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Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 1 / 21 Equac¸o˜es diferenciais Rubem Alves da Silva UNIDADE ACADEˆMICA DE ENGENHARIA ELE´TRICA - DEE-UFCG 23 de outubro de 2014 Mo´dulo de estudo no 2 Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 2 / 21 SUMA´RIO 1. Campos de direc¸o˜es; O uso de ferramentas computacionais 2. Equac¸o˜es diferenciais de 1a ordem; Equac¸o˜es lineares; Problemas de valor inicial; Equac¸o˜es com coeficientes constantes; Fatores integrantes; Campos de direc¸o˜es Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 3 / 21 No estudo das equac¸o˜es diferenciais, em particular no das equac¸o˜es de primeira ordem, e´ importante apresentar uma interpretac¸a˜o geome´trica para as equac¸o˜es e para suas soluc¸o˜es Considere-se a equac¸a˜o diferencial da forma dy dt = f (t, y) (1) Sua soluc¸a˜o e´ a func¸a˜o y = φ(t), cuja representac¸a˜o geome´trica e´ o gra´fico dessa func¸a˜o. Geometricamente, a Equac¸a˜o (1) estabelece que, em qualquer ponto (t, y), o coeficiente angular dy/dt da soluc¸a˜o y(t) = φ(t) e´ dado por f (t, y). A representac¸a˜o gra´fica desse fato e´ obtida trac¸ando-se, em cada ponto (t, y) da regia˜o de interesse no plano ty, um segmento de reta com a inclinac¸a˜o f (t, y). O conjunto desses segmentos representa o campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial. Campos de direc¸o˜es: construc¸a˜o Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 4 / 21 O campo de direc¸o˜es fornece informac¸o˜es importantes sobre o comporta- mento qualitativo das soluc¸o˜es da equac¸a˜o, sendo particularmente u´til no estudo de equac¸o˜es na˜o lineares ou na resoluc¸a˜o de um problema aplicado. Ele pode ser esboc¸ado manualmente ou obtido com aux´ılio de computador. Procedimentos para o esboc¸o manual sa˜o apresentados a seguir. Para cada ponto (t, y) da regia˜o de interesse, calcula-se o coeficiente angular, f (t, y), da soluc¸a˜o; No ponto considerado, trac¸a-se um pequeno segmento de reta com a inclinac¸a˜o calculada; Esse procedimento pode ser facilitado usando-se o me´todo das iso´clinas. Iso´clinas de uma equac¸a˜o diferencial sa˜o curvas em cujos pontos as soluc¸o˜es da equac¸a˜o teˆm a mesma inclinac¸a˜o. Matema´ticamente, uma iso´clina e´ a representac¸a˜o gra´fica da equac¸a˜o f (t, y) = c, em que c e´ uma constante. Campos de direc¸o˜es: exemplos Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 5 / 21 O esboc¸o com o uso das iso´clinas ser resumido como: Esboc¸am-se as iso´clinas da equac¸a˜o, para diferentes valores de c; Em pontos escolhidos sobre cada iso´clina f (t, y) = c, trac¸am-se pequenos segmentos de reta com inclinac¸a˜o igual a c; A figura abaixo mostra o campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial y′ = −t/4y, usando-se um computador. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 6 / 21 Introduc¸a˜o: Nesta aula estudam-se equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem, cuja forma geral e´ escrita como dy dt = f (t, y) (2) em que f e´ uma func¸a˜o conhecida de duas varia´veis e y(t) e´ a func¸a˜o que se pretende determinar. Qualquer func¸a˜o y = φ(t) que satisfac¸a a equac¸a˜o, e´ considerada como uma soluc¸a˜o. Objetivos: Determinar se as soluc¸o˜es y = φ(t) existem; Em caso afirmativo, desenvolver me´todos para encontra´-las; Para uma func¸a˜o arbitra´ria f , na˜o existe um me´todo geral para resolver essa equac¸a˜o em termos de func¸o˜es elementares. Discutem-se va´rios me´todos, cada um deles aplica´vel a uma certa subclasse das equac¸o˜es de primeira ordem. