9. equacoes diferenciais

Prévia do material em texto

Se a quantidade de fertilizante utilizada para cultivar a terra em
uma fazenda de trigo aumenta, o rendimento da colheita subirá
consideravelmente? Pesquisadores de uma universidade do Meio-
-Oeste descobriram que um novo fertilizante testado em caráter
experimental aumentou a produtividade do trigo da terra no
campo de pesquisas da universidade. No Exemplo 2, página 646,
você vai ver como eles usaram uma equação diferencial para es-
timar a produtividade da cultura.
Uma equação que envolve a derivada, ou
diferencial, de uma função desconhecida é
chamada de equação diferencial. Neste ca-
pítulo, mostramos como equações dife-
renciais são usadas para resolver proble-
mas que abrangem o crescimento de um
montante de dinheiro com o acréscimo
de juros compostos continuamente, o cres-
cimento de uma cultura de bactérias, o de-
caimento de material radioativo, bem
como a aplicação da taxa que estima o
aprendizado de uma pessoa em relação a
um assunto por ela antes desconhecido,
além de outros exemplos.
9
EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS
© STAFF/Reuters/Corbis
Capítulo
Adicional
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 631
9.1 Equações Diferenciais
Modelos que Envolvem Equações Diferenciais
Encontramos primeiro equações diferenciais na Seção 6.1. Lembre-se de que uma
equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida e a(s)
sua(s) derivada(s). Aqui estão alguns exemplos de equações diferenciais:
Equações diferenciais aparecem em praticamente todos os ramos da matemática apli-
cada, e o estudo dessas equações continua sendo uma das áreas mais ativas de pesquisa
em matemática. Como você verá nos próximos exemplos, modelos que envolvem equa-
ções diferenciais muitas vezes surgem da formulação matemática de problemas práti-
cos.
Modelos de Crescimeto Irrestritos Discutimos pela primeira vez o modelo de crescimento
irrestrito no Capítulo 5. Lá vimos que o tamanho de uma população, no instante t, Q (t),
aumenta a uma velocidade que é proporcional a Q(t). Assim,
(1)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Esta é uma equação diferencial que en-
volve a função desconhecida Q e sua derivada Q�.
Modelos de Crescimento Restrito Em muitas aplicações, a quantidade Q(t) não apresenta cres-
cimento irrestrito, mas se aproxima de algum limite superior definitivo. As curvas de
aprendizagem e as funções logísticas que discutimos no Capítulo 5 são exemplos de mo-
delos de crescimento restrito. Vamos derivar os modelos matemáticos que conduzem a
essas funções.
Suponha que Q(t) não exceda um número C, chamado de capacidade de carga do
ambiente. Além disso, suponhamos que a taxa de crescimento desta quantidade é pro-
porcional à diferença entre o seu limite superior e seu tamanho atual. A equação dife-
rencial resultante é
(2)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Observe que, se a população inicial é pe-
quena em relação a C, em seguida, a taxa de crescimento de Q é relativamente grande.
Mas como Q(t) se aproxima de C, a diferença de C � Q(t) se aproxima de zero, tal como
a taxa de crescimento de Q. Na Seção 9.3, você verá que a solução da equação diferencial
(2) é uma função que descreve uma curva de aprendizagem (Figura 1).
Em seguida, vamos considerar um modelo de crescimento restrito em que a taxa de
crescimento de uma quantidade Q(t) é conjuntamente proporcional ao seu tamanho atual
e a diferença entre o seu limite superior e a sua dimensão atual, isto é,
(3)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Observa-se que, quando Q(t) tem um va-
lor baixo em relação a C, a taxa de crescimento de Q é aproximadamente proporcional
a Q. Mas conforme Q(t) se aproxima de C, a taxa de crescimento diminui para zero. Se
Q � C, então, dQ/dt � 0 e a quantidade está diminuindo com o tempo, com a taxa de
queda diminuindo conforme Q se aproxima de C. Vamos mostrar mais tarde que a so-
lução da equação diferencial (3) é apenas a função logística que discutimos no Capítulo
5. Seu gráfico é mostrado na Figura 2.
dQ
dt
� kQ1C � Q 2
dQ
dt
� k1C � Q 2
dQ
dt
� kQ
dy
dx
� xex
dy
dx
� 2y � x 2
d 2y
dt 2
� a dy
dt
b 3 � ty � 8 � 0
632 Matemática Aplicada a Administração e Economia
y
t
C – A
Q(t) = C – Ae–kt
y = C
FIGURA 1 
Q(t) descreve uma curva de aprendiza-
gem.
