Módulo de estudo ED 04

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Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 04 – 1 / 19
Equac¸o˜es diferenciais
Rubem Alves da Silva
UNIDADE ACADEˆMICA DE ENGENHARIA ELE´TRICA - DEE-UFCG
04 de novembro de 2014
Mo´dulo de estudo no 4
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 04 – 2 / 19
SUMA´RIO
1. Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es de 1a ordem;
Comenta´rios sobre a modelagem de problemas;
Decaimento radioativo;
Determinac¸a˜o do instante da morte;
Rendimento de capital;
Populac¸o˜es: modelo de Malthus;
Populac¸o˜es: modelo de Verhulst.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 04 – 3 / 19
As equac¸o˜es diferenciais teˆm aplicac¸o˜es na investigac¸a˜o de problemas em quase
todos os campos do conhecimento humano. Independentemente do campo particular de
aplicac¸a˜o, essa investigac¸a˜o envolve treˆs procedimentos gerais, comentados a seguir.
Modelagem: consiste, essencialmente, na construc¸a˜o da representac¸a˜o matema´tica
do problema.
Esta etapa e´ realizada a partir da formulac¸a˜o de hipo´teses acerca do fenoˆmeno que
se pretende estudar e que parec¸am coerentes com as observac¸o˜es e com o
conhecimento que se tem do problema. Sa˜o exemplos dessas hipo´teses:
A quantidade de material radioativo em uma amostra decai com uma taxa
proporcional a` quantidade de material presente na amostra;
O calor se transfere de um corpo quente para um frio com uma taxa
proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre eles;
As populac¸o˜es isoladas de insetos crescem a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o
presente.
Nesta etapa introduzem-se inu´meras simplificac¸o˜es na descric¸a˜o do problema, seja
para na˜o inviabilizar a etapa seguinte, pela construc¸a˜o de uma modelo demasiado
complicado, seja pela impossibilidade de modelar todos os aspectos do sistema real.
Modelos sa˜o sempre aproximac¸o˜es da realidade.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Resoluc¸a˜o: determinac¸a˜o das soluc¸o˜es das equac¸o˜es obtidas na etapa de modelagem.
A resoluc¸a˜o das equac¸o˜es pode ser realizada utilizando-se me´todos anal´ıticos,
nume´ricos ou gra´ficos.
Os me´todos anal´ıticos conduzem a soluc¸o˜es fechadas do problema, isto e´, a
fo´rmulas que representam as soluc¸o˜es procuradas;
Os me´todos nume´ricos produzem aproximac¸o˜es das soluc¸o˜es desejadas. Sa˜o
utilizados quando e´ dif´ıcil ou imposs´ıvel obter soluc¸o˜es anal´ıticas;
Os me´todos gra´ficos sa˜o utilizados em muitas situac¸o˜es, quer pela
impossibilidade de aplicar outros me´todos, quer para permitir uma visualizac¸a˜o
do comportamento qualitativo das soluc¸o˜es.
Nesta fase, podem-se introduzir simplificac¸o˜es adicionais no modelo obtido na etapa
anterior, a fim de simplificar, ou mesmo viabilizar, sua resoluc¸a˜o.
O conhecimento ı´ntimo da natureza do problema que se pretende resolver, bem
como das te´cnicas matema´ticas utilizadas na sua modelagem e na sua resoluc¸a˜o, sa˜o
requisitos essenciais na formac¸a˜o dos profissionais da a´rea de interesse.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Validac¸a˜o: verificac¸a˜o da validade e da qualidade das soluc¸o˜es obtidas.
Obtida a soluc¸a˜o, sua aproximac¸a˜o e/ou a maior quantidade poss´ıvel de informac¸o˜es
sobre ela, e´ necessa´rio interpreta´-las e verificar a fidelidade com que descreve o
comportamento do sistema estudado. Isso pode envolver o ca´lculo de alguns valores
da soluc¸a˜o e sua comparac¸a˜o com dados observados ou determinados
experimentalmente, ou a comparac¸a˜o do comportamento do sistema com os
resultados obtidos da soluc¸a˜o para um longo per´ıodo de tempo. Mesmo quando a
soluc¸a˜o encontrada parecer satisfato´ria, e´ necessa´rio estabelecer em que grau ela
aproxima o comportamento observado do sistema, e os erros que incorpora quando
comparada com soluc¸o˜es obtidas por outros meios, caso existam.