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 7 / 21 Equac¸o˜es lineares: A forma geral das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira ordem e´ expressa por dy dt + p(t)y = g(t) (3) em que p(t) e g(t) sa˜o func¸o˜es conhecidas e cont´ınuas no intervalo α < t < β. Exemplo: dy dt + 1 2 y = 3 2 (4) em que p(t) = 1/2 e g(t) = 3/2 sa˜o constantes. Problema: Resolver a Equac¸a˜o (4) e determinar como sua soluc¸a˜o se comporta para grandes valores de t. Determinar a soluc¸a˜o que conte´m o ponto (0, 2). O problema e´ resolvido observando-se que v ′(t)/v(t) = d(ln |v(t)|)/dt Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 8 / 21 Resoluc¸a˜o: Reescrevendo-se a equac¸a˜o, tem-se: dy dt = − y − 3 2 → dy/dt y − 3 = − 1 2 d dt ln |y − 3| = − 1 2 d ln |y − 3| = −1 2 dt ln |y − 3| = − ∫ 1 2 dt = −1 2 t + c |y − 3| = e−t/2+c = ece−t/2 y − 3 = ±ece−t/2 y = 3 +Ce−t/2 em que C = ±ec (5) Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 9 / 21 A equac¸a˜o (5) e´ a soluc¸a˜o geral do problema e representa uma famı´lia de curvas, cada uma delas correspondendo a um dado valor de C. Comportamento assinto´tico da soluc¸a˜o: Se t → ∞ e−t/2 → 1 e∞ → 0 ⇒ y→ 3 Se t = 0 ⇒ y = 3 +C Valor de C para a soluc¸a˜o que conte´m o ponto (0, 2): No ponto (0, 2), t = 0 e y = 2 y(0) = 3 +Ce0/2 ⇒ 2 = 3 +C ⇒ C = −1 Observe-se que o ca´lculo da soluc¸a˜o que conte´m o ponto (0, 2) conduziu ao valor da constante C, permitindo a determinac¸a˜o de uma soluc¸a˜o que satisfaz a condic¸a˜o auxiliar imposta na u´ltima parte do problema. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 10 / 21 A condic¸a˜o auxiliar de uma equac¸a˜o de primeira ordem e´ denominada condic¸a˜o inicial. Tipicamente, o nu´mero dessas condic¸o˜es e´ igual a` ordem da equac¸a˜o. Representac¸a˜o gra´fica das soluc¸o˜es do problema proposto: −1 0 1 2 3 4 5 6 −1 0 1 2 3 4 5 6 t y y ’ = − (y − 3)/2 Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 11 / 21 Problemas de valor inicial Na resoluc¸a˜o de problemas modelados por equac¸o˜es diferenciais e´ frequentemente necessa´rio obter uma soluc¸a˜o que satisfac¸a certas condic¸o˜es, impostas pelo problema. Essas condic¸o˜es impo˜em valores espec´ıficos para a soluc¸a˜o, bem como para suas derivadas, correspondentes a valores dados da varia´vel livre. Considere-se o problema da determinac¸a˜o da soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial dy dt = f (t, y) de modo que y(t0) = y0. Esse problema, representado pelo sistema de equac¸o˜es dy dt = f (t, y) y(t0) = y0 e´ denominado problema de valor inicial. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 12 / 21 Equac¸a˜o com coeficientes constantes A forma mais geral da equac¸a˜o diferencial linear com coeficientes constantes e´ expressa por: dy dt = ry + k em que r e k sa˜o constantes. Se r , 0 e y , −k/r, tem-se que dy/dt y + (k/r) = r Enta˜o, ln |y + (k/r)| = rt +C em que C e´ uma constante arbitra´ria. Portanto, y + (k/r) = ±eCert ⇒ y = −k r + cert com c = ±eC Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 13 / 21 Equac¸a˜o com coeficientes constantes A constante y = −k/r, obtida da soluc¸a˜o geral tomando-se c = 0, tambe´m e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o em estudo. Ela e´ chamada soluc¸a˜o de equil´ıbrio, visto que dy/dt e´ sempre zero para esta soluc¸a˜o. O comportamento geral da soluc¸a˜o y = − k r + cert depende, principalmente,do sinal do paraˆmetro r. Se r < 0, enta˜o ert → 0 quando t → ∞ O gra´fico de todas as soluc¸o˜es tendem para a ass´ıntota horizontal y = −k/r. Se r > 0, enta˜o ert → ∞ quando t → ∞ O gra´fico de todas as soluc¸o˜es divergem da reta horizontal y = −k/r. Finalmente, observe-se que a soluc¸a˜o, y, dessa equac¸a˜o so´ e´ va´lida para r , 0. Para r = 0, a equac¸a˜o diferencial torna-se dy/dt = k, e suas soluc¸o˜es passam a ser y = kt + c, o que corresponde a uma famı´lia de retas paralelas com inclinac¸a˜o k. