Aula 04 Números reais - representação decimal

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Semana 04 - Um lugar ao Sol!
Voceˆ sabe que lugar e esse?
Comenta´rios sobre as aulas
O tema da aula 7, mo´dulo ou valor absoluto, ja´ foi comentado nos documentos anteriores.
No entanto, ha´ dois conceitos que merecem algum destaque. Sa˜o as noc¸o˜es de subconjuntos
discretos e subconjuntos densos da reta (ou dos nu´meros reais, dependendo do ponto de vista).
Aqui, a Matema´tica imita a vida. Veja, um subconjunto da reta e´ um subconjunto discreto
se cada um de seus elementos pode ser isolado dos outros por um intervalo. E´ como se cada
elemento fosse um Robson Crusoe´, isolado em sua pequena ilha, o intervalo. Por exemplo,
todo subconjunto finito da reta e´ discreto.
De uma certa forma, os subconjuntos densos esta˜o no outro lado desse espectro. Para
que um subconjunto da reta seja denso e´ necessa´rio que todo e qualquer intervalo contenha
algum de seus elementos. E´ como se seus elementos estivessem por toda a parte da reta. Os
dois subconjuntos densos da reta com os quais temos lidado ate´ agora sa˜o o conjunto dos
nu´meros racionais e o seu complementar, o conjunto dos nu´meros irracionais. Voceˆ encontrara´
a demonstrac¸a˜o de que esses dois subconjuntos da reta sa˜o densos na aula (demonstrac¸a˜o
do teorema 7.1). E´ muito proveitoso que voceˆ leia e tente entender essas argumentac¸o˜es,
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mas queremos reforc¸ar que voceˆ na˜o sera´ cobrado sobre essas demonstrac¸o˜es. Nessa etapa
de seu curso, esperamos que voceˆ conhec¸a esses fatos matema´ticos, entenda como eles se
encadeiam, consiga usa´-los para deduzir outros resultados e fac¸a esforc¸os para compreender
suas demonstrac¸o˜es.
Ainda na aula 7, e´ muito proveitoso fazer uma leitura do exemplo 7.6, onde a inequac¸a˜o
|x+ 1| < |x− 1| e´ resolvida.
Veja, voceˆ deve entender que a expressa˜o |x| e´ uma compactificac¸a˜o de uma frase matema´-
tica longa. Ou seja, cada vez que escrevemos “|x|”, na verdade, queremos dizer “x, se x ≥ 0,
ou −x, se x < 0”.
Assim, a inequac¸a˜o |x+ 1| < |x− 1| pode estar representando a inequac¸a˜o x+ 1 < x− 1,
a inequac¸a˜o x + 1 < −(x − 1) ou, ainda, −(x + 1) < −(x − 1), dependendo do caso. Tudo o
que devemos decidir e´ qual inequac¸a˜o devemos resolver, em diferentes trechos da reta.
Segundo esse ponto de vista, devemos considerar que a expressa˜o x + 1 e´ positiva ou
igual a zero no intervalo [−1, +∞) e e´ negativa no seu complementar, o intervalo (−∞, −1).
Analogamente, x−1 e´ positiva ou igual a zero em [1, +∞) e negativa em (−∞, 1). Assim, as
duas ra´ızes, 1 e -1, das expresso˜es, dividem a reta em treˆs regio˜es. Em cada uma dessas regio˜es
a inequac¸a˜o assume uma forma. A soluc¸a˜o de cada caso so´ e´ soluc¸a˜o da inequac¸a˜o original
naquela regia˜o espec´ıfica.
x− 1
x+ 1
− − − − − − − − − − + + + + + +
− − − − − + + + + + + + + + + +
u uu u
−1 1
Regia˜o A Regia˜o B Regia˜o C
Regia˜o A: ambas as expresso˜es assumem valores negativos;
Regia˜o B: x+ 1 assume valores positivos e x− 1 assume valores negativos;
Regia˜o C: ambas as expresso˜es assumem valores positivos.
Regia˜o A (−∞, −1) |x+ 1| < |x− 1| −(x+ 1) < −(x− 1)
Regia˜o B [−1, 1) |x+ 1| < |x− 1| x+ 1 < −(x− 1)
Regia˜o C [1, +∞) |x+ 1| < |x− 1| x+ 1 < x− 1
Ou seja, precisamos de muita organizac¸a˜o e pacieˆncia. No futuro consideraremos este tipo
de problema por um outro aˆngulo.
