2- Prova de Cálculo I

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1. Seja R a regia˜o limitada pelas curvas y = −x2 + 6x − 11 e y = x − 7.
(a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o R.
(b) Use integrac¸a˜o sobre o eixo x para obter uma fo´rmula para a a´rea de R.
(c) Use integrac¸a˜o sobre o eixo y para obter uma fo´rmula para a a´rea de R.
2. Seja R a regia˜o triangular de ve´rtices P1 = (3, 1), P2 = (5, 2) e P3 = (3, 4). A regia˜o R gira em
torno da reta x = −1 e forma o so´lido S.
(a) Use o Me´todo das Cascas Cil´ındricas para obter uma fo´rmula para o volume de S.
(b) Use o Me´todo das Arruelas para obter uma fo´rmula para o volume de S.
3. Calcule
∫
−3
−5
(
3 − |3x + 12|
)
dx.
4. Calcule as sequintes integrais:
(a)
∫
tg(w) sec2(w) dw (b)
∫
x ln(x) dx
(c)
∫
y
e2y
dy (d)
∫
tg(z) sec3(z) dz
teste
1.
∫
1 dx =
∫
dx = x + C 2.
∫
xndx =
xn+1
n + 1
+ C, n /∈ {−1, 0} 3.
∫
1
x
dx = ln(|x |) + C
teste
4.
∫
sen(x)dx = − cos(x) + C 5.
∫
csc(x) cot(x)dx = − csc(x) + C 6.
∫
sec2(x)dx = tg(x) + C
teste
7.
∫
cos(x)dx = sen(x) + C 8.
∫
sec(x) tg(x)dx = sec(x) + C 9.
∫
csc2(x)dx = − cot(x) + C
teste
10.
∫
dx
1 + x2
= arctg(x) + C 11.
∫
dx√
1 − x2
= arcsen(x) + C 12.
∫
ex dx = ex + C
teste
Tabela 1: Tabela de Integrais