Cálculo Diferencial e Integral: Limites

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
 
 LIMITES1 
 
1. Noção Intuitiva 
 
Intuitivamente, dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se 
é possível tornar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomemos valores de x, x ≠ 
a suficientemente próximos de a. 
 
 
 
Exercícios: 
 
 
 
 
1
 FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006. 
2 
 
 
 
 
 
 
5. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
3 
 
 
 
 
 
2. Propriedades dos Limites 
 
 
 
Exemplos: 
1) Encontrar 
 . 
2) Encontrar 
 
 
. 
4 
 
3) Encontrar √ . 
4) Encontrar 
 
 
. 
Exercícios: Calcular os limites nos exercícios 18 a 31 usando as propriedades de Limites. 
 
 
3. Limites Laterais 
 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um número 
L é o limite à direita da função f quando x tende para a e escrevemos: 
 . 
 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (d, a). Dizemos que um número 
L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a e escrevemos: 
 . 
 
Exemplos: 
5 
 
1) Dada a função ( √ ), determinar, se possível, 
 . 
2) Seja {
 
 
 
. Determinar, se existirem, 
 . Esboçar o gráfico da função. 
 
 
Exercícios: 
1) Seja {
 
 
. 
Calcule: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Esboçar o gráfico de . 
 
2) Seja 
 {
 
 
. 
Calcule . Esboce o 
gráfico de . 
 
4. Cálculo de Limites 
 
Nas funções racionais onde ocorrem indeterminações (
 
 
 
 
 
 
 ), são necessários alguns artifícios algébricos para o cálculo de limites. 
Exemplos: 
1) 
 
 
 2) 
√ √ 
 
 
6 
 
3) 
√ 
 
√ 
 
4) 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) 
 
 
 
2) 
√ 
√ 
 
 
3) 
 
 
 
4) 
 
 
 
5) 
 
 
 
6) 
 
 
 
7) 
 
 
 
8) 
√ 
 
 
 
 
5. Limites no Infinito 
 
Se n é um número inteiro positivo, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Determinar 
 
 
. 
2) Encontrar 
 
 
 
3) Determinar 
 
√ 
. 
4) Determinar 
 
√ 
. 
 
6. Limites Infinitos 
 
Se n é um número inteiro positivo, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
7 
 
Propriedades dos Limites Infinitos: 
 
Exemplos: 
1) Determinar 
 √ 
 
 
. 
2) Determinar 
 . 
3) Determinar 
 
 
. 
4) Determinar 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Exercícios: Calcule os Limites 
 
8