Material Didático - Cálculo III

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CÁLCULO 3
CURSO DE FÍSICA 2011
JOÃO CARLOS DA ROCHA MEDRADO
MIGUEL ANTÔNIO DE CAMARGO
Texto para utilização na disciplina Cálculo 3 do Curso de Física a
distância.
Goiânia
2011
Sumário
Ao leitor 6
Introdução 8
1 Movimentos no plano e no espaço 10
1.1 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Operações com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Vetores Paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1 Equações Paramétricas da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Vetores Perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Equação Cartesiana da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Ângulos entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Curvas Parametrizadas no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Limite, Continuidade e Derivabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Vetores no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1 Retas e Planos no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7 Curvas Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.7.1 Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.8 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.8.1 Vetor Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Funções de Várias Variáveis 57
2.1 Limite e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.1 Propriedades de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis 69
3.1 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.1 Regra da Cadeia: Versão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 Regra da Cadeia: Versão 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Derivada direcional e Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1 Observações e Interpretações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.5 Extremos de Funções de Duas Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.1 Extremos Locais e Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5.2 Teste da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4 Integração de Funções de Várias Variáveis 102
4.1 Cálculo de Integrais Repetidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Mudança de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.1 Mudança de Variáveis na Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.2 Mudanças de Coordenadas Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3 Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3.1 Cálculo de Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.3.2 Mudança de Variáveis na Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.4 Aplicações das Integrais Dupla e Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5.1 Integral de Linha de Funções Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.5.2 Integral de Linha das Formas Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.3 Propriedades da Integral de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.6 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6.1 Aplicações do Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.7 Teoremas de Gauss e de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Bibliografia 153
Índice Remissivo 154
Lista de Figuras
1.1 Deslocamento do avião (Exemplo 1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Representação gráfica de um vetor dado por dois pontos. . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Vetores perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Soma de vetores e produto de um vetor por um escalar. . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Soma e diferença de vetores e produto de um vetor por um escalar. . . . . . . 14
1.6 Avião: Velocidade Resultante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Representação gráfica do vetor u = (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Representação gráfica dos vetores u = (a, b) e v = (c, d). . . . . . . . . . . . . 16
1.9 Representação gráfica de um vetor u como a soma dos versores e1 e e2. . . . . 18
1.10 Representação gráfica dos vetores formados pelos pontos A, B e P e da reta r. 18
1.11 Vetores perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.12 Equação Cartesiana da reta r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.13 Determinação do ângulo entre vetores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.14 Determinação da Projeção de um vetor F sobre o vetor u. . . . . . . . . . . . . 24
1.15 Determinação das coordenadas de um vetor unitário em função do ângulo θ. 25
1.16 Representação dos vetores velocidade e aceleração em ummovimento circular. 30
1.17 Determinando as coordenadas de um ponto P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.18 Sistemas de coordenadas no espaço. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.19 Marcando o ponto P(a, b, c). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.20 Área de um paralelogramo é ||u× v||. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.21 Cálculo do torque gerado pelo aperto de um parafuso com uma chave inglesa. 37
1.22 Equações paramétricas da reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.23 Equações paramétricas do plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.24 Superfície z = (1.3)x.sen(y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.25 Representação gráfica da superfície y = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.26 Representação gráfica da superfície z = seny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.27 Determinação da equação de uma superfície de revolução. . . . . . . . . . . . 43
1.28 Determinação da equação do Elipsóide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.29 Determinação da equação do Hiperbolóide de uma folha. . . . . . . . . . . . . 44
1.30 Determinação da equação do Hiperbolóide de duas folhas. . . . . . . . . . . . 45
1.31 Determinação da equação do Parabolóide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.32 Determinação da equação do Cone de Revolução para z ≥ 0. . . . . . . . . . . 46
1.33 Determinação da equação do Cilindro Circular Reto para z ≥ 0. . . . . . . . . 46
1.34 Representação gráfica da superfície z = sen(xy). . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.35 Representação gráfica da curva espacial α(t) = (tsent, t, tcos t), t ∈ R. . . . . 49
1.36 Representação gráfica da Hélice α(t) = (cos t, sent, t), t ∈ R. . . . . . . . . . 49
1.37 Representação gráfica dos vetores T(t), T′(t) e a(t) em uma curva α(t). . . . . 55
2.1 Representação do gráfico da função y = f (x) = x. . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Representação do gráfico da função z = f (x, y) = x. . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Representação dos gráficos das funções dadas implicitamente por x2 + y2 =
1, no plano e no espaço, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Representação gráfica do domínio D da função f . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Representação gráfica do domínio D (em vermelho), da imagem (em azul) e
do gráfico da função y =
√
x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.6 Representação gráfica do domínio D (em vermelho), da imagem (em azul) e
do gráfico da função z = x2 + y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.7 Representação gráfica das curvas de nível no gráfico da função f (x.y) =
x2 + y2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.8 Representação gráfica das curvas de nível no gráfico da função f (x, y) =
4− x− y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.9 Representação gráfica das direções de aproximação a um ponto. . . . . . . . . 64
3.1 Representação gráfica da derivada considerando y constante (y = y0). . . . . 70
3.2 Representação gráfica da derivada considerando x constante (x = x0). . . . . 70
3.3 O gradiente é perpendicular ao vetor tangente às curvas de nível. . . . . . . . 82
3.4 Representação gráfica da derivada direcional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.5 Determinação de um plano tangente a uma superfície. . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6 Representação gráfica da Calha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 Representação gráfica de uma superfície com vários tipos de extremos. . . . . 92
3.8 Curvas de nível e a elipse. Em azul,∇ f e em amarelo∇g. . . . . . . . . . . . 97
3.9 Representação gráfica de 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.10 Representação gráfica da Calha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 Aproximação da área sob a parábola por falta (a) ou por excesso (b). . . . . . 102
4.2 Definição da integral dupla: dividindo o domínio D. . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Regiões 1 e 2 para a integração dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4 Cálculo do volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5 Representação gráfica do Prisma - Exemplo 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6 Representação gráfica do Triângulo D - Exemplo 4.8. . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7 Representação gráfica do domínio D - Exemplo 4.10. . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8 Representação gráfica do Triângulo D - Exemplo 4.8. . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.9 Semi-esfera - Exemplo 4.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.10 Integral Tripla - calculando o volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.11 Representação gráfica do Triângulo D - Exemplo 4.9. . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.12 Curva - partição do domínio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.13 Curva - a poligonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.14 Curva α(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.15 Curvas fechadas simples: (1) suave e (2) parcialmente suave. . . . . . . . . . 141
4.16 Regiões 1 e 2 para a integração dupla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.17 Exemplo 4.45: Cilindro parabólico e planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.18 Teorema de Stokes: Superfície S e a curva C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.19 Exemplo 4.46: Cilindro e o plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Caro leitor,
Este texto foi elaborado para servir de suporte à disciplina Cálculo 3, em nível universitário, mais
especificamente para o curso de Física a distância promovido pela Universidade Federal de Goiás e
com a participação das Universidades Estadual de Goiás e Católica de Goiás.
Neste texto, minimizamos ao máximo a formalidade para esse curso de Cálculo e o escrevemos
com uma linguagem que acreditamos, seja dialógica e de fácil compreensão. Esperamos motivar
através de situações–problema, que em geral são originadas dos problemas físicos ou mesmo do nosso
dia–a–dia, os novos resultados aqui apresentados. Esperamos, ainda, que as suas respectivas de-
monstrações ou justificativas, estejam à altura da experiência e maturidade do estudante.
Apresentamos antes de cada novo resultado, que formalmente são chamados de teoremas ou pro-
posições, vários exemplos que motivam e ilustram com aplicações a utilização dos mesmos, com o
objetivo principal de ativar a intuição e provocar a compreensão de forma natural.
Apresentamos também, várias listas com exercícios variados, que complementam e ampliam o
conhecimento descrito no texto. Assim, esperamos que você, estudante, leia com bastante atenção
não somente este texto, mas, principalmente, na elaboração de resoluções dos exercícios propostos e,
se possível, propor novas situações a serem resolvidas com a utilização dos conceitos vistos.
É muito importante que o estudante se aplique tanto na pesquisa em outros materiais, como
em livros, artigos e publicações disponibilizadas via internet ou quaisquer outros meios que tiverem
acesso, nunca se esquecendo de que, embora seja um curso a distância, você tem a possibilidade e,
quem sabe, a necessidade de trocar informações a cerca de estudos com colegas e/ou orientadores. Isto
pode e deve ser feito sempre, pois o trabalho sendo realizado em equipe tem maiores possibilidades de
sucesso.
Apresentamos a seguir uma breve descrição de vida acadêmica e profissional dos autores, que
também produziram os textos intitulados "Fundamentos de Matemática"e "Cálculo 1"para esse
mesmo curso de graduação a distância.
Miguel Antônio de Camargo defende sempre o ensino significativo como forma de motivação
para o aprendizado "de fato"!
Licenciado em matemática pela UCG - Goiânia, Mestre em matemática pela UFG.
Professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás
(IME/UFG), desde 1980, tendo participado de uma extensa gama de eventos rela-
cionados à matemática e ao ensino dela em diversas universidades e faculdades de
nosso Estado.
Dedica grande parte de seu trabalho ao Curso de Licenciatura emMatemática e outra
boa parte atua em cursos de formação (continuada) de professores, inclusive cursos
a distância, como, atualmente, o de Licenciatura em Física e recentemente o Multi-
curso Matemática Ensino Médio, promovido pelo governo de Goiás em parceria com
a Fundação Roberto Marinho (RJ) e anteriormente ao Pró-Ciências, realizado pela
UFG com o apoio da CAPES.
João Carlos da Rocha Medrado define-se como um apaixonado pelo ensino de matemática e um
entusiasta pelo ensino a distância!
É Professor associado do IME/UFG, onde trabalha desde 1989, Doutor em Matemá-
tica pela Unicamp (1997) e Livre Docente pela Unesp (2007). Pesquisa em Sistemas
Dinâmicos.
Atua na formação e capacitação de docentes desde 1987 através de vários projetos,
sendo os principais, o Pró–Ciências, apoiado pela CAPES e o Multicurso Matemática
apoiado pela Secretaria da Educação de Goiás e Fundação Roberto Marinho.
Os autores.
Introdução
Neste texto apresentaremos os conteúdos da disciplina Cálculo 3 para o Curso de Física
a distância. Basicamente, discorreremos sobre:
1. Movimentos no plano e no espaço.
2. Funções de várias variáveis: continuidade,derivabilidade e integrabilidade.
O Cálculo, uma das mais importantes descobertas científicas conquistadas pelo homem
em todos os tempos, é a matemática dos movimentos. Onde hámovimento ou variações de
grandezas, onde forças variáveis atuam produzindo aceleração, o Cálculo é a ferramenta
matemática a ser empregada para seu desenvolvimento e análise.