y
t
y = C
1 + A
C
Q > C
0 < Q < C
FIGURA 2 
Duas soluções da equação logística
Q1t 2 � C
1 � Ae�Ckt
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 632
Resposta ao Estímulo Na teoria quantitativa da Psicologia, um modelo que descreve a re-
lação entre um estímulo S e a resposta resultante R é a Lei de Weber-Fechner. Essa lei
afirma que a taxa de variação de uma reação R é inversamente proporcional ao estímulo
S. Matematicamente, essa lei pode ser expressada como
(4)
onde k é uma constante de proporcionalidade. Além disso, suponhamos que o nível de
limite, o mais baixo nível de estimulação em que é detectada a sensação, é S0. Então te-
mos a condição de R � 0 quando S � S0, isto é, R(S0) � 0. O gráfico de R é mostrado
na Figura 3.
Problemas de Mistura Nosso próximo exemplo é um típico problema de mistura. Suponha
que um tanque contém inicialmente dez galões de água pura. A salmoura, que contém
3 libras de sal por galão, flui para dentro do tanque, a uma taxa de 2 galões por minuto,
e a mistura bem agitada flui para fora do tanque com mesma taxa. Quanto sal está no
tanque em determinado tempo? Vamos formular esse problema matematicamente. Su-
ponhamos que A(t) indica o valor de sal no tanque no instante t. Então a derivada dA/dt,
a taxa de variação da quantidade de sal no instante t, deve satisfazer a condição
Taxa de sal que flui para dentro � Taxa de sal que flui para fora
(Figura 4). Mas a taxa na qual o sal flui para dentro do tanque é dada por
2 gal/min 3 libras/gal (Taxa de fluxo) � (Concentração)
ou 6 libras por minuto. Uma vez que a velocidade com que a solução deixa o tanque é
a mesma com a qual a solução salina flui para dentro, o tanque contém dez galões da
mistura em qualquer instante t. Uma vez que o teor de sal, em qualquer instante t, é A
libras, a concentração de sal na mistura é de (A/10) libras por galão. Portanto, a taxa na
qual o sal flui para fora do tanque é dada por
ou A/5 libras por minuto. Portanto, somos levados à equação diferencial
(5)
Uma condição adicional resulta do fato de que inicialmente não existe sal na solução.
Essa condição pode ser expressada matematicamente como A � 0 quando t � 0 ou 
A(0) � 0.
Na Seção 9.3 vamos resolver cada uma das equações diferenciais que introduzimos aqui.
Soluções de Equações Diferenciais
Suponha que nos é dada uma equação diferencial que envolve a(s) derivada(s) de uma
função y. Recorde-se de que uma solução para uma equação diferencial é uma função
f(x) que satisfaz a equação diferencial. Assim, y � f(x) é uma solução da equação dife-
rencial desde que a substituição de y e a(s) sua(s) derivada(s) pela função f(x) e suas de-
rivadas correspondentes reduza a equação diferencial dada a uma identidade para todos
os valores de x.
EXEMPLO 1 Mostre que a função f(x) � e�x � x � 1 é uma solução de uma equação
diferencial
y� � y � x
dA
dt
� 6 �
A
5
12 gal/min 2 a A
10
libras/gal b
2121
2121dA
dt
�
dR
dS
�
k
S
Equações Diferenciais 633
y
SS0
R
FIGURA 3 
A solução para a equação diferencial (4)
descreve a resposta ao estímulo.
FIGURA 4 
A taxa de variação da quantidade de sal no
tempo t � (Taxa de sal que flui pra dentro)
� (Taxa de sal que flui para fora).
