Probabilidade e Estatistica: quantificando a incerteza

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AUTORES 
 
João Ismael Pinheiro é Engenheiro Eletrônico pelo IME, RJ (1969), mestre em 
Matemática pelo IMPA, RJ (1972), mestre em Economia (1981) e mestre em Análise de 
Dados e Estatística Computacional (1982), ambos pela Stanford University, Estados 
Unidos. 
 
Santiago S. Ramírez Carvajal é Engenheiro Químico pela Universidade 
de Concepción, Chile (1968), Master em Estatística Matemática pelo Centro 
Interamericano de Enseñanza de Estatística, CIENES, Chile (1871) e Doutor em 
Engenharia de Produção pela COPPE-UFRJ (1982). 
 
Sonia Baptista da Cunha é bacharel em Estatística pela Universidade Federal do Rio 
de Janeiro, UFRJ (1979) e mestre em Estatística pela UFRJ (1984). 
 
Gastão Coelho Gomes é bacharel em Matemática pela UFRJ (1977), mestre em 
Matemática pela UFRJ (1983), mestre em Math-Statistics pela University of Waterloo, 
Canadá (1991), e doutor em Engenharia de Produção pela COPPE-Produção / UFRJ 
(2000). 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
CAPÍTULO 1 – CÁLCULO DE PROBABILIDADES ...................................................................................... 1 
1.1. Modelos Determinísticos e Modelos Probabilísticos ........................................................................ 1 
1.2. Alguns conceitos fundamentais ......................................................................................................... 2 
1.3. Eventos especiais ............................................................................................................................. 4 
1.4. Probabilidades: Conceito clássico ..................................................................................................... 5 
1.5. Probabilidades: Conceito Freqüentista .............................................................................................. 7 
1.6. Definição Axiomática e algumas propriedades das probabilidades .................................................. 8 
1.7. Espaços de probabilidades finitos – Técnicas de Contagem ........................................................... 10 
1.8. Probabilidade Condicional .............................................................................................................. 15 
1.9. Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes .................................................................... 20 
1.10. Eventos independentes .................................................................................................................... 23 
RESUMO DO CAPÍTULO 1 ..................................................................................................................... 25 
 
CAPÍTULO 2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS .......................................................................... 28 
2.1. O conceito geral de variável aleatória ............................................................................................. 28 
2.2. O conceito de Variável aleatória discreta ........................................................................................ 32 
2.3. Distribuição de probabilidade de uma v.a. discreta ......................................................................... 32 
2.4. Esperança e variância de uma variável aleatória discreta. ............................................................... 34 
2.5. Alguns dos modelos discretos mais importantes ............................................................................ 38 
RESUMO DO CAPÍTULO 2 ..................................................................................................................... 48 
 
CAPÍTULO 3 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS ......................................................................... 50 
3.1. O conceito de variável aleatória contínua ....................................................................................... 50 
3.2. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua .................................................. 51 
3.3. Medidas de Centralidade e de Dispersão de uma V. A. Contínua ................................................... 55 
3.4. Alguns dos modelos contínuos mais importantes .......................................................................... 59 
3.5. A Distribuição Normal ................................................................................................................... 66 
3.5.1. Generalidades ....................................................................................................................... 66 
3.5.2. Distribuição Normal Padrão................................................................................................. 68 
3.5.3. Propriedades da Distribuição Normal: ................................................................................. 68 
3.5.4. Padronização ....................................................................................................................... 70 
3.5.5. Uso da tabela da Normal para o Cálculo de Probabilidades ................................................ 70 
RESUMO DO CAPÍTULO 3 ..................................................................................................................... 76 
 
CAPÍTULO 4 –FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA ................................................................... 79 
4.1. Função de uma v.a. discreta ............................................................................................................ 79 
4.2. Função de uma v.a. contínua .......................................................................................................... 80 
4.3. Esperança e variância de uma função de uma variável aleatória ..................................................... 86 
4.4. Propriedades da esperança, da variância e do desvio-padrão ......................................................... 87 
RESUMO DO CAPÍTULO 4 ..................................................................................................................... 89 
 
 
 
CAPÍTULO 5 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS .............................................................. 91 
5.1. Variáveis aleatórias bidimensionais discretas. ................................................................................ 92 
5.2. Variáveis aleatórias bidimensionais contínuas. ............................................................................... 93 
5.3. Distribuições marginais ................................................................................................................... 96 
5.4. Cálculo das medidas de centralidade e de dispersão a partir da distribuição conjunta .................... 97 
5.5. Distribuições condicionais. Esperanças e Variâncias condicionais. Distribuição, Esperança e 
Variância condicionais: Caso discreto ............................................................................................ 98 
5.6. Variáveis aleatórias independentes. .............................................................................................. 104 
5.7. Covariância e Correlação ............................................................................................................. 106 
5.8. Função de duas variáveis aleatórias. ............................................................................................. 110 
5.8.1. Distribuição de probabilidade de uma função de duas variáveis aleatórias ....................... 110 
5.8.2. Esperança de uma função de duas variáveis aleatórias ...................................................... 114 
5.8.3. Esperança e Variância de uma combinação linear de duas variáveis aleatórias ................. 114 
RESUMO DO CAPÍTULO 5 ................................................................................................................... 115 
 
CAPÍTULO 6 – VETORES ALEATÓRIOS MULTIDIMENSIONAIS ......................................................119 
6.1. Distribuição Conjunta ................................................................................................................... 120 
6.1.1. O Modelo Multinomial ...................................................................................................... 121 
6.1.2. O modelo Normal Multidimensional ................................................................................. 123 
6.2. Independência ............................................................................................................................... 124 
6.3. Propriedades adicionais da esperança e da variância ................................................................... 124 
6.4. Soma de Variáveis Aleatórias Independentes ............................................................................... 125 
6.5. Combinação Linear de n variáveis aleatórias Normais independentes ......................................... 128 
6.6. Teorema Central do Limite ........................................................................................................... 128 
6.7. Aproximação de diversas Distribuições pela distribuição Normal ................................................ 129 
6.7.1. Aproximação da distribuição Binomial pela Normal ......................................................... 130 
6.7.2. Aproximação Normal para a distribuição de Poisson.- ...................................................... 132 
6.7.3. Aproximação Normal para a distribuição de Pascal .......................................................... 133 
6.7.4. Aproximação Normal para a distribuição Gama ................................................................ 134 
RESUMO DO CAPÍTULO 6 ................................................................................................................... 115 
 
CAPÍTULO 7 – ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS AMOSTRAIS ................................................ 139 
7.1. Analisando dados .......................................................................................................................... 141 
7.2. Tipologia das variáveis ................................................................................................................. 142 
7.3. Distribuições de Frequências. Tabelas e Gráficos ......................................................................... 145 
 7.3.1 Tabelas de Frequências para Variáveis Qualitativas ............................................................ 145 
 7.3.2 Gráficos de barras e Gráficos de setores para Variáveis Qualitativas .................................. 145 
 7.3.3 Tabelas de Frequências para Variáveis Qualitativas ............................................................ 147 
 7.3.4 Tabelas de Frequências para Variáveis Quantitativas .......................................................... 147 
7.4. Medidas de Centralidade para dados amostrais quantitativos ...................................................... 149 
7.5. Medidas de Dispersão para dados amostrais quantitativos ........................................................... 151 
7.6. O conceito de resistência de uma medida ..................................................................................... 153 
7.7. Identificação de Discrepâncias em Variáveis Quantitativas .......................................................... 153 
7.8. Box Plot para Variáveis Quantitativas .......................................................................................... 155 
7.9. Estudando a relação entre duas variáveis ...................................................................................... 156 
 
 
 7.9.1. Relação entre Variáveis Qualitativas. Tabelas de Contingência ......................................... 156 
 7.9.2. Covariância e Correlação entre Variáveis Quantitativas ..................................................... 159 
 7.9.3. Reta de Regressão ............................................................................................................... 163 
RESUMO DO CAPÍTULO 7 ................................................................................................................... 166 
 
CAPÍTULO 8 – AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO PONTUAL .................................................................. 170 
8.1. Amostra aleatória .......................................................................................................................... 171 
8.2. Estatísticas ..................................................................................................................................... 172 
8.3. A Média Amostral ......................................................................................................................... 172 
8.4. A Variância e o Desvio Padrão amostrais ..................................................................................... 176 
8.5. Estatísticas de ordem ..................................................................................................................... 176 
8.6. A Proporção Amostral ................................................................................................................... 178 
8.7. Estimação Pontual de parâmetros.................................................................................................. 179 
 8.7.1. Principais exemplos de Estimadores Pontuais ..................................................................... 180 
 8.7.2. Estimador não Tendencioso ................................................................................................ 180 
 8.7.3. O Erro Quadrático Médio ................................................................................................... 181 
 8.7.4. O Erro Absoluto de estimação ............................................................................................ 184 
8.8. Dimensionamento da amostra ...................................................................................................... 186 
 8.8.1. Dimensionando a amostra para estimar a média populacional, com σ conhecido ............. 187 
 8.8.2. Dimensionando a amostra para estimar a média populacional, com σ desconhecido ......... 187 
 8.8.3. Dimensionando a amostra quando o tamanho da população é finito e conhecido .............. 188 
 8.8.4. Dimensionamento de Amostra para estimar a proporção populacional .............................. 189 
8.9. Construção de estimadores Pontuais - Método da Máxima Verossimilhança .................................. 191 
 
