Et
σ(n)

 = εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f


Et1
...
Et
n

 .
Portanto,
f


A1
...
An

 =
∑
σ
εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f(In),
o somato´rio e´ extendido a todas as permutac¸o˜es σ dos inteiros 1, . . . , n.
Assim, toda forma multilinear alternada e´ determinada pelo seu valor na matriz iden-
tidade In. Como ja´ mostramos que o determinante e´ uma forma multilinear alternada
que vale 1 na matriz identidade, temos a seguinte caracterizac¸a˜o do determinante.
O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada 21 de maio de 2004
REFEREˆNCIAS 5
Corola´rio 5. O determinante e´ a u´nica forma multilinear alternada que vale 1 na matriz
identidade e ale´m disso para qualquer matriz A, n× n,
det(A) =
∑
σ
εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n).
Refereˆncias
[1] Kenneth Hoffman and Ray Kunze. A´lgebra Linear. Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Ed.
S.A., Rio de Janeiro, 3a. edition, 1979.
[2] Serge Lang. Linear Algebra. Springer Verlag, New York, 3a. edition, 1987.
[3] Elon L. Lima. A´lgebra Linear. IMPA, Rio de Janeiro, 2a. edition, 1996.
[4] Seymour Lipschutz. A´lgebra Linear. McGraw-Hill, Sa˜o Paulo, 3a. edition, 1994.
[5] Reginaldo J. Santos. Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Imprensa
Universita´ria da UFMG, Belo Horizonte, 2003.
21 de maio de 2004 Reginaldo J. Santos