MÉTODOS QUANTITATIVOS apostila

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EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA E DE MÉTODOS QUANTITATIVOS
PROF. DR. EDMAN ALTHEMAN
Medidas de posição e de dispersão para dados tabulados e não tabulados
Para os dados a seguir, determine a média aritmética, a média geométrica, a média harmônica e a média ponderada (pesos 1, 2, 2, 3)
Aluno 1: notas 5,0; 6,0; 7,0; 5,0
Aluno 2: notas 9,0; 8,0; 8,0; 2,0
 Uma certa empresa que fabrica duas linhas de produtos (A e B) necessita reestruturar sua produção. Foi realizado um estudo para tal finalidade e uma das variáveis consideradas foi VENDA (quantidade mensal) de cada tipo de produto (A e B). Para este estudo foi tomado como referência o primeiro semestre de determinado ano, onde foram verificadas as seguintes VENDAS:
PRODUTO A 	13 32 28 25 24 25
PRODUTO B 	25 20 29 30 26 20
a) Em relação a esta variável, qual dos produtos (A ou B) apresentou maior estabilidade nas VENDAS mensais?
b) A empresa decide penalizar a equipe que obteve, em algum mês, um volume de venda inferior a media menos 1,5 vezes o desvio padrão. Alguma equipe foi penalizada?
3) Quarenta alunos da FATEC foram questionados quanto ao número de livros lidos no ano anterior. Foram registrados os seguintes valores: 
4 2 1 0 3 1 2 0 2 1 0 2 1 1 0 4 3 2 3 5 8 0 1 6 5 3 2 1 6 4 3 4 3 2 1 0 2 1 0 3 
(3.1) Organize os dados em uma tabela adequada. 
(3.2) Qual o percentual de alunos que leram menos do que 3 livros. 
(3.3) Qual o percentual de alunos que leram 4 ou mais livros. 
(3.4) Classifique a variável e o tipo de distribuição utilizada.
4) Durante certo período de tempo, os rendimentos de 10 ações foram os que a tabela registra.
1ª 	2,59	2ª 	2,64	3ª 	2,60 	4ª 	2,62 	5ª 	2,57
6ª 	2,55 	7ª 	2,61 	8ª 	2,50 	9ª 	2,63	10ª 	2,64
(4.1) Calcule o rendimento médio.
(4.2) Calcule o rendimento mediano.
(4.3) Calcule o rendimento modal.
(4.4) Calcule o desvio padrão do rendimento.
(4.5) Calcule o coeficiente de variação do rendimento.
5) Uma região metropolitana tem 50 quarteirões com os seguintes números de casas por quarteirão:
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16 18 18 20 21 22 22 23 23 25 25 26 27 29 29 30 32 36 42 44 45
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65 66 66 68 75 78 80 89 90 92 97
(5.1) Construa, com os dados, uma distribuição de frequências por intervalos fazendo com que as classes tenham amplitudes igual a 14.
(5.2) Calcule o número médio de casas por quarteirão.
(5.3) Determine o número mediano de casas por quarteirão.
(5.4) Calcule a variância do número de casas por quarteirão.
6) A amostra abaixo foi retirada de uma população de notas dos alunos de uma classe:
 5 8 6 5 5 2 7	. Determinar:
A nota média 		b) A variância 		c) O desvio padrão 	d) A moda 
A mediana 		f) A amplitude		g) O coeficiente de variação 
 7) Um grupo de candidatos a um emprego foi submetido a um teste de QI. Os resultados 
 estão agrupados abaixo: 
	Q.I.
	No de candidatos
	 80/----90
	20
	 90/---100
	100
	 100/---110
	120
	 110/---120
	50
	 120/---130
	10
 Calcular:
O QI médio. 
O QI mediano. 
Os quartis e classificar os candidatos em: Péssimos, Regulares, Bons e Ótimos. 
A variância. 
O desvio padrão 
O coeficiente de variação. 
8) A amostra abaixo representa uma distribuição salarial.
 
