Módulo de estudo ED 05

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Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE II: Mo´dulo de estudo 05 – 1 / 9
Equac¸o˜es diferenciais
Rubem Alves da Silva
UNIDADE ACADEˆMICA DE ENGENHARIA ELE´TRICA - DEE-UFCG
13 de novembro de 2014
Mo´dulo de estudo no 5
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE II: Mo´dulo de estudo 05 – 2 / 9
SUMA´RIO
1. Equac¸o˜es lineares de segunda ordem;
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes;
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes
Prof. Rubem A. Silva Equac¸o˜es Diferenciais UNIDADE II: Mo´dulo de estudo 05 – 3 / 9
A forma geral de uma equac¸a˜o diferencial ordina´ria de segunda ordem e´
d2y
dt2
= f
(
t, y,
dy
dt
)
(1)
em que t e´ a varia´vel independente (eventualmente usa-se x), y e´ a varia´vel dependente, e f e´
uma func¸a˜o conhecida.
A Equac¸a˜o (1) e´ linear quando f e´ uma func¸a˜o linear em y e suas derivadas, isto e´ ,
f
(
t, y,
dy
dt
)
= g(t) − p(t) dydt − q(t)y (2)
em que g, p e q sa˜o func¸o˜es conhecidas da varia´vel independente. Neste caso, a Equac¸a˜o (1)
pode ser escrita como
y ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = g(t) (3)
Frequentemente encontra-se a Equac¸a˜o (1) escrita na forma
P(t)y ′′ + Q(t)y ′ + R(t)y = G(t) (4)
Dividindo-se a Equac¸a˜o (4) por P(t), ela se reduz a` Equac¸a˜o (3) com
p(t) = Q(t)
P(t) q(t) =
R(t)
P(t) g(t) =
G(t)
P(t) (5)
O estudo e as tentativas de resoluc¸a˜o da equac¸a˜o (3) limitam-se a intervalos em que p, q e g, sa˜o
cont´ınuas.
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes
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Se a Equac¸a˜o (1) na˜o tem a forma da Equac¸a˜o (3) ou da Equac¸a˜o (4), ela e´ na˜o linear.
A resoluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem na˜o lineares e´ um to´pico muito dif´ıcil
para o n´ıvel desse curso, exceto para dois casos especiais em que uma mudanc¸a de varia´veis as
reduz a equac¸o˜es de primeira ordem.
Um problema de valor inicial
Um problema de valor inicial e´ constitu´ıdo por uma equac¸a˜o diferencial na forma das
Equac¸o˜es (1), (2) ou (3) e por um par de condic¸o˜es iniciais expressas por
y(t0) = y0, y ′(t0) = y ′0 (6)
Note-se que a primeira condic¸a˜o inicial especifica um ponto particular, (t0, y0), por onde deve
passar a curva da soluc¸a˜o da equac¸a˜o. Ja´ a segunda condic¸a˜o especifica o coeficiente angular,
y ′0, da curva, naquele ponto.
Equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o homogeˆneas
Uma equac¸a˜o diferencial linear de segunda ordem e´ dita homogeˆnea se o termo g(t), na Equac¸a˜o
(3), ou o termo G(t), na equac¸a˜o (4), for nulo para todo t. Em caso contra´rio, a equac¸a˜o e´ na˜o
homogeˆnea.
As equac¸o˜es diferenciais lineares homogeˆneas sa˜o representadas pela equac¸a˜o
P(t)y ′′ + Q(t)y ′ + R(t)y = 0 (7)
Sera´ demonstrado que, resolvida a equac¸a˜o homogeˆnea, e´ sempre poss´ıvel encontrar uma soluc¸a˜o
para a correspondente equac¸a˜o na˜o homogeˆnea.
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes
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Quando os coeficientes P, Q e R na Equac¸a˜o (4) sa˜o constantes, a equac¸a˜o e´ denominada
equac¸a˜o diferencial linear homogeˆnea com coeficientes constantes, podendo ser escrita na
forma
ay ′′ + by ′ + cy = 0 (8)
O estudo da Equac¸a˜o (8) e´ o ponto de partida para o desenvolvimento da teoria das equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias de segunda ordem.
Resoluc¸a˜o
O procedimento de resoluc¸a˜o das equac¸o˜es diferenciais com a forma da Equac¸a˜o (8), sera´
desenvolvido com base em um exemplo simples.
Considere-se a equac¸a˜o
y ′′ − y = 0, (9)
que tem a forma da Equac¸a˜o (8), com a = 1, b = 0 e c = −1.
Resolver essa equac¸a˜o e´ encontrar uma func¸a˜o, y(t), cuja derivada segunda seja igual a` pro´pria
func¸a˜o. Func¸o˜es, bastante conhecidas do Ca´lculo, que teˆm essa propriedade sa˜o: y1(t) = et e
y2(t) = e−t.
Pode-se verificar, por derivac¸a˜o, que as func¸o˜es c1y1(t) = c1et e c2y2(t) = c2e−t , tambe´m satisfazem
a Equac¸a˜o (9), para quaisquer constantes arbitra´rias c1 e c2.