CAPÍTULO 9 – ESTIMAÇÃO POR INTERVALO ...................................................................................... 198 
9.1. Intervalo de Confiança para a média populacional ....................................................................... 198 
 9.1.1. Intervalo de Confiança para a média populacional, com o desvio padrão conhecido. ........ 199 
 9.1.2. Intervalo de Confiança para a média populacional, com o de svio padrão 
desconhecido. A distribuição t de Student .................................................................................... 201 
9.2. Intervalo de Confiança para a proporção populacional ................................................................. 205 
9.3. Intervalo de confiança para a diferença de duas médias de populações Normais independentes ........ 207 
9.4. Intervalo de confiança para a d iferença de duas médias de populações Normais com dados 
emparelhados ................................................................................................................................ 213 
Intervalo de confiança para a diferença de duas proporções de populações independentes. ......... 215 
CAPÍTULO 10 – INTRODUÇÃO À TEORIA DOS TESTES DE HIPÓSTESES ...................................... 219 
10.1. Conceitos básicos ..........................................................................................................................220 
10.2. Esclarecendo melhor alguns conceitos .......................................................................................... 222 
10.3. Rotina para obtenção do critério de decisão .................................................................................. 225 
10.4. Teste para média populacional ...................................................................................................... 225 
10.5. O conceito de p-valor. .................................................................................................................. 228 
10.6. O poder do teste. ........................................................................................................................... 232 
10.7. Teste para proporções. .................................................................................................................. 234 
RESUMO DO CAPÍTULO 8 ................................................................................................................... 194 
9.5. 
 RESUMO DO CAPÍTULO .................................................................................................................. 217 9
 
 
RESUMO DO CAPÍTULO 10 ........................................................................................................................... 237 
CAPÍTULO 11 – MAIS SOBRE TESTES DE HIPÓTESE ........................................................................... 240 
11.1. Testes para Comparação de duas médias ...................................................................................... 240 
 11.1.1. Teste para amostras não pareadas. .................................................................................... 240 
 11.1.2. Amostras Pareadas. ........................................................................................................... 247 
11.2. Teste para a diferença de duas proporções .................................................................................... 248 
11.3. Teste para a igualdade de duas variâncias populacionais. Variáveis aleatórias normalmente 
 distribuídas e independentes ......................................................................................................... 250 
 11.3.1.A distribuição F. ................................................................................................................. 250 
 11.3.2.Teste de hipótese para comprar duas variâncias. ................................................................ 252 
11.4. Teste para Comparação de Várias Médias .................................................................................... 253 
 11.4.1.Análise de Variância com um fator (ANOVA). ................................................................. 253 
 11.4.2.Comparações múltiplas. ..................................................................................................... 259 
11.5. Teste de Independência entre duas variáveis e Teste de Aderência. Distribuição Qui-Quadrado. .. 260 
 11.5.1. Distribuição Qui-Quadrado. .............................................................................................. 261 
 11.5.2. Teste Qui-Quadrado para independência. ......................................................................... 262 
 11.5.3. Testes de Aderência. ......................................................................................................... 265 
RESUMO DO CAPÍTULO 11 ........................................................................................................................... 269 
EXERCÍCIOS .................................................................................................................................................... 276 
Tabela I: Distribuição Normal Padrão Acumulada .............................................................................................. 442 
Tabela II: Distribuição t de Student ..................................................................................................................... 443 
Tabela III: Distribuição F de Fischer-Snedecor ................................................................................................... 444 
Tabela IV: Distribuição Qui-Quadrado ............................................................................................................... 445 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
 
Conceitos e resultados a serem apresentados neste capítulo: 
 Modelo probabilístico 
Experimento aleatório - Espaço amostral – Evento – Probabilidade 
 Eventos mutuamente exclusivos 
 Permutações, Arranjos, Combinações 
 Partição do espaço amostral 
Probabilidade condicional 
Teorema de Bayes 
 Eventos independentes 
 
 
 
“A experiência não permite nunca atingir a certeza absoluta. 
Não devemos procurar obter mais que uma probabilidade.” 
Bertrand Russell, filósofo 
 
 
 
1.1 Modelos Determinísticos e Modelos Probabilísticos 
 Nos cursos de Física aprendemos que, na queda livre de um corpo no vácuo, a velocidade 
final, em cm/seg, atingida pelo corpo é dada pela fórmula v = �2�ℎ, onde g é a aceleração da 
gravidade, em cm/seg2, do lugar onde é realizada a experiência e h é a altura, em cm, da qual o 
corpo cai. Uma vez conhecido o lugar (com o qual g fica determinado) e conhecida a altura h, 
podemos determinar exatamente a velocidade final, v, com que o corpo atinge o chão. O fenômeno 
em estudo pode, portanto, ser descrito mediante uma fórmula matemática, a partir da qual, dadas 
certas condições iniciais do experimento, é possível calcular o resultado final. O modelo usado na 
descrição de tal fenômeno é chamado de modelo determinístico, e pode ser expresso através de uma 
fórmula, como ocorre com muitas das leis da Física. 
Entretanto há também situações práticas nas quais é impossível determinar com exatidão o 
resultado do experimento a partir de um conjunto de condições iniciais. 
Suponha, por exemplo, que lançamos uma moeda e observamos a face que ela mostra ao cair. 
Sabemos que essa face pode ser “cara” ou “coroa”, mas antes do lançamento não temos condições 
de dizer com precisão qual das duas faces será apresentada. Em outras palavras, sabemos quais são 
os possíveis resultados do experimento, mas não podemos precisar qual deles será obtido. Dado que 
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o conhecimento das condições iniciais do experimento não permite determinar com precisão o que 
acontecerá, o fenômeno em questão – cujo resultado é a face apresentada pela moeda quando ela cai 
– não pode ser descrito deterministicamente. O modelo usado na descrição não determinística de 
um fenômeno é chamado de modelo probabilístico ou estocástico. 
A formulação e o estudo das propriedades dos modelos probabilísticos são alguns dos 
objetivos dos seis primeiros capítulos deste livro. 
 
“A teoria quântica pode nos dar uma indicação da 
probabilidade de que a partícula alfa vai deixar o núcleo 
por unidade de tempo, mas ela não pode prever o 
momento preciso em que a emissão irá ocorrer, já que 
este é, em princípio, incerto.” 
Werner Heisenberg, físico 
 
 
1.2 Alguns conceitos fundamentais 
No estudo dos modelos probabilísticos, o conceito mais importante é, naturalmente, o de 
probabilidade. Mas para introduzi-lo precisamos apresentar antes os conceitos de experimento 
aleatório, espaço amostral e evento. 
Por exemplo, o lançamento de uma moeda com o objetivo de registrar a face que ela apresenta 
ao cair, é um experimento aleatório. 
Notemos que este experimento pode ser repetido quantas vezes quisermos, sob condições 
essencialmente inalteráveis. Também, se a moeda não for viciada, para um grande número de 
lançamentosdevemos esperar uma freqüência de “caras” aproximadamente igual à freqüência de 
“coroas”. Em outras palavras, a freqüência relativa de “caras”, se aproxima do valor 0,5 ou 50%, à 
medida que o número de lançamentos aumenta. Esta propriedade é chamada de regularidade 
estatística e é uma das características de um experimento aleatório. 
 
 
 Um experimento aleatório apresenta as seguintes características: 
a) Ele pode ser realizado quantas vezes desejarmos, sob condições essencialmente iguais. 
b) O resultado do experimento não pode ser determinado “a priori”, mas o conjunto de todos os 
resultados possíveis pode ser especificado. 
c) O experimento apresenta a condição de regularidade estatística, no sentido de que, quando o 
número de realizações é muito grande, a freqüência relativa de um particular resultado se 
aproxima de um valor constante. 
d) Além disso, com base na estabilidade estatística, podemos associar a cada resultado possível uma 
medida de confiança na ocorrência desse particular resultado. Assim sendo, no exemplo do 
lançamento da moeda, podemos dizer que as medidas de confianças nas ocorrências de “cara” e 
“coroa” são iguais. 
 
 
 
“O verdadeiro gênio reside na capacidade de avaliar 
informações incertas, perigosas e conflitantes.” 
Winston Churchill, estadista 
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Espaço amostral – é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento aleatório. Será 
denotado por Ω. 
 
Observação: Dizemos que o espaço amostral é finito uniforme se ele tem um número finito de 
elementos, sendo todos eles igualmente prováveis. 
 
 
Exemplo 1.1: Espaços amostrais 
a) No lançamento de uma moeda, com o objetivo de se registrar a face que ela apresenta ao cair, 
os dois resultados possíveis são “cara” e “coroa”. Assim sendo, escrevemos Ω = {cara, coroa} ou, 
simplesmente, Ω = { c , k }, onde usamos c para indicar “cara” e k, para “coroa” . 
b) Lançamos um dado e registramos o número de pontos obtidos. Há seis resultados possíveis e o 
espaço amostral pode ser descrito por Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
c) As peças fabricadas diariamente em uma linha de produção podem ser classificadas como 
“perfeitas” e “defeituosas”. Uma peça é extraída e a classe à qual ela pertence é anotada. Temos Ω 
= {perfeita, defeituosa}. 
d) Um equipamento é usado para fazer a contagem do número de bactérias de um certo tipo em 
uma lâmina. O espaço amostral pode ser descrito como Ω = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . }. 
e) Observa-se o número de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um certo 
intervalo de tempo. Aqui novamente Ω = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }. 
f) Determina-se a duração em horas de uma lâmpada. Nesse caso o espaço amostral pode ser 
descrito como o conjunto de todos os valores possíveis do seu tempo de vida t. Ou seja, Ω = {t 
| t > 0 } . 
 
