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4- Prova de Cálculo I

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1. Seja R a regia˜o do primeiro quadrante limitada pela para´bola x = y2 − 8y + 19 e pelas retas
x+ 4y = 15 e y = 0.
(a) Esboce numa mesma figura a para´bola x = y2 − 8y+ 19, a reta x+ 4y = 15 e a regia˜o R.
(b) Indique como calcular a a´rea de R usando integrac¸a˜o sobre o eixo x.
(c) Indique como calcular a a´rea de R usando integrac¸a˜o sobre o eixo y.
2. Seja R a regia˜o descrita na Questa˜o 1. A regia˜o R gira em torno da reta x = 3 e forma o so´lido
de revoluc¸a˜o S.
(a) Indique como calcular o volume de S pelo me´todo das cascas cil´ındricas.
(b) Indique como calcular o volume de S pelo me´todo das arruelas.
3. A base do so´lido S e´ a regia˜o R descrita na Questa˜o 1. As sec¸o˜es transversais perpendiculares
ao eixo x sa˜o quadrados com lado na base do so´lido. Use integrac¸a˜o para indicar como calcular o
volume de S.
4. Calcule as sequintes integrais:
(a)
∫ (
1
2 − 3w
+
1
2 + 3w
)
dw (b)
∫ 1
0
x
√
1 − x4 dx
(c)
∫
y2 sen(3y)dy (d)
∫
ln(z) ln(z)dz

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