Lista 6 - Derivada implícita, TX de variação e Funções inversas

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UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO IME 1 4827 - Ca´lculo I T02 (2014-2)
IME - INSTITUTO DE MATEMA´TICA E ESTATI´STICA
ANMAT - DEPARTAMENTO DE ANA´LISE MATEMA´TICA
Prof.a: Cristiane Oliveira de Faria
LISTA 6 DE CA´LCULO I
Derivada impl´ıcita, Taxa de variac¸a˜o, Func¸o˜es inversas
1. Seja y = f(x) definida implicitamentente pela equac¸a˜o sec2(x+y)−cos2(x+y) = 32 . Calcule f ′(pi4 ),
sabendo que f(pi4 ) = 0.
2. Seja y = f(x) definida implicitamentente pela equac¸a˜o x2−x√xy+2y2 = 10. Encontre o coeficiente
angular da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o f no ponto (4, 1).
3. Considere y = f(x) definida implicitamentente por x4 − xy + y4 = 1. Calcule f ′(0), sabendo que
f(x) > 0, ∀x ∈ R.
4. Considere a curva da figura ao lado conhecida por cisso´ide de Dio´cles cuja equac¸a˜o e´ (2−x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1)
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que x = 32 .
5. Cascalho esta´ caindo e formando uma pilha coˆnica que aumenta a uma taxa de 3 m3/min, de modo
que o raio do cone e´ sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de variac¸a˜o da altura da pilha
quando a altura e´ de 3 m.
6. Uma caˆmara de televisa˜o no n´ıvel do solo esta´ filmando a subida de um oˆnibus espacial que esta´
subindo verticalmente de acordo com a equac¸a˜o s = 15t2, sendo s a altura e t o tempo. A caˆmara
esta´ a 600 m do local de lanc¸amento. Encontre a taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre a caˆmara e a
base do oˆnibus espacial, 10 segundos apo´s o lanc¸amento (suponha que a caˆmara e a base do oˆnibus
esta˜o no mesmo nivel no tempo t = 0).
7. Um ponto move-se sobre a semi-circunfereˆncia x2 + y2 = 5, y ≥ 0. Suponha dxdt > 0. Determine o
ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x.
8. Uma escada de 8 m esta´ encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada
do pe´ da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade superior
estara´ descendo no instante em que a inferior estiver a 3m da parede?
9. Derive as func¸o˜es:
(a) f(x) = arcsen3((x+ 1)2) + arccos
1√
x2 + 1
(b) g(x) = arctan
√
1− cosx
1 + cosx
10. Encontre y′, se y = y(x) e´ definida implicitamentente pela equac¸a˜o dada
(a) x arctan y = x2 + y2
2
(b) arcsen(xy) = x+ y
11. Verifique as seguintes igualdades:
(a)
d
dx
(
x3
3
arcsenx+
x2 + 2
9
√
1− x2
)
= x2 arcsenx
(b)
d
dx
(
arctan
x
1 +
√
1− x2
)
=
1
2
√
1− x2
(c)
d
dx
(
arctan
2 tanx
1− tan2 x
)
= 2
12. Seja f(x) =
1
x
− x3, x > 0.
(a) Mostre que f tem inversa em (0,∞);
(b) Calcule f−1(0) e (f−1)′(0);
(c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente, deriva´vel, tal que f(1) = 2, f(2) = 7, f ′(1) = 3 e
f ′(2) = 4, calcule (f−1)′(2).
13. Seja f(x) = 2(x2 + 1) arctanx, x ∈ R.
(a) Mostre que f e´ invers´ıvel;
(b) Verifique que f(−1) = −pi e calcule (f−1)′(−pi).
RESPOSTAS
1. −1
2. 0
3. 14
4. (a) y = 2x− 1
(b) y = 3
√
3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3
5. 10, 6 cm/min
6. 278, 54 m/s
7. (−2, 1)
8. velocidade escalar de 6√
55
m/s ∼= 80.9 cm/s
9. (a) f ′(x) =
6(x+ 1) arcsen2(x+ 1)2√
1− (x+ 1)4 +
x
(x2 + 1)|x|
(b) g(x) =
senx
2| senx|
10. (a)
dy
dx
=
(1 + y2)(x2 − y2)
x2 − 2y(1 + y2)
(b)
dy
dx
=
√
1− x2y2 − y
x−
√
1− x2y2
11. basta verificar a igualdade
12. (a) Como f ′(x) = −1 + 3x
4
x2
< 0 em (0,∞), f satisfaz as hipo´teses do TFI (Teorema da Func¸a˜o
Inversa). Logo f e´ invers´ıvel em (0,∞);
3
(b) f−1(0) = 1 e (f−1)′(0) = − 14 ;
(c) x+ 4y = 4.
13. (a) f ′(x) = 2 + 4x arctanx 6= 0 pois (i) f ′(0) = 2; (ii) x > 0 ⇒ arctanx > 0 ⇒ x arctanx > 0 ⇒
f ′(x) > 2⇒ f ′(x) > 0; (iii) x < 0⇒ arctanx < 0⇒ x arctanx > 0⇒ f ′(x) > 2⇒ f ′(x) > 0.
Logo, aplicando o TFI, f possui inversa f−1.
(b) f(−1) = 4 arctan(−1) = −pi e (f−1)′(−pi) = 12+pi .