A seguir, sa˜o discutidas algumas aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
lineares de primeira ordem, atrave´s da resoluc¸a˜o de problemas t´ıpicos que aparecem em
algumas a´reas do conhecimento.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Decaimento radioativo
O nucl´ıdeo radioativo to´rio 234 desintegra-se a uma taxa proporcional a` quantidade
presente. Se 100 mg desse material reduzirem-se a 82, 04 mg em uma semana, achar a
expressa˜o para a quantidade presente em qualquer instante, bem como o tempo
necessa´rio para que a massa do material se reduza a` metade do seu valor original.
Resoluc¸a˜o:
Quantidade de material no instante t: Q(t), em mg; t em dias.
Taxa de desintegrac¸a˜o do material:
dQ
dt = −rQ r > 0 (constante de decaimento)
Condic¸a˜o inicial e condic¸a˜o em t = 7:
Q(0) = 100 e Q(7) = 82, 4
dQ/Q = −rdt ⇒ Q(t) = ce−rt
t = 0 → c = 100 ⇒ Q(t) = 100e−rt
t = 7 e Q(7) = 82, 04 ⇒ 82, 04 = 100e−7r
r = − ln 0, 8204/7 = 0, 02828 dias−1 ⇒ Q(t) = 100e0,02828t mg
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Decaimento radioativo
O tempo necessa´rio para que a massa inicial do material se reduza a` metade e´:
t = τ (meia vida) → Q(τ) = 50 mg ⇒ 50 = 100e−rτ
rτ = ln 2 ⇒ τ = ln 2/0, 02828 τ � 24, 5 dias
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Determinac¸a˜o do instante da morte
Descric¸a˜o do problema: O corpo de um indiv´ıduo e´ encontrado em uma certa hora.
Deseja-se determinar a hora da sua morte.
Modelagem:
Estudos experimentais indicam que, apo´s a morte, a temperatura superficial do corpo se
altera com uma taxa proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura do corpo e a do
ambiente (lei do resfriamento de Newton).
Temperatura do corpo em um instante t: θ(t); Temperatura constante do ambiente: T
Taxa de variac¸a˜o da temperatura do corpo:
dθ
dt = −k(θ − T ), k > 0
Justificativa para o sinal negativo no segundo membro:
θ > T : θ − T > 0 e dθ/dt < 0
θ < T : θ − T < 0 e dθ/dt > 0
Hipo´tese de trabalho: a temperatura do corpo vivo e´ θv = 37◦ C
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Determinac¸a˜o do instante da morte
Resoluc¸a˜o:
O corpo e´ encontrado em um instante t = t0 = 0. A medic¸a˜o de sua temperatura indica
que θ(0) = θ0
Resolvendo-se a equac¸a˜o diferencial que modela o problema, tem-se que:
θ(t) = T +Ce−kt
Usando a condic¸a˜o inicial θ(0) = θ0, determina-se C = θ0 − T . Enta˜o,
θ(t) = T + (θ0 − T )e−kt
Para determinar a constante k, ainda desconhecida, efetua-se uma segunda medic¸a˜o da
temperatura do corpo, num instante t1, obtendo-se θ(t1) = θ1.
Substituindo-se esses dados na equac¸a˜o da soluc¸a˜o, obteˆm-se:
θ(t1) = θ1 = T + (θ0 − T )e−kt1
k = − 1
t1
ln θ1 − T
θ0 − T
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Determinac¸a˜o do instante da morte
Para determinar o instante da morte, tm, substituem-se t = tm e θ = θm = θv na equac¸a˜o da
soluc¸a˜o, obtendo-se:
tm = −
1
k ln
θv − T
θ0 − T
Aplicac¸a˜o nume´rica:
Supondo-se que, no instante da descoberta, a temperatura do corpo era de 30◦ C e a
temperatura ambiente era de 20◦ C, e que , duas horas depois, a temperatura do corpo
era de 23◦ C, conclui-se que:
k = −1
2
ln 23 − 2030 − 20 ≈ 0, 6020 h
−1
e que
tm = −
1
0, 6020 ln
37 − 20
30 − 20 ≈ −0, 881 h
Enta˜o, o corpofoi encontrado aproximadamente 53 minutos apo´s a morte.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Rendimento de capital
Descric¸a˜o do problema: Certo capital e´ aplicado em um banco que paga juros a uma
taxa perio´dica r. Qual o valor do capital apo´s um tempo t de investimento?
