Exercícios de Cálculo I

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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 087-TUTORIA ESPECIAL EM CA´LCULO I
4a Aula de Exerc´ıcios-2013
Monitor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
1. Calcule as derivadas a seguir usando a definic¸a˜o:
a) f(x) = x2 + x no ponto p = 1
b) f(x) = 5x no ponto p = x0 qualquer
c) f(x) = 2x3 no ponto p = 1
d) f(x) = x2 + x no ponto p = x0 qualquer
e) f(x) =
√
x no ponto p = 4
f) f(x) =
1
x− 2 no ponto p = 0
2. Verefique quais func¸o˜es abaixo sa˜o deriva´veis e quais sa˜o cont´ınuas, no ponto p:
a) f(x) =
{
3x− 1 se x < 2
7− x se x ≥ 2 em p = 2
b) f(x) =
{
x2 + 2 se x < 1
2x+ 1 se x ≥ 1 em p = 1
c) f(t) =
{
t2 − 4 se t < 2√
t− 2 se t ≥ 2 em p = 2
d) f(s) =
{
s2 − 9 se s < 3
6s− 18 se s ≥ 3 em p = 2
3. Calcule as retas tangentes e normais no ponto pedido:
a) f(x) = x2 no ponto p = −1
b) f(x) =
√
x no ponto p = 1
c) f(x) =
3
x
no ponto p = 2
4. Determine a equac¸a˜o da reta s tangente ao gra´fico de f(x) = x2 + 3x e e´ paralela reta y = 2x+ 3.
5. Determine a equac¸a˜o da reta r que e´ perpendicular a` reta y = −3x+ 3 e e´ tangente ao gra´fico de f(x) = x2 − 3x.
RESPOSTAS
1. a) 3
b) 5
c) 6
d) 2x0 + 1
e)
1
4
f)
1
4
2. a) E´ cont´ınua, mas na˜o e deriva´vel.
b) E´ cont´ınua, e e´ deriva´vel.
c) E´ cont´ınua, mas na˜o e deriva´vel.
d) E´ cont´ınua, e e´ deriva´vel.
3. a) Reta tangente y = −2x− 1, reta normal y = x
2
+
3
2
.
b) Reta tangente y =
1
2
x +
1
2
, reta normal y = 2x + 3.
c) Reta tangente y = −3
4
x + 3, reta normal y =
4
3
x− 7
6
.
4. s := y = 2x− 1
4
.
5. r := y =
x
3
− 25
9
.