O espaço amostral pode ser finito ou infinito. Os espaços amostrais dos Exemplos 1.1a 1.1b e 
1.1c são finitos porque há um número finito de resultados possíveis. Os espaços amostrais dos 
Exemplos 1.1d, 1.1e e 1.1f são infinitos. Os exemplos 1.1d e 1.1e mostram um espaço amostral 
infinito e enumerável, enquanto que o espaço amostral do Exemplo 1.1f é infinito e não 
enumerável. 
╬╬╬ 
Pergunta: Entre os espaços amostrais finitos do exemplo 1.1 existe algum que seja uniforme? 
Qual ou quais? 
 
É importante frisar que os espaços amostrais dos três últimos exemplos são uma idealização da 
realidade. De fato, é difícil conceber como infinito o número de bactérias em uma lâmina ou o 
número de partículas emitidas por uma substância radioativa. Nossa percepção nos diz que esse 
número pode ser muito grande, porém finito; contudo não há maneira de se estabelecer um limite 
superior para ele. Por esse motivo assumimos que nestes casos o espaço amostral é infinito. 
No caso do exemplo 1.1f o tempo está medido em horas, e aceitamos como possível qualquer 
duração t maior que zero. Devido à impossibilidade de se estabelecer com exatidão um limite 
superior para t, assumimos novamente que este limite superior é infinito. 
 
 
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Evento – é um subconjunto do espaço amostral. Geralmente é denotado por uma letra maiúscula: 
A, B, C, etc. 
 
Exemplo 1.2: Lançamento de um dado 
Consideremos novamente o lançamento de um dado. O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }. 
Seja A o evento descrito como A = {o resultado é um número par}. Os resultados que satisfazem essa 
condição são 2, 4 e 6. Portanto, podemos escrever A = {2, 4, 6}. Notemos que em um lançamento de 
um dado só pode ocorrer um resultado. Se ele for 2 ou 4 ou 6 diremos que o evento A ocorreu. 
Naturalmente, se o resultado for 1 ou 3 ou 5, diremos que A não ocorreu. Assim um dado evento A 
ocorrerá se e somente se um resultado que pertence a A ocorrer. 
╬╬╬ 
 
1.3 Eventos especiais 
Dado que todo conjunto é subconjunto dele próprio, o espaço amostral Ω é um evento chamado 
de evento certo. Em particular, um evento pode conter um único resultado. Diremos que ele é um 
evento simples ou evento elementar. Em nosso exemplo, B = {3} é um evento simples. Ainda mais, 
teoricamente faz sentido falar em um evento carente de resultados. Tal evento será chamado de 
evento vazio (ou evento impossível) e será denotado por Ø. 
Pela própria definição terá sentido aplicar a eventos a álgebra de Boole. Assim podemos falar 
em união, interseção, complementação de eventos, e determinar probabilidades para os eventos 
resultantes. 
Em particular, 
AUB é o evento que ocorre se, e somente se, pelo menos um dos eventos, A ou B, ocorre. 
A∩B é o evento que ocorre se ambos, A e B, ocorrerem simultaneamente. 
AC, chamado evento complementar de A, é o evento cujos resultados pertencem a Ω mas não a A. 
 
 
Considere um espaço amostral Ω associado a um experimento aleatório e sejam A e B dois 
eventos contidos em Ω: 
Diremos que A e B são mutuamente exclusivos se eles não possuem elementos comuns, isto é, 
se A∩B = Ø. 
 
 
Exemplo 1.3 .: Operações com eventos. 
Consideremos o lançamento de um dado equilibrado. 
Sejam A = {número par}, B={número maior que 4} e C = {3} . 
Então A = {2, 4, 6}, B = {5, 6} e C = {3} 
 
Também temos : 
AUB ={2 , 4, 5, 6 }, A∩B = { 6 } , AUC ={2 , 3, 4, 6} A∩C = Ø , BUC = {3, 5, 6}. 
Observamos que A e C são mutuamente exclusivos. O mesmo acontece com B e C. 
Também, AC = {1, 3, 5}, BC = {1, 2, 3, 4} e CC = { 1, 2, 4, 5, 6} 
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Naturalmente, a álgebra de Boole aplicada a eventos pode ser usada para qualquer número 
deles. Assim, em nosso caso, AUBUC = {2, 3, 4, 5, 6} e A∩B∩C = Ø. 
╬╬╬ 
 
 
1.4 Probabilidades: Conceito clássico 
O ponto de partida do estudo sistemático das probabilidades pode ser situado em meados do 
século XVII, mais precisamente no ano 1654, com a troca de correspondências entre os 
matemáticos Pascal e Fermat atendendo a uma consulta feita ao primeiro pelo aristocrata francês 
conhecido como Chevalier de Méré. Este, um jogador inveterado, desejava descobrir uma estratégia 
de jogo que lhe permitisse ganhar grandes quantias em dinheiro. Isto foi apenas a motivação que 
deu início ao estudo das probabilidades. Porém, como há diversas situações práticas onde é possível 
calcular probabilidades de determinados eventos ocorrerem, podemos fazer uma analogia entre 
esses problemas e os jogos de azar. Por isso nos livros de probabilidade é muito comum aparecerem 
vários exemploscom moedas, dados, baralhos, roletas, etc. 
Note que nesses tipos de exemplo os espaços amostrais considerados são finitos. Ainda mais, se 
moedas, dados, baralhos, etc são equilibrados, os espaços amostrais são também uniformes. De fato, 
no lançamento de uma moeda equilibrada, por exemplo, não há razões para se supor que “cara” tem 
mais chance de ocorrer que “coroa”. 
O conceito clássico de probabilidade, apresentado a seguir é perfeitamente adequado a este tipo 
de problemas. 
Conceito Clássico de Probabilidade 
Seja Ω um espaço amostral finito uniforme e seja A um evento qualquer desse espaço. A 
probabilidade de A, denotada por P(A), é dada por 
P(A) = )(#
)(#
Ω
A
, 
onde #(Ω) é o número de resultados possíveis do experimento e #(A) é o número de resultados 
favoráveis à ocorrência do evento A. É claro que 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
 
Exemplo 1.4 Moedas, dados, baralhos... (calculando as probabilidades) 
(a) A = sair cara no lançamento de uma moeda. Neste caso #(Ω) = 2 e #(A) = 1. 
Então P(A) = 
2
1
 
(b) A= ocorrer o número 6 no lançamento de um dado. 
Então P(A) = �� , porque #(Ω) = 6 e #(A) = 1 
(c) A = ocorrer um número par no lançamento de um dado, ou seja, A= {2,4,6}. Agora #(A) = 3 . 
Então P(A) = 
6
3
= 
2
1
 
(d) A= retirar um rei de paus de um baralho completo (sem coringa). 
Então P(A) = 
52
1
, porque #(Ω) = 52 e #(A) = 1 
 
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(e) A= retirar um rei de um baralho completo (sem coringa). 
Então P(A) = �	
 = 
�
��, porque neste caso #(A) = 4 
╬╬╬ 
 
 Note que na aplicação do conceito clássico não há a necessidade de se repetir várias vezes o 
experimento aleatório. A definição da probabilidade vem simplesmente da uniformidade do espaço 
amostral. 
A aplicabilidade desta definição não se limita a jogos de azar. Há muitas situações práticas onde 
ela pode ser aplicada. Basta para isso que o espaço amostral associado seja finito uniforme como no 
exemplo a seguir. 
 
Exemplo 1.5: Escolhendo instituições filantrópicas 
Uma empresa, atenta à preservação do meio ambiente e aos problemas sociais do país, desenvolve 
uma campanha de reciclagem, na qual os clientes voluntariamente devolvem as embalagens vazias 
de seus produtos. A renda resultante da reciclagem destas embalagens é revertida em cestas de 
produtos de primeira necessidade para serem doadas a instituições filantrópicas, algumas de amparo 
a crianças e outras de amparo a idosos. A empresa tem cadastradas 50 instituições, sendo que 30 
atendem crianças e 20 atendem idosos. Como as necessidades são diferentes entre estes 2 grupos, os 
produtos doados também o são. Mensalmente é sorteada aleatoriamente uma instituição para 
receber a cesta. Um procedimento para efetuar o sorteio poderia ser o de atribuir um número a cada 
instituição, colocar bolas com esses números numa urna e extrair uma bola ao acaso dessa urna. 
Dessa maneira teríamos um espaço amostral finito uniforme com 50 resultados possíveis. Seguindo 
esse procedimento, a probabilidade de que a instituição selecionada em um determinado mês seja de 
crianças será de 30/50 = 0,6 e a de que ela seja de idosos será de 20/50 = 0,4. 
Suponha agora que, ao invés de selecionar apenas uma instituição, a empresa selecione 5 
instituições para fazer a doação. Para efeito de planejamento na compra das cestas, a empresa quer 
saber, por exemplo, qual é a probabilidade do evento A = {2 são de amparo a crianças e 3 são de 
amparo a idosos}. Neste caso os elementos do espaço amostral serão todas as possíveis “amostras” 
de 5 instituições extraídas dentre as 50 cadastradas. Como listar todas as possibilidades para 
posteriormente identificar as “amostras” com 2 instituições de amparo a crianças e 3 instituições de 
amparo a idosos? Isto será visto na seção 1.7 (Técnicas de Contagem). 
╬╬╬ 
 
 
Apesar de sua facilidade de aplicação, a definição clássica tem as suas limitações. Ela não pode 
ser usada em situações envolvendo espaços amostrais não uniformes. O espaço amostral do 
Exemplo 1.1c é finito, mas não uniforme. Se quisermos determinar a probabilidade de uma peça 
extraída da linha de produção ser defeituosa não poderemos usar um procedimento como o descrito 
acima no caso das instituições de crianças e de idosos. Neste caso as probabilidades podem ser 
calculadas através do conceito freqüentista de probabilidade. 
 
