Exercícios Resolvidos - Campo Magnético

Prévia do material em texto

- Exercícios Resolvidos Sobre Campo Magnético – 
 
1. Um elétron sob a ação de um campo magnético possui velocidade v = (40. 10
3
) i + 
(35. 10
3
) j [m/s]. Ele recebe a ação de uma força F = (-4,2.10
-15
) i + (4,8.10
-15
) j [N]. 
Sendo Bx=0. Calcular B. 
 
O exercício nos pede que calculemos o vetor B, que pode ser escrito em termos de suas 
componentes, assim: 
B = Bxi + Byj + Bzk (mas Bx=0), reescrevendo fica: 
B = Byj + Bzk 
 
Como nos foi dado as componentes do vetor Força magnética e da velocidade, vamos utilizar a 
seguinte equação: 
 
FB = qv x B 
para encontrarmos seu módulo basta fazer FB = q.v.B. sen θ, onde θ é o menor ângulo entre os 
vetores v e B. 
 
Aplicando as informações dadas no enunciado, fica assim: 
 
FB = q(vxi + vyj) x (Byj + Bzk) 
 
Observações: 
I. Multiplicamos essas componentes utilizando a propriedade distributiva. 
II. O vetor de força F sempre será perpendicular aos vetores de v e B. Então, o produto 
entre vx e By, resultará numa força no eixo z, Fz. 
III. O produto entre componentes do mesmo eixo (por ex. vx por Bx será igual a zero, pois o 
ângulo entre eles será 0 ou π, cujo seno é zero. 
 
Aplicando a distributiva, temos: 
 
1. Fz = q.vx. Bz.senθ = 0 
(pois de acordo com o enunciado não temos componente de força no eixo z). 
2. Fy = q.vx. Bz. senθ = - q.vx. Bz 
 (nesse caso senθ = -1, pois o menor ângulo entre o eixo +x e +z 
 é –π/2) 
 θ 
 
 
3. F = q.vy. By.senθ = 0 (produto entre componentes do mesmo eixo, seno é zero) 
4. Fx = q.vy. Bz. senθ 
 
Pelas equações acima, concluímos que também não teremos componente de B no eixo y, pois , 
isolando By na equação 3, temos que By = 0. 
Restam as equações 2 e 4, vamos substituir os valores e isolar Bz. Estamos falando de um 
elétron cuja carga vale -1,6.10
-19
 C. 
 
 
Da eq. 2, temos: 
Bz = - 
 
 
 = - [4,8.10
-15
 ÷ (-1,6.10-19. 40. 10
3
)] = 0,75k T 
 
Vamos utilizar a eq. 4 para tirarmos a prova do valor encontrado acima: 
 
Bz = 
 
 
 = - 4,2.10
-15
 ÷ (-1,6.10-19. 35. 10
3
) = 0,75k T 
 
Então, o valor de B será: B = Bz = 0,75k T 
 
 
 
2. Uma partícula com carga igual a -1,24.10
-8
C se move com velocidade instantânea 
v=(4,19 x 10
4
)i + (-3,85 x 10
4
)j [m/s]. Qual é a força exercida sobre essa partícula por 
um campo magnético a) B = (1,4)i T e b) (1,4)k T? 
 
a) FB = qv x B 
FB = -1,24.10
-8
. [(4,19 x 10
4
)i + (-3,85 x 10
4
)j]. (1,4)i 
como o produto entre componentes do mesmo eixo é considerado zero, a equação fica assim: 
FB = -1,24.10
-8
. [ (-3,85 x 10
4
)j]. (1,4)i 
Fz = 6,68. 10
-4
 (jxi) (o produto parte do eixo +y rumo a +x, descrevendo um ângulo de –π/2, 
 cujo seno é -1) 
Fz pois temos um produto entre os eixos y e x 
Fz = - 6,68. 10
-4
 N 
 
b) FB = qv x B 
FB = -1,24.10
-8
. [(4,19 x 10
4
)i + (-3,85 x 10
4
)j]. (1,4)k 
FB = - 7,12.10
-4
(ixk) + 6,68.10
-4
(jxk) 
(observando que ixk = -1 e jxk = 1) 
Assim, temos que: 
FB = 7,12.10
-4
j + 6,68.10
-4
i [N] 
 
 
 
3. Um elétron se move em uma região onde existe um campo magnético uniforme dado 
por B = Bxi + (3,0Bx)j. Em um certo instante o elétron tem uma velocidade v = (2,0i + 
4,0j) m/s e a força magnética que age sobre a partícula é 6,4x10
-19
k N. Encontre o valor 
de Bx. 
Basta aplicar a equação FB = qv x B, substituindo os valores, utilizando a multiplicação 
distributiva e realizando os devidos produtos vetoriais: 
FB = qv x B 
6,4x10
-19
 = -1,6.10
-19
. (2,0i + 4,0j) x [Bxi + 3,0Bxj] 
6,4x10
-19
 = -1,6.10
-19
.( 2,0i. Bxi + 2,0i. 3,0Bxj + 4,0j. Bxi + 4,0j3,0Bxj) 
 zero! zero! 
6,4x10
-19
 = -1,6.10
-19
.( 2,0i. 3,0Bxj + 4,0j. Bxi) 
6,4x10
-19
 = -1,6.10
-19
.[6,0Bx (ixj) + 4,0Bx (jxi)] 
 1 -1 
6,4x10
-19
 = -1,6.10
-19
.[6,0Bx - 4,0Bx] 
6,4x10
-19
 = -1,6.10
-19
.[2,0Bx] (isolando Bx, temos) 
Bx = - 2 T 
 
 
4. Um próton está se movendo em uma região onde existe um campo magnético 
uniforme dado por B = (10i – 20j + 30k) 10-3 T. No instante t1 o próton possui uma 
velocidade dada por v = vxi + vyj + (2,0 10
3
)k e a força magnética que age sobre o 
próton é FB= (4,0.10
-17
 N)i + (2,0.10
-17
 N)j. Nesse instante, quais são os valores de vx e 
vy? 
Basta aplicar a equação FB = qv x B, substituindo os valores, utilizando a multiplicação 
distributiva e realizando os devidos produtos vetoriais: 
FB = qv x B 
FB = q (vxi + vyj + 2,0 10
3
k) x (0,01i – 0,02j + 0,030k) 
(já vou desconsiderar os casos onde há produto entre componentes do mesmo eixo) 
FB = q (–vxi.0,02j+ vxi.0,03k + vyj.0,01i + vyj.0,030k + 2,0 10
3
k. 0,01i - 2,0 10
3
k. 0,02j) 
(fazendo o produto vetorial entre os eixos, temos) 
FB = q (– 0,02vx k – 0,03vx j  0,01vy k + 0,03vy i + 20 j + 40 i) 
(substituindo o valor de FB e somando os elementos do lado esquerdo da equação) 
(4,0.10
-17
 N)i + (2,0.10
-17
 N)j = 1,6.10
-19
[( 0,03vy + 40)i +(20 - 0,03vx)j - (0,02vx + 0,01vy)k] 
Comparando os dois lados da equação, temos: 
0,03vy + 40 = 4,0.10
-17
 N / 1,6.10
-19 
0,03vy + 40 = 250 >> vy = 7.10
3
 m/s 
e 
20 - 0,03vx = 2,0.10
-17
/ 1,6.10
-19 
20 - 0,03vx = 125 >> vx = - 3,5.10
3
 m/s