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A aula 8 apresenta o nosso principal teatro de operac¸o˜es: o plano cartesiano.
Rene´ Descartes (1596 – 1650) foi um homem extraordina´rio. Ele e´ conhecido por ter
cunhado a frase – Penso, logo existo – e por ter escrito um livro – Discurso sobre o Me´todo
para Bem Conduzir a Raza˜o e Buscar Verdade Atrave´s da Cieˆncia. Este livro e´ um marco
na histo´ria da Filosofia e teve uma enorme influeˆncia tambe´m na Matema´tica. Num apeˆndice
Descartes introduziu uma ide´ia simples mas que nunca havia sido cogitada anteriormente:
munir o plano de um sistema de coordenadas.
Ao fazer isto ele estendeu uma ponte unindo dois universos, a A´lgebra e a Geometria,
criando assim uma arquitetura que nunca mais parou de crescer. Com esse novo contexto,
equac¸o˜es como y = x2 − 2x − 4, que existiam apenas no contexto alge´brico, passaram a
representar curvas no plano. Por outro lado, subconjuntos do plano, tais como para´bolas,
hipe´rboles, c´ırculos, retas e tantas outras, passaram a ser vistos algebricamente por meio de
equac¸o˜es.
Nada mais justo do que o nome: plano cartesiano.
A aula 8 trata de dois tipos de coordenadas: as cartesianas e as polares. As cartesianas
sa˜o mais comuns, com os dois eixos, Ox e Oy. As polares, sa˜o menos conhecidas mas sa˜o
especialmente convenientes, dependendo da circunstaˆncia. Os dois sistemas permitem que
localizemos pontos no plano. Seja a partir de um par de eixos (no caso cartesiano), seja a
partir de um polo e uma semi-reta, no caso polar. Se a sua cidade e´ formada por ruas que se
cortam ortogonalmente, criando um padra˜o t´ıpico norte-sul, leste-oeste, o carteiro gostara´ de
ler os enderec¸os na forma cartesiana. Mas, se seu trabalho e´ observar a tela de um radar de
um submarino, daqueles de filmes de guerra, que va˜o bip, bip, bip, girando aquela linha verde,
a localizac¸a˜o sera´ dada pela distaˆncia ate´ o po´lo mais um informac¸a˜o sobre o aˆngulo... Bem,
acho que voceˆ ja´ pegou a ide´ia. Agora, aos problemas!
Atividades da Semana
1) Quais das afirmac¸o˜es a seguir sa˜o falsas e quais sa˜o verdadeiras, justificando sua resposta.
1. A unia˜o de dois subconjuntos densos da reta e´ um subconjunto denso;
2. A unia˜o de dois subconjuntos discretos da reta e´ um conjunto discreto;
3. Se A ⊂ R e´ um subconjunto discreto, enta˜o A∩ [a, b] e´ um subconjunto discreto na reta;
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4. Se A ⊂ R e´ um subconjunto denso, enta˜o A ∩ [a, b] e´ um subconjunto denso da reta;
Observac¸a˜o: Essa questa˜o na˜o e´ dif´ıcil mas pode conter armadilhas. Manuseie com cuidado.
2) Determine o conjunto soluc¸a˜o das equac¸o˜es e inequac¸o˜es a seguir.
a)
∣∣∣x− 2
3
∣∣∣ = 4;
b) |x+ 2| = √2;
c) |x− pi| < pi
2
;
d) |2x− 3| < |4− x|.
3) Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano:
a) A = { (x, y) ∈ R2 ; |x| ≤ 2 };
b) B = { (x, y) ∈ R2 ; |y| ≤ 3 };
c) C = { (x, y) ∈ R2 ; −1 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 3 };
d) D = { (x, y) ∈ R2 ; |x| = 1, 0 ≤ y ≤ 2 };
4) Determine as coordenadas polares dos pontos a seguir e represente-o no plano.
A = (1, 1); B = (−2, 2); C = (1,−√3).
5) Recomponha o(s) quadrado(s) em cada um dos casos a seguir.
1) x2 + 6x+ 10
2) x2 − 4x+ 2
3) z2 − 8z + 17
4) x2 − x+ 2
5) x2 + x− 5
4
6) x2 + 8x+ y2 − 4y + 19
7) x2 + 2x− y2 − 6y − 12
8) x2 − 3x+ 5
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