 
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1.5 Probabilidades: Conceito Freqüentista 
Conceito Freqüentista de Probabilidade 
Suponha que o experimento foi repetido n vezes, sempre sob as mesmas condições, e que o 
evento A ocorreu m vezes entre essas n realizações do experimento. Então, se o número n de 
repetições for bastante grande, a fração m/n é uma boa aproximação para a probabilidade de A. 
Simbolicamente, P (A) ≅ m
n
. 
 
Exemplo 1.6.: Probabilidade de uma peça de uma linha de produção ser defeituosa 
Consideremos novamente a situação do Exemplo 1.1c. Supondo que as peças são fabricadas em 
grande escala podemos escolher ao acaso umas 50 peças da linha de produção e determinar a 
proporção p de peças defeituosas entre elas. Esse valor de p pode ser usado como uma aproximação 
para a probabilidade de uma peça selecionada dessa linha de produção ser defeituosa. 
╬╬╬ 
 
Exemplo 1.7 : Simulando 100 lançamentos de uma moeda 
Usando o software R, foram simulados 100 lançamentos de uma moeda equilibrada, isto é, uma 
moeda onde as chances de cara e de coroa são iguais. Depois de cada lançamento foi anotado o 
número acumulado de caras obtidas até esse momento e foi calculada a proporção de caras 
correspondente. Na tabela a seguir estão apresentados os valores correspondentes ao número 
acumulado de caras ao longo do processo. Na primeira linha aparecem os resultados do 1º ao 10º 
lançamento, na segunda linha os resultados do 11º ao 20º lançamento, e assim sucessivamente. Por 
exemplo, para a jogada de número 29 o número acumulado de caras é 13 e a fração de caras é 
13/29. O gráfico abaixo mostra a evolução dessa fração à medida que foram feitos os 100 
lançamentos da moeda. 
 
Figura 1.1 – Cara ou coroa? A visão freqüentista 
 
51 50 50 50 49 48 47 47 46 46 
45 44 44 44 43 43 43 42 41 41 
40 39 39 38 38 37 36 36 35 34 
34 33 33 33 32 32 31 31 31 31 
30 29 28 27 27 27 27 27 26 25 
24 23 23 23 22 22 21 20 19 18 
18 18 17 16 15 15 15 15 15 14 
14 13 13 13 12 11 10 10 10 10 
10 9 8 8 7 6 5 5 5 5 
5 5 5 4 4 3 3 3 2 1 
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Observe que no começo há uma grande variabilidade do valor da probabilidade estimada m/n, 
mas ele tende a se estabilizar em torno de uma constante, no caso 0,5, quando o número n de 
tentativas (lançamentos) vai aumentando. Como já foi dito, esta é uma propriedade de todo 
experimento aleatório, chamada estabilidade estatística: à medida que o número n de realizações do 
experimento aumenta, a probabilidade empírica de um dado evento tende a se estabilizar em uma 
constante. 
Observe que o “ponto de estabilidade” – a saber, 0,5 – corresponde ao valor que seria obtido 
para a probabilidade de cara, se usarmos o conceito clássico de probabilidade no espaço amostral 
finito uniforme {cara, coroa}. 
╬╬╬ 
Pergunta: Será que este ponto de estabilidade também é igual a 0,5 no caso da linha de 
produção, onde as peças são classificadas como perfeitas ou defeituosas? 
O conceito freqüentista é mais abrangente do que o conceito clássico de probabilidade, já que 
ele se aplica, mesmo quandoo espaço amostral não é finito uniforme. Porém, embora o conceito 
freqüentista nos forneça uma maneira de medir na prática a probabilidade de ocorrência de um 
determinado evento, há casos em que ele também não é aplicável 
 
Deu na mídia : Em 2009, nas vésperas do confronto com a seleção de futebol da Argentina o 
jogador Kaká afirmou que o Brasil tinha 75% de chances de ganhar. Já o jogador Luis Fabiano foi 
mais otimista e disse que essas chances eram de 80%. 
Este é um exemplo típico da atribuição de probabilidades a um evento sem uma base na 
definição clássica nem na freqüentista. É o típico “chutômetro”, que no caso de jogadores de 
futebol até pareceria ter sentido. Entretanto este tipo de comentário é freqüente em várias situações, 
e não apenas no esporte. 
É claro que existem situações onde faz todo sentido pensarmos em atribuir um valor à 
probabilidade de algo ocorrer, embora não seja possível determinarmos empiricamente esse valor. 
Por exemplo, como determinar a probabilidade de um atentado semelhante ao das Torres Gêmeas 
vir a acontecer nos próximos 5 anos? Ou a probabilidade de acontecer uma queda geral das bolsas 
de valores como em agosto de 2008? Analistas políticos (no primeiro caso) e financeiros (no 
segundo caso) talvez possam ter alguma idéia sobre o tema, porém qualquer quantificação da 
incerteza que apresentem será apenas subjetiva. Esta é uma terceira forma de se conceituar o que 
seja a probabilidade de ocorrência de um determinado evento A. Segundo essa abordagem, a 
probabilidade de A acontecer refletiria o grau de confiança do observador quanto à ocorrência ou 
não do evento em questão. 
 
Qualquer que seja o conceito de probabilidade adotado é possível enunciar um conjunto de 
axiomas que independem da forma como ela é calculada. É o que veremos a seguir. 
 
1.6 Definição Axiomática e algumas propriedades das probabilidades 
A unificação do conceito de probabilidade é obtida por meio da chamada definição axiomática, 
baseada principalmente nos trabalhos do matemático russo A. Kolmogorov. 
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Definição Axiomática de Probabilidade 
Seja Ω um espaço amostral associado a um experimento aleatório, A um evento qualquer deste 
espaço amostral e P(A) um número real, denominado probabilidade do evento A, onde os seguintes 
axiomas são obedecidos: 
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 
2) P( Ω ) = 1 
3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, P (A ∪ B) = P(A) + P(B) 
4) Se A1 , A2 , A3 , ..., An ,... é uma seqüencia de eventos, dois a dois mutuamente exclusivos, 
 P(� 
∞��� i) = P(A1) + P(A2) + P(A3 ) + ... + P(Ak) + ... = ∑
∞
=1i
i )P(A . 
Nota: O axioma 3 acima pode ser estendido a um número finito de eventos, mas não a um número 
infinito. Daí a necessidade de se acrescentar o axioma 4. 
 
Propriedades das Probabilidades 
As probabilidades possuem uma série de propriedades, válidas independentemente da forma como 
elas podem ser obtidas. 
1 - P (Ø) = 0 
2 - Para todo evento A, P(AC ) = 1 – P(A) 
3 - Para quaisquer dois eventos A e B, P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
4 - Para quaisquer três eventos A, B, C, 
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C) 
5 - Se A e B são eventos tais que A ⊂ B , então P(A) ≤ P(B) 
Demonstração de algumas Propriedades: 
Propriedade 2: 
A e AC são mutuamente exclusivos e, além disso, A ∪ AC = Ω . 
Logo, P(A) + P( AC ) = P (Ω ) = 1 , o que demonstra a propriedade 2. 
Propriedade 3. 
Note que podemos escrever B = (A∩B) U (AC∩B), que é a união de dois eventos mutuamente 
exclusivos. Logo P(B) = P(A∩B) + P(AC∩B) (*) 
Analogamente, podemos escrever A U B como união de dois eventos mutuamente exclusivos, 
A U B = A U (AC∩B), o que dá P(A U B) = P(A) + P(AC∩B) (**) 
Subtraindo (*) de (**) chegamos a P(A U B) – P(B) = P(A) – P(A∩B), o que demonstra a 
propriedade 3 
 
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1.7 Espaços de probabilidades finitos – Técnicas de Contagem 
 
Seja Ω = { a1 , a2 , a3 , ..., an } um espaço amostral finito associado a um experimento aleatório 
E. A cada evento elementar {ai} associa-se um número real pi = P({ai}) , chamado de probabilidade 
de {ai} satisfazendo as seguintes propriedades : 
1.- pi ≥ 0 , para todo i ( i = 1, 2, 3, ..., n) 
2 - ∑ p����� = 1 
A probabilidade de cada evento A é definida então como a soma das probabilidades dos eventos 
elementares em A. 
O espaço amostral Ω com as probabilidades definidas acima é dito um espaço de probabilidades 
finito. 
Um caso particular da definição acima é constituído pelos espaços de probabilidades 
uniformes, isto é, espaços de probabilidades com um número finito n de elementos e tais que pi = 
1/n , i = 1, 2, 3,...., n. 
Neste caso a probabilidade de qualquer evento A é calculada de acordo com o conceito clássico 
da Seção 1.3 , ou seja , 
P(A) = )(#
)A(#
Ω
 
onde #(A) é o número de resultados do evento A e #(Ω) é o número total de resultados do espaço 
amostral. 
O cálculo das probabilidades usando a expressão acima pode parecer simples. Contudo, como 
vimos no final da seção 1.3, em algumas aplicações pode não ser imediata a determinação do 
número de elementos de A e do número de elementos do próprio espaço amostral Ω. Temos como 
ferramentas importantes nestes casos as técnicas de contagem da Análise Combinatória. 
 