Modelagem:
Um modelo ideal (para o investidor) pressupo˜e que a taxa de variac¸a˜o do capital e´
proporcional ao valor atual do investimento. Matematicamente,
dC(t)
dt = rC(t)
em que C(t) e´ o valor atual do investimento, r e´ a taxa de juros e t e´ o tempo.
Resoluc¸a˜o:
dC(t)
C(t) = rdt ⇒
∫ dC(t)
C(t) =
∫
rdt
ln |C(t)| = rt + k ⇒ C(t) = e(rt+k) = ertek = Kert
Sendo C0 o valor inicial do capital aplicado, tem-se a condic¸a˜o inicial C(0) = C0.
Logo,
C(0) = Kerx0 = K = C0 ⇒ C(t) = C0ert
que e´ o valor do capital no instante t.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Rendimento de capital
Aplicac¸a˜o nume´rica:
Seja C0 um capital de R$ 1.000,00, aplicado a uma taxa de juros mensal de 5%, durante
um per´ıodo de 8 meses. Qual o valor final do capital?
Resoluc¸a˜o:
Aplicando-se a equac¸a˜o para C(t), obtida anteriormente, tem-se que
C(t) = 1.000 × e0,05×8 = 1.491, 80
Portanto, o valor do capital apo´s 8 meses de aplicac¸a˜o e´ R$ 1.491,80.
O modelo descrito, embora conveniente para o investidor, na˜o o e´ para as instituic¸o˜es
financeiras. Enquanto ele preconiza que o juro e´ capitalizado continuamente, nos
modelos adotados pelos bancos a capitalizac¸a˜o do juro e´ feita periodicamente, isto e´,
anualmente, mensalmente, semanalmente ou mesmo diariamente, dependendo da
instituic¸a˜o, do tipo de aplicac¸a˜o, etc.
Considere-se que o capital C0 seja aplicado por t meses em um banco que o remunera
com uma taxa de juros mensal r e que a capitalizac¸a˜o seja feita meˆs a meˆs. Ao final do
primeiro meˆs, o valor do capital sera´
C1 = C0 +C0 × r = C0(1 + r)
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Rendimento de capital
Aos finais dos messes subsequentes, os valores do capital sera˜o:
C(2) = C(1) +C(1) × r = C(1)(1 + r) = C(0)(1 + r)2
C(3) = C(2) +C(2) × r = C(2)(1 + r) = C(0)(1 + r)3
.
.
.
.
.
.
C(t) = C(t − 1) +C(t − 1) × r = C(t − 1)(1 + r) = C(0)(1 + r)t
E´ fa´cil mostrar que, se a remunerac¸a˜o for feita duas vezes por meˆs, o valor do capital no
final de t meses sera´
C(t) = C(0)
(
1 +
r
2
)2t
De um modo geral, se a remunerac¸a˜o do capital for feita m vezes por per´ıodo, o valor do
capital no fim de t per´ıodos sera´
C(t) = C(0)
(
1 +
r
m
)mt
Pode-se demonstrar que o modelo de remunerac¸a˜o cont´ınua pode ser obtido deste consi-
derando-se que o nu´mero de remunerac¸o˜es por per´ıodo, m, tende para infinito, isto e´,
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Rendimento de capital
lim
m→∞
C0
(
1 +
r
m
)mt
= C0ert
Aplicac¸a˜o nume´rica:
Resolvendo-se a aplicac¸a˜o nume´rica anterior supondo-se que a remunerac¸a˜o do capital e´
feita mensalmente, tem-se que:
C(t) = C0(1 + r)t
C(8) = 1.000(1 + 0, 05)8 = 1.477, 50
Portanto, o valor do capital apo´s 8 meses de aplicac¸a˜o e´ R$ 1.477,50.
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Populac¸o˜es: o modelo de Malthus
Descric¸a˜o do problema: Deseja-se determinar o nu´mero de indiv´ıduos de uma dada
populac¸a˜o, em um certo instante.