Aprender Cálculo é, de certa forma, diferente de aprender, por exemplo, Geometria,
Álgebra ou Aritmética. Para essas disciplinas, de início, aprende-se a lidar com as figu-
ras, sejam planas ou espaciais, a operar com variáveis e simplificar expressões, também se
aprende a calcular com números.
Em Cálculo, aprende-se tudo isso, e novos conceitos, novas habilidades, em níveis mais
avançados; tornam-se necessários os conceitos de derivada e de integral, bem como suas
importantíssimas e abrangentes aplicações, além dos métodos computacionais desses ob-
jetos. Para aprendê-lo, você terá que fazê-lo, na maioria das vezes, sozinho ou com a parti-
cipação de colegas.
Para o aprendizado é importante:
• ler os conceitos e suas conseqüências;
• analisar e aprimorar tanto a lógica formal como a intuitiva;
• analisar exemplos já desenvolvidos, os mais diversos possíveis, buscando sempre
entender cada passo;
• esboçar figuras e gráficos que representem cada situação, sempre que possível.
Além disso, é extremamente importante analisar o significado de cada conceito, de cada
resultado dado, de cada exemplo desenvolvido, de cada exercício proposto e de cada apli-
cação feita.
Sugerimos fortemente ao leitor que não se restrinja a apenas este texto e, neste sentido,
disponibilizamos na bibliografia uma série de livros que poderão ser utilizados ao longo
deste aprendizado.
Teremos a seguir o capítulo Introdução e outros 4 capítulos:
Capítulo 1: Movimentos no plano e no espaço
Exploraremos os comportamentos das aplicações da reta no plano e também no es-
paço, seus gráficos e aplicações, mas é importante lembrar que as parametrizações
são estudadas desde o início do estudo dos movimentos das partículas, já que a po-
sição das mesmas dependem a cada instante do tempo. Assim, estudaremos ainda a
continuidade, a derivabilidade e a integrabilidade destas parametrizações.
Capítulo 2: Funções de Várias Variáveis
Neste capítulo, abordamos aplicações e elementos importantíssimos para o desen-
volvimento do Cálculo, relacionados às funções que dependem de várias variáveis.
Mais especificamente, de duas e três variáveis. Para o entendimento do comporta-
mento das funções, assim como foi feito para funções de uma variável, estudaremos
a continuidade.
Capítulo 3: Diferenciabilidade de Funções de Várias Variáveis Na Física, não há dúvidas
de que a velocidade é o principal ingrediente em todos os modelos. Neste capítulo,
nos dedicamos a estudar a derivada (velocidade) de Funções de Várias Variáveis.
Capítulo 4: Integração de Funções de Várias Variáveis
Desde o tempo dos gregos, o Cálculo de áreas tem papel importante no desenvol-
vimento humano, e hoje, para todos os modelos físicos, a inversa da derivada ou
a integração dentre as suas diversas características é um elemento importante nesse
aspecto.
É necessário termos várias formas de encarar os problemas, pois com uma visão ampla
será mais fácil o entendimento, bem como resolvê-los. Então, vamos deixar o olhar agu-
çado, a criatividade solta e a vontade a mil, para que possamos chegar ao final deste, com
um ótimo aproveitamento, não apenas na disciplina, mas principalmente para a vida.
Capítulo 3
Diferenciabilidade de Funções de
Várias Variáveis
Existemmuitos problemas que envolvem funções de várias variáveis, cujas resoluções pas-
sam pela determinação da taxa de variação da função em relação a uma das variáveis,
enquanto que as outras permanecem constantes. Casos como este requer a determinação
de derivadas da função dada em relação à variável em questão.
O Cálculo de funções de várias variáveis, em muitos casos, é o Cálculo de funções de
uma variável aplicado a várias variáveis, uma a cada vez. Vejam no caso de fixarmos todas
variáveis de uma função, exceto uma delas, a função se transforma em função apenas da
variável livre. Vamos dar um exemplo:
Exemplo 3.1. Considere a função de duas variáveis
V (r, h) =
1
3
pir2h
que representa o volume do cone de raio r e altura h.
Fixando r = 3 e variando h, temos a função
V1(h) = V (3, h) =
1
3
pi(3)2h = 3pih,
que é função apenas da variável h.
Agora se fixamos o valor de h, por exemplo, h = 2 e variamos r, temos a função
V2(r) = V (r, 2) =
2
3
pir2,
que é função apenas da variável r.
Notemos que a função V1(h) é linear e representa, para cada valor de h, a altura do cilindro
circular reto de raio 3, enquanto que a função V2(r) é quadrática e representa 2/3 da área do círculo
de raio r.
Ambas as funções V1 e V2, são funções de uma só variável. Este mesmo raciocínio estende de
modo natural a funções de mais variáveis.
3.1 Derivadas Parciais de Funções de Duas Variáveis
Sejam uma função z = f (x, y) e (x0, y0), um ponto do domínio de f .
O plano y = y0 intercepta a superfície
S : z = f (x, y)
na curva z = f (x, y0), a qual é o gráfico da função de uma variável
z = f (x, y0) = F (x) .
x
y
z
S
z = f (x, y0)
x0
y0
Figura 3.1: Representação gráfica da derivada considerando y constante (y = y0).
Já o plano x = x0 intercepta a mesma superfície segundo a curva
z = f (x0, y) ,
a qual é o gráfico da função
z = f (x0, y) = G (y) .
x
y
z
S
z = f (x0, y)
x0
y0
Figura 3.2: Representação gráfica da derivada considerando x constante (x = x0).
A derivada da função
z = f (x, y0) = F (x)
é chamada de derivada parcial da função z = f (x, y) em relação à variável x, no ponto
(x0, y0). Esta derivada é denotada por
F′ (x0) =
∂z
∂x
(x0, y0) =
∂ f
∂x
(x0, y0)
ou ainda
F′ (x0) = fx (x0, y0)
e seu significado geométrico é, como em funções de uma variável, ou seja, é a medida da
inclinação da reta tangente ao gráfico da função
z = f (x, y0) = F (x)
no ponto (x0, y0, z0) = (x0, y0, f (x0, y0)).
Demodo análogo, tem-se a derivada parcial da função z = f (x, y) em relação à variável
y, no ponto (x0, y0), a qual é denotada por
G′ (x0) =
∂z
∂y
(x0, y0) =
∂ f
∂y
(x0, y0)
ou
G′ (x0) = fy (x0, y0)
e o significado geométrico é a medida da inclinação da reta tangente ao gráfico da função
z = f (x0, y) = G (y)
no ponto (x0, y0, z0) = (x0, y0, f (x0, y0)).
Portanto, para a determinação das derivadas parciais, devemos proceder como se a
função
z = f (x, y)
fosse de uma só variável, ou seja, consideramos uma das duas variáveis constante.
Exemplo 3.2. Se f (x, y) = 3− 2x2 − y2, então
fx (x, y) = −4x e fy (x, y) = −2y.
Observemos ainda que tanto fx(x, y) e fy(x, y) são também funções de duas variáveis e mais,
representam a inclinação da reta tangente considerando uma das duas variáveis constante.
Mais especificamente, se queremos determinar a inclinação dessas retas no ponto (1, 3), basta
fx (1, 3) = −4 e fy (1, 3) = −6.
Exemplo 3.3. Se f (x, y) = sen
(
xy2
)
, então
fx (x, y) = y2cos
(
xy2
)
e fy (x, y) = 2xycos
(
xy2
)
.
Verifique!
A derivada parcial, calculada em um ponto (x0, y0), é dada pelo limite do quociente de
Newton, isto é,
F′ (x0) = fx (x0, y0) = lim
h→0
f (x0 + h, x0)− f (x0, x0)
h
.
Muitas vezes, não poderemos derivar diretamente no ponto e sim , determinarmos a
derivada utilizando esta definição, ou seja, usando esse limite.
Por exemplo, para a determinação das derivadas parciais no ponto (0, 0) em que
f (x, y) =


xy
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) 6= (0, 0)
.
Para este caso temos que
F′ (0) = fx (0, 0) = lim
h→0
f (0+ h, 0)− f (0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0;
G′ (0) = fy (0, 0) = lim
k→0f (0, 0+ k)− f (0, 0)
k
= lim
k→0
0− 0
k
= 0.
Já as derivadas parciais da função f nos pontos
(x, y) 6= (0, 0)
podem ser calculadas pelas regras de derivação conhecidas para funções de uma variável.
Assim,
F′ (x) = fx (x, y) =
(
x2 + y2
)
y− xy.(2x)
(x2 + y2)2
=
y3 − x2y
(x2 + y2)2
.
Exercício 3.4.
1. Dada a função f (x, y) = sen
(
x
1+ y
)
. Mostre que:
(a)
∂ f
∂x
(x, y) =
1
1+ y
cos
(
x
1+ y
)
(b)
∂ f
∂y
(x, y) = − x
(1+ y)2
cos
(
x
1+ y
)
2. Calcule as derivadas parciais, em relação a x e também a y, de f (x, y) = x2 + 3xy+ y− 1 no
ponto (4,−5)
3. Seja a função z = f (x, y) definida implicitamente pela equação x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.
Mostre que:
(a)
∂z
∂x
= − x
2 + 2yz
z2 + 2xy
.
(b)
∂z
∂y
= −y
2 + 2xz
z2 + 2xy
4. A intersecção do plano x = 1 com o parabolóide de revolução z = x2 + y2 é a parábola
z = 1+ y2.
(a) Esboce o parabolóide z = x2 + y2 e nele, destaque a parábola z = 1+ y2
(b) Determine a inclinação da reta tangente à parábola, no ponto (1, 2, 5)
(c) Qual é a equação cartesiana da reta tangente à parábola no ponto (1, 2, 5)? Determine
também as equações paramétricas dessa reta.
5. Enuncie e resolva o exercício semelhante ao anterior, apenas trocando o plano x = 1 pelo plano
y = 2.
6. Dada a função f (x, y) =


xy
(
x2 − y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) 6= (0, 0)
(a) Mostre que fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0;
(b) Calcule as derivadas parciais, fx (x, y) e fy (x, y), para (x, y) 6= (0, 0), e verifique que
fx (y, x) = − fy (x, y);
(c) Escreva a funções fx (x, y) e fy (x, y) e explique por que ela é definida em todo plano R2.
3.1.1 Derivadas de Ordem Superior
Como vimos anteriormente, as derivadas parciais, fx e fy, de uma função f são funções
também de duas variáveis, e quando calculadas no ponto (x0, y0) significam, respectiva-
mente, as inclinações das curvas
f (x, y0) e f (x0, y)
no ponto (x0, y0), ainda mais, representam as taxas de variações, respectivamente, de x e y
no ponto (x0, y0).