Principio básico de contagem 
Suponha que um dado procedimento possa ser executado de m maneiras e que, a seguir, um 
segundo procedimento possa ser executado de n maneiras. Cada uma das maneiras do procedimento 
inicial pode ser seguida por qualquer uma das maneiras do segundo procedimento. Então o 
procedimento resultante do primeiro seguido do segundo poderá ser executado de (m×n) maneiras. 
Nota : O princípio acima pode ser naturalmente estendido a mais de dois procedimentos. 
 
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Exemplo 1.8: Compondo o pedido
Igor decide almoçar em um 
principais, duas opções de bebidas e quatro de sobremesa. De quantas maneiras poderá Igor fazer o 
seu pedido? 
Solução: Há 3 maneiras de se escolher o prato principal, 2 maneiras de se escolher a bebida e 4 
maneiras de se escolher a sobremesa. Assim sendo, o pedido pode ser feito de 3×2×4 = 24 
maneiras. 
Analisemos agora uma situação em que se queira ordenar 
mesmo tempo. 
Exemplo 1.9: Esqueceu o código
Iza quer fazer um saque num caixa eletrônico mas não se lembra da ordem das letras para o 
código de entrada. As três letras são R, T e V . Quantas são as ordenações possíve
Solução: Há 3 maneiras de se escolher a letra para o primeiro lugar. Para o segundo lugar 
sobram duas letras e, portanto, só há duas maneiras de preencher esse 
letra para ocupar o terceiro lugar, o que significa que há apenas 
escolha. Desta forma teremos um total de 3×2×1 = 6 possíveis ordenações para as três letras. 
As 6 ordenações são RTV, RVT, TRV, TVR,
Compondo o pedido 
em um Restaurante. O garçom apresenta a ele três opções de 
principais, duas opções de bebidas e quatro de sobremesa. De quantas maneiras poderá Igor fazer o 
Há 3 maneiras de se escolher o prato principal, 2 maneiras de se escolher a bebida e 4 
maneiras de se escolher a sobremesa. Assim sendo, o pedido pode ser feito de 3×2×4 = 24 
Analisemos agora uma situação em que se queira ordenar n objetos diferentes, tomados todos ao 
Esqueceu o código? 
Iza quer fazer um saque num caixa eletrônico mas não se lembra daordem das letras para o 
código de entrada. As três letras são R, T e V . Quantas são as ordenações possíve
: Há 3 maneiras de se escolher a letra para o primeiro lugar. Para o segundo lugar 
só há duas maneiras de preencher esse lugar. 
letra para ocupar o terceiro lugar, o que significa que há apenas uma maneira de se realizar a 
escolha. Desta forma teremos um total de 3×2×1 = 6 possíveis ordenações para as três letras. 
As 6 ordenações são RTV, RVT, TRV, TVR, VRT, VTR 
 
 
Restaurante. O garçom apresenta a ele três opções de pratos 
principais, duas opções de bebidas e quatro de sobremesa. De quantas maneiras poderá Igor fazer o 
Há 3 maneiras de se escolher o prato principal, 2 maneiras de se escolher a bebida e 4 
maneiras de se escolher a sobremesa. Assim sendo, o pedido pode ser feito de 3×2×4 = 24 
╬╬╬ 
diferentes, tomados todos ao 
Iza quer fazer um saque num caixa eletrônico mas não se lembra da ordem das letras para o 
código de entrada. As três letras são R, T e V . Quantas são as ordenações possíveis? 
: Há 3 maneiras de se escolher a letra para o primeiro lugar. Para o segundo lugar 
 Finalmente sobra uma 
maneira de se realizar a 
escolha. Desta forma teremos um total de 3×2×1 = 6 possíveis ordenações para as três letras. 
╬╬╬ 
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Generalizemos agora o exemplo acima do código do banco. Temos n maneiras de selecionar o 
objeto que ocupará o primeiro lugar, n–1 maneiras para o objeto no segundo lugar, n–2 para o 
terceiro, e assim sucessivamente. Para o penúltimo lugar sobram 2 objetos (duas maneiras de 
escolha) e finalmente, haverá uma maneira de se escolher o último objeto. Assim sendo, o número 
total de permutações possíveis é n×(n–1)×(n–2)×...×2×1. 
Essa quantidade n×(n–1)×(n–2)×...×2×1, ou seja, o produto dos n primeiros números naturais, 
é chamada de Fatorial de n e denota-se por n!. 
 Nota: 
1) Por convenção, 0! = 1. 
2) Cada uma das ordenações do exemplo anterior é dita uma permutação das 3 letras. 
 
 
Permutações 
Qualquer ordenação de n objetos diferentes, tomados todos ao mesmo tempo, é chamada de 
permutação dos n objetos . O número total permutações é denotado por nPn e é calculado por : 
 nPn = é n×(n–1)×(n–2).....2×1 = n ! 
 
 
Consideremos agora n objetos, para os quais há disponíveis r lugares, onde r < n. O primeiro lugar 
pode ser ocupado por qualquer um dos n objetos. Há n-1 objetos para ocupar o segundo lugar, n-2 
para o terceiro, etc. Para o r-ésimo lugar sobram n – ( r – 1) = n – r + 1 objetos. Desta forma, o 
número total de maneiras possíveis de dispor os n objetos nas r posições é: 
n × (n–1) × (n–2) × (n–3) ×...×(n– r +1) 
Multiplicando e dividindo por (n–r)! temos 
 
��������
������….�������������������…..
.�
�����! = 
�!
 �����! 
Cada disposição dos n objetos em r posições é denominada um arranjo. 
Arranjos 
Um arranjo com r objetos extraídos a partir de n objetos diferentes é uma seleção ordenada 
desses r objetos. Denotamos o número total de tais arranjos por nPr e o calculamos por : 
nPr = 
�!
 �����! 
Lê-se “arranjos de n objetos tomados r a r” ou também “permutação de n objetos tomados r a r”, o 
que justifica a notação acima. 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1.10: Distribuição de Medalhas 
Oito atletas disputam uma corrida. De quantas maneiras poderão ser distribuídas as medalhas de 
ouro, prata e bronze? 
 
 
Solução: Claramente o problema é determinar o número de arranjos de 8 indivíduos tomados 3 
a 3 , isto é, 8P3 = 
�!
	! = 8×7×6 = 336. 
╬╬╬ 
 
Exemplo 1.11 : Possibilidades de subir ao Pódio 
Suponha que no exemplo anterior só interessa saber se o atleta sobe ao pódio ou não, não 
importando a medalha que ele recebe. De quantas maneiras isso pode acontecer? 
Solução: Quando era importante especificar a medalha tínhamos 3! = 6 permutações possíveis 
entre os ocupantes do pódio. Agora, como a ordem de chegada dos três primeiros não interessa, o 
número total de maneiras dos 8 atletas subirem ao pódio é (8P3)/3! = �!�! 	! = 
���
� = 56 
╬╬╬ 
 
Combinações. 
Uma seleção de r objetos extraídos a partir de n objetos, sem considerar a ordem de seleção, é 
denominada combinação de n objetos tomados r a r. 
O número total de combinações possíveis é denotado por 
 nCr, ou mais comumente por ( !), e 
calculado por : 
�nr� = 
�!
 �!�����! 
Este resultado é obtido como uma generalização do cálculo feito no exemplo 1.11. 
Notas: 
1) A partir da convenção adotada para 0! concluímos que $nn% = �
n
0� = 1 , para qualquer inteiro 
positivo n . Com efeito , $nn% = �
n
0� = 
�!
 (!�! = 1. 
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2) O cálculo do número de combinações é simplificado se dividirmos numerador e denominador 
por (n-r)! . Nesse caso teremos ( nr ) = 
���������
�…..�������
�.
.�……� 
Este resultado é particularmente útil quando r é relativamente pequeno. 
Por exemplo: ( 123 ) = 
�
!
 �!�+�! = 
�
���(
 �×
� = 220 
 
Estamos agora em condições de expandir o exemplo 1.5. 
 