	Salários (em milhares deR$)
	 1/---3
	 3/---5
	 5/---7
	 7/---9
	 9/---11
	 11/---13
	 13/---15
	No funcionários
	 40
	 80
	 100
	 50
	 30
	 20
	 10
Calcular:
A média salarial. 
O salário mediano. Os quartis e classificar os salários em: baixos, abaixo da mediana, acima da mediana e altos. 
A variância dos salários. 
O desvio padrão dos salários. 
O coeficiente de variação dos salários. 
9) As notas médias e os respectivos desvios-padrão, em estatística, das turmas A, B e C, foram os seguintes, respectivamente:
Turma A: 	5,5 e 2,2 (40% alta) 
Turma B: 	5,7 e 1,4 (24,6 média) 
Turma C: 	5,1 e 0,9 (17,6 baixa)
Verificar, por meio do Coeficiente de Variação, a dispersão relativa de cada turma.
10) Considere a tabela a seguir que representa os valores economizados por crianças para a compra do presente do dia das mães.
Tabela - Valores economizados pelas crianças
	Valores (R$)
	Num. de crianças(fi)
	Fac
	10
	2
	
	15
	6
	
	20
	8
	
	25
	15
	
	30
	13
	
	35
	11
	
	40
	5
	
	
	
	
10.1.Qual o valor economizado por 75% das crianças (Q3)?
a) Q3= 30
b) Q3= 40
c) Q3= 35
d) Q3= 25
10.2. Qual o valor economizado por 40% das crianças (D4)?
a) D4 = 25
b) D4 = 20
c) D4 = 35
d) D4 = 30
10.3. Qual o valor economizado por 92% das crianças (P92)?
a) P92 = 35
b) P92 = 30
c) P92 = 40
d)P92 = 38
11) Considere a tabela abaixo que representa os salários de funcionários de uma empresa de reciclagem.
Tabela - Salários da empresa de reciclagem Coisas &Tal
	Salários
	Funcionários
	
	500 ├ 600
	3
	
	600 ├ 700
	8
	
	700 ├ 800
	12
	
	800 ├ 900
	17
	
	900 ├ 1000
	10
	
	1000 ├ 1100
	8
	
	1100 ├ 1200
	6
	
	
	
	
11.1. Qual o salário de 25% dos funcionários que ganham menos(Q1)?
11.2 Qual o salário de 60% dos funcionários que ganham menos(D6)?
11.3. Qual o salário de 90% dos funcionários que ganham menos(P90)?
As notas de um grupo de alunos foram as seguintes:
2,0	6,0	1,0	0,0	5,0	7,0	8,0	9,0	6,0	2,0	3,0 
1,0	2,0	6,0	7,0	9,0	2,0	4,0	7,0	9,0	8,0	6,0 
3,0	4,0	5,0	9,0	9,0	5,0	2,0	1,0	5,0	4,0	6,0
7,0	6,0	4,0	2,0	1,0	0,0	6,0	7,0	8,0	9,0	5,0
3,0	2,0	5,0	1,0	9,0	8,0	5,0	8,0	4,0	2,0	8,0
Determinar o número de classes para agrupamento dos dados, a amplitude de classe as frequências simples e acumuladas, absolutas e relativas, a variância e o desvio-padrão. Desenhar o histograma das frequências simples e o gráfico das frequências acumuladas 
CONSOLIDAÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO
Os dados abaixo referem-se ao valor das taxas de variação mensal de preços de uma amostra de uma série relativa ao item alimentação em uma cidade. Deseja-se ter um conhecimento sintético dessa distribuição. Para tanto, pede-se que sejam obtidas algumas medidas de posição e de dispersão desses dados. Os valores obtidos na amostra são:
1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,0	1,1	1,1	1,1 	1,1	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,5	1,5	1,6	1,6	1,6	1,7 	1,7	1,8	1,8	1,8	1,9	1,9	1,9	1,9	1,9	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,1	2,1	2,1	2,1	2,2	2,3	2,3	2,3	2,3	2,3	2,4	2,4	2,5	2,5	2,5	2,5	2,5	2,6	2,6	2,6	2,7	2,7	2,8	2,8	2,8	2,8	2,9	2,9	2,9	2,9	3,0	3,0	3,1	3,2	3,2	3,3	3,4	3,4	3,4	3,5	3,5	3,5	3,6	3,6	3,6	3,7	3,7	3,7	3,8	3,8	3,8	3,8	3,8	3,8	3,9	3,9	3,9	3,9	3,9	3,9	4,0	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4	4,4	4,5	4,6	4,7	4,8 	5,0	5,1	5,1	5,2	5,4	5,4	5,5	5,5	5,6	5,6	5,8	6,1	6,1	6,2	6,2	6,4	7,5	7,7	7,9	8,2	8,9	9,1	9,2	9,3	9,5 	9,5	9,6	9,6	9,7	9,8	9,8	9,9	9,9	9,9	9,9	9,9	9,9	9,9	9,9	9,9	9,9	
Determine o número de classes que deverá ser utilizado para caracterizar os dados acima: _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Determine a amplitude dos dados: ________________________________________________
Determine a amplitude de classe: _________________________________________________
Construa a tabela de síntese dos dados:
	Classes
	fi
	xi
	xifi
	(xi – x)
	(xi – x)2
	(xi – x)2fi
	Fac
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calcule a média x: 
Calcule a variância σ2:___________________________________________________________Calcule o desvio-padrão σ:_______________________________________________________
Elabore os gráficos das frequências simples e acumuladas:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calcule a mediana, o primeiro e o terceiro quartil da distribuição: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Caso o total de itens a serem investigados fosse 30000, a amostra de itens selecionados representa adequadamente, com nível de confiabilidade de 95% e erro máximo admissível de 5%, essa população? Justifique: ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ADAPTAÇÃO DE CURVA NORMAL
Adaptar uma curva normal ao conjunto de dados obtido na amostra. Desenhar o gráfico da curva normal real comparando-o com o polígono de frequências simples desenhado.
c = Nh/σ = 
	Ponto
	Ordenada
	µ
	
