LE_Eq U1_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE ENGENHARIA ELE´TRICA
DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS TURMA 1
PROFESSOR: Rubem Alves da Silva (DEE)
ALUNO: 21 de outubro de 2014
LISTA DE EXERCI´CIOS - LE-Eq U1-1
1. Para cada uma das seguintes equac¸o˜es, determine se a equac¸a˜o diferencial e´ ordina´ria ou parcial,
a ordem da equac¸a˜o, e se ela e´ linear ou na˜o linear.
(a)
d2y
dx2
+
dy
dx − 2y = x
3;
(b) y
dy
dx + y
4
= sen x;
(c)
∂2y
∂t2
= c2
∂2y
∂x2
;
(d) y ′′′ − 2y ′′ + 5y ′ + y = ex;
(e)
(
dy
dx
)2
+ y = 0;
(f) x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx + 2y = 0;
(g)
1
c2
∂2z
∂t2
=
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
;
(h) uux + ut = 0;
(i) x
(
d2y
dx2
)4
+ 2y = 2x;
(j)
d2x
dt2
+ 2 sen x = sen 2t;
(k) ut + uux = σuxx, σ constante;
(l) (2x − 1)dx − dy = 0;
(m) (2x − y)dx − dy = 0;
(n)
∂u
∂x
∂u
∂y
= u;
(o) (2x − y)dx − ydy = 0.
2. Escrever cada um das seguintes equac¸o˜es de segunda ordem como um sistema de equac¸o˜es de
primeira ordem.
(a)
d2x
dt2
− dxdt − 6x = 0;
(b) 4
d2x
dt2
+ 4
dx
dt + 37x = 0;
(c) L
d2x
dt2
+ g sen x = 0;
(d)
d2x
dt2
− µ(1 − x2)dxdt + x = 0;
(e) t
d2x
dt2
+ (b − t)dxdt − ax = 0;
3. Verifique se cada uma das func¸o˜es dadas e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial correspondente
(A, B e C sa˜o constantes).
(a)
dy
dx + 2y = 0; y(x) = e
−2x, y(x) = 5e−2x;
(b)
dy
dx + xy = 0; y(x) = e
−x2/2;
(c)
dy
dx + y = sen x; y(x) = e
−x − 1
2
cos x +
1
2
sen x;
(d)
d2y
dx2
− dydx − 12y = 0; y(x) = e
4x, y(x) = e−3x;
(e)
d2y
dx2
+ 9 dydx = 0; y(x) = A + Be
−9x;
(f)
d2x
dt2
+ 3dxdt − 10x = 0; x(t) = Ae
2t
+ Be−5t;
(g)
d2x
dt2
+ x = t cos t − cos t; x(t) = A cos t + B sen t + t
2
4
sen t − t
2
sen t +
t
4
cos t;
(h)
d2y
dx2
− 12 dydx + 40y = 0; y(x) = e
6x cos 2x; y(x) = e6x sen 2x;
(i)
d3y
dx3
− 4 dydx = 0; y(x) = A + Be
2x
+Ce−2x;
(j)
d3y
dx3
− 2 d
2y
dx2
= 0; y(x) = A + Bx +Ce2x;
(k) x2
d2y
dx2
− 12x dydx + 42y = 0; y(x) = Ax
6
+ Bx7;
(l) x2
d2y
dx2
+ 3x dydx + 5y = 0; y(x) = x
−1(A cos (2 ln x) + B sen (2 ln x)).
4. Verifique se a equac¸a˜o dada satisfaz a equac¸a˜o diferencial correspondente. Use a equac¸a˜o para
determinar y(x) para o valor dado de x. Trace um gra´fico da soluc¸a˜o
(a)
dy
dx =
−x
y
; x2 + y2 = 16; x = 0;
(b) 3y (x2 + y)dx + x (x2 + 6y)dy = 0; x3y + 3xy2 = 8; x = 2;
(c)
dy
dx = −
2y
x
− 3; x3 + x2y = 100; x = 1;
(d) y cos x dx + (2y + sen x)dy = 0; y2 + y sen x = 1; x = 0;
(e)
( y
x
+ cos y
)
dx + (ln x − x sen y)dy = 0; y ln x + x cos y = 0; x = 1.
5. Use integrac¸a˜o para determinar a soluc¸a˜o da seguintes equac¸o˜es diferenciais:
(a)
dy
dx = (x
2 − 1)(x3 − 3x)3;
(b)
dy
dx = x sen (x
2);
(c)
dy
dx =
x
√
x2 − 16
;
(d)
dy
dx =
1
x ln x
;
(e)
dy
dx = x ln x;
(f)
dy
dx = x e
−x;
(g)
dy
dx =
−2(x + 5)
(x + 2)(x − 4)
(h)
dy
dx =
x − x2
(x + 1)(x2 + 1)
(i)
dy
dx =
√
x2 − 16
x
(j)
dy
dx = (4 − x
2)3/2