Assim sendo, é natural considerarmos as suas derivadas parciais,
( fx)x = fxx , ( fx)y = fxy e
(
fy
)
y = fyy ,
(
fy
)
x = fyx.
Essas são as derivadas parciais de segunda ordem da função f , as quais são também
funções de (x, y).
Notação
fxx =
∂2 f
∂x2
=
∂
∂x
(
∂ f
∂x
)
, e
fxy =
∂2 f
∂y∂x
=
∂
∂y
(
∂ f
∂x
)
.
Exemplo 3.5. Calcular as derivadas de 2ª ordem da função f (x, y) = x2 + 3xy+ y− 1.
Solução
Sabemos que fx (x, y) = 2x+ 3y e fy (x, y) = 3x+ 1.
Assim,
fxx (x, y) = 2, fxy (x, y) = 3, fyx (x, y) = 3 e fyy (x, y) = 0.
Exemplo 3.6. Se f (x, y) = cos (xy) + x3y3, então
fx (x, y) = −ysen (xy) + 3x2y3 e fy (x, y) = −xsen (xy) + 3x3y2.
Assim,
fxx (x, y) = −y2cos (xy) + 6xy3;
fyy (x, y) = −x2cos (xy) + 6x3y e
fxy (x, y) = −sen (xy)− xycos (xy) + 9x2y2 = fyx (x, y) .
Observe que em ambos os exemplos, tivemos a fxy (x, y) = fyx (x, y), mas isso não é coinci-
dência, ocorrem na maioria das funções, principalmente naquelas que encontramos na prática.
Vamos analisar um exemplo em que esse fato, o de fxy (x, y) = fyx (x, y), não ocorre.
Para isto, consideramos a função
f (x, y) =


xy
(
x2 − y2)
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) 6= (0, 0)
Observe ainda que apenas no ponto (0, 0), é que temos que
fxy (0, 0) = −1 e fyx (0, 0) = 1.
Verifique!
Mas, e como saber se isto ocorre ou não? Para isto temos um resultado devido a
Schwartz que assegura o seguinte:
Se uma função
z = f (x, y)
e suas derivadas parciais fx, fy e fxy estão definidas em um conjunto aberto
contendo o ponto (x0, y0) e tal que todas são contínuas, então
fxy (x0, y0) = fyx (x0, y0) .
Este é o teorema das derivadas parciais mistas, ele é devido a Clairaut.
Exercício 3.7.
1. Dada a função f (x, y) = 12− x2 − 2y2. Calcule
∂ f
∂x
(1, 2) e
∂ f
∂y
(1, 2) .
Interprete esses números como inclinações de retas tangentes. Faça o esboço de uma figura
mostrando o gráfico dessa função e as retas tangentes.
2. As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que descrevem determinados
fenômenos físicos. Um exemplo é a Equação de Laplace,
zxx + zyy = 0.
As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são importantes no estudo de
condução de calor, escoamento de fluídos e potencial elétrico. Verifique se as funções abaixo
satisfazem a Equação de Laplace.
(a) z = x3 − 3xy2.
(b) z = ln
(√
x2 + y2
)
.
(c) z = arctg
( y
x
)
.
3. Outro exemplo é a equação diferencial que descreve o movimento de uma onda, que pode ser
de um som do mar ou de uma corda vibrante. A Equação da Onda é
utt = c2uxx.
Verifique se as funções a seguir são soluções da Equação da Onda.
(a) u (t, x) = sen (x+ ct).
(b) u (t, x) = ln (2x+ 2ct).
(c) u (t, x) = 6 ln (2x+ 2ct) + e(x+ct) + tg (2x− 2ct).
4. Mostre que a função
z =
1√
t
e−x
2/4kt
satisfaz a equação de difusão ou do calor zt = kzxx, onde k é uma constante.
5. A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa plana de metal é dada pela função
T (x, y) =
60
1+ x2 + y2
,
onde T é medido em 0C e x e y, em metros.
Calcule a taxa de variação da temperatura no ponto (1, 2), com relação a distância na direção
do eixo x e também na do eixo y.
6. A resistência total R produzida por três condutores com resistências R1 R2 e R3, conectados
em paralelo em um circuito elétrico é dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
.
Calcule ∂R∂R e interprete o resultado.
7. A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é E = 12mv
2. Mostre que
∂E
∂m
∂2E
∂v2
= E.
3.2 Diferenciabilidade
Ao estudarmos funções de uma variável, vimos que se elas forem deriváveis em um ponto,
então ela é contínua nesse ponto. No caso de funções de mais variáveis isto não é mais
verdade. Veja o próximo exemplo.
Exemplo 3.8. A função
f (x, y) =


xy
x2 + y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) 6= (0, 0)
não é contínua em (0, 0), pois não existe
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) .
Verifique!
Entretanto, ela possui derivadas parciais neste ponto:
fx (0, 0) = lim
h→0
f (0+ h, 0)− f (0, 0)
h
= lim
h→0
0− 0
h
= 0;
fy (0, 0) = lim
k→0
f (0, 0+ k)− f (0, 0)
k
= lim
k→0
0− 0
k
= 0.
A existência das derivadas parciais de uma função em umponto garante a continuidade
dela apenas nas direções dos eixos coordenados, ou seja, apenas a continuidade das curvas
z = f (x, y0) e z = f (x0, y) ,
para as quais as derivadas existem.
Portanto, isto não contradiz nada estudado em funções de uma variável.
Lembremos que para funções de uma variável, y = f (x), vimos que se ela é derivável
em um ponto x0, então existe a reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f (x0)), cuja
equação é
y = f (x0) + f
′ (x0) (x− x0) ,
ou seja, a derivabilidade equivale à diferenciabilidade.
O conceito de diferenciabilidade, que traremos a seguir, implicará na continuidade da
função, assim como tínhamos para funções deriváveis de uma variável. As definições são,
respectivamente:
Definição 3.9. Uma função f de uma variável é derivável em um ponto x0, se existir o limite
lim
∆x→0
f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
= f ′ (x0) ,
e é diferenciável em x0, se existir uma reta pelo ponto (x0, f (x0)) de equação
y = f (x0) +m(x− x0)
tal que para x tendendo a x0, a diferença f (x)− y tenda a zero mais rápido que r = x− x0, ou seja
lim
x→x0
[
f (x)− y
x− x0
]
= lim
r→0
[
f (x)− f (x0)−mr
r
]
= 0.
É fácil notar que, no caso de funções de uma variável, ser derivável ou diferenciável
significam coisas equivalentes, é o que mostraremos a seguir:
Teorema 3.10. Uma função f de uma variável é derivável em um ponto x0, se e somente se, for
diferenciável neste ponto.
Se f é diferenciávelem um ponto x0, então existe uma reta pelo ponto (x0, f (x0)) de
equação
Y = f (x0) +m (x− x0)
tal que
lim
x→x0
[
f (x)−Y
x− x0
]
= lim
r→0
[
f (x)− f (x0)−mr
r
]
= 0.
Mas, isto equivale a
lim
r→0
[
f (x)− f (x0)−mr
r
]
= lim
x→x0
[
f (x)− f (x0)
x− x0
]
= m.
Portanto, f sendo diferenciável em x0, é derivável neste ponto e, além disso,
m = f ′ (x0) .
Assim, a reta tangente no ponto está bem definida e é dada pela equação
Y = f (x0) + f
′ (x0) (x− x0)
Observação 3.11. Essa reta é exatamente a tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f (x0)), como
estudado no primeiro curso de Cálculo.
Assim, funções diferenciáveis ou deriváveis em um determinado ponto são aquelas que possibili-
tam apoiar reta tangente a seu gráfico no ponto especificado.
Uma conseqüência importante desse fato sobre funções de uma variável é que diferenciabilidade
ou derivabilidade implicam em continuidade.
Outro fato muito importante da equivalência descrita acima é a possibilidade de generalização
para funções de mais variáveis.
Antes de definirmos a diferenciabilidade para funções de duas variáveis, observemos
que se definimos
r = ‖(x, y)− (x0, y0)‖ =
√
(x− x0)2 + (y− y0)2
então para r → 0 temos que x → x0 e y → y0, pois r é a distância entre os pontos (x, y) e
(x0, y0).
Definição 3.12. Uma função z = f (x, y) é diferenciável em (x0, y0), se existir um plano pelo
ponto (x0, y0, f (x0, y0)), de equação
Z = f (x0, y0) + A (x− x0) + B (y− y0) ,
tal que a diferença f (x, y)− Z tende a zero mais rápido que
r = ‖(x, y)− (x0, y0)‖ =
√
(x− x0)2 + (y− y0)2
quando (x, y) tende a (x0, y0), ou seja, que
lim
r→0
[
f (x, y)− Z
r
]
= lim
r→0
[
f (x, y)− f (x0, y0)− A (x− x0)− B (y− y0)
r
]
= 0.
Podemos notar que a diferenciabilidade dessa função z = f (x, y) no ponto (x0, y0) tem
implicações importantes. Para isto denotando o quociente
a =
f (x, y)− f (x0, y0)− A (x− x0)− B (y− y0)
r
, (3.1)
temos:
1. Da igualdade 3.1 podemos escrever
f (x, y) = f (x0, y0) + A (x− x0) + B (y− y0) + ar.
E agora, considerando esta última igualdade e a equação 3.1, temos que se a → 0 para
r → 0, temos que
f (x, y)→ f (x0, y0) .
Portanto, a diferenciabilidade de f em (x0, y0) implica em sua continuidade neste
ponto.
2. Calculando
lim
r→0
a
na direção do eixo x, isto é, tomando y = y0, temos
lim
(x,y0)→(x0,y0)
[
f (x, y0)− f (x0, y0)− A (x− x0)
r
]
= lim
x→x0
[
f (x,y0)− f (x0,y0)
x−x0 − A
]
= 0.
Ou ainda,
fx(x, y) =
∂ f
∂x
(x0, y0) = A.
De modo análogo, calculando o limite de a na direção do eixo y, ou seja para x = x0,
obtemos
fy(x, y) =
∂ f
∂y
(x0, y0) = B.
Sendo assim, a diferenciabilidade de f em (x0, y0) implica na existência de suas deri-
vadas parciais neste ponto.
3. Além da continuidade e da existência das derivadas parciais da função f em (x0, y0)
o plano de equação
Z = f (x0, y0) + fx (x0, y0) (x− x0) + fy (x0, y0) (y− y0) ,
aproxima o gráfico de z = f (x, y) na forma descrita acima, isto é, de modo que a
diferença f (x, y)− Z tende a zeromuitomais rápido que o ponto (x, y) tende ao ponto
(x0, y0).
