Apostila de Matem tica rev 0 1

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Material de Apoio	Rev: 0 de 07/16	Nestor Rodrigues
 
Apostila de Matemática “0”
Índice:
Introdução---------------------------------------------------------- pág. 3
Funções------------------------------------------------------------- pág. 3
Funções 1º. Grau------------------------------------------------- pág. 4
Funções do 2º. Grau--------------------------------------------- pág. 5
Funções Trigonométricas-------------------------------------- pag 7
Funções Exponenciais------------------------------------------ pág. 10
Funções Logarítmicas------------------------------------------- pág. 10
Funções Logarítmicas Naturais------------------------------ pág. 11
Fatoração------------------------------------------------------------ pág. 12
Triângulo Retângulo--------------------------------------------- pág. 13
Ângulos Notáveis------------------------------------------------- pág. 13
Para uso durante o curso
Fórmulas de Derivadas----------------------------------------- pág. 14
Fórmulas de Integrais------------------------------------------- pag15
Introdução:
Esta pequena apostila tem por objetivo fornecer informações já obtidas no ensino médio que se fazem necessárias para a compreensão das novas ferramentas que serão apresentadas nos cursos superiores do CCBS. Foi motivada, tendo em vista que alguns alunos apresentam dificuldades, seja no entendimento, na realização de exercícios e provas, em razão da falta destes fundamentos. Portanto, deve ser vista como um agrupamento de “dicas” visando ajudar os alunos que porventura apresentem estas dificuldades.
Funções:
Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento x a um único elemento y. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. 
Classificação de uma função:
As funções podem ser classificadas em injetora, sobrejetora e bijetora. Uma função é:
- Injetora quando, para quaisquer elementos x1 ≠ x2, temos f(x1) ≠ f(x2);
Exemplo:
                       
- Sobrejetora quando o conjunto imagem for igual ao conjunto do contradomínio, ou seja, possuem os mesmos elementos;
Exemplo:
- Bijetora quando ela for injetora e sobrejetora simultaneamente. 
Exemplo:
Função do 1º. Grau:
y = ax+ b que é uma reta
-onde a é o coeficiente angular da reta ( tangente do ângulo que a reta faz com o eixo y) então:
Se a>0 a função é crescente
Se a<0 a função é decrescente
Se a=0 a função é constante
-e b é o coeficiente linear da reta, que indica por qual ponto numérico a reta intercepta o eixo das ordenadas (y).
Função do 2º. Grau:
f(x) = ax2 + bx + c, 
onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. 
O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. 
 
Observe que o eixo de simetria intercepta o eixo x (eixo das abscissas) num ponto equidistante das raízes, além de interceptar a parábola em seu ponto de máximo ou em seu ponto de mínimo. A parábola terá ponto de máximo ou de mínimo de acordo com a sua concavidade.
Concavidade da parábola (a)
A parábola pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando a > 0 ,enquanto tem a concavidade voltada para baixo quando a < 0. Observe:
 a > 0   a < 0
Interseção da parábola com o eixo x (eixo das abscissas):
A parábola intercepta o eixo x (eixo das abscissas) no ponto (x,0), ou seja, sempre que y for igual a zero. Logo, temos que ax2 + bx + c = 0. As raízes da função são raízes da equação do 2º grau, ou seja, x = -b ± √b2-4ac /2a 
Sendo ∆ = b2 – 4ac, temos as seguintes possibilidades: 
Δ  < 0 =>  a parábola não intercepta o eixo x não tendo raízes reais.
Δ  = 0 =>  a parábola é tangente ao eixo x e tem apenas uma raiz.
Δ  > 0 =>  a parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos tendo, portanto duas raízes.
Observe as possibilidades descritas a seguir:
RAMO DA PARÁBOLA (b)
O coeficiente b determina se a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente ou decrescente sendo quando b>0 intercepta no ramo crescente e b<0 no ramo decrescente.
INTERSEÇÃO DA PARÁBOLA COM O EIXO Y (c):
A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja, y = a.02 + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c), conclusão c indica onde a parábola intercepta o eixo dos y.
VÉRTICE DA PARÁBOLA:
O vértice da parábola determina o ponto de mínimo ou de máximo da função. Tal vértice será o par ordenado (xv,yv). Então para determinar o xv fazemos:
Como o eixo de simetria passa pelo vértice sendo equidistante das raízes, temos que o xv é a média aritmética das raízes. Para calcularmos a média aritmética entre duas raízes, basta somarmos os valores e, em seguida, dividir o resultado da soma por dois. Resumindo:
Xv = -b/2a 
Yv = -∆/4a
Funções Trigonométricas básicas:
 Função seno 
f(x) = senx. O sinal da função f(x) = senx é positivo no 1º e 2º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes: 
Gráfico da função f(x) = senx
 Função cosseno 
f(x) = cosx.  O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe: 
Gráfico da função f(x) = cosx 
Função tangente 
f(x) = tgx que é = senx/cosx
Sinais da função tangente: 
 Valores positivos nos quadrantes ímpares. 
 Valores negativos nos quadrantes pares. 
 Crescente em cada valor. 
Gráfico da função tangente 
Identidades Trigonométricas:
	01) sen2x + cos2x = 1
	02) 1 + tg2x = sec2x 
	03) 1 + cotg2x = cosec2x
	04) sen (-x) = -sen x 
	05) cos (-x) = cos x
	06) tg (-x) = -tg x
	07) 
	08) 
	09) 
	10) 
	11) 
	12) 
	13) 
	14) 
	15) 
	16) 
	17) 
	18) sen 2x = 2 sen x.cos x
	19) cos 2x = cos2x - sen2x = 1 - 2 sen2x =  
= 2 cos2x - 1 
	20) 
	21) 
	22) 
	23) 
	24) 
	25) 
	26) 
	27) 
	28) 
	29) 
	30) 
	31) 
	32) 
	33) 
	