Exemplo 1.12 : Seleção de 5 instituições para receberem doações 
Consideremos novamente a empresa do Exemplo 1.5 que cadastrou 50 instituições para fazer 
doação de cestas. O cadastro da empresa é composto por 30 instituições de amparo a crianças e 20 
de amparo a idosos. A Empresa seleciona ao acaso 5 instituições para fazer as doações. Qual a 
probabilidade do grupo de instituições selecionado ser formado por duas de amparo a crianças e três 
de amparo a idosos? 
Solução : 
Primeiramente devemos definir nosso espaço amostral. 
Os seus elementos serão todos os grupos de 5 instituições que podem ser selecionadas dentre as 
50. Como dentro do grupo não há qualquer consideração de ordem, o que temos são as �505 � 
possíveis combinações das 50 instituições tomados 5 a 5, ou seja, temos 2118760 grupos de 5 
instituições dentre as 50. 
O evento A é constituído por todos os grupos não ordenados, formados por 2 instituições de 
amparo a criança e 3 de amparo a idosos. Para obter o número de elementos de A raciocinamos 
assim: As 2 instituições de crianças podem ser escolhidas dentre as 30 de crianças de �302 � 
maneiras e as 3 instituições de idosos podem ser escolhidas dentre as 20 de idosos de �203 � 
maneiras. Assim, os grupos de 5 instituições que pertencem ao evento A podem ser formados no 
total de �302 ��
20
3 � maneiras, pelo Princípio Fundamental da Contagem. 
Como a seleção foi feita ao acaso dentro de um número finito de instituições, podemos 
considerar um espaço amostral finito uniforme. Dessa maneira, 
#Ω = �505 � = 2.118.760 e # A = �
30
2 � �
20
3 �= 435×1140 = 495.900 
Logo, P(A) = # /#0 = 
�+	.+((
.���.1�( = 0,234 
╬╬╬ 
 
 
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Notas: 
1) No exemplo acima podemos dizer que, de uma população de 50 instituições, foi selecionada 
uma amostra não ordenada de 5 instituições. Como, além disso, cada instituição não pode ser 
escolhida mais de uma vez na amostra, diremos que foi realizada uma amostragem não ordenada 
sem reposição. 
2) Quando dissermos que foi escolhida ao acaso uma amostra de r objetos a partir de uma 
população de n objetos,entenda-se que cada uma das possíveis amostras tem a mesma 
probabilidade de ser selecionada. 
Até agora, em todas as técnicas de contagem apresentadas, admitimos que todos os objetos 
considerados são diferentes. Vejamos o que ocorre quando no conjunto de objetos há grupos deles 
não distinguíveis entre si. 
 
Permutações com elementos repetidos 
Suponha que o conjunto de n objetos possa ser dividido em k grupos tais que no primeiro há n1 
objetos iguais (não distinguíveis) entre si, no segundo há n2 objetos iguais entre si, ... , no k-ésimo 
há nk objetos iguais entre si, de modo tal que n = n1+n2+...+nk. Então o número de permutações 
possíveis desses n objetos é 
 
�!
�2!�3!…�4!
 
 
Por exemplo, quantas são as possíveis permutações das letras da palavra ARARIBOIA? 
Há 9 letras, dentre as quais três A , dois R, dois I , um B e um O . Desta maneira, o número de 
permutações é +!�!
!
!�!�! = 15.120. 
 
Observação: Um caso particular do tipo de problema acima é quando se tem, para cada 
experimento, apenas duas possibilidades S e F (S representando sucesso e F representando fracasso) 
com a probabilidade de sucesso p e conseqüentemente a de fracasso 1-p. Suponha que se tenha n 
replicações independentes desse experimento. Seja X a variável que mede o número de sucessos 
entre os n resultados. Então 
( ) n}.,{0,1,2, x,p1p 
x
n
x)P(X xnx …∈−





==
−
 
Este assunto será abordado com mais detalhes no Capítulo 2, quando estudarmos variáveis 
aleatórias com distribuição Binomial de parâmetros n e p. 
 
 
1.8 Probabilidade Condicional 
Fernando pede a um amigo para extrair uma carta de um baralho de 52 cartas e solicita uma 
informação sobre ela. O amigo só lhe diz que a carta é uma figura de copas. Com esse dado 
Fernando deve calcular a probabilidade da carta ser um rei. Isto é, ele já tem uma informação sobre 
a carta selecionada. Temos assim um evento A = “A carta é uma figura de copas”, um evento B = 
“A carta é um rei” e desejamos determinar a probabilidade de B quando é sabido que A ocorreu. 
Uma probabilidade dessa natureza é chamada de probabilidade condicional. 
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FABIO
Sublinhado
 
 
 
Em geral, se A e B são eventos que podem ocorrer em um dado experimento, a probabilidade 
condicional de B ter ocorrido, quando se sabe que A ocorreu, é representada por P(B A). (Leia-se 
probabilidade de B dado A.) 
Embora o baralho tenha 52 cartas o espaço amostral para Fernando ficou reduzido às 3 figuras 
de copas: valete, dama e rei . Isto é, ao número de elementos de A. Como há 1 rei entre essas 3 
figuras, concluímos que P(B|A) = �� 
Ou seja, para calcularmos P(B|A) procedemos como se A fosse o novo espaço amostral que 
chamaremos de espaço amostral reduzido e a probabilidade será calculada considerando no 
numerador o número de elementos de B que estão em A, ou seja, a interseção de A com B. 
Exemplo 1.13 – Estudantes classificados por curso e por sexo 
Suponha que num determinado ano entraram 200 alunos numa universidade, sendo 100 do curso 
de Letras e 100 do curso de Engenharia, cuja distribuição por sexo está especificada na tabela a 
seguir : 
Curso 
Sexo 
Total Masculino (M) Feminino (F) 
Letras (L) 10 90 100 
Engenharia (E) 70 30 100 
Total 80 120 200 
Um aluno é sorteado ao acaso e verifica-se que é do curso de Letras. Qual a probabilidade deste 
aluno ser do sexo feminino? 
Deseja-se calcular P(F L), isto é, a probabilidade de o aluno ser do sexo feminino, dado que o 
aluno sorteado é de Letras. 
Com a informação a priori de que o aluno é do curso de Letras o espaço amostral não é 
constituído mais por todos os alunos, mas só pelos que são de Letras. 
Usando o conceito clássico de probabilidade, podemos calcular P(F L) da seguinte forma: 
• O número de elementos do espaço amostral reduzido é #(L)=100 . 
• Dentro do novo espaço, o evento “o aluno é do sexo feminino” é formado pelos alunos que 
além de serem de Letras são também do sexo feminino. Então o número de elementos 
favoráveis a este evento é #(F∩L)=90. 
Portanto, P(F L) = 
100
90
(L)#
 L) (F#
=
∩
 
Observe que podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador pela mesma quantidade 
#(Ω)=200, desta forma . 
P(F L) = 
P(L)
 L) P(F
)(# / (L)#
)(# / L) (F#
200/100
200/90
100
90
(L)#
 L) (F# ∩
=
Ω
Ω∩
===
∩
 
Pergunta: Nas mesmas condições acima, qual seria a probabilidade do aluno ser do sexo feminino, 
dado que ele é de Engenharia? 
╬╬╬ 
 
Isto conduz à definição a seguir.
 
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Probabilidade Condicional de B dado A 
A probabilidade do evento B ocorrer quando se sabe que o evento A ocorreu é calculada por 
P(B A) = 
P(A)
B) P(A ∩
, se P(A) > 0 
Exemplo 1.14 – Extração de uma carta do baralho 
Voltemos a situação do início desta seção. O espaço amostral Ω tem 52 resultados possíveis 
enquanto que o evento A = a carta é uma figura de copas, tem 3 resultados. Assim, P(A) = 3/52. 
Por outro lado, A∩B tem como resultado somente o rei de copas , portanto, P(A∩B) = 1/52. 
Desta maneira , P(B|A) = =∩
P(A)
 B) P(A
 
�/	
�/	
 = 
�
� 
╬╬╬ 
 
Exemplo 1.15 - Probabilidade condicional no lançamento de um dado 
Experimento: Lançamento de um dado 
A = o resultado é um número ímpar 
B = no mínimo são obtidos 2 pontos 
 
 
 
Figura 1.2 – Alguns eventos possíveis no caso do lançamento de 1 dado 
 
Desejamos calcular P(A|B). A = {1, 3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} 
Para calcularmos P(A|B) devemos considerar todos os resultados favoráveis a A dentre os 
resultados de B, ou seja, os resultados comuns a A e B. 
Há apenas dois resultados nestas condições, 3 e 5. Assim, P(A|B) = 2/5. Isso significa que 
procedemos como se B fosse o novo espaço amostral. 
Uma outra maneira seria calcular P(A|B) usando a definição acima: 
 P(A B) = 
P(B)
B) P(A ∩
 = 
/�
	/� = 
	 
 
 
 Analogamente, ao determinar a probabilidade condicional de B dado A, raciocinamos como se o 
novo espaço amostral fosse A e olhamos para a parte de B que está em A. 
 Assim sendo, P(B A) = 
P(A)
B) P(A ∩
= 
/�
�/� = 2/3 
╬╬╬ 
Exercitando: 
1. Verifique que a probabilidade condicional satisfaz as propriedades axiomáticas da 
Probabilidade (Ver Seção 1.6). 
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2. Suponha que A está contido em B (notação: BA ⊂ ). Verifique que, neste caso, 
P(A) ≤ P(B), P(A B) = 
P(B)
P(A)
 e P(B A) = 1. 
 
