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341860 1a Prova de Cálculo I Engenharia Mecânica

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPI´RITO SANTO - IFES
Campus Aracruz

1a Avaliac¸a˜o de Ca´lculo I
Prof. Alexandre Reis

Curso: Bacharelado em Engenharia Mecaˆnica
Periodo: 2016/1. Data: 19/04/2016
Aluno/Aluna: Assinatura:

Dentre as questo˜es abaixo, escolha apenas cinco (5). A nota sera´ calculada considerando-se
apenas as questo˜es escolhidas.

Questa˜o 1. (20,0) Esboce o gra´fico das func¸o˜es abaixo.

a) (10,0) f(x) = 1 + sen(−x+ pi).
b) (10,0) f(x) = |x2 − x+ 6|.

Questa˜o 2. (20,0) Se |f(x) − f(1)| ≤ (x − 1)2, ∀x ∈ R, enta˜o utilize as propriedades de
limites e de func¸o˜es cont´ınuas para mostrar f e´ cont´ınua em x = 1. (Dica: utilize a propriedade
da permaneˆncia de sinais dos limites. Dado: se t ∈ R e |t| ≤ 0, enta˜o t = 0.)

Questa˜o 3. (20,0) Calcule os limites abaixo, utilizando as propriedades dos limites.

a) (5,0) lim
x→0
√
x cos

(2pi
x

)
.

b) (5,0) lim
x→1

f(x), onde lim
x→1

f(x)− 8
x− 1 .

c) (5,0) lim
x→2

x− 2
x3 − 8.

d) (5,0) lim
x→3

√
x+ 1− 2
x− 3 .

Questa˜o 4. (20,0) Sejam A e B subconjuntos de R e uma func¸a˜o f : A −→ B. Considere
a nova func¸a˜o h : B −→ R, h(x) = f(|x|).

a) (5,0) Qual e´ a paridade da func¸a˜o h?

b) (5,0) Como o gra´fico de h se relaciona com o gra´fico de f? (Dica: analise o gra´fico de h
quando x ≥ 0 e considere sua paridade).

c) (10,0) Esboce o gra´fico da func¸a˜o h(x) = f(|x|), sabendo que f(x) = x2 − 5x+ 6.

Questa˜o 5. (20,0) Utilizando as definic¸o˜es precisas de limites, prove que:

a) (10,0) lim
x→0+

1

x2
= +∞.

2
b) (10,0) lim
x→3

(2x+ 7) = 13.

Questa˜o 6. (20,0) Fac¸a o que se pede:

a) (10,0) Mostre que a func¸a˜o g(x) = cos(x)− x possui uma ra´ız no intervalo (0, 1).
b) (10,0) Use a definic¸a˜o de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a

func¸a˜o f(x) = x2 +
√

7− x e´ cont´ınua em x = 4.

Questa˜o 7. (20,0) Considere a func¸a˜o

f(x) =
3x− 1

x2 − 2x− 15
. Encontre todas as assintotas verticais de f e analise o seu comportamento pro´ximo a` essas
ass´ıntotas (20,0).

Questa˜o 8. (20,0) Seja f uma func¸a˜o na˜o-crescente (isto e´, a < b⇒ f(a) ≥ f(b)) tal que
Dom(f) ⊂ R≥0 e seja g(x) = 3x+ 2. Prove que a func¸a˜o h : R≥0 −→ R, h(x) = (g ◦ f)(

√
x) e´

na˜o-crescente. (Dica: observe que h(x) = 3f(
√
x) + 2; lembre-se que a func¸a˜o ra´ız quadrada

e´ crescente).

Questa˜o 9. (20,0) Para cada ı´tem abaixo obtenha a func¸a˜o inversa e esboce o gra´fico da
func¸a˜o inversa.

a) (10,0) f(x) = ex−1.

b) (10,0) f(x) = x
x−1 .

“A Ciencia, pelo caminho da exatida˜o, so´ tem dois olhos: a Matema´tica e a Lo´gica”.
Augustus De Morgan