	µ+/-0,5 σ
	
	µ+/-1,0 σ
	
	µ+/-1,5 σ
	
	µ+/-2,0 σ
	
	µ +/-2,5 σ
	
	µ +/-3,0 σ
	
EXERCÍCIOS SOBRE AMOSTRAGEM 1
Deseja-se efetuar uma coleta de dados via questionários em uma cidade que conta com 180 000 habitantes. A pesquisa ligada à coleta visa às eleições deste ano e deve apresentar nível de confiabilidade de 95% e erro máximo admissível de 3%. Os pesquisadores julgam que a variável determinante na escolha dos votos esteja ligada ao grau de instrução dos eleitores (60% da população). Na cidade, existem 30 000 eleitores com nível superior completo e 78 000 com grau de instrução até o superior incompleto. Qual deve ser a amostra necessária para tal coleta?
Caso se desejasse 99% de confiabilidade, qual a nova amostra necessária?
Com os mesmos dados do problema 1. , caso se desejasse erro máximo admissível de 5%, qual a nova amostra necessária?
Com os mesmos dados do problema 1., qual a nova amostra necessária, caso se desconhecesse a variável relevante de interesse à pesquisa?
Caso a população da cidade fosse de 10 000 habitantes, qual a nova amostra necessária, mantendo-se as demais condições do item 1.?
Como seria a distribuição da amostra encontrada no item 1. Pelos estratos grau de instrução, sexo, estado civil? Sabe-se que na cidade há 30% de pessoas casadas, 40% solteiras e 30% com outro estado civil. Há, ainda, 40% de mulheres e 60% de homens.
EXERCÍCIOS SOBRE AMOSTRAGEM 2
Deseja-se efetuar uma coleta de dados via questionários em uma escola que conta com o quadro de alunos abaixo descrito. A pesquisa ligada à coleta visa à organização curricular dos cursos, devendo apresentar nível de confiabilidade de 95% e erro máximo admissível de 3%. Qual deve ser a amostra necessária para tal coleta?
	Curso/Período
	ADMINISTRAÇÃO
	COMUNICAÇÃO
	MANHÃ
	800
	1700
	NOITE
	1500
	2500
Caso se desejasse 99% de confiabilidade e a variável de interesse para a pesquisa fosse o período em que o aluno estuda, qual a nova amostra necessária (usar os demais dados do problema 1)?
Com os mesmos dados do problema 1, caso se desejasse erro máximo admissível de 5% e a nova variável de interesse fosse o curso do aluno, qual a nova amostra necessária?
Como seria a distribuição da amostra encontrada no item 1, segundo os estratos período e curso dos alunos?
Elabore um plano de seleção amostral para se chegar até os alunos que responderão ao questionário da pesquisa.
Quais os erros amostrais e não amostrais que poderão existir no plano amostral do item 5? Como minimizá-los?
EXERCÍCIOS DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 1
Um teste de inteligência foi aplicado em um grupo de 50 adolescentes do 3o ano do 20 grau. Os resultados obtidos apresentaram uma distribuição aproximadamente normal, com média 50 e desvio padrão 6. Qual é o percentual de alunos com notas superiores a 60?
Resposta: P (X>60) = 4,75%
Qual é o percentual de alunos com notas entre 44 e 60?
Resposta: P( 44 X < 60) = 34,13% + 45,25 = 79,38%
Qual é o percentual de alunos com notas compreendidas entre 35 e 45?
Resposta: P( 35<X<45) = 49,38 – 29,67 = 19,71%