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 14 / 21 Equac¸a˜o com coeficientes constantes dy dt = ry + k r < 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t y y ’ = r y + k r = − 1 k = 1 Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 15 / 21 Equac¸a˜o com coeficientes constantes dy dt = ry + k r > 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 t y y ’ = r y + k r = 1 k = 1 Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 16 / 21 Fatores integrantes Uma chave para a revelac¸a˜o de um me´todo mais geral para a resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem vem do exame da equac¸a˜o de coeficientes constantes e de sua soluc¸a˜o geral, dadas, respectivamente por dy dt = ry + k e y = − k r + cert Reescrevendo a soluc¸a˜o, y, na forma ye−rt = − k r e−rt + c, e derivando os dois membros da equac¸a˜o resultante, com respeito a t, obte´m-se: (y ′ − ry)e−rt = ke−rt → dydt = ry + k Pode-se, agora, resolver essa equac¸a˜o invertendo os passos precedentes. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 17 / 21 Fatores integrantes Transpondo o termo ry da equac¸a˜o original para seu primeiro membro e multiplicando-a por e−rt, obte´m-se: (y ′ − ry)e−rt = ke−rt Sendo seu primeiro membro a derivada, com respeito a t, de ye−rt, pode-se reescreveˆ-la como (ye−rt) ′ = ke−rt Integrando os dois membros dessa equac¸a˜o, obte´m-se ye−rt = − k r e−rt + c → y = − k r + cert que e´ a soluc¸a˜o procurada da equac¸a˜o geral com coeficientes constantes. Assim, uma forma de resolver a equac¸a˜o com coeficientes constantes consiste em multiplica´-la por e−rt e integrar a equac¸a˜o resultante. Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 18 / 21 Fatores integrantes Como a multiplicac¸a˜o da equac¸a˜o considerada, por e−rt, deixa-a em uma forma diretamente integra´vel, a func¸a˜o e−rt e´ denominada fator integrante dessa equac¸a˜o. A fim de que se possa empregar esse me´todo na resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem mais gerais, deve-se ser capaz de obter o fator integrante diretamente, a partir da equac¸a˜o dy dt + p(t)y = g(t) (6) O objetivo e´ encontrar um fator integrante apropriado que, multiplicado pela equac¸a˜o dada, coloque-a em uma forma diretamente integra´vel. Para isso, multiplica-se a equac¸a˜o (6) por uma func¸a˜o µ(t), ainda indeterminada, resultando em µ(t)y ′ + µ(t)p(t)y = µ(t)g(t) (7) Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 19 / 21 Fatores integrantes Deseja-se reconhecer no primeiro membro da equac¸a˜o (7), a derivada de uma func¸a˜o conhecida. Sua forma sugere que ele pode ser a derivada do produto µ(t)y. Para que isso seja verdade, e´ necessa´rio que o segundo termo do primeiro membro da equac¸a˜o, µ(t)p(t)y seja igual a µ ′(t)y, isto e´, µ ′(t) = p(t)µ(t) (8) Supondo que µ(t) > 0, pode-se escrever µ ′(t) µ(t) = p(t) ou d dt ln µ(t) = p(t) Integrando a equac¸a˜o acima, tem-se que ln µ(t) = w p(t)dt + k Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 20 / 21 Fatores integrantes Tomando, para simplificar, k = 0 na equac¸a˜o anterior, obte´m-se µ(t) = e r p(t)dt que e´ positiva para todo valor de t, como suposto inicialmente. Multiplicando-se a equac¸a˜o geral por µ(t), obte´m-se µ(t)y ′ + µ(t)p(t)y = µ(t)g(t) Visto que µ(t) satisfaz a equac¸a˜o (8), µ ′(t) = p(t)µ(t), tem-se que µ(t)y ′ + µ ′(t)y = µ(t)g(t) ou [µ(t)y] ′ = µ(t)g(t) Equac¸o˜es diferenciais de primeira ordem Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 02 – 21 / 21 Fatores integrantes Integrando ambos os membros da equac¸a˜o [µ(t)y] ′ = µ(t)g(t) obte´m-se µ(t)y = w µ(t)g(t)dt + c ou y = r µ(t)g(t)dt + c µ(t) que e´ a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o dy dt + p(t)y = g(t) sendo seu fator integrante dado por: µ(t) = e r p(t)dt dredMódulo de estudo nº 2 dredCampos de direções dredCampos de direções: construção dredCampos de direções: exemplos dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem dredEquações diferenciais de primeira ordem
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