  
 
Função Exponencial (an):
Possui as seguintes propriedades:
an+m = an am ; 
an.m = ( an )m ; 
A fim de estender estas propriedades para expoente zero, expoentes negativos e racionais, definem-se:
a0 = 1 , desde que a ≠ 0 ,
a-n = 1/ an , desde que a ≠ 0 , 
a 1/n = n√ a , desde que a > 0 , 
a n/m = m√ a n sendo a > 0 e n ∈ Z e m ∈ N . 
A função exponencial natural é a função exponencial cuja base é o número de Euler. Denotado por ex ou exp(x).
O valor da base da exponencial natural , é aproximadamente 2,718281828 
Função Logarítmica:	
O logaritmo de um número positivo real x, na base b, é o expoente pelo qual b deve ser elevado para se chegar a x, sendo b um número positivo real diferente de 1. Em outras palavras, o logaritmo de x na base b é a solução de y na equação by = x
Logb x = y ⇔ by = x 
Onde b é a base do logaritmo;
x é o logaritmando;
y é o próprio logaritmo;
Propriedades dos Logaritmos:
Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é um número irracional denominado de constante ou número de Euler já referido no ítem correspondente a exponencial (e=2,71828..). Matematicamente representamos o logaritmo natural por;
ln(x) = logex 
Portanto, baseado nas propriedades de logaritmo podemos dizer:
•ln 1 = 0
•ln e = 1
•ln (en) = n	
ln (x · y) = ln x + ln y
ln (x/y) = ln x - ln y
ln (xn) = n . ln x
Muitos exercícios referentesa logaritmos naturais podem ser resolvidas a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos, especialmente a transformação de base:
Exemplificando iremos transformar a base “e” para a base decimal (10)
ln x = loge x
Fazendo a mudança de base para a base decimal
logex= log10x / Log10e
Resolvendo
loge x = log10 x / 0,434
Desmembrando
loge x = 1 / 0,434 log10 x Loge x = 2,31 log10 x
Fatoração e números notáveis:
Algumas fatorações serão úteis em simplificações para soluções de expressões algébricas, seguem as mais usadas:
Triangulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa
Seno de um angulo = cateto oposto / hipotenusa
Cosseno de um angulo = cateto adjacente / hipotenusa
Tangente =cateto oposto / cateto adjacente (a cotangente é o inverso )
Secante = hipotenusa / cateto adjacente (a cossecante é sobre o cateto oposto)
Ângulos Notáveis
Obs: é bom saber decorado.
	
Fórmulas básicas de Derivadas: 
Sejam “u” e “v” funções deriváveis de “x” e “n” uma constante.
1.				.
2.			.
3.				.
4.				.
5.				.
6.			.
7.			.
8.				.
9.			.
10.			.
11.			.	
12.			.
13.			.
14.			.
15.			.
16.			.
17.			.
18.		.	
19.		.
 20.	.
Fórmulas básicas de Integrais:
1.	.				
2. 	.
3.	.			
4.	.
5.	.			
6.	.
7.	.		
8.	.
9.	.		
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.	
14.	.
15.	.			
16.	.
17.	. 
18.	.
19.	.		
20.	.
21.	.