Finalmente, ainda por derivac¸a˜o, o importante fato de que, qualquer soma das soluc¸o˜es da
Equac¸a˜o (9) e´, tambe´m, uma soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o. Desse modo, visto que c1y1(t) e c2y2(t), sa˜o
soluc¸o˜es da Equac¸a˜o (9), tambe´m o e´ a func¸a˜o
y = c1y1(t) + c2y2(t) = c1et + c2e−t (10)
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes
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Como c1 e c2 sa˜o constantes arbitra´rias, a Equac¸a˜o (10) representa uma famı´lia duplamente
infinita de soluc¸o˜es da Equac¸a˜o (9). Um membro particular dessa famı´lia pode ser obtido pela
prescric¸a˜o de duas condic¸o˜es iniciais que devem ser satisfeitas pela soluc¸a˜o representada pela
Equac¸a˜o (10).
Sejam
y(0) = 2 e y ′(0) = −1 (11)
essas condic¸o˜es iniciais. Fazendo t = 0 e y = 2 na Equac¸a˜o (10), obte´m-se:
c1 + c2 = 2 (12)
Em seguida, derivando a Equac¸a˜o (10) com respeito a t, e usando a segunda condic¸a˜o inicial,
tem-se que
c1 − c2 = −1 (13)
Resolvendo simultaneamente as Equac¸o˜es (12) e (13) para c1 e c2, obteˆm-se:
c1 =
1
2
e c2 =
3
2
(14)
Substituindo-se os valores de c1 e c2 na Equac¸a˜o (10), obte´m-se
y =
1
2
et +
3
2
e−t (15)
que e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial constitu´ıdo pela Equac¸a˜o (9), e pelas condic¸o˜es
iniciais, dadas nas Equac¸o˜es (11)
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes
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Retornando a` Equac¸a˜o diferencial com coeficientes constantes (8),
ay ′′ + by ′ + cy = 0
procura-se por soluc¸o˜es na forma de exponenciais.
Supondo-se que y = ert, em que r e´ um paraˆmetro a determinar, e´ uma dessas soluc¸o˜es,
determinam-se y ′ = rert e y ′′ = r2ert. Substituindo-se as expresso˜es de y, y ′ e y ′′ na Equac¸a˜o (8),
obte´m-se: (
ar2 + br + c
)
ert = 0.
Como ert , 0, resulta que
ar2 + br + c = 0 (16)
A Equac¸a˜o (16) e´ denominada equac¸a˜o caracter´ıstica da equac¸a˜o diferencial (8).
No caso de r ser uma raiz da Equac¸a˜o (16), y = ert e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial (8).
A equac¸a˜o caracter´ıstica tem duas ra´ızes que podem ser reais e diferentes, reais e iguais, ou
complexas conjugadas.
Caso I: ra´ızes reais e diferentes
Sejam r1 e r2, (r1 , r2) ∈ R, as ra´ızes da Equac¸a˜o (16). Enta˜o, y1 = er1t e y2 = er2 t sa˜o soluc¸o˜es da
equac¸a˜o diferencial (8).
Consequentemente,
y(t) = c1er1t + c2er2t (17)
e´, tambe´m, uma soluc¸a˜o daquela equac¸a˜o diferencial.
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientes constantes
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De fato, derivando-se sucessivamente, duas vezes, a Equac¸a˜o (17), obteˆm-se:
y ′ = c1r1er1t + c2r2er2t (18)
e
y ′′ = c1r21e
r1t
+ c2r
2
2e
r2t (19)
Substituindo-se as Equac¸o˜es (18) e (19) na Equac¸a˜o diferencial (8), tem-se que
ay ′′ + by ′ + cy = c1(ar21 + br1 + c)er1t + c2(ar22 + br2 + c)er2 t = 0 (20)
visto que, sendo r1 e r2 ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica, as expresso˜es entre pareˆnteses na
equac¸a˜o acima sa˜o nulas.
Um membro particular da famı´lia de soluc¸o˜es representada pela Equac¸a˜o (17) pode ser obtido a
partir da especificac¸a˜o das condic¸o˜es iniciais
y(t0) = y0 y ′(t0) = y ′0
Fazendo-se t = t0 e y = y0 na Equac¸a˜o (17), obte´m-se:
c1e
r1t0
+ c2e
r2 t0
= y0 (21)
Analogamente, fazendo-se t = t0 e y ′ = y ′0 na Equac¸a˜o (18), tem-se:
c1r1e
r1t0
+ c2r2e
r2t0
= y ′0 (22)
A resoluc¸a˜o simultaˆnea das Equac¸o˜es (21) e (22) para c1 e c2 conduz a
c1 =
y ′0 − y0r2
r1 − r2
e−r1t0 , c2 =
y0r1 − y ′0
r1 − r2
e−r2t0 (23)
Equac¸o˜es homogeˆneas com coeficientesconstantes
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Observe-se que:
Quaisquer que sejam as condico˜es iniciais prescritas, e´ poss´ıvel determinar c1 e c2 de modo a
satisfazer essas condic¸o˜es;
Ha´ so´ uma escolha poss´ıvel de c1 e c2 para cada conjunto de condic¸o˜es iniciais dado;
Com os valores de c1 e c2, determinados anteriormente, a equac¸a˜o
y(t) = c1er1t + c2er2t
e´ a soluc¸a˜o do problema de valor inicial descrito por
ay ′′ + by ′ + cy = 0, y(t0) = y0, y ′(t0) = y ′0
Exerc´ıcios:
1. Determinar a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o
y ′′ + 5y ′ + 6y = 0
2. Determinar a soluc¸a˜o do problema de valor inicial
y ′′ + 5y ′ + 6y = 0, y(0) = 2, y ′(0) = 3
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