Lista 6

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Universidade Federal de Sergipe -UFS
Departamento de Arquitetura e Urbanismo - DAU
Professor: Rafael Oliveira
Lista 6
Ca´lculo I.
1. Use a definic¸a˜o de integral para computar as seguintes integrais:
(a)
∫ 5
−1(1 + 3x) dx;
(b)
∫ 4
1
(x2 + 2x− 5) dx;
(c)
∫ 5
0
(1 + 2x3) dx;
2. Ache a integral indefinida (ou antiderivada) geral:
(a)
∫
3
√
x dx;
(b)
∫
(x3 + 6x+ 1) dx;
(c)
∫
(1− t)(2 + t2) dt;
(d)
∫
cos 3x dx;
(e)
∫
x2
√
x3 + 1 dx;
(f)
∫ 4
(1 + 2x)3
dx;
(g)
∫ dx
5− 3x ;
(h)
∫
esen θcos θ dθ;
(i)
∫
x.cos 5x dx;
(j)
∫
xe−x dx;
(k)
∫ x
x− 6 dx;
(l)
∫ x− 9
(x+ 5)(x− 2) dx;
(m)
∫ r2
r + 4
dr.
3. Calcule a integral.
(a)
∫ 2
0
(6x2 − 4x+ 5) dx;
(b)
∫ 0
−1(2x− ex) dx;
(c)
∫ 2
−2(3u+ 1)
2 du;
(d)
∫ 1
0
x( 3
√
x+ 4
√
x) dx;
(e)
∫ 2
1
y + 5y7
y3
dy;
(f)
∫ 9
1
3x− 2√
x
dx;
(g)
∫ pi
0
(4sen θ − 3cos θ) dθ;
(h)
∫ 2
0
(x− 1)25 dx; ∫ 2
0
(6x2 − 4x+ 5) dx;
(i)
∫ √pi
0
x.cos(x2) dx;
(j)
∫ e
e4
dx
x
√
lnx
;
(k)
∫ pi
0
x.sen 3x dx;
(l)
∫ 2
1
lnx
x2
dx;
(m)
∫ pi
0
cos x ln(sen x) dx;
(n)
∫ 3
2
1
x2 − 1 dx;
(o)
∫ 1
0
x− 1
x2 + 3x+ 2
dx;
(p)
∫ 1
0
2x+ 3
(x+ 1)2
dx;
(q)
∫ 3
2
1
x2 − 1 dx;
(r)
∫∞
1
1
(3x+ 1)2
dx;
(s)
∫ 0
−∞
1
2x− 5 dx;
(t)
∫ 3
0
1√
x
dx;
(u)
∫ 0
−1
1
x2
dx;
(v)
∫ 3
−2
1
x4
dx
4. A func¸a˜o velocidade (m/s) e´ dada por uma part´ıcula movendo-se ao longo
de uma reta. Ache o deslocamento e a distaˆncia percorrida no intervalo
dado:
(a) v(t) = 3t− 5, 0 ≤ t ≤ 3
(b) v(t) = t2 − 2t− 8, 1 ≤ t ≤ 6
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5. A func¸a˜o acelerac¸a˜o (m/s2) e a velocidade inicial sa˜o dadas por part´ıcula
movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade no instante t e a
distaˆncia percorrida durante o intervalo de tempo dado.
(a) a(t) = t+ 4, v(0) = 5, 0 ≤ t ≤ 10
(b) a(t) = 2t+ 3, v(0) = −4, 0 ≤ t ≤ 3
6. A Velocidade me´dia das mole´culas em um ga´s ideal e´
v =
4√
pi
(
M
2RT
) 3
2
∫ ∞
0
v3e
−mv2
2RT dv
, onde M e´ o peso molecular do ga´s; R, a constante do ga´s; T , a temperatura
do ga´s; e v, a velocidade molecular. Mostre que
v =
√
8RT
piM
7. Na teoria da relatividade, a massa de uma part´ıcula com velocidade v e´
m =
m0√
1−v2
c2
em que m0 e´ a massa da part´ıcula no repouso e c, a velocidade da luz. O
que acontece quando a velocidade da part´ıcula se aproxima da velocidade
da luz? Qual a variac¸a˜o total da massa dessa part´ıcula? (expressar o u´ltimo
resultado em func¸a˜o de uma integral)
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