PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM E FATORIAL

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Exemplo 1 
Quantos números de 2 algarismos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1,2,3,4}? 
 
Solução: 
 
Notemos que o problema é constituído de duas etapas. Uma delas, onde iremos escolher o algarismo que deverá 
ocupar o lugar das centenas, e a outra onde escolheremos o algarismo que ocupará o das unidades. São exemplos desses 
números: 13, 34, 23, 33, ... 
Perceba que, com certa dose de esforço, poderíamos listar todos esses números, o que será desnecessário, pois o 
problema refere-se à quantidade de números. 
Temos então 4 possibilidades de escolha para o algarismo que ocupará as unidades (1,2,3 ou 4). Temos, também, 
4 possibilidades de escolha para o algarismo das dezenas (1,2,3 ou 4), uma vez que nenhuma restrição foi imposta para 
essas escolhas. Portanto, pelo Princípio Multiplicativo teremos: 4 x 4 = 16 números de 2 algarismos. 
 
Questionamentos e sugestões: 
 
1) Uma sugestão é que imaginemos esses números escritos em ordem crescente e tentemos, por exemplo, descobrir 
a posição ocupada pelo número 41. 
2) Imagine todos os números sendo listados em ordem crescente. Quanto seria a soma desses 16 números? Tente 
desenvolver uma técnica para descobrirmos essa soma sem que seja necessário listarmos todos esses números. 
 
Exemplo 2 
 
Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados utilizando elementos do conjunto {1,2,3,4}? 
 
Solução: 
Devemos atentar para a palavra “distintos” no enunciado. Isso faz com que números tais como 11, 22, 33 e 44 não 
nos interessem. Um dos procedimentos que podemos adotar é aproveitar o resultado do exemplo 1 e subtrairmos esses 4 
números que não atendem a condição imposta pelo problema. Logo 16-4 = 12 números é a resposta do problema. 
Muitas vezes, no estudo da Combinatória, adotaremos esse procedimento, entretanto utilizando a mesma linha de 
raciocínio do exemplo 1, temos: para o algarismo das centenas há 4 possibilidades de escolha, já para o algarismo das 
unidades teremos 3 possibilidades, portanto, pelo princípio multiplicativo, temos: 4 x 3 = 12 números. 
 
Questionamentos e sugestões: 
 
1) Você achou uma boa “estratégia” ignorar a restrição do problema momentaneamente? 
2) Que tal repetirmos o problema inicial utilizando 4 algarismos distintos ao invés de apenas 2? 
 
Exemplo 3 
 
Quantos números de 2 algarismos podem ser formados utilizando o conjunto {1,2,3,4} sem que os algarismos 1 e 2 
apareçam no mesmo número? 
 
Solução: 
 
Podemos aproveitar o resultado do exemplo 1 e observarmos que os números onde aparecem os algarismos 1 e 2 
ao mesmo tempo são: 12 e 21. Logo, a resposta do problema será: 16 – 2 = 14 números. 
 
 
 
 
Questionamentos e sugestões: 
 
1) Que tal excluirmos os algarismos 1 e 2 ao mesmo tempo ou separadamente? 
2) Vamos modificar o problema inicial para 4 algarismos sem restrições? 
3) Vamos resolver esse? 
 
Quantos números de 4 algarismos podem ser formados utilizando o conjunto {1,2,3,4} sem que os algarismos 1 e 2 
apareçam juntos no número? Observe que números do tipo 1243 ou 4213, não interessam, mas números do tipo 1432 
servem. 
 
Exemplo 4 
 
Um estádio de futebol possui 12 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse 
estádio? 
 
Solução: 
 
O problema é constituído de 2 escolhas: um portão para entrar e outro para sair, que pode ser o mesmo, uma vez 
que o problema não impõe nenhuma restrição. Logo, temos 12 possibilidades de escolha para o portão de entrada e em 
seguida 12 escolhas para o portão de saída. Portanto, pelo princípio multiplicativo: 12 x 12 = 144 maneiras diferentes. 
 