Com os dados do problema acima, determinar a nota abaixoda qual se situam 75% dos alunos.
Resposta: Nota 54,08 (z=0,68, na realidade teremos 75,17% de alunos abaixo de 54,08)
Achar a probabilidade de que um valor escolhido ao acaso seja superior a 50, numa distribuição aproximadamente normal de média 35 e desvio padrão 8.
Resposta: 0,03005
Sejam os seguintes valores típicos obtidos na aplicação de um inventário de personalidade destinado a medir, dentre outras variáveis, a dimensão agressividade: Média = 6,74 e s = 2,30. Qual a probabilidade de se encontrar, ao acaso, um valor inferior a 3,40?
Resposta: 0,07353 = 7,35%
Determine os valores de z, simétricos em relação à origem, tais que a probabilidade de um valor escolhido ao acaso se encontrar fora do intervalo assim obtido seja 0,05.
Resposta: z = -1,96 e z = + 1,96
Suponha que o tempo médio de permanência em um hospital para doenças crônicas sejam 50 dias, com um desvio padrão igual a 10 dias. Se for razoável pressupor que o tempo de permanência tem distribuição aproximadamente normal, qual é a probabilidade de um paciente permanecer no hospital: a) mais de 30 dias b) menos de 30 dias?
a) 97,72% 	b) 2,28%
Em certa população, a estatura dos homens tem distribuição normal, com média igual a 172 cm e desvio padrão 10 cm.
14.1 – Que percentagem de homens tem estatura inferior a 160 cm?
14.2 – Qual a probabilidade de que um homem dessa população tenha estatura entre 175 e 185 cm?
14.3 – Quais são as estaturas esperadas para os 8% mais altos da população?
Resposta 14.1 – 11,51% 14.2 – 0,2853 14.3 – 186 cm ou mais 
15. Preocupado com o desempenho em matemática dos alunos da 8ª. série, certa escola deseja proporcionar aulas extras para aqueles que têm mais dificuldade nessa matéria. Os professores têm condições de atender 10% do total de alunos da 8ª. série. Sabendo que as notas nessa série têm distribuição normal, com média igual a 7,0 e desvio padrão igual a 1, determine a nota abaixo da qual o aluno receberá aulas extras.
Resposta 15. z=1,28 ( nota = 5,7 
Em determinado concurso, havia 600 candidatos para 120 vagas. Realizada a prova, o número médio de acertos foi 70, com desvio padrão 5. Qual o número mínimo de acertos para que um candidato se classifique, sabendo que esta variável apresentou distribuição normal?
Repostas: 16. z = 0,84 ( 74,2)
Qual a probabilidade de ocorrência de um evento que está correlacionado com uma curva normal e que está contido entre as variáveis normais reduzidas: 
a) z= -0,75 e -1,75	b) z= -0,75 e 1,75	c) z=-1,35 e -0,55	d) z=-2,5 e 0
18) Qual o valor de z que corresponde a uma probabilidade na curva normal de: 
a) 80%		b)1%		c)10%		d)42%		e)61%		f)70%	
 19)Quais as probabilidades de ocorrência de um fenômeno cuja variável normal reduzida z seja:
< -1,56
< 1,56
> 1,78
>-1,78
-1,24 <z<-0,41
-1,65<z<0
1,65<z<1,98
O perfil dos investidores de uma instituição financeira é o que segue:
	INVESTIMENTO
	FREQUENCIA
	0 A 10000,00
	100
	10001,00 A 20000,00
	400
	20001,00 A 30000,00
	600
	30001,00 A 40000,00
	700
	40001,00 A 50000,00
	400
	+ DE 50000,00
	100
 