Da mesma forma que a reta
y = f (x0) + f
′(x0)(x− x0)
é tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto x = x0, este plano é o plano
tangente ao gráfico de z = f (x, y) no ponto (x0, y0).
4. Entretanto, observemos que a continuidade e a existência das derivadas parciais de
uma função emumponto não são condições suficientes para que ela seja diferenciável
nesse ponto.
Por exemplo, analisemos a função
f (x, y) =
√
|xy|.
A função f é contínua em todos os pontos do plano e suas derivadas parciais são
iguais a zero no ponto (0, 0). Verifique!
Entretanto, ela não é diferenciável em (0, 0). Para isto notemos que para esta função,
a expressão
a =
f (x, y)− f (0, 0)− fx (0, 0) x− fy (0, 0) y
r
=
√|xy|√
x2 + y2
não tem limite, portanto, não tende a zero. Para verificar isto, por exemplo, calcule
este limite para y = x.
5. Uma condição suficiente para a diferenciabilidade de uma função em um ponto é que
suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contínuas em um conjunto aberto
D, ou seja, não basta a existência delas em um ponto.
Definição 3.13. Quando a função z = f (x, y) for diferenciável no ponto(x0, y0), a expressão
d f = fx (x0, y0) dx+ fy (x0, y0) dy,
onde dx = x− x0 e dy = y− y0, é a diferencial de z = f (x, y) no ponto(x0, y0) .
Exercício 3.14. 1. A pressão, o volume e a temperatura de um mol de um gás ideal estão rela-
cionados pela equação
PV = 8, 31T,
onde P é medida em quilopascals, V em litros e T em Kelvins. Utilize diferenciais para de-
terminar a variação aproximada da pressão se o volume aumenta de 12 L para 12,3 L e a
temperatura diminui de 310 K para 305 K.
2. Se R é a resistência total produzida por três condutores com resistências R1, R2 e R3 conecta-
das em paralelo em um circuito elétrico, então
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
.
Se as resistências medem R1 = 25Ω, R2 = 40Ω e R3 = 50Ω, com precisão de 0, 5% em cada
uma, o "erro"que se comete na determinação de R pode ser estimado por meio de diferenciais.
Calcule então este erro.
RESPOSTA 117 ≃ 0, 059Ω.
3.3 Regra da Cadeia
Se y for uma função derivável de x, y = f (x), e se x por sua vez for função derivável de t,
x = g (t), então, a Regra da Cadeia para funções de uma variável nos diz que
dy
dt
=
dy
dx
· dx
dt
.
Para as funções de mais variáveis, a Regra da Cadeia tem várias versões, cada uma
delas nos dá um método de como calcular a derivada de uma função composta.
Admitiremos, a seguir, que as funções envolvidas sejam todas diferenciáveis.
3.3.1 Regra da Cadeia: Versão 1
Consideremos o caso em que z = f (x, y) e que as variáveis x e y sejam funções da variável
t. Assim, temos
z = f (x, y) , x = x (t) e y = y (t) ,
ou ainda,
z(t) = f (x(t), y(t)),
ou seja, z é função da variável t, daí, tem sentido falar em
dz
dt
. Mas o que seria esta derivada?
Antes de darmos a resposta, apresentaremos um exemplo.
Exemplo 3.15. Consideremos a função
z = x2y,
com x = t2 e y = t3.
Assim,
z = x2y
=
(
t2
)2
t3
= t7.
Portanto, temos que
dz
dt
= 7t6.
Observemos agora que:
∂z
∂x
= 2xy,
∂z
∂y
= x2,
dx
dt
= 2t
e
dy
dt
= 3t2.
Fazendo
∂z
∂x
· dx
dt
+
∂z
∂y
· dy
dt
= 2xy · 2t+ x2 · 3t2
e, substituindo x e y, respectivamente, por t2 e t3, temos
∂z
∂x
· dx
dt
+
∂z
∂y
· dy
dt
= 2xy · 2t+ x2 · 3t2 = 2t2t3 · 2t+
(
t2
)2 · 3t2 = 7t6,
que é exatamente o valor de
dz
dt
calculado anteriormente.
Este exemplo sugere o seguinte procedimento:
Se z = f (x, y), x = x (t) e y = y (t), então
dz
dt
=
∂z
∂x
· dx
dt
+
∂z
∂y
· dy
dt
.
O que de fato é verdade. Confira!!!
A função z = f (x, y) é agora uma função diferenciável de uma única variável t, pois
z = f (x (t) , y (t)) ,
onde as funções x = x (t) e y = y (t) são deriváveis, então,
dz
dt
= lim
∆t→0
∆z
∆t
.
Além disso, uma variação ∆t, em t, implicará variações ∆x, ∆y e ∆z, em x (t), y (t) e
z = f (x, y), respectivamente.
Mas,
∆z = f (x+ ∆x, y+ ∆y)− f (x, y)
= fx (x0, y0) ∆x+ fy (x0, y0)∆y+ ar,
com a → 0, quando
r = ‖(∆x,∆y)‖ =
√
(∆x)2 + (∆y)2 → 0,
pois z = f (x, y) é diferenciável.
Portanto,
∆z
∆t
=
∂ f
∂x
· ∆x
∆t
+
∂ f
∂y
· ∆y
∆t
+
ar
∆t
=
∂ f
∂x
· ∆x
∆t
+
∂ f
∂y
· ∆y
∆t
± a
√(
∆x
∆t
)2
+
(
∆y
∆t
)2
,
onde o sinal desta última parcela é positivo ou negativo dependendo do sinal de ∆t.
Queremos calcular
dz
dt
= lim
∆t→0
∆z
∆t
,
mas
∆t → 0⇒ a → 0.
Daí,
dz
dt
= lim
∆t→0
∆z
∆t
=
∂ f
∂x
· dx
dt
+
∂ f
∂y
· dy
dt
.
Esta é a Regra da Cadeia para este caso e que podeser escrita como o produto escalar
entre os vetores (
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
e
(
x′, y′
)
,
ou seja,
dz
dt
=
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
· (x′, y′) .
O vetor (
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
é chamado de Gradiente da função z = f (x, y) calculado no ponto (x, y) e é denotado por
∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
e o vetor (x′, y′) é o vetor tangente à curva
α (t) = (x (t) , y (t))
no ponto t.
Exercício 3.16.
1. Dada a função
z =
√
xy+ y, x = cos θ, y = senθ :
(a) Calcule
dz
dθ
, usando a regra da cadeia;
(b) Calcule
dz
dθ
, substituindo x e y na função z;
(c) Mostre que
dz
dθ
(pi/2) = −1
2
.
2. Considere o caso em z = f (x, y) e y = y (x). Mostre que
dz
dx
=
∂ f
∂x
+
∂ f
∂y
· dy
dt
.
3. Considere que a equação F (x, y) = 0 define implicitamente y como função derivável de x e
que
∂F
∂y
6= 0. Mostre que
dy
dx
=
∂F
/
∂x
∂F
/
∂y
.
Utilize este resultado para mostrar que
dy
dx
= −3x
2 + y2
2xy
,
em que F (x, y) = x3 + xy2 − 3 = 0.
4. Considere que a função
z = T (x, y) = x2y+ 3xy4, x = sen(2t), y = cos t
represente a temperatura no ponto (x, y).
Então a função composta
z = T (sen(2t), cos t)
representa a temperatura dos pontos da curva
C (t) = (sen(2t), cos t)
e sua derivada dTdt corresponde a taxa de variação da temperatura ao longo de C.
Mostre que à taxa de variação da temperatura no instante t = 0 é 6.
5. A pressão, o volume e a temperatura de ummol de um gás ideal estão relacionados pela equação
PV = 8, 31T,
onde P é medida em quilopascals, V em litros e T em Kelvins.
Mostre que a taxa de variação da pressão quando a temperatura é de 300 K e está aumentando
à taxa de 0, 1K/s e o volume é de 100 L e está aumentando à taxa de 0, 2L/s é
dP
dt
= −0, 04155.
Uma aplicação muito importante desta versão da Regra da Cadeia é para mostrar que
o vetor gradiente,
∇ f = ( fx, fy),
de uma função z = f (x, y), quando não nulo, é perpendicular à curva de nível da função
f .
Seja
Ck = {(x, y) : f (x, y) = k}
uma curva de nível da função z = f (x, y).
Considere que a curva Ck seja dada na forma paramétrica por
α (t) = (x (t) , y (t)) .
Assim, para cada t, α (t) = (x (t) , y (t)) é um ponto de Ck, portanto,
f (x (t) , y (t)) = k.
Calculando a derivada em relação à variável t em ambos os membros da igualdade
anterior, obtemos,
d
dt
[ f (x (t) , y (t))] =
d
dt
(k)
∂ f
∂x (x, y) · x′ (t) + ∂ f∂y (x, y) y′ (t) = 0
∇ f (x, y) · (x′ (t) , y′ (t)) = 0
O que mostra que se os vetores forem não nulos, então são perpendiculares, ou seja que
o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível. Veja a Figura 3.3.
C1
C2
C3 : α(t)
α′∇ f (x, y)
Figura 3.3: O gradiente é perpendicular ao vetor tangente às curvas de nível.
3.3.2 Regra da Cadeia: Versão 2
Consideremos o caso em que z = f (x, y) e que as variáveis x e y sejam funções das variá-
veis t e s.
Assim, temos
z = f (x, y) , x = x (t, s) e y = y (t, s) .
Isto nos diz que z é função das variáveis t e s, a qual pode ser representada por
z = f (x (t, s) , y (t, s)) = F (t, s) .
Neste caso, tem sentido calcular em
∂ f
∂t
e
∂ f
∂s
.
Mas, o que seriam estas derivadas?
Neste caso, para calcular, por exemplo,
∂ f
∂t
, basta considerar fixa a variável s, e assim,
as funções x e y passam a ser de uma só variável, recaindo portanto à Versão 1.
Portanto, se z = f (x (t, s) , y (t, s)) = F (t, s), então
∂z
∂t
=
∂ f
∂x
· ∂x
∂t
+
∂ f
∂y
· ∂y
∂t
e
∂z
∂s
=
∂ f
∂x
· ∂x
∂s
+
∂ f
∂y
· ∂y
∂s
.
Uma observação importante é que os resultados que temos para funções de duas variá-
veis se estende de modo natural para funções de três ou mais variáveis.
