Aula 2 — Ângulo

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Ao final desta aula, o aluno será capaz de: 
● Definir ângulos, representá-los, reconhecer seus elementos e operar com suas 
unidades de medida.  
 
 
Definição: Ângulo é a figura formada por             
duas semirretas de mesma origem. 
 
Notação: � , 𝛂 ou 1.OBA
︿
O
︿
 
O ponto O denomina-se VÉRTICE e as             
semirretas e , LADOS do ângulo.OA OB  
 
REGIÃO ANGULAR 
É o conjunto formado pelos pontos           
internos de um ângulo e pelos seus             
lados. 
 
 
 
ÂNGULOS CONGRUENTES 
São ângulos que, medidos na mesma           
unidade, têm medidas iguais. 
 
med Ô = x e med Ô’ = x ⇒ Ô ≡ Ô’                         
(Congruente) 
 
ÂNGULO DE DUAS RETAS 
É o menor ângulo formado pelas duas             
retas. 
 
= ( )a︿ r s
︿
 
 
ÂNGULOS ENTRE RETAS REVERSAS 
É o ângulo formado por duas retas             
concorrentes, respectivamente paralelas     
às reversas dadas. 
 
⇒ r e s reversas ⇒ ( ) = ?r s
︿
 
r’//r e s’//s ⇒ ( )= ( ) = r s
︿
 r s′ ′
︿
a︿  
 
ÂNGULOS CONSECUTIVOS 
São ângulos que têm o vértice comum e               
pelo menos um lado comum entre eles.             
Temos dois casos a considerar: 
1º Caso: 𝛂 ​1 e 𝛂 ​2 são consecutivos porque               
possuem o mesmo vértice (O) e um lado               
comum ( ).OB  
 
2º Caso: 𝛂 ​1 e 𝛂 ​2 são consecutivos porque               
possuem o mesmo vértice (O) e um lado               
comum ( ). Observe que, nesse caso,  OC          
𝛂 ​1 e 𝛂 ​2 possuem uma região angular em               
comum. 
 
 
ÂNGULOS ADJACENTES 
São dois ângulos consecutivos que não           
possuem região angular em comum. 
  
⇒ 𝛂 ​1​ e 𝛂 ​2​ são adjacentes. 
 
BISSETRIZ DE UM ÂNGULO 
É a semirreta que divide o ângulo em dois                 
ângulos congruentes. 
 
⇒ é bissetriz de ⇒ ≡  OC         OBA
︿
  OCA
︿
 
OBC
︿
 
 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Dois ângulos são opostos pelo vértice           
quando os lados de um são semirretas             
opostas dos lados do outro. 
 
e são opostos pelo vértice.OBA
︿
ODC
︿
 
e são opostos pelo vértice.OCA
︿
ODB
︿
 
 
Obs.: 
Dois ângulos opostos pelo vértice são           
congruentes. As bissetrizes de dois         
ângulos opostos pelo vértice são         
semirretas opostas. 
 
e são opostos pelo vérticeOBA
︿
  ODC
︿
       
(opv). é bissetriz de ⇒ e  OX       ODC
︿
  OX  
são semirretas oposta.OY  
 
RETO 
I. ÂNGULO RETO​ é o ângulo cujo 
os lados são semirretas 
perpendiculares. 
 
AGUDO  II. ÂNGULO AGUDO​ é o que é menor que o reto. 
 
OBTUSO  III. ÂNGULO OBTUSO​ é o que é maior que o reto. 
 
 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES E 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Dois ângulos são ditos complementares 
quando somam 90°. Um deles é o 
complemento do outro. Dois ângulos são 
suplementares quando somam 180°. Um 
deles é o suplemento do outro.  
Obs.:  
As bissetrizes de dois ângulos 
adjacentes suplementares são 
perpendiculares entre si. 
 
MEDIDA DE ÂNGULOS 
A medida de um ângulo seráOBA
︿
 
indicada por med ( ).OBA
︿
 
Temos as seguintes unidade de medidas 
de ângulos: 
1º GRAU​ ⇒ símbolo ​° 
O ​GRAU​ é a nonagésima parte do ângulo 
reto. Assim ​1°​ = do ângulo reto.190  
Ele admite dois submúltiplos: 
➔ o MINUTO ⇒ símbolo ‘ 
➔ o SEGUNDO ⇒ símbolo “ 
 
 
 
Temos que: 
1’ = do grau160  
1” = do minuto160  
 
Assim, temos que: 1° = 60’ 
 1’ = 60” 
 
II. O GRADO​ ⇒ símbolo ​gr 
O grado é a centésima parte do ângulo 
reto. 
Ele admite os seguintes submúltiplos: 
➔ o DECIGRADO ⇒ símbolo d​gr 
➔ o CENTIGRADO ⇒ símbolo c​gr 
➔ o MILIGRADO ⇒ símbolo m​gr 
 
III. O RADIANO​ ⇒ símbolo ​rd 
O radiano é definido como a medida de 
um ângulo central, subtendido por um 
arco cujo comprimento é igual ao raio da 
circunferência que contém o arco. 
 
⇒ = r ⇒ = 1 rdBA OBA
︿
 
 
ÂNGULO NULO E ÂNGULO RASO 
Um ângulo é dito nulo quando seus lados 
coincidem. É denominado raso (ou de 
meia volta) quando seus lados são 
semirretas opostas. Desse modo, 
podemos observar que a medida de um 
ângulo ​x​ é tal que: 0° ≤ ​x ​ ≤ 180° 
 
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS 
Dois ângulos de lados respectivamente 
paralelos são: 
— CONGRUENTES ⇒ se ambos forem 
agudos ou obtusos. 
 