Há situações nas quais uma probabilidade condicional pode ser calculada em forma direta, sem 
usar as fórmulas acima, como no exemplo a seguir. 
 
Exemplo 1.16 : Poluição ambiental em um processo industrial 
No processo produtivo de uma indústria são utilizadas diariamente duas unidades de um certo 
insumo. Ocorre que as diferentes formulações desse insumo podem afetar ou não o nível de 
poluição ambiental. Num determinado dia a empresa possui 40 unidades desse insumo em estoque, 
sendo 10 poluentes e 30 não poluentes. 
Se as duas unidades utilizadas em um determinado dia forem selecionadas aleatoriamente uma 
após a outra, qual a probabilidade da segunda unidade também ser poluente, se a primeira for 
poluente? 
Solução: 
Sejam os eventos: 
A= a primeira unidade selecionada é poluente 
B= a segunda unidade selecionada é poluente 
Queremos calcular P(B | A). 
Se a primeiraunidade for poluente, sobrarão 39 unidades das quais 9 serão poluentes e 30 não 
poluentes. Portanto P(B | A) = +�+ . 
╬╬╬ 
Da definição de probabilidade condicional, temos que 
P(A ∩B) = P(A|B) P(B) = P(B|A)P(A). 
Este resultado é conhecido como Teorema da multiplicação de probabilidades. 
 
 
Exemplo 1.17 : Novamente a poluição ambiental em um processo industrial 
Considerando novamente o processo produtivo do exemplo 1.16, qual a probabilidade de: 
(a) as duas unidades selecionadas aleatoriamente serem poluentes ? 
(b) as duas unidades selecionadas aleatoriamente serem não poluentes ? 
(c) nas duas unidades selecionadas aleatoriamente, uma ser poluente e outra não? 
 
1ª Alternativa de Solução:. (usando a definição de Probabilidades) 
Sejam os eventos : 
A = a primeira unidade selecionada é poluente 
B = a segunda unidade selecionada é poluente 
AC= a primeira unidade selecionada é não poluente 
BC= a segunda unidade selecionada é não poluente 
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M = as 2 unidades são poluentes 
N = as 2 unidades são não poluentes 
Q = uma unidade é poluente e a outra não 
Então: 
(a) M = A∩B. Portanto : 
P(M) = P(A∩B) = P(B|A). P(A) = +�+ × 
�(
�( = 0,0577 
(b) N= AC ∩ BC, portanto: 
P(N) = P(AC ∩ BC) = P(BC|AC). P(AC) = 
+�+ × 
�(
�( = 0,5577 
(c) Q= (A ∩BC) ∪ (AC ∩B), então P(Q) = P((A ∩BC) ∪(AC ∩B)) 
Note que os eventos A∩BC e AC∩B são mutuamente exclusivos, portanto : 
P(Q) = P((A ∩BC) ∪(AC ∩B)) = P(A ∩BC) + P(AC ∩B) = P(BC|A). P(A) + P(B|AC). P(AC) = 
= 
�(
�+ × 
�(
�( + 
�(
�+ × 
�(
�( = 2 × $
�(
�+ × 
�(
�(% = 0,3846 
 
As probabilidades envolvidas na solução deste exemplo podem ser obtidas facilmente através de 
um diagrama de árvore como o da figura a seguir. 
 
Figura 1.3 – Diagrama de Árvore para o cálculo de probabilidades 
Observe que as probabilidades das interseções são dadas pelos produtos das probabilidades nas 
diversas trajetórias. 
 
2ª Alternativa de Solução (usando Técnicas de Contagem) : 
Uma segunda maneira de calcular as probabilidades pedidas é usando as técnicas de contagem, 
vistas na seção anterior. Devemos considerar que, embora as unidades tenham sido extraídas uma 
após a outra, no resultado final essa ordem é indiferente. O que interessa é que as unidades são 
selecionadas sem reposição. O mesmo resultado seria obtido selecionando simultaneamente as 
duas unidades do estoque. 
Neste enfoque, o número de elementos do espaço amostral Ω é igual ao número de todas as 
possíveis combinações de 40 objetos tomados 2 a 2; 
#Ω = $402 %= 780 
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(a) Consideremos o evento M = “as 2 unidades selecionadas são poluentes”. Notamos que M é 
formado por todas as combinações de 10 objetos tomados 2 a 2, porque há somente 10 unidades 
poluentes e dentre elas selecionamos duas. Portanto; 
 #M = $102 %= 45 . Daí, P(M) = 45/780 = 0,0577. 
(b) Considerando o evento N = as 2 unidades selecionadas são não poluentes, temos que: 
#N = $302 % = 435 e P(N) = 435/780 = 0,5577. 
 (c) Observamos que Q é formado por todos os elementos de Ω em que uma unidade é não 
poluente e a outra é poluente. A unidade não poluente pode ser selecionada de 30 maneiras e para 
cada uma delas há 10 maneiras de se selecionar a unidade poluente. Portanto: 
#Q = 30 × 10 = 300 e P(Q) = 300/780 = 0,3846. 
 
Notemos que os resultados obtidos pelas duas alternativas de solução são os mesmos. Isto mostra 
que geralmente há mais de uma maneira de se resolver um problema de probabilidades. O 
conhecimento delas permitirá ao leitor escolher, em cada caso, a mais adequada. 
╬╬╬ 
 
 
1.9 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes 
Um resultado da maior importância é o que nos permite calcular a probabilidade de um dado 
evento a partir de um conjunto de probabilidades condicionais envolvendo o dito evento. 
Inicialmente, vejamos o que se entende por uma partição do espaço amostral Ω. 
Partição de um Espaço Amostral 
Dizemos que os eventos A1, A2, .., Am formam uma partição do espaço amostral Ω se 
a) P(Ai) > 0 , para todo i (i= 1, 2, ..., m) 
b) Ai∩Aj = ∅ , para todo i ≠ j 
c) � A�>��� = ٠
Seja B um evento qualquer do espaço amostral. Então os eventos A1∩B, A2∩B,..., Am∩B são 
todos mutuamente exclusivos e B = )BA( im1i ∩∪ = 
 
Figura 1.4 – Uma partição do espaço amostral. Aqui, m=5 
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Daí, P(B) = P(A1∩B) + P(A2∩B) + ... + P(Am∩B) = 
=∑
=
m
1i
P(B|Ai)P(Ai) 
Este resultado é conhecido como Teorema da Probabilidade Total ou Absoluta 
Teorema da Probabilidade Total 
Se os eventos A1, A2,...., Am formam uma partição do espaço amostral Ω e B é um outro evento 
qualquer desse espaço então: 
P(B) ∑=
=
m
1i
ii )A(P)A|B(P . 
Nota : Alguns dos eventos Ai∩B podem ser vazios sem invalidar o Teorema. 
 
Exemplo 1.18 – Duração de Componentes eletrônicos 
A probabilidade de um componente eletrônico de um computador falhar antes de 1000 horas de 
funcionamento é: 0,05, se for da marca A1; 0,10, se for da marca A2; e 0,15, se for da marca A3. 
Numa loja de manutenção, 50% dos componentes em estoque são da marca A1, 20% da marca A2 e 
30% da marca A3. Um componente é escolhido ao acaso para o conserto de um computador. 
Determine a probabilidade de que ele funcione perfeitamente por mais de 1000 horas. 
Solução: 
Representemos por Ai o evento “o componente escolhido é da marca Ai”, para i = 1, 2, 3. 
Notemos que se Ω representa os resultados de todas as possíveis seleções de um componente para o 
conserto do computador, então os eventos A1, A2 e A3 representam uma partição de Ω. 
Denotemos por B o evento “o componente falha antes de 1000 horas de funcionamento”. 
Então B = (A1∩B) U (A2∩B) U (A3∩B) e, pelo Teorema da Probabilidade Total, 
P(B) = P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + P(B|A3)P(A3) 
As probabilidades de que precisamos são: 
P(A1 ) = 0,5; P(A2) = 0,2; P(A3) = 0,3 
P(B|A1) = 0,05; P(B|A2) = 0,10; P(B|A3) = 0,15 
Assim, 
P(B) = 0,05 x 0,5 + 0,10 x 0,20 + 0,15 x 0,30 = 0,09 
Essa é a probabilidade de um componente escolhido ao acaso vir a falhar antes de 1000 horas. 
Logo, a probabilidade dele se manter em funcionamento por mais de 1000 horas será 
P(BC ) = 1 – P(B) = 1 – 0,09 = 0,91 ou 91%. 
╬╬╬ 
 
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As probabilidades iniciais de seleção de um componente do estoque, se não soubermos se ele 
falhará antes das 1000 horas de funcionamento ou não, são de 50%, 20% e 30% para componentes 
da marca A1, A2 ou A3, respectivamente. Estas probabilidades costumam ser chamadas de 
probabilidades “a priori”. Será que o fato de sabermos que o componente falhou ou não antes de 
1000 horas de funcionamento altera essas probabilidades? Para isto precisamos calcular P(A1|B), 
P(A2|B) e P(A3|B) . Estas probabilidades condicionadas são chamadas de probabilidades “a 
posteriori”. 
 