Qual a probabilidade de um investidor aplicar mais 22000,00 supondo uma distribuição normal?
EXERCÍCIOS SOBRE DISTRIBUIÇÃO NORMAL 2
Exercício 1.1. A variável X tem distribuição normal com µ = 150 e σ = 30. Determinar as probabilidades: 
P(X<202,5) ;	P(120<X<165) ;	P(180<X<210)
Exercício 1.2. Para a distribuição normal com µ = 200 e σ = 50, determinar os valores de X tais que se tenha a probabilidade α = P(|x≥X|) = 0,05 (5%).
	Exercício 1.3. Num processo industrial tem-se µ = 10,0 com σ = 0,02. Qual é a probabilidade de se encontrar, numa amostra retirada aleatoriamente desse processo, um resultado igual ou maior que:
10,03
10,04
	
 
Exercício 1.4. Numa panificadora admite-se que um pacote de 1 kg pode ter uma variação de ± 10 g. Qual é a probabilidade de ser encontrado um pacote com mais de 1015 g.
Exercício 1.5. Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e 
garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no 
prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores 
tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão 
de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os 
televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m. 
respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m., 
respectivamente. 
(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B. 
(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B. 
(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos 
aparelhos do tipo A ou do tipo B?
Exercício 1.6. A concentração de um poluente em água liberada por uma fábrica tem distribuição N(8; 1,5). Qual a chance, de que num dado dia, a concentração do poluente exceda o limite regulatório de 10 ppm? 
Exercício 1.7. O diâmetro do eixo principal de um disco rígido segue a distribuição Normal com média 25,08 pol. e desvio padrão 0,05 pol. Se as especificações para esse eixo são 
25,00 ± 0,15 pol., determine o percentual de unidades produzidas em conformidades 
com as especificações.
Exercicio 1.8. Suponha que as medidas da corrente elétrica em pedaço de fio sigam a distribuição Normal, com uma média de 10 miliamperes e uma variância de 4 miliamperes. 
(a) Qual a probabilidade de a medida exceder 13 miliamperes? 
(b) Qual a probabilidade de a medida da corrente estar entre 9 e 11 miliamperes?
(c) Determine o valor para o qual a probabilidade de uma medida da corrente estar 
abaixo desse valor seja 0,98. 
Exercicio 1.9. O diâmetro de um eixo de um drive óptico de armazenagem é normalmente distribuído, com média 0,2505 polegadas e desvio-padrão de 0,0005 polegadas. As especificações do eixo são 0,2500±0,00015 polegadas. Que proporção de eixos obedece às especificações?
Exercicio 1.10. A média dos diâmetros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 cm e o desvio-padrão é 0,005. A finalidade para qual essas arruelas são fabricadas permite a tolerância máxima, para o diâmetro, de 0,496 a 0,508 cm. Se isso não se verificar, as arruelas serão consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os diâmetros são distribuídos normalmente.
Exercicio 1.11. Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: 
(a) Menos de 170000 km? 
(b) Entre 140000 km e 165000 km? 
(c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%? 
TESTES DE HIPÓTESES
Um determinado banco garante que apenas 48% de seus clientes fazem aplicações todos os meses. A fim de verificar a veracidade desta afirmação, foram analisados 500 clientes que têm aplicações com o banco dos quais 250 responderam, em um questionário aplicado a todos, que fazem estas aplicações. Discuta a afirmação do gerente.
Sabe-se que o custo mensal per capita dos dispêndios de uma indústria tem distribuição normal, com desvio padrão R$750,00. A diretoria da organização resolveu que iniciaria uma grande campanha para redução de custos caso seu valor médio fosse maior que R$4000,00per capita. Caso contrário, não iniciaria a campanha. Foi realizada uma pesquisa de opinião a partir de uma amostra de 45 colaboradores e foi verificado que a média dos dispêndios mensais desses indivíduos foi de 3900,00. Com  = 4%, qual decisão deve ser tomada pela diretoria?
A média dos valores de aplicações de uma organização financeira é R$8000,00. Recentemente, uma campanha publicitária procurou incentivar as aplicações. A fim de determinar o efeito da campanha, 10 amostras foram testadas. Os valores observados foram
	7820,00
	7930,00
	7740,00
	7570,00
	7360,00
	7940,00
	7670,00
	7120,00
	7430,00
	7520,00
Podemos concluir que o ajuste mudou o valor médio das aplicações? (Adote um nível de significância de 3%)
4-Uma fábrica de eletrodomésticos sabe que os aparelhos de sua fabricação têm duração normal com média de 2 anos e desvio-padrão de 6 meses. Qual a probabilidade de que um aparelho, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, dure: 
(a) Menos de 28 meses? 
(b) Entre 26 meses e 30 meses 
(c) Se a fábrica substitui o aparelho que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de aparelhos substituídos seja inferior a 2%? 
5-Sabe-se que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal, com desvio padrão 2 Kg2. A diretoria da empresa que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a variância do consumo mensal fosse maior que 4 Kg2. Caso contrário, continuaria a fabricá-lo. Foi realizada uma pesquisa de mercado a partir de uma amostra de 25 indivíduos e foi verificado que a variância do consumo mensal desses indivíduos foi de 5 Kg2. Com  = 5%, qual decisão deve ser tomada pela diretoria?
6-Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas 8% de infrações diárias por excesso de velocidade acima de 100Km/hora. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 6, 7, 8, 12, 7, 9, 6, 11%. Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? (com 4% de significância).
7- Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 25 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa encontra-se na tabela abaixo:
	21
	27
	26
	24
	28
	25
	24
	27
	29
	26
	22
	26
	25
	23
	27
	26
	25
	28
	29
	25
Comente o resultado, sabendo que o nível de significância é de 5%
Um determinado fabricante garante que suas máquinas produzem apenas 5% de peças defeituosas. A fim de verificar a veracidade desta afirmação, foram analisadas 1000 peças produzidas por uma máquina das quais 40 peças apresentaram algum tipo de defeito. Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de peças defeituosas e discuta a afirmação do fabricante.
A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas. Os valores observados foram
	76,2
	78,3
	76,4
	74,7
	72,6
	78,4
	75,7
	70,2
	73,3
	74,2
Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração do aço? (Adote um nível de significância de 5%)
Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de peças defeituosas. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 40 peças e havendo mais do que 15% de peças defeituosas a produção é parada. Se num determinado momento, o número de peças defeituosas for 8, qual seria a decisão?
A percentagem média da receita municipal dos quase 600 municípios de um estado têm sido 7%. O governo pretende melhorar este índice e, para isso, está estudando alguns incentivos. Para verificar os efeitos destes incentivos, sorteou 10 cidades e estudou quais seriam as percentagens investidas neles. Os resultados foram: 8, 10, 9, 11, 8, 12, 16, 9, 12, 10. Admitindo que estes números venham a ocorrer, os dados trazem evidência de melhoria? (Adote 5% de significância).
Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram: 8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10. Os dados trazem evidência de aumento nas infrações? (com 5% de significância)
Um laboratório de vacinas contra febre aftosa reivindicou que ela imuniza 90% dos animais. Em uma amostra de 200 animais, nos quais foram aplicados a vacina, 160 foram imunizados. Verificar se a declaração do fabricante é verdadeira ao nível de 5%.
As especificações de uma dada droga veterinária exigem 23,2g de álcool etílico. Uma amostra de 10 análises do produto apresentou um teor médio de álcool de 23,5g com desvio padrão de 0,24g. Pode-se concluir ao nível de significância de 1% que o produto satisfaz as condições exigidas ( 23,2g)?
Uma máquina é utilizada para fabricar componentes de um fogão. Uma amostra aleatória de 30 fogões resulta em uma variância da amostra do diâmetro do componente de s2=15mm2. Se a variância do diâmetro exceder 13 mm2, existirá uma proporção inaceitável componentes fora da especificação. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o fabricante tenha um problema com componentes fora da especificação? Use  e considere que os diâmetros dos componentes têm distribuição normal.
Uma máquina ATM é utilizada para fornecer serviços aos clientes de uma agência bancária. Uma amostra aleatória de 30 clientes atendidos resulta em um desvio padrão do tempo de atendimento do cliente de s=4min. Se o desvio padrão do atendimento exceder 3min, existirá uma proporção inaceitável de clientes insatisfeitos com a falta de expectativa para ser atendido. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o tempo de atendimento no equipamento esteja criando esta falta de expectativa? Use  e considere que os tempos de atendimento têm distribuição normal.
Um processo deveria produzir mesas com 0,95m de altura. O engenheiro desconfia que as mesas que estão sendo produzidas são menores que o especificado. Uma amostra de 12 mesas foi coletada e indicou média de 0,943. Sabendo que o desvio padrão populacional é 0,012, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de 5%.
As condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até os 70 anos é de 0,5. Testar essa hipótese ao nível de 3% se, em 800 nascimentos amostrados aleatoriamente, verificou-se que há 350 sobreviventes até 70 anos.
REVISÃO MÉTODOS QUANTITATIVOS
1- Uma pesquisa de perfil feita com investidores de um grande fundo, dentre outras questões, perguntou a idade dos aplicadores e o percentual de suas rendas utilizado para investimentos. Os dados obtidos foram:
	IDADE
	20
	25
	30
	35
	40
	45
	50
	55
	60
	%INVESTIIM.
	10
	15
	24
	30
	40
	43
	36
	41
	41
Pode-se estimar se há correlação entre estas variáveis? Em qual grau?
Qual seria a equação da reta media que expressaria esta correlação?
Qual a estimativa de % de investimento de uma pessoa com 47 anos?
Qual seria a idade esperada para um % de investimento de 28%?
2 -Uma fábrica de eletrodomésticos sabe que os aparelhos de sua fabricação têm duração normal com média de 3 anos e desvio-padrão de 6 meses. Qual a probabilidade de que um aparelho, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, dure: 
(a) Menos de 29 meses? 
(b) Entre 30 meses e 34 meses 
(c) Se a fábrica substitui o aparelho que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de aparelhos substituídos seja inferior a 5%? 
3- Deseja-se efetuar uma coleta de dados via questionários em uma empresa que conta com o quadro de colaboradores abaixo descrito. A pesquisa ligada à coleta visa ao conhecimento do clima organizacional, devendo apresentar nível de confiabilidade de 95% e erro máximo admissível de 4%. Qual deve ser a amostra necessária para tal coleta?
	Ambiente/Gênero
	Fábrica
	Escritório
	Masculino
	1900
	1300
	Feminino1600
	1200
Caso se desejasse 99% de confiabilidade e a variável de interesse para a pesquisa fosse o ambiente em que o colaborador trabalha, qual a nova amostra necessária (usar os demais dados do problema 3)?
Com os mesmos dados do problema 3, caso se desejasse erro máximo admissível de 5% e a nova variável de interesse fosse o gênero do colaborador, qual a nova amostra necessária?
 