Exemplo 3.17. Se
w = f (x, y, z) = x+ 2y+ z2, x =
t
s
, y = t2 + ln s, z = 2t,
então
∂w
∂t
=
∂ f
∂x
· ∂x
∂t
+
∂ f
∂y
· ∂y
∂t
+
∂ f
∂z
· ∂z
∂t
= 1 · 1
s
+ 2 · 2t+ 2z · 2
=
1
s
+ 12t, e
∂w
∂s
=
2
s
− t
s2
.
Verifique!!!!
Exercício 3.18.
1. A voltagem V em um circuito que satisfaz a lei vai caindo lentamente à medida que a bateria
descarrega. Ao mesmo tempo, a resistência R vai aumentando conforme o resistor esquenta.
(a) Sabendo que V = IR e que todos os elementos do circuito dependem do tempo t, mostre
que a taxa de variação da voltagem V em função do tempo pode ser dada pela equação
dV
dt
=
∂V
∂I
dI
dt
+
∂V
∂R
dR
dt
;
(b) Calcule a variação da corrente desse circuito no instante em que
R = 600 ohm, I = 0, 04 amp,
dR
dt
= 0, 5 ohm e
dV
dt
= −1volt/s.
2. Os comprimentos a, b e c das arestas de uma caixa retangular variam com o tempo. Em um
determinado momento tem-se
a = 1m, b = 2m, c = 3m,
da
dt
=
db
dt
= 1m/s e
dc
dt
= −3m/s.
Calcule as taxas de variações da área A e do volume V da caixa no instante considerado.
Decida se as diagonais do interior da caixa estão aumentando ou diminuindo naquele instante.
3. Determine a taxa que está variando a área de um triângulo se sua base é de 30 cm e está
crescendo à taxa de 6 cm/s, enquanto que sua altura é de 20 cm e está crescendo à taxa de 4
cm/s.
3.4 Derivada direcional e Gradiente
As derivadas parciais, fx (x, y) e fy (x, y), significam as taxas de variações da função
z = f (x, y)
nas direções dos eixos coordenados, x e y, no sentido positivo, calculadas em cada ponto
(x0, y0) do plano.
A partir de agora estamos interessados em determinar a taxa de variação da função
z = f (x, y), no ponto (x0, y0) e em direção e sentido quaisquer. Para isto, tomemos um
vetor unitário u = (a, b) em sentido e direção arbitrários. A derivada direcional da função f
no ponto (x0, y0), na direção u = (a, b) é dada pelo limite
∂ f
∂~u
(x0, y0) = lim
t→0
f (x0 + at, y0 + bt)− f (x0, y0)
t
,
quando este existe.
Podemos observar que o numerador da fração dada acima é a variação, ∆ f , da função
f , na direção do vetor u, portanto, o quociente
f (x0 + at, y0 + bt)− f (x0, y0)
t
é a taxa de variação média de f , no ponto (x0, y0) e direção u. Assim, a derivada direcional
é a taxa de variação instantânea.
Uma interpretação geométrica importante está representada na Figura 3.4.
x
y
z
P
Q
P′
Q′
S
C
T
ha
hb
u
Figura 3.4: Representação gráfica da derivada direcional.
Um resultado importante é que se uma função f for diferenciável em um ponto (x0, y0),
então essa função possui derivada direcional em todas as direções neste ponto. Sendo f
diferenciável, então
∆ f = f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0) = fx (x0, y0) h+ fy (x0, y0) k+ ar,
e a→ 0 quando r = √h2 + k2 → 0.
Fazendo h = at e k = bt, temos
∆ f
t
= fx (x0, y0) a+ fy (x0, y0) b± a,
e a→ 0 quando r = |t| → 0.
Portanto, se f é diferenciável,
∂ f
∂~u
(x0, y0) = lim
t→0
f (x0 + at, y0 + bt)− f (x0, y0)
t
= lim
t→0
∆ f
t
= fx (x0, y0) a+ fy (x0, y0) b
.
Temos então que a derivada direcional é o produto escalar do gradiente de f pelo vetor
direcional, daí
∂ f
∂~u (x0, y0) = fx (x0, y0) a+ fy (x0, y0) b
=
(
fx (x0, y0) , fy (x0, y0)
) · (a, b)
= ∇ f · ~u.
Exemplo 3.19. 1. Para calcular a derivada direcional da função
f (x, y) = 3x2
√
y
na direção do vetor v = (3, 4) no ponto P = (2, 4).
Solução
Procedemos da seguinte forma:
(a) Determinamos o vetor gradiente da função f no ponto P = (2, 4):
∇ f (x, y) = ( fx (x, y) , fy (x, y))
=
(
6x
√
y,
3x2
2
√
y
)
E assim, temos que
∇ f (2, 4) = (24, 3) .
(b) Determinamos o vetor unitário na direção e sentido do vetor v = (3, 4), o qual é dado
por
u =
v
‖v‖ =
(
3
5
,
4
5
)
.
(c) Por fim, calculamos a derivada pedida, que é dada pelo produto escalar entre os vetores
∇ f (2, 4) e u =
(
3
5 ,
4
5)
.
Assim,
∂ f
∂~v
(2, 4) = (24, 3) ·
(
3
5
,
4
5
)
= 24 · 3
5
+ 3 · 4
5
=
84
25
.
2. Para calcular a derivada de z = exy no ponto (−2, 0) na direção do vetor que faz um ângulo
de pi3 com o eixo x no sentido positivo, procede-se da seguinte forma:
(a) Determine o vetor unitário ~u. Este vetor é dado por
~u =
(
cos
pi
3
, sen
pi
3
)
=
(
1
2
,
√
3
2
)
;
(b) Determine o gradiente de f no ponto (−2, 0). O qual é
∇ f (x, y) = (yexy, xexy)⇒ ∇ f (−2, 0) = (0,−2) ;
(c) Por fim,
∂ f
∂~u
(−2, 0) = (0,−2) ·
(
1
2
,
√
3
2
)
= −
√
3.
3.4.1 Observações e Interpretações
A seguir, apresentamos algumas importantes observações e interpretações sobre derivada
direcional.
1. Sendo a derivada direcional na direção u = (a, b) no ponto P0 = (x0, y0) de uma
função diferenciável
z = f (x, y)
dada por
∂ f
∂~u
(P0) = ∇ f (P0) · ~u
e
∇ f (x, y) = ( fx (x, y) , fy (x, y)) ,
então se u = (1, 0) temos a igualdade
∂ f
∂~u
(P0) =
(
fx (P0) , fy (P0)
) · (1, 0) = fx (P0) .
Agora, se
∂ f
∂~u
(P0) =
(
fx (P0) , fy (P0)
) · (0, 1) = fy (P0) .
Temos que em ambos os casos as derivadas direcionais coincidem com as derivadas
parciais.
2. Se na igualdade
∂ f
∂~u
(P0) = ∇ f (P0) · ~u
substituirmos o vetor direcional ~u = (a, b) pelo seu oposto, −~u = (−a,−b) o sinal da
derivada fica também invertido, isto é,
∂ f
∂~u
(P0) = − ∂ f
∂ (−~u) (P0)
Verifique!
3. De forma semelhante, se θ for o ângulo entre os vetores∇ f (P0) e ~u então
cos θ =
∇ f (P0) · ~u
‖∇ f (P0)‖ ‖~u‖ .
Daí, temos que
∂ f
∂~u
(P0) = ‖∇ f (P0)‖ ‖~u‖ cos θ = ‖∇ f (P0)‖ cos θ
Assim, o valor máximo da derivada direcional em um ponto P0 é na direção do gra-
diente, isto é, quando θ for o vetor nulo, pois, neste caso cos θ = 1, que é seu valor
máximo.
4. O gráfico da função z = f (x, y) é uma superfície S no espaço, se para um ponto
P0 = (x0, y0) do domínio de f tem-se z0 = f (x0, y0), então o ponto P = (x0, y0, z0)
pertence a S.
O plano paralelo ao eixo z e ao vetor u = (a, b) e que contém os pontos P0 e P inter-
cepta S segundo uma curva C.
A derivada direcional
∂ f
∂~u
(P0)
é a inclinação da reta tangente à curva C no ponto P = (x0, y0, z0).
Assim, a equação dessa reta é
(x− x0) a = (y− y0) b.
Além disso, se θ for o ângulo dessa reta com o plano xy, então
∂ f
∂~u
(P0) = tg θ.
Deste fato, podemos observar que a derivada é positiva se a função f cresce à medida
que o ponto Q = (x, y) se desloca a partir de P0 na direção u = (a, b) e negativa caso
f decresce.
5. Seja
Ck = {(x, y) : f (x, y) = k}
uma curva de nível da função z = f (x, y) em que a curva Ck seja parametrizada por
α (t) = (x (t) , y (t)) .
Assim, para cada t,
α (t) = (x (t) , y (t))
é um ponto em Ck, portanto,
f (x (t) , y (t)) = k,
para todo t.
Calculando a derivada em relação à variável t em ambos os membros da igualdade
acima, temos,
d
dt
[ f (x (t) , y (t))] =
d
dt
(k)
∂ f
∂x
(x, y) · x′ (t) + ∂ f
∂y
(x, y) y′ (t) = 0
∇ f (x, y) · α′ (t) = 0
.
Se
α′ (t) 6= (0, 0) ,
isto mostra que os vetores ∇ f (x, y) e α′ (t) são perpendiculares.
Mas,
α′ (t)
é tangente à curva de nível Ck da função f , assim, o gradiente é perpendicular à curva
de nível em cada ponto dela.
Além disso, tomando
~u =
α′ (t)
‖α′ (t)‖ ,
podemos observar que
∂ f
∂~u
(P0) = ∇ f (x, y) · α
′ (t)
‖α′ (t)‖ = 0.
Isto, na verdade, não é uma surpresa, pois a função f é constante ao longo da curva
de nível Ck.
Esta observação vale também para funções de mais variáveis, por exemplo, no caso
de três variáveis
w = f (x, y, z)
a curva de nível Ck é, na verdade, uma superfície de nível contida no domínio de f .
O gradiente é então um vetor perpendicular a ela em cada ponto.
x
y
z
∇ f
S : z = f (x, y)
Figura 3.5: Determinação de um plano tangente a uma superfície.
A partir deste fato, fixando um ponto P0 = (x0, y0, z0) da superfície de nível Ck,
podemos determinar o plano tangente a essa superfície, pois temos um ponto e um
vetor perpendicular a ela.
Portanto, se P = (x, y, z) for um ponto qualquer desse plano, então a equação dele é
(P− P0) · ∇ f (P0) = 0⇔ (x− x0, y− y0, z− z0) ·
(
fx (P0) , fy (P0) , fz (P0)
)
= 0.
Ou seja,
fx (P0) (x− x0) + fy (P0) (y− y0) + fz (P0) (z− z0) = 0.
3.4.2 Aplicações
Apresentaremos aplicações na sequência.