Modelagem:
Supo˜e-se que a taxa de crescimento da populac¸a˜o e´ proporcional ao seu valor
instantaˆneo:
dy(t)
dt = ry(t)
em que y(t) e´ a populac¸a˜o no instante t e r e´ sua taxa de variac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o:
O problema e´ ana´logo ao discutido anteriormente e, com a populac¸a˜o inicial dada por
y(0) = y0, sua soluc¸a˜o e´ dada por
y(t) = y0ert, r > 0.
Aplicac¸a˜o nume´rica:
Uma cultura de bacte´rias tem uma populac¸a˜o inicial n = 100. Se a populac¸a˜o dobra a
cada 3 dias, qual o nu´mero de bacte´rias apo´s 30 dias? Quanto tempo e´ necessa´rio para
que a populac¸a˜o atinja o nu´mero de 4.250 indiv´ıduos?
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Populac¸o˜es: o modelo de Malthus
Resoluc¸a˜o:
a) Observando-se que y(0) = y0 = 100 e y(3) = 200, tem-se que:
y(t) = 100ert e y(3) = 200 = 100e3r ⇒ e3r = 2 ⇒ er = 21/3
Logo,
y(t) = 100 × 2t/3
y(30) = 100 × 230/3 = 100 × 210 = 102.400 indiv´ıduos
b)
y(t) = 4.250 = 100 × 2t/3 ⇒ 2t/3 = 42, 5
t =
3 ln 42, 5
ln 2
≈ 16, 228 dias
Embora esse modelo possa ser comprovado em condic¸o˜es particulares, ele na˜o pode ser
aplicado em situac¸o˜es mais gerais. Fatores como limitac¸o˜es de espac¸o e de alimentos,
bem como a morte de indiv´ıduos, limitam o crescimento das populac¸o˜es. Um modelo
que leva em conta esses fatores e´ o representado pela equac¸a˜o log´ıstica ou equac¸a˜o de
Verhulst (1), apresentado a seguir.
(1)
Devida ao matema´tico Belga Pierre Verhulst
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
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Populac¸o˜es: o modelo de Verhulst
O modelo de Verhulst e´ representado pela equac¸a˜o
dy
dt = [r − ay(t)]y(t) = ry(t) − ay
2(t)
em que r e a sa˜o constantes, com condic¸a˜o inicial y(0) = y0.
O termo (−y2) representa os fatores inibidores. Neste modelo a populac¸a˜o nunca cresce
sem controle nem decai continuamente, como ocorre no modelo de Malthus.
Resoluc¸a˜o: A equac¸a˜o diferencial e´ separa´vel e pode ser escrita como
dy
(r − ay)y = dt
Expandindo o coeficiente do primeiro membro em frac¸o˜es parciais, obteˆm-se:
1
(r − ay)y =
A
r − ay
+
B
y
1 = Ay + B(r − ay) ⇒ A = a/r e B = 1/r(
a/r
r − ay
+
1/r
y
)
dy = dt →
(
a
r − ay
+
1
y
)
dy = rdt
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 04 – 18 / 19
Populac¸o˜es: o modelo de Verhulst
Integrando os dois membros da equac¸a˜o anterior:
− ln |r − ay| + ln |y| = rt + c ⇒ ln
∣∣∣∣∣ yr − ay
∣∣∣∣∣ = rt + c
y
r − ay
= ±ert+c = Kert (K = ±ec)
Resolvendo a equac¸a˜o acima para y:
y = r
(
1
K
e−rt + a
)−1
Aplicando a condic¸a˜o inicial y(0) = y0, obte´m-se:
K =
y0
r − ay0
Portanto, a soluc¸a˜o procurada do problema de valor inicial e´
y(t) = ry0
ay0 + (r − ay0)e−rt
Aplicac¸o˜es das equac¸o˜es diferenciais
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE I: Mo´dulo de estudo 04 – 19 / 19
Populac¸o˜es: o modelo de Verhulst
Aplicac¸a˜o nume´rica:
Resolver a equac¸a˜o log´ıstica se r = 1/100 e a = 1/108, dado que y(0) = 100.000.
Determinar y(25). Qual e´ o limite da populac¸a˜o?
Resoluc¸a˜o:
A soluc¸a˜o y(t), nas condic¸o˜es dadas e´
y(t) = 1.000.000
1 + 9e−t/100
y(25) = 1.000.000
1 + 9e−25/100 ≈ 124.856
Quando o tempo tende para infinito, a populac¸a˜o aproxima-se de
Y = lim
t→∞
y(t) = 1.000.000
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