Distribuir a primeira amostra encontrada segundo os estratos ambiente e gênero.
A mortalidade de uma região é tal que a proporção de crianças que sobrevivem menos de 1 ano é de 4%. Testar essa hipótese ao nível de 3% se em 1000 crianças amostradas aleatoriamente, verificou-se que ocorreram 30 óbitos em crianças com menos de 1 ano .
Um processo deveria produzir geladeiras com consumo médio de energia de 180 KwH. O engenheiro desconfia que o consumo desses componentes que estão sendo produzidos é maior que o especificado. Uma amostra de 35 componentes foi verificada e indicou média 190 KwH. Sabendo que o desvio padrão é 10KwH, teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância de 5%.
Um estudo afirma que a pluviosidade média nos municípios do Brasil têm ficado em torno de 600mm mensais de chuva. O governo pretende estabelecer um plano de aproveitamento hídrico e, para isso, está estudando alguns levantamentos da pluviosidade real nos municípios. Foram selecionados 15 cidades e observadas as pluviosidades no último mês. Os resultados foram: 650, 680, 640, 510, 520, 650, 570, 580, 690, 600, 660, 570. O que se pode concluir sobre a afirmação do estudo? (Adote 3% de significância). 
Um banco deseja fazer um estudo, com uma significância de 1%, a respeito da viabilidade de lançamento de um pacote de benefícios a seus clientes preferenciais. Esse novo lançamento somente será comercialmente viável se o índice de aceitação do pacote for maior que 85%. Para tal, realizou uma pesquisa de mercado em uma das cidades onde o banco já oferta esse pacote. Foi perguntado aos consumidores se gostaram (aceitaram) do produto. O resultado foi o seguinte: 780 correntistas responderam que gostaram do produto e 220 correntistas responderam que não gostaram do produto. O pacote deveria ser oferecido nessas condições? Justifique.
Uma máquina automática enche pacotes de café segundo uma distribuição normal com média μ e desvio-padrão 30g. A máquina foi regulada para μ = 500g. De meia em meia hora tiramos uma amostra de 32 pacotes para verificar se o empacotamento está sob controle. Se essa amostra apresentasse x = 497g, você pararia ou não o empacotamento para verificar se o ajuste da máquina está correto, com significância de 5%? E com 1%?
LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TESTES DE HIPÓTESES
Uma amostra de 25 elementos resultou média 13,5 com desvio padrão de 4,4. Efetuar o teste ao nível de 1% para a hipótese que a média seja inferior a 16.
As estaturas de 20 recém nascidos foram tomadas no Departamento de Pediatria da FMRP, cujos resultados são em cm: 41 50 52 49 49 54 50 47 52 49 50 52 50 47 49 51 46 50 49 50.
a) suponha inicialmente que a população das estaturas é normalmente distribuída com variância 2 cm2; Teste a hipótese de que a média seja diferente de 50cm (=0,05)
b) Faça o mesmo teste para a média, mas agora desconhecendo a variância (=0,05).
A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja media, nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano e desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de nove indústrias e medido o número de horas/homens perdidos por acidentes, que foi de 50 horas. Você diria, no nível de 5%, que há evidência de melhoria? Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, 5a edição, p.334.
Usuários de uma rede de transmissão de energia elétrica têm reclamado da alta variação na tensão (desvio padrão de12 V). A empresa encarregada da transmissão de energia elétrica na região instalou novos transformadores. O desvio padrão calculado sobre 30 observações independentes foi de 8 V e a distribuição de frequências dos valores da amostra sugere uma distribuição normal. Há evidências de redução na variação da tensão? (Use 5% de significância)
O tempo para transmitir 10 MB em determinada rede de computadores varia segundo um modelo normal, com média 7,4 seg e variância 1,3 seg². Depois de algumas mudanças na rede acredita-se numa redução no tempo de transmissão de dados, além de uma possível alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de 10 MB e foram anotados os tempos de transmissão, em segundos: 6,8 7,1 5,9 7,5 6,3 6,9 7,2 7,6 6,6 6,3. Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de computadores alteram a variabilidade no tempo de transmissão de dados? Use nível de significância de 5%.