1. Considerando a função diferenciável z = f (x, y), seu gráfico é a superfície dada pelos
pontos na equação (x, y, f (x, y)).
O gráfico da equação
f (x, y)− z = 0
coincide com o gráfico de z = f (x, y).
Mas, a equação
f (x, y)− z = 0
é uma superfície de nível da função
F (x, y, z) = f (x, y)− z.
Portanto, o vetor gradiente de F
∇F = (Fx, Fy,−1)
é perpendicular ao gráfico de z = f (x, y) em cada ponto (x, y, z).
O plano tangente a esse gráfico no ponto P0 = (x0, y0, z0) é dado por
(P− P0) ·
(
Fx (P) , Fy (P) ,−1
)
= 0.
2. A reta normal à superfície gráfico de z = f (x, y) ponto P0 = (x0, y0, z0) é dada pelas
equações paramétricas
P− P0 = t(Fx(P), Fy(P),−1), t ∈ R.
De modo mais geral, se w = f (x, y, z), então o vetor
∇w = ( fx, fy, fz)
é normal à superfície de nível
f (x, y, z) = k, k ∈ Im ( f ) ,
em todo ponto P0 = (x0, y0, z0) ∈ D ( f ), e, consequentemente, o plano tangente à
superfície de nível em P0 é dado pela equação
P− P0 = t · ∇ f (P0) , t ∈ R.
3. Dada a função
f (x, y) =
x2
2
+
y2
2
,
responderemos três questões interessantes sobre a variação desta função.
(a) Em que direção ela possui maior crescimento a partir do ponto (1, 1)?
(b) Em que direção ela decresce mais rapidamente a partir do ponto (1, 1)?
(c) Em quais direções ela possui variação zero a partir do ponto (1, 1)?
Vamos às respostas!!!
(a) A função f cresce mais rapidamente na direção e sentido de seu gradiente no
ponto considerado, portanto, é na direção de
∇ f (1, 1) = (x, y)(1,1) = (1, 1) ,
a qual pode ser dada pelo vetor
~u =
(
1√
2
,
1√
2
)
.
(b) A função f decresce mais rapidamente na direção de seu gradiente, porém no
sentido oposto, isto é, na direção−∇ f (1, 1), portanto, na direção de
−∇ f (1, 1) = (−1,−1) ,
a qual pode ser dada pelo vetor
−~u =
(
− 1√
2
,− 1√
2
)
.
(c) As direções de variações nulas em (1, 1) são as direções ortogonais ao gradiente
no ponto. Portanto, são as direções ~v = (a, b) tais que
~v · ~u = (a, b) ·
(
1√
2
,
1√
2
)
= 0⇒ (a, b) =
(
− 1√
2
,
1√
2
)
,
ou
(a, b) =
(
1√
2
,− 1√
2
)
.
4. Determinaremos uma reta tangente à elipse
x2
4
+ y2 = 1
no ponto (−2, 1) .
Para isto, observemos inicialmente que a elipse
x2
4
+ y2 = 1
é uma curva de nível da função
f (x, y) =
x2
4
+ y2.
Portanto, o gradiente de f no ponto (−2, 1) é perpendicular à elipse neste ponto
∇ f (−2, 1) = (−1, 2) .
Assim, um vetor normal ao gradiente é tangente à elipse em (−2, 1).
Logo, usando o vetor~t = (2, 1) tangente à elipse como direcional da reta, ela pode
ser escrita parametricamente por
(x+ 2, y− 1) = r (2, 1)
ou na forma
−1 (x+ 2) + 2 (y− 1) = 0.
Exercício 3.20.
1. Defina o vetor gradiente,∇ f , de uma função f de duas ou de três variáveis e:
(a) Explique o significado geométrico do vetor ∇ f ;
(b) Escreva a derivada direcional,
∂ f
∂u
em termos de ∇ f .
2. Considere a função
f (x, y, z) = x3 − xy2 − z.
(a) Verifique que a derivada direcional da função f no ponto P0 = (1, 1, 0) e na direção
~v = (2,−3, 6) é igual a 47 .
(b) Determine as direções em que a função f varia mais rapidamente em P0 e mostre que as
taxas de variações nessas direções são iguais a 3 ou −3.
3. Mostre que as equações paramétricas da reta normal ao elipsóide
3x2 + 12y2 + 4z2 = 48
no ponto
(
2, 1,
√
6)
são x = 2+ 3t, y = 1+ 6t e z =
√
6+ 2
√
6 t. Escreva a equação do
plano tangente a esse elipsóide no ponto indicado e esboce o elipsóide, a reta normal e o plano
tangente.
4. Dada a função f (x, y, z) = x2 + y2 + z:
(a) Determine e esboce a superfície de nível de f que contém o ponto (1, 2, 4);
(b) Determine e esboce o vetor∇ f (1, 2, 4);
(c) Determine e esboce a reta normal à superfície de nível determinada no item (a), no ponto
(1, 2, 4);
(d) Determine e esboce o plano tangente à superfície de nível determinada no item (a), no
ponto (1, 2, 4).
5. Dada a função f (x, y) = x2 + 2y2:
(a) Desenhe a curva de nível de f que contém o ponto (3, 1) e esboce ∇ f (3, 1);
(b) Explique o significado do item (a) em relação ao gráfico da função f .
6. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pela interseção do parabo-
lóide
z = x2 + y2
com o elipsóide
3x2 + 2y2 + z2 = 9
no ponto (1, 1, 2). (lembre que o vetor direcional da reta tangente será simultaneamente nor-
mal aos vetores normais a cada uma das superfícies no ponto (1, 1, 2))
7. Determine os planos tangentes à esfera
x2 + y2 + z2 = 1
que sejam paralelos ao plano 2x+ y− 3z = 1.
3.5 Extremos de Funções de Duas Variáveis
Ao estudarmos funções de uma variável (Cálculo I), estudamos máximos e mínimos
locais e absolutos, aplicamos estes conceitos na resolução de diversos problemas de otimi-
zações, como determinar as dimensões de embalagens de modo a ter maior capacidade,
gastando a menor quantidade de material possível. Agora, pretendemos entender esses
conceitos e suas aplicações envolvendo funções de duas variáveis.
Um exemplo simples e motivador, poderia ser:
"Uma folha retangular de zinco com 1 m de largura deve ser dobrada ao longo dos dois lados
para formar uma calha de seção transversal trapezoidal, como na Figura 3.6. Determinar x e θ de
modo que a calha tenha maior capacidade de escoamento".
x x
27− 2x
θ
Figura 3.6: Representação gráfica da Calha.
3.5.1 Extremos Locais e Absolutos
As definições de máximo e de mínimo para funções de várias variáveis são as mesmas que
no caso de funções de uma variável. Uma função f de duas variáveis tem um máximo local
em (a, b) se existir um círculo aberto C contendo (a, b) de modo que
f (x, y) ≤ f (a, b)
para todo (x, y) em C e temummínimo local em (a, b) se existir um círculo aberto C contendo
(c, d) de modo que
f (x, y) ≥ f (c, d)
para todo (x, y) em C.
Os máximos locais podem ser observados como sendo os pontos altos das superfícies
gráficos das funções, e os mínimos locais aqueles pontos baixos do gráfico, conforme indi-
cados na Figura 3.7.
Os pontos demáximo e os demínimo locais de uma função são denominados de pontos
extremos ou extremantes da função e suas imagens são valores extremos da função. Um
ponto (x0, y0) é de máximo absoluto de uma função f se
f (x0, y0) ≥ f (x, y) ,
para todo (x, y) pertencente ao domínio de f e de mínimo absoluto se
f (x0, y0) ≤ f (x, y) ,
para todo (x, y) pertencente ao domínio de f .
Máximo absoluto
Máximo local
Mínimo absoluto
Mínimo local
Figura 3.7: Representação gráfica de uma superfície com vários tipos de extremos.
Exemplo 3.21.
1. A função
f (x, y) =
√
4− x2 − y2
x2 + y2
tem domínio
D =
{
(x, y) : x2 + y2 ≤ 4
}
,
não tem máximo, pois quando (x, y)→ (0, 0), f (x, y)→ +∞.
Solução
Ela tem mínimo absoluto igual a zero, que ocorre em qualquer ponto da circunferência
x2 + y2 = 4.
2. A função
f (x, y) =
y
x2
tem domínio
D = {(x, y) : x 6= 0} .
Ela não tem máximo nem mínimo absolutos. Justifique!
Um resultado importante sobre extremos que se aplica às funções contínuas definidas
em domínios fechados que foi visto para funções de uma variável e que é válido também
para funções de várias variáveis é o seguinte: Se f é uma função contínua em um domínio
fechado e limitado D, então f possui um máximo absoluto f (a, b) e um mínimo absoluto
f (c, d) para algum (a, b) e algum (c, d) em D, isto é,
f (c, d) ≤ f (x, y) ≤ f (a, b)
para todo (x, y) em D.
Observação 3.22.
1. O extremo absoluto de uma função f ocorrerá sempre em pontos extremos locais ou na fron-
teira da região em que ela é definida.
2. Para determinar o máximo ou mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto
fechado e limitado, D, procede-se da seguinte maneira:
(a) Determine os valores de f em seus pontos críticos, os quais encontram-se no interior de
D;
(b) Determine os valores extremos de f na fronteira de D;
(c) O maior dos valores determinados nos itens anteriores é o valor máximo absoluto de f
em D e o menor é o mínimo absoluto.
Exemplo 3.23. Determinar os extremos absolutos de
f (x, y) = x2 − 2xy+ 2y
em
D = {(‘x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2} .
Para isto temos que como f é contínua no conjunto D que é fechado e limitado, podemos aplicar
o resultado exposto acima.
Solução
Inicialmente calculemos o único ponto crítico de f , que é a solução do sistema linear{
fx = 2x− 2y = 0
fy = −2x+ 2 = 0 ⇒ x = y = 1⇒ (1, 1) .
No qual se tem f (1, 1) = 1.
Em seguida, estudamos os extremos de f na fronteira de D, a qual é constituída pelos quatro
segmentos de reta indicados a seguir:
Segmento 1: f (x, 0) = x2, 0 ≤ x ≤ 3;
Segmento 2: f (3, y) = 9− 4y, 0 ≤ y ≤ 2;
Segmento 3: f (x, 2) = x2 − 4x+ 4, 0 ≤ x ≤ 3;
Segmento 4: f (0, y) = 2y, 0 ≤ y ≤ 2.
