Exercícios de Cálculo I

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 087-TUTORIA ESPECIAL EM CA´LCULO I
7a Aula de Exerc´ıcios-2013
Monitor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
1. Calcule as derivadas a seguir:
a) f(x) = arcsenx2
b) g(t) = tarctg(3t)
c) h(w) = arcsec(3w) + 5
d) f(z) = arctg(ez)
e) g(s) = arccos2s
f) h(t) = t3arccotg
(
t
3
)
2. Determine os pontos cr´ıticos das func¸o˜es seguintes:
a) f(x) =
1
x2 + 1
b) g(t) = tlnt− t + 2
c) h(s) =
√
1− s2
d) f(w) = e−w
2
e) f(x) = x3 − 3x2 + 3x + 1
f) g(t) = |t|
3. Determine os ma´ximos e min´ımos de cada func¸a˜o no intervalo:
a) g(t) = −t + 4, [−4, 1].
b) h(z) = z3 − 3z2 + 3z − 1, [−2, 1].
c) f(x) = (x + 2)2(x− 1)3.
4. Determine os intervalos onde as func¸o˜es sa˜o crescentes ou decrescentes e seus extremos absolutos (globais) e relativos
(locais):
a) f(x) =
x3
3
− x
2
2
− 2x + 3
b) h(s) =
s
s2 + 1
c) g(t) = 2t
d) h(w) = w3 − 3w
e) f(z) = zlnz
f) g(t) = arctgt
RESPOSTAS
1. a) f ′(x) =
2x√
1− x4
b) g′(t) =
3t
1 + 9t2
+ arctg(3t)
c) h′(w) =
1
|w|√9w2 − 1
d) f ′(z) =
ez
1 + e2z
e) g′(s) = − 2√
1− 4s2
f) h′(t) = 3t2arctg
(
t
3
)
− 3t
2
9 + t2
2. a) (0, 1)
b) (1, 1)
c) (0, 1), (1, 0), e (−1, 0)
d) (0, 1)
e) (1, 2)
f) (0, 0)
3. a) Na˜o tem pontos cr´ıticos. Ma´ximo global (−4, 0) e mı´nimo global (1,−5).
b) Ma´ximo local e global (1, 0) e mı´nimo global (−2,−27).
c) Ma´ximos locais (−2, 0) e (1, 0), e mı´nimo local
(
−4
5
,−36
55
)
.
4. a) Crescente (−∞,−1) ∪ (2,∞), decrescente (−1, 2). Ma´ximo local
(
−1, 25
6
)
e mı´nimo local
(
2,−1
3
)
. globais.
b) Crescente (−1, 1), decrescente (−∞,−1) ∪ (1,∞). Ma´ximo local
(
1,
1
2
)
e mı´nimo local
(
−1,−1
2
)
.
c) A func¸a˜o e sempre crescente. Na˜o ha´ pontos cr´ıticos.
d) Crescente (−∞,−1)∪ (1,∞), decrescente (−1, 1). Ma´ximo local (−1, 2) e mı´nimo local (1,−2). Na˜o ha´ extremos globais.
e) Crescente
(
1
e
,∞
)
, decrescente
(
0,
1
e
)
. Mı´nimo global
(
1
e
,
1
e
)
.
f) Crescente em todo o domı´nio. Na˜o ha´ extremos.