Uma empresa retira periodicamente amostras aleatórias de 500 peças de sua linha de produção para análise da qualidade. As peças da amostra são classificadas como defeituosas ou não, sendo que a política da empresa exige que o processo produtivo seja revisto se houver evidência de mais que 1,5% de peças defeituosas. Na última amostra, foram encontradas nove peças defeituosas. Usando nível de significância de 1%, o processo precisa ser revisto?
Na indústria cerâmica, avalia-se sistematicamente a resistência de amostras de massas cerâmicas, após o processo de queima. Dessas avaliações, sabe-se que certo tipo de massa tem resistência mecânica aproximadamente normal, com média 53 MPa e variância 16 MPa². Após a troca de alguns fornecedores de matérias- primas, deseja-se verificar se houve alteração na qualidade. Uma amostra de 15 corpos de prova de massa cerâmica acusou média igual a 50 MPa. Qual é a conclusão com um nível de significância de 5 %?
Uma região do país é conhecida por ter uma população obesa. A distribuição de probabilidade do peso dos homens dessa região entre 20 e 30 anos é normal com média de 90 kg e desvio padrão de 10 kg. Um endocrinologista propõe um tratamento para combater a obesidade que consiste de exercícios físicos, dietas e ingestão de um medicamento. Ele afirma que com seu tratamento o peso médio da população da faixa em estudo diminuirá num período de três meses.
Um estudo é realizado para determinar a relação entre uma certa droga e certa anomalia em embriões de frango. Injetou-se 50 ovos fertilizados com a droga no quarto dia de incubação. No vigésimo dia de incubação, os embriões foram examinados e 7 apresentaram a anomalia. Suponha que se deseja averiguar se a proporção verdadeira é inferior a 25% com um nível de significância de 0,05.
A DeBug Company vende um repelente de insetos que alega ser eficiente pelo prazo de 400 horas no mínimo. Uma análise de nove itens escolhidos aleatoriamente acusou uma média de eficiência de 380 horas. a. Teste a afirmação da empresa, contra a alternativa que a duração é inferior a 400 horas, ao nível de significância de 1%, se o desvio-padrão amostral é de 60 horas (considere distribuição normal). 
Suponha que a experiência tenha mostrado que dos alunos submetidos a determinado tipo de prova, 20% são reprovados. Se de uma determinada turma de 100 alunos, são reprovados apenas 13, pode-se concluir, ao nível de significância de 5%, que estes alunos, são melhores? 
Um exame é composto de 100 testes do tipo certo-errado. (a) Determine o número mínimo de testes que um aluno deve acertar para que se possa, ao nível de significância de 5%, rejeitar a hipótese de que o aluno nada sabe sobre a matéria e respondeu ao acaso, em favor da hipótese de que o aluno sabia alguma coisa sobre a matéria do teste? (b) Qual seria este mínimo, se fosse adotado o nível de significância de 1%? 
O rótulo de uma caixa de sementes informa que a taxa de germinação é de 90%. Entretanto, como a data de validade está vencida, acredita-se que a taxa de germinação seja inferior a este número. Faz se um experimento e de400 sementes, tomadas ao acaso, 350 germinam. Qual a conclusão ao nível de 5% de significância?
Observou-se a produção mensal de uma indústria durante alguns anos e verificou-se que ela obedecia a uma distribuição normal com variância igual a 300 u2. Foi adotada então uma nova técnica de produção e durante um período de 24 meses observou-se a produção mensal. Após este período, constatou-se que a variância foi de 400 u2. Há motivos para se acreditar que houve alteração na variância ao nível de 10%? 
Numa linha de produção é importante que o tempo gasto numa determinada operação não varie muito de empregado para empregado. Em operários bem treinados a variabilidade fica em 100 u2 . A empresa colocou 11 novos funcionários para trabalhar na linha de produção, supostamente bem treinados, e observou os seguintes valores, em segundos: 125 135 115 120 150 130 125 145 125 140 130 Testar se a tempo despendido por estes funcionários pode ser considerado mais variável do que os demais funcionários. Utilize 5% de significância. 
Uma pesquisa de perfil feita com investidores de um grande fundo, dentre outras questões, perguntou a idade dos aplicadores e o percentual de suas rendas utilizado para investimentos. Os dados obtidos foram:
	IDADE
	35
	38
	57
	44
	41
	50
	39
	44
	47
	%INVESTIIM.
	35
	33
	44
	40
	41
	43
	36
	41
	41
Pode-se estimar se há correlação entre estas variáveis? Em qual grau?
Qual seria a equação da reta media que expressaria esta correlação?
Qual a estimativa de % de investimento de uma pessoa com 50 anos?
Qual seria a idade esperada para um % de investimento de 26%?