Podemos observar que para o Segmento 1, temos uma função crescente no intervalo 0 ≤ x ≤ 3,
portanto, possui valor mínimo absoluto f (0, 0) = 0 e máximo absoluto f (3, 0) = 9;
Para o Segmento 2, temos uma função decrescente no intervalo 0 ≤ y ≤ 2, portanto, seu
mínimo f (3, 2) = 1 e seu máximo f (3, 0) = 9;
No Segmento 3, a função
f (x, 2) = x2 − 4x+ 4, 0 ≤ x ≤ 3,
cujo mínimo ocorre em x = 2 e é f (2, 2) = 0 e seu máximo é f (0, 2) = 4
Finalmente, para o Segmento 4, temos a função
f (0, y) = 2y, 0 ≤ y ≤ 2,
cujo mínimo ocorre é f (0, 0) = 0 e máximo é f (0, 2) = 4.
Portanto, comparando os diversos valores, concluímos que o mínimo absoluto de f em D é
f (0, 0) = f (2, 2) = 0 e o máximo absoluto é f (3, 0) = 9.
Outro fato interessante relacionado com extremantes locais é o seguinte:
Se f tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas em (x0, y0) e se (x0, y0) for um
ponto extremo local, então o plano tangente ao gráfico de
z = f (x, y)
em (x0, y0, z0) é paralelo ao plano xy, assim, sua equação é z = z0.
Mas, a equação do plano tangente é dada por
z = z0 + fx (x0, y0) (x− x0) + fy (x0, y0) (y− y0) ,
o que implica que
fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0.
Portanto, as derivadas parciais calculadas nos pontos de máximo ou de mínimo locais
são nulas.
Podemos então concluir que os pontos do domínio de uma função f para os quais as
derivadas parciais de primeira ordem forem nulas são os candidatos a extremantes locais da
função f . Esses pontos são denominados pontos críticos de f .
Na verdade, nem sempre estes candidatos serão pontos de máximo ou de mínimos, e
a seguir, daremos alguns exemplos em que em uns os candidatos serão eleitos e em outros
não.
Exemplo 3.24. O único ponto crítico da função
f (x, y) = x2 + y2
é o ponto (0, 0) , pois
fx (x, y) = 2x = 0, fy (x, y) = 2y = 0⇒ (x, y) = (0, 0) .
E neste ponto o valor da função é zero, f (0, 0) = 0, e em qualquer outro ponto o valor de
f (x, y) = x2 + y2
é positivo. Portanto o candidato foi eleito, ou seja, (0, 0) é ponto de mínimo local de f e f (0, 0) = 0
é o valor mínimo local.
Exemplo 3.25. O único ponto crítico da função
f (x, y) = y2 − x2
é o ponto (0, 0), pois
fx (x, y) = −2x = 0, fy (x, y) = 2y = 0⇒ (x, y) = (0, 0) .
E neste ponto o valor da função é zero, f (0, 0) = 0, entretanto, em qualquer círculo aberto
centrado em (0, 0), por menor que seja o raio, existem pontos (x, y) para os quais f (x, y) > 0 e
pontos em que f (x, y) < 0. Verifique!!!Assim, (0, 0) não é extremante de f . Nestes casos, dizemos que (0, 0) é um ponto de sela.
Exemplo 3.26. A função
f (x, y) = 3− (x− 1)2 + (y− 2)2
possui um único ponto crítico e ele é ponto de máximo. O valor máximo é 3?
Verifique isto!!!
Exercício 3.27.
1. Dê o significado de cada uma das sentenças abaixo:
(a) A função f tem um máximo local em (x0, y0);
(b) A função f tem um máximo absoluto em (x0, y0);
(c) A função f tem um ponto de sela em (x0, y0).
2. Dada a função
f (x, y) = xy (3− x− y) ,
definida em
D = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 3} .
(a) Esboce o domínio da função;
(b) Justifique por que é que f tem máximo e mínimo absolutos em D;
(c) Mostre que f se anula em todos os pontos da fronteira de seu domínio;
(d) Calcule o único ponto crítico de f ;
(e) Qual o valor máximo e qual o valor mínimo de f e onde eles ocorrem?
3. Determine os valores máximos e mínimos da função
f (x, y) = 3xy− 6x− 3y+ 7
na região triangular D com vértices (0, 0) , (3, 0) e (4, 0).
4. Determine a distância mínima da origem ao plano
2x+ 3y+ z = 4.
5. Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
f (x, y) = 4xy2 − x2y2 − xy3
no conjunto D, onde D é a região triangular com vértices (0, 0) , (6, 0) e (0, 6).
6. Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
f (x, y) = e−x
2−y2
(
x2 + 2y2
)
no conjunto D, onde D é o círculo
x2 + y2 ≤ 4.
7. Determine os pontos da superfície
z2 = xy+ 1
que estão mais próximos da origem.
8. Se função f é diferenciável e tem um máximo local em (x0, y0), o que se pode dizer de suas
derivadas parciais neste ponto? E de suas derivadas direcionais?
Os Exemplos 3.24, 3.25 e 3.26 mostram que o fato de
fx = fy = 0
em um ponto (x0, y0) interior ao domínio de f não é suficiente para que esse ponto seja
extremante da função.
Lembremos que para funções de uma variável
y = f (x) ,
usamos o teste da derivada segunda para caracterizar um ponto crítico, se é ou não extre-
mante. Para as funções de duas variáveis também tem o teste da derivada segunda que, na
maioria dos casos, permite caracterizar um ponto crítico, se é ou não extremante.
3.5.2 Teste da Derivada Segunda
Seja f uma função de duas variáveis com derivadas parciais até segunda ordem contí-
nuas em um círculo aberto centrado em (x0, y0) com
fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0
e seja D o determinante da matriz Hessiana, dada por
D = fxx (x0, y0) · fyy (x0, y0)−
(
fxy (x0, y0)
)2
=
∣∣∣∣ fxx fxyfxy fyy
∣∣∣∣ .
Então,
1. Se D > 0 e fxx (x0, y0) < 0, então f tem um máximo local em (x0, y0);
2. Se D > 0 e fxx (x0, y0) > 0, então f tem um mínimo local em (x0, y0);
3. Se D < 0, então f tem um ponto de sela em (x0, y0);
4. Se D = 0, então nenhuma conclusão pode ser retirada.
Exemplo 3.28. Determinemos e caracterizemos os pontos críticos da função
f (x, y) = 4xy− x4 − y4
definida em todo o plano Inicialmente, calculemos os pontos críticos de f , isto é, aqueles que anulam
a primeira derivada: {
fx (x, y) = 4y− 4x3 = 0
fy (x, y) = 4x− 4y3 = 0 .
Para isto, substituindo a primeira equação na segunda, obtemos
x9 − x = 0,
a qual nos dá x = 0, x = 1, x = −1.
Substituindo esses valores na primeira equação, obtemos os valores correspondentes
y = 0, y = 1, y = −1.
Portanto, os pontos críticos são
(0, 0) , (1, 1) e (−1,−1) .
Mas,
fxx (x, y) = −12x2, fyy (x, y) = −12y2, fxy (x, y) = 4.
Daí, obtemos:
1. Para o ponto (0, 0),
D = −16 < 0⇒ (0, 0)
e assim, é um ponto de sela;
2. Para os pontos (1, 1) e (−1,−1), temos que
D = 128 > 0 e fxx (1, 1) < 0.
Portanto, ambos são pontos de máximos absolutos de f em R2.
Exercício 3.29.
1. Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
(a) f (x, y) = xy− x2 − y2 − 2x− 2y+ 10;
(b) f (x, y) = xy;
(c) f (x, y) = ysenx;
(d) f (x, y) = senx+ seny+ sen (x+ y).
2. Determine o máximo e o mínimo absolutos da função em D:
(a) f (x, y) = x2 + y2 − xy− y, D = {(x, y) : |x| ≤ 1, |y| ≤ 1};
(b) f (x, y) = 8x3 + y3 − 3xy, D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1};
3. Uma transportadora trabalha apenas com caixas retangulares (forma de paralelepípedos re-
tângulos), cuja soma das medidas do comprimento e do perímetro da seção transversal é igual
a 1,08 metros. Mostre que, nessas condições, a caixa de maior volume possível é aquela que
tem comprimento 36 cm, altura e largura 18 cm. Quais as dimensões da caixa de retangular
de maior volume cuja área superficial total é 64 cm2?
4. Encontre números a e b de modo que
f (a, b) =
b∫
a
(
6− x− x2
)
dx
tenha o valor máximo possível.
Outro método interessante para determinar extremos absolutos de funções contínuas
definidas em conjuntos limitados e fechados é a utilização e interpretação de suas curvas
de nível.
A seguir, daremos um exemplo para ilustrar esse processo.
Exemplo 3.30. Determine o máximo e o mínimo absolutos de
f (x, y) = xy
restrita à elipse g : 4x2 + y2 = 4.
Solução
Inicialmente, esboçaremos a elipse (domínio de f ) e algumas curvas de nível, xy = c, de f em
um mesmo sistema de coordenadas.
Figura 3.8: Curvas de nível e a elipse. Em azul,∇ f e em amarelo∇g.
Por simples observação na Figura 3.8, podemos notar que o mínimo e o máximo de f serão,
respectivamente, os valores de c para os quais a curva de nível xy = c intercepta a elipse em um
único ponto, no terceiro e primeiro quadrantes. Para determiná-los, basta impor a condição para que
o sistema de equações {
4x2 + y2 = 4
xy = c
tenha solução única.
Mas, substituindo a segunda equação na primeira, obtemos
4x2 +
c2
x2
= 4⇔ 4x4 + c2 = 4x2 ⇔ 4x4 − 4x2 + c2 = 0,
a qual tem solução "única"se
∆ = 16− 16c2 = 0⇒ c = ±1.
Substituindo estes valores na equação acima, obtemos
4x4 − 4x2 + 1 = 0⇒ x2 = ±1
2
⇒ x = ± 1√
2
⇒ y = ±
√
2.
Portanto, os pontos de mínimo são (
± 1√
2
,∓
√
2
)
e de máximo são (
± 1√
2
,±
√
2
)
.
Os respectivos valores são
f
(
± 1√
2
,∓
√
2
)
= −1
e
f
(
± 1√
2
,±
√
2
)
= 1.
Exercício 3.31.
1. Faça como no Exemplo 3.30 para
f (x, y) = 2x− y
restrita ao círculo x2 + y2 = 1.
2. Faça como no exemplo acima para
f (x, y) = senx+ cos y
restrita ao círculo x2 + y2 = 1.
Estemétodo sugere o importante método denominado deMultiplicadores de Lagrange,
o qual mostraremos a seguir.
Em primeiro lugar, voltemos à Figura 3.8 dada no exemplo anterior e agora sabemos
que a função que determina os extremos é
f (x, y) = xy
restrita à condição
g (x, y) = 4x2 + y2 − 4 = 0.