Exemplo 1.19 – Novamente os componentes eletrônicos 
Cálculo das probabilidades “a posteriori”, isto é, sabendo-se que o componente falhou antes de 
1000 horas de uso: 
A probabilidade do componente selecionado ter sido da marca A1 , dado que ele falhou antes de 
1000 horas é 
P(A1|B) = ?�/2∩A�?�A� = 
?�A|/2�?�/2�
?�A� = 
(,(	×(,	(
(,(+ = 0,2778 ≅ 0,28 
Analogamente, encontramos:P(A2|B) = ?�/3∩A�?�A� = 
?�A|/3�?�/3�
?�A� = 
(,�(×(,
(
(,(+ = 0,2222 ≅ 0,22 
P(A3|B) = ?�/D∩A�?�A� = 
?�A|/D�?�/D�
?�A� = 
(,�	×(,�(
(,(+ = 0,50. 
A tabela a seguir contem as probabilidades “a priori” e “a posteriori” de cada marca: 
Marca Priori Posteriori Variação da priori 
para a posteriori 
Qualidade (medida pela 
chance de falha) 
A1 0,50 0,28 Diminui Melhor 
A2 0,20 0,22 Quase não se altera Intermediária 
A3 0,30 0,50 Aumenta Pior 
Vale a pena observar que a marca A1 é a de melhor qualidade, ou seja, aquela a que corresponde 
a menor taxa de falha (0,05). Por isso, a probabilidade de ter sido utilizada a marca A1 diminui da 
situação a priori (ausência de informação) para a situação a posteriori (houve falha). Enquanto isso, 
a marca A3 é a de pior qualidade, ou seja, aquela que corresponde à maior taxa de falha (0,15). Por 
isso, a probabilidade de ter sido utilizada a marca A3 aumenta da situação a priori (ausência de 
informação) para a situação a posteriori (houve falha). 
Portanto, as probabilidades “a posteriori” diferem das probabilidades “a priori”, ou seja, são 
modificadas pelo conhecimento adquirido sobre a duração do componente selecionado. 
╬╬╬ 
 
Uma generalização do resultado ilustrado no exemplo acima é conhecida como Teorema de Bayes, 
cuja demonstração é imediata a partir da definição de probabilidade condicional e do Teorema da 
Probabilidade Total. 
 
 
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Teorema de Bayes 
Se os eventos A1,A2,....,Am formam uma partição do espaço amostral Ω e B é um outro evento 
qualquer desse espaço , tal que P(B) > 0 , então: 
P�A�|B� = ?�A|/G �?�/G�?�A� para todo i = 1,2,...,m, 
onde P(B) é calculado usando-se o Teorema da Probabilidade Total. 
 
Observação: Analisando com atenção o enunciado do Teorema de Bayes, vemos que: 
• O fato de sabermos que o evento B ocorreu, realmente pode alterar as nossas expectativas sobre 
a ocorrência dos Ai’s 
• Quando se trata de probabilidades condicionais, ele nos permite inverter a ordem dos 
condicionamentos. 
• Pelo fato de A1,A2,...,Am formarem uma partição do espaço amostral, temos: 
∑
=
=
m
1i
i 1)A(P e ∑
=
=
m
1i
i 1)B|A(P 
O Teorema de Bayes pode ser considerado a base do que é conhecido como Teoria Estatística 
Bayesiana. 
 
 
1.10 Eventos independentes 
Há situações em que a probabilidade de ocorrência de um dado evento, digamos B, não é afetada 
pela ocorrência de um outro evento A . Neste caso, intuitivamente, podemos afirmar que P(B|A) = 
P(B). 
Da mesma forma, se a probabilidade de ocorrência de A não é afetada pela ocorrência de B, 
teremos P(A|B) = P(A). 
Quando as situações acima ocorrem, diremos que os eventos A e B são estatisticamente 
independentes ou simplesmente, independentes. 
Do exposto acima e usando o Teorema da multiplicação das probabilidades, podemos dar a 
seguinte definição: 
Eventos Independentes 
Dizemos que dois eventos A e B associados ao mesmo experimento são independentes se 
P (A∩B) = P (A).P(B) 
 
Isto é, dois eventos são estatisticamente independentes se a probabilidade deles ocorrerem juntos é 
igual ao produto das probabilidades individuais. 
É possível demonstrar que se A e B são independentes, também o são (AC e B), (A e BC) e (AC e BC). 
 
 
 
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Exemplo 1.20 – Lançamento de duas moedas 
Seja o experimento: Uma mesma moeda é lançada duas vezes e a face que ela apresenta em cada 
lançamento é registrada. 
O espaço amostral é composto de 4 resultados igualmente prováveis. Denotando “cara” por C e 
“coroa” por K temos: 
Ω= { CC , CK , KC , KK } 
Sejam os eventos A e B definidos como A = {“cara” no primeiro lançamento} e B = {“cara” no 
segundo lançamento}. Desta maneira: 
A = { CC, CK } , porque esses são os dois elementos de Ω para os quais temos “cara” no 
primeiro lançamento. Analogamente, B = { CC , KC } . Temos P(A) = P(B) = 1/2. 
Por outro lado, A∩B = {CC}, porque CC é o único resultado de Ω com “cara” nos dois 
lançamentos. Daí, P(A∩B) = 1/4 . Como P(A).P(B) = (1/2)(1/2) = ¼ verifica-se que P(A∩B) = 
P(A).P(B). Logo, A e B são independentes . 
Este resultado confirma a idéia intuitiva que temos de independência. Com efeito, qualquer que 
seja o resultado no primeiro lançamento da moeda, ele não afeta a ocorrência de qualquer resultado 
no segundo lançamento. 
╬╬╬ 
 
 
 
Exemplo 1.21: Baralho – Independência de eventos 
Experimento: Extração de uma carta do baralho 
A = “a carta é um valete” B = “a carta é de copas” 
Como P(A) = 4/52, P(B) = 13/52 e P(A∩B) = 1/52, vemos que 
P(A) • P(B)= (4/52) x (13/52) = 1/52= P(A∩B) 
Logo, A e B são independentes. 
Observe também que P(AB) = 1/13 = 4/52 = P(A) e P(B A) = ¼ = 13/52 = P(B). 
 
Curiosamente, se fossem acrescentados ao baralho dois coringas (Jokers), perder-se-ia a 
independência entre A e B, já que nesse caso teríamos 
P(AB) = 1/13 ≠ 4/54 = P(A) e P(B A) = ¼ ≠ 13/54 = P(B). 
╬╬╬ 
 
Exemplo 1.22: Lavadora e Secadora 
Em determinado condomínio residencial há duas máquinas antigas à disposição dos moradores 
que desejam lavar suas roupas: uma lavadora e uma secadora. A lavadora costuma estar 
funcionando apenas durante 60% do tempo e a secadora durante 80% do tempo. Maria acaba de 
entrar na lavanderia onde ficam as duas máquinas com um cesto de roupas sujas. Calcule a 
probabilidade de que: 
(a) ela consiga sair dali com suas roupas lavadas e secas; 
(b) ela saia com as roupas lavadas, mas sem secar; 
(c) ela não consiga nem mesmo lavar suas roupas. 
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Solução: 
Sejam L = “Lavadora funcionando” e S = “Secadora funcionando”. 
Temos então P(L) = 0,60 e P(S) = 0,8. 
Admitindo que o funcionamento da lavadora e o funcionamento da secadora são independentes 
entre si, temos: 
(a) P�L ∩ S� = P�L�P�S� = 0,6 × 0,8 = 0,48 
(b) P�L ∩ SJ� = P�L�P�SJ� = 0,6 × �1 − 0,8� = 0,12 
(c) P�LJ� = 1 − 0,6 = 0,40 
Apenas checando: 0,48 + 0,12 + 0,40 = 1. OK! 
╬╬╬ 
 
 
 
RESUMO DO CAPÍTULO 1: 
• Os modelos usados na descrição não determinística de um fenômeno são chamados de modelos 
probabilísticos ou estocásticos. 
• Um experimento aleatório: 
a) pode ser realizado quantas vezes desejarmos, sob condições essencialmente iguais; 
b) gera um resultado que não pode ser determinado “a priori”, embora o conjunto de todos os 
resultados possíveis possa ser especificado; 
c) apresenta a condição de regularidade estatística: quando o número de realizações é muito 
grande, a freqüência relativa de um particular resultado se aproxima de um valor constante; 
d) possibilita associar a cada resultado possível uma medida de confiança na sua ocorrência. 
• O espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento aleatório. 
(denotado por Ω ) 
• Um evento é um subconjunto do espaço amostral (comumente denotado por uma letra 
maiúscula: A, B, C, etc). 
• Eventos especiais: 
1) O próprio espaço amostral Ω é um evento chamado de evento certo. 
2) Um evento que contem um único resultado é dito um evento elementar. 
3) O conjunto vazio, denotado por Ø é chamado de evento impossível. 
4) AUB é o evento que ocorre se pelo menos um dos eventos, A ou B, ocorre. 
5) A∩B é o evento que ocorre se ambos, A e B, ocorrerem simultaneamente. 
6) AC, chamado evento complementar de A, é o evento cujos resultados