⇒ 𝛂 ​1​ ≅ 𝛃 ​1 
 
ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS 
ou 
 
⇒ 𝛂 ​2​ ≅ 𝛃 ​2 
 
 
 
 
 
SUPLEMENTARES  
⇒ se um for agudo e o outro obtuso. 
 
⇒ 𝛂 + 𝛃 = 180° 
 
ÂNGULOS DE LADOS 
PERPENDICULARES 
Dois ângulos de lados respectivamente 
perpendiculares são: 
 
CONGRUENTES 
⇒ se ambos forem agudos ou obtusos. 
 
CONGRUENTES 
⇒ se ambos forem agudos ou obtusos. 
 
 
 
 
 
 
 
SUPLEMENTARES 
⇒ se um for agudo e o outro obtuso. 
 
 
TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES DE 
ÂNGULOS 
Vamos fixar um pouco mais as 
informações. 
Observe como foi feita a resolução dos 
exemplos. 
 
1º CASO: TRANSFORMAR PARA 
SEGUNDOS 
Exemplos: 
a) Transforme 12°23’18’’ em 
segundos. 
Temos: 
12° × 60 = 720’ + 23’ = 743’ × 60 = 
44.580” + 18” = 44.598” 
 
Logo: 12° 23’ 18” = 44.598” 
 
b) Transforme 40°30’20” em 
segundos. 
Temos: 40° × 60 = 2.400’ + 30’ = 
2.430’ × 60 = 145.800” + 20” = 
145.820” 
 
Logo: 40°30’20” = 145.820” 
 
2º CASO: TRANSFORMAR EM GRAUS, 
MINUTOS E SEGUNDOS 
Mostraremos o processo por meio de 
exemplos. 
1) Transforme 44.598” em graus, 
minutos e segundos. 
 
Temos: 
44.598” 
44.598”  60   
259”  743’  60 
198” 
18” 
143’ 
0​23’ 
12° 
Logo 44.598” = 12° 23’18” 
2) Transforme 145.820” em graus, 
minutos e segundos 
Temos: 
145.820” 
145820”  60   
258”  2430  60 
182”  30’  40° 
20”     
Logo: 145.820” = 40°30’20” 
Obs.: Note que em ambas os casos se 
trabalha com a relação: 
1º = 60 ‘ 
1’ = 60” 
 
OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE 
ÂNGULOS 
Através de exemplos, mostraremos as 
operações com medidas de ângulos. 
Assim temos: ​ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Exemplos:  
Efetue as operações indicadas: 
1) 58°15’23” + 17°42’50” + 36°47’52” 
58° 
17° 
36° 
+
15’ 
42’ 
47’ 
+ 
23” 
50” 
52” 
+
111° 
1°  +
104’ 
2’  + 
125” 
120”  −
112°    106’ 
60’  − 
5”   
    46’       
 
2) 100°36’ + 45’27” + 38” 
100°    36’ 
45’ 
  27” 
38”  + 
100° 
1°  +
81’ 
1’  +
65” 
60”  − 
101°    82’ 
60’  −
5”   
    22’       
 
3)​ 50°38’27” ​− 40°36’52” 
−  50° 40° 
38’ 
36’ 
27” 
52”  ⇒ 
−  50° 40° 
37’ 
36’ 
87” 
52” 
      ?    10°  1’  35” 
 
4)​ 90° ​− 30°30’30” 
 
−  90° 30° 
 
30’ 
 
30” 
    ?   
 
⇒ 
−  89° 30° 
60’ 
30’ 
 
30” 
    ?   
 
⇒ 
−  89° 30° 
59’ 
30’ 
60” 
30” 
  59°  29’  30” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Efetue as multiplicações: 
 
1. 24°13’40” × 3 
24°  13’  40” 
3  × 
72°  39° 
2’ 
120” 
120”  − 
  41’  0”   
2. 40º30’17” × 5 
40°  30’    17” 
5  × 
200° 
2° 
150° 
1’ + 
85” 
60”  − 
  151’ 
120’ 
−  25”   
  31’     
DIVISÃO 
1) 53°27’45” ÷ 2 
53°  27’ 
+ 
45” 
+ 
2 
13º  60’  60”  26°43’52” 
1°  87’    105”     
  7’    5”     
  1’    1”     
2) 46°37’27” ÷ 3 
46°  37’ 
+ 
27” 
+ 
3 
16°  60’  60”  15°32’29” 
1°  97’    57” 
₋ 
 
  7’    27”   
  1’    0”     
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA 
Em grande parte dos problemas que envolvem ângulos, devemos representar de de forma 
simbólica o que nos diz o seu enunciado. 
Veja alguns exemplos: 
Um ângulo qualquer: ​x 
➔ o dobro de um ângulo: 2​x 
➔ o quíntuplo de um ângulo: 5​x 
➔ a terça parte de um ângulo: x3  
➔ dois quintos de um ângulo: 52x  
➔ o quadrado da medida de um ângulo: ​x​2 
➔ o complemento de um ângulo: 90 ₋ ​x 
➔ a soma de dois ângulos: ​x​ + ​y 
➔a diferença entre dois terços do suplemento e a sua quinta parte: (180° ) 32 − x − x5  
 
SÍNTESE DA AULA 
Nessa aula você: 
● Será capaz de definir ângulos, representá-los, reconhecer seus elementos e operar 
com suas unidades de medida.