Observemos na Figura 3.8 que os vetores
∇ f (x, y) = (y, x)
e
∇g (x, y) = (8x, 2y)
são perpendiculares às curvas f e g no ponto em que elas se tangenciam.
Isto é suficiente para percebermos que este raciocínio pode ser generalizado no sen-
tido de que os pontos que minimizam ou que maximizam funções definidas em conjuntos
fechados são aqueles cujos gradientes têm a mesma direção.
Sendo assim, podemos voltar ao exemplo acima e formulá-lo da seguinte forma:
Exemplo 3.32. Ache os extremos de
f (x, y) = xy
restrita à condição
g (x, y) = 4x2 + y2 − 4 = 0.
Para a resolução, determinemos os pontos em que os vetores
∇ f (x, y) = (y, x)
e
∇g (x, y) = (8x, 2y)
são paralelos, isto é,
(y, x) = λ(8x, 2y), λ ∈ R.
Temos então o sistema 

y− 8λx = 0
x− 2λy = 0
4x2 + y2 − 4 = 0
,
cuja solução pode ser encontrada de muitas formas diferentes.
Resolveremos substituindo a segunda equação na primeira, obtendo assim
y = 8λ (2λy)⇔ y
(
16λ2 − 1
)
= 0⇒ y = 0, λ = ±1
4
.
Substituindo λ = ± 14 em x = 2λy, obtemos
x = 2
(
±1
4
)
y ⇔ y = ±2x.
E que quando substituído na terceira equação, obtemos
4x2 + (±2x)2 − 4 = 0⇒ 8x2 = 4⇒ x = ± 1√
2
.
Logo, y = ±√2.
Desprezando os valores de λ, temos(
1√
2
,∓
√
2
)
e
(
− 1√
2
,±
√
2
)
.
Por fim, fazendox = 0 na equação 4x2 + y2 − 4 = 0, obtemos y = ±2.
Assim, os pontos (0,±2) podem determinar extremos da função f (x, y) = xy na elipse.
Este método pode ser descrito assim:
Sejam f e g funções de duas variáveis com derivadas primeiras contínuas, e suponha-
mos que ∇g 6= 0 em uma região do plano xy.
Se f tem um extremo f (x0, y0) sujeito à condição g (x, y) = 0, então existe um número
real λ tal que
∇ f (x0, y0) = λ∇g (x0, y0) .
O número λ é denominadoMultiplicador de Lagrange.
A partir deste resultado, podemos concluir que os pontos extremos da função f sujeito
à condição
g (x, y) = 0
fazem parte dos pontos (x, y), determinados pela solução do sistema

fx (x, y) = λgx (x, y)
fy (x, y) = λgy (x, y)
g (x, y) = 0
.
Exemplo 3.33.
1. Vamos usar esse método para mostrar que o retângulo de maior área com perímetro dado é o
quadrado.
Sejam x e y as medidas dos lados do retângulo e p o perímetro. A função a ser maximizada é
f (x, y) = xy,
com a restrição
g (x, y) = 2x+ 2y− p = 0.
Solução
Para isto devemos resolver o sistema

fx (x, y) = λgx (x, y)
fy (x, y) = λgy (x, y)
g (x, y) = 0
.
Ou ainda,


y = 2λ
x = 2λ
2x+ 2y = p
⇒ x = y = p
4
.
2. Este resultado pode ser estendido de modo natural ao caso de funções de mais variáveis. U
Vamos usá-lo para determinar o volume da maior caixa retangular de lados paralelos aos eixos
coordenados, que possa ser inscrita no elipsóide
16x2 + 4y2 + 9z2 = 144.
Resolução:
O que pretendemos é encontrar o máximo da função V = 8xyz restrita à condição
g (x, y, z) = 16x2 + 4y2 + 9z2 − 144 = 0.
Fazendo 

∇ f (x, y, z) = λ∇g (x, y, z)
e
16x2 + 4y2 + 9z2 − 144 = 0
,
Figura 3.9: Representação gráfica de 16x2 + 4y2 + 9z2 = 144.
obtemos o sistema

(8yz, 8xz, 8xy) = λ (32x, 8y, 18z)
e
16x2 + 4y2 + 9z2 − 1 = 0
⇒ x =
√
3, y = 2
√
3 , z = 4
√
3.
Segue que o volume da maior caixa possível é V = 64
√
3.
Verifique isto!!!
Exercício 3.34. 1. Determine o ponto da reta 2x− 4y = 3 que está mais próximo da origem.
2. Determine o ponto do plano x+ 2y+ z = 2 que está mais próximo da origem.
3. Determine o ponto do círculo x2 + y2 = 45 que está mais próximo e um outro que esteja mais
distante do ponto (1, 2).
4. Seja a temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal dada por
T (x, y) = 4x2 − 4xy+ y2
Uma formiga, andando sobre a placa, percorre uma circunferência de raio 5 centrada na ori-
gem. Qual é a maior e a menor temperatura encontrada pela formiga ao longo deste caminho?
x x
27− 2x
θ
Figura 3.10: Representação gráfica da Calha.
5. Uma folha retangular de zinco com 1 m de largura deve ser dobrada ao longo dos dois lados
para formar uma calha de seção transversal trapezoidal, como na Figura 3.10. Determinar x e
θ de modo que a calha tenha maior capacidade de escoamento.
Capítulo 4
Integração de Funções de Várias
Variáveis
Neste capítulo, estudaremos a integral de funções de duas variáveis, f (x, y), em uma re-
gião do plano, a integral dupla e a integral tripla, que é a integral de funções de três variá-
veis, f (x, y, z), em uma região do espaço.
Essas integrais são também chamadas de integrais múltiplas e são vistas como uma
extensão natural das integrais definidas de uma variável em um intervalo da reta, elas são
definidas como limite de somas. Essas integrais são utilizadas para calcular volumes de
sólidos, áreas de superfícies, trabalho de uma força, massa contida em uma região, centro
de gravidade, probabilidade de ocorrer um evento, dentre outros.
Lembramos que as integrais chamada simples, ou seja, as integrais de funções de uma
variável y = f (x) são dadas por
lim
n→∞
n
∑
i
f (xi)∆xi =
∫ b
a
f (x)dx
e originaram-se e também foram motivadas devido a determinação de áreas sob curvas.
Veja a Figura 4.1.
xx
yy
y = x2y = x2
(a) (b)
Figura 4.1: Aproximação da área sob a parábola por falta (a) ou por excesso (b).
Para as integrais duplas e triplas, o procedimento que usamos é análogo, ou mais espe-
cificamente:
Seja f (x, y) definida num domínio D do plano, o qual suporemos limitado, isto é, estar
contido em um retângulo
R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} .
Ilustramos na Figura 4.2.
x
y
z
(xi, yi)
f (xi, yi)
a
b
c d
Figura 4.2: Definição da integral dupla: dividindo o domínio D.
Para definir a integral dupla de modo semelhante ao que foi feito para integrais simples,
procedemos da seguinte forma:
• Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, dividimos o retângulo R, que contém
D, em n pequenos sub-retângulos e excluiremos aqueles que contiverem pelo menos
um ponto fora da região D, permanecendo apenas sub-retângulos que são subcon-
juntos de D. Denotaremos a área de cada um desses n sub-retângulos por ∆Ai.
• Escolhemos um ponto qualquer contido em cada sub-retângulo, o qual denotamos
por (xi, yi), como representado na figura abaixo. O produto f (xi, yi)∆Ai pode ser
interpretado como o volume do paralelepípedo de altura f (xi, yi) e área da base ∆Ai,
com sinal positivo se f (xi, yi) > 0 e com sinal negativo se f (xi, yi) < 0.
• O somatório
n
∑
i=1
f (xi, yi)∆Ai
é uma aproximação do volume com sinal da região do espaço compreendida entre o
domínio D e a superfície gráfico da função z = f (x, y). Esta aproximação deverá
ser melhor à medida que o número n de sub-retângulos for maior, devendo ter valor
exato quando esse número tender a infinito.
• Assim, o volume com sinal do sólido compreendido entre o domínio D e o gráfico da
função z = f (x, y) será
V = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (xi, yi)∆Ai.
Definição 4.1. Seja f (x, y) definida num domínio limitado D do plano xy e seja
R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ x ≤ d}
um retângulo que contém D. O limite
lim
n→∞
n
∑
i=1
f (xi, yi) ∆Ai,
quando existe, é a integral dupla de f (x, y) em D e é denotado por
lim
n→∞
n
∑
i=1
f (x1, y1)∆Ai =
∫∫
D
f (x, y)dA.
Observação 4.2.
1. Se a função f (x, y) for positiva em todo o domínio D, então
V =
∫∫
D
f (x, y)dA
é o volume do sólido compreendido entre a região D do plano xy e o gráfico de z = f (x, y);
2. Se f (x, y) for negativa em todo o domínio D, então
V =
∫∫
D
f (x, y)dA
também será o volume, porém com sinal negativo;
3. Se f (x, y) for negativa em parte de D e positiva em outra, então
V =
∫∫
D
f (x, y)dA
é um número igual a diferença entre os volumes com sinais;
4. Se f (x, y) = 1, então
V =
∫∫
D
f (x, y)dA =
∫∫
D
dA
é a medida da área de D.
5. Sabemos que se f (x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], então
∫ b
a
f (x)dx = A
é igual a área abaixo da curva y = f (x), acima do eixo x e entre as retas x = a e x = b.
Portanto, podemos escrever
∫∫
D
dA =
∫ b
a
[∫ f (x)
0
dy
]
dx =
∫ b
a
f (x)dx = A.
4.1 Cálculo de Integrais Repetidas
Ao estudarmos integrais simples, as de funções de uma variável, vimos que a determina-
ção de integrais como limite de somas não é viável, pois apenas é possível para algumas
funções muito simples e ainda assim, para essas funções, o cálculo é bastante trabalhoso.
Esta observação é também válida para integrais múltiplas.
O cálculo das integrais simples se reduziu à determinação de uma primitiva da função
a ser integrada e ao uso do Teorema Fundamental do Cálculo, como no exemplo a seguir:
∫ 2
1
2xdx = x2
∣∣∣2
1
= 22 − 12 = 3.
Na verdade, a determinação de integrais múltiplas se reduz à mesma situação, como
veremos, a seguir, em algumas situações especiais.
Situação 1: Seja f (x, y) uma função contínua e positiva no retângulo
R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
a integral de f em R é
V =
∫∫
R
f (x, y)dA =
∫ d
c
∫ b
a
f (x, y)dxdy =
∫ d
c
[∫ b
a
f (x, y)dx)
]
dy.
A integral
A (y) =
∫ b
a
f (x, y) dx
que aparece entre