Questionamentos e sugestões: 
 
1) Imagine que esse torcedor escolhesse juntos os 2 portões e não fazendo distinção entre o de entrada e saída, o 
problema sofreria alteração? 
2) Qual seria a resposta? 
 
Exemplo 5 
 
Um estádio possui 4 portões. De quantas maneiras diferentes um torcedor pode entrar e sair desse estádio utilizando, 
para sair, um portão diferente do que entrou? 
 
Solução: 
 
Nesse problema, é imposta a condição onde o torcedor não pode sair pelo mesmo portão que entrou. Logo, temos 
12 possibilidades de escolha para o portão de entrada e 11 possibilidades de escolha para o de saída, portando pelo P.M., 
concluímos que: 12 x 11 = 132 maneiras distintas. 
 
Observe que poderíamos pegar o total do exemplo 4 e subtrairmos as 12 situações onde o torcedor entra e sai pelo 
mesmo portão, que chegaríamos à resposta do problema (144 - 12=132). 
 
 
Exemplo 6 
 
Uma bandeira retangular é formada por 4 listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, branco e 
vermelho, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira? 
 
Solução: 
 
A primeira listra pode ser colorida de 3 modos, a segunda de 2 modos (não podemos utilizar a cor empregada na 
primeira listra), a terceira de 2 modos (não podemos utilizar a cor empregada na segunda listra) e a quarta de 2 modos (não 
podemos usar a cor empregada na terceira listra). Logo, pelo P.M., temos: 3x 2x 2 x2 = 24. 
 
Questionamentos e sugestões: 
 
Vamos pensar em outro problema? 
Uma bandeira retangular é formada por 4 listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, 
branco e vermelho. Quantas dessas bandeiras apresentam pelo menos 1 das listas com a mesma cor? 
 
Exemplo 7 
 
Quantos números naturais de 3 algarismos distintos (na base 10) existem? 
 
Solução: 
 
Esse problema é composto de 3 etapas: a escolha do algarismo das centenas, a do algarismo das dezenas e a 
escolha do algarismo das unidades, sendo a escolha do algarismo das centenas a mais importante delas, pois o algarismo 
zero não pode ocupar essa posição, portanto essa decisão deve ser tomada em primeiro lugar. 
Lembre-se: “pequenas dificuldades não resolvidas tendem a se tornar grandes dificuldades”. Portanto, teremos: 9 
possibilidades de escolha para o algarismo das centenas, 9 possibilidades de escolha para o algarismo das dezenas e 8 
possibilidades de escolha para o algarismo das unidades, portanto pelo P.M., concluímos que: 9x9x8 = 648 números. 
Uma estratégia muito útil na Combinatória é esquecermos uma condição temporariamente, por exemplo: Temos 10 
possibilidades de escolha para o algarismo das centenas, 9 para o algarismo das dezenas e 8 para o algarismo das unidades, 
daí: 10x9x8 = 720 números. Devemos excluir os que foram contados indevidamente, como: 032,045,089, ... 
Para descobrirmos quantos são basta fixarmos o algarismo zero nas centenas e teríamos: 9 possibilidades de escolha 
para o algarismo das dezenas e 8 possibilidades de escolha para o algarismo das unidades. Pelo P.M., chegamos ao valor 
de 72 números que não convém, portanto, a resposta correta será: 720 – 72 = 648 números. 
 
Comentários e sugestões: 
 
Nos problemas de Análise Combinatória, se uma das decisões é mais difícil de ser tomada, então ela deverá ser 
adotada em primeiro lugar. Observamos isso até mesmo em nossas vidas, “pequenos problemas não resolvidos, podem se 
tornar grandes problemas”, então lembre-se: não devemos adiar a tomada de decisões. Mas, agora vamos à segunda parte 
da nossa aula.