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 633
Solução Sendo
y � f x � e�x � x � 1
Então,
y� � f� x � �e�x � 1
Substituindo essas equações no lado esquerdo da equação diferencial, temos
y� y
upcurlybracketleft��upcurlybracketmid��upcurlybracketright upcurlybracketleft���upcurlybracketmid���upcurlybracketright
�e�x� 1 � e�x � x � 1 � �e�x � 1 � e�x � x � 1 � x
que é igual ao lado direito da equação dada para todos os valores de x. Portanto, f(x) �
e�x � x � 1 é uma solução da equação diferencial dada.
No Exemplo 1, verificamos que y � e�x � x � 1 é uma solução da equação dife-
rencial y� � y � x. Essa é, sem dúvida, a única solução dessa equação diferencial, como
o próximo exemplo mostra.
EXEMPLO 2 Mostre que qualquer função na forma f(x) � ce�x � x � 1, onde c é uma
constante, é uma solução da equação diferencial
y� � y � x
Solução Sendo
y � f x � ce�x � x � 1
Então
y� � f� x � �ce�x � 1
Substituindo essas equações no lado esquerdo da equação diferencial, temos
y� y
upcurlybracketleft��upcurlybracketmid��upcurlybracketright upcurlybracketleft���upcurlybracketmid���upcurlybracketright
�ce�x � 1 � ce�x � x � 1 � x
e verificamos a afirmação.
Pode ser mostrado que toda solução da equação diferencial y� � y � x deve ter a
forma y � ce�x � x � 1, onde c é uma constante e, portanto, essa é uma solução ge-
ral da equação diferencial y� � y � x. A Figura 5 mostra uma família de soluções dessa
equação diferencial para valores selecionados de c.
21
21
2121
21
21
634 Matemática Aplicada a Administração e Economia
y
x
2 4
c = 1
–2
–2
2
c = 2 c = 4
c = 0
c = –1
c = –2
4
FIGURA 5 
Algumas soluções para y� � y � x
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 634
Lembre-se de que a solução obtida por meio da atribuição de um valor específico para
a constante c é chamada de uma solução particular da equação diferencial. Por exem-
plo, a solução particular y � e�x � x � 1 do Exemplo 1, é obtida da solução geral, to-
mando c � 1. Na prática, uma solução particular de uma equação diferencial é obtida
da solução geral da equação diferencial, exigindo que a solução e/ou a(s) sua(s) deri-
vada(s) satisfaça(m) certas condições em um ou mais valores de x.
EXEMPLO 3 Use os resultados do Exemplo 2 para encontrar a solução particular da
equação y� � y � x que satisfaça a condição y(0) � 0, isto é, f(0) � 0, onde f denota
a solução.
Solução Com base nos resultados do Exemplo 2, vemos que
y � f x � ce�x � x � 1
é uma solução da equação diferencial dada para todas as constantes c. Usando a con-
dição dada, vemos que
f 0 � ce0 � 0 � 1 � c � 1 � 0 ou c � 1
Portanto, a solução particular requerida é y � e�x � x � 1.
21
21
Equações Diferenciais 635
Explore e Discuta
Considere a equação diferencial dy/dx � F(x, y) e suponha que y � f(x) é uma solução da
equação diferencial.
1. Se (a, b) é um ponto no domínio de F, explique porque F(a, b) dá o declive de f em x � a.
2. Para a equação diferencial dy/dx � x/y, calcule F(x, y) para valores inteiros selecionados
de x e y. (Por exemplo, tente x � 0, 	1, 	2 e y � 	1, 	2, 	3.) Verifique que, se você
desenhar um elemento linear (um segmento de linha muito pequeno), com inclinação
F(x, y) em cada ponto (x, y), obterá um campo de orientação semelhante ao mostrada na
figura:
3. O campo de direção associado à equação diferencial sugere curvas de solução para a equa-
ção diferencial. Esboce algumas curvas de solução para a equação diferencial. [Você será
solicitado a verificar a sua resposta ao item (3) na próxima seção.]
y
x
9.1 Testes de Conhecimento
1. Considere a equação diferencial
xy� � 2y � 4x2
a. Mostre que y � x2 � (c>x2) é uma solução de equação
diferencial.
b. Encontre a solução particular da equação diferencial
que satisfaz y(1) � 4.
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 635
Nos exercícios 1 a 12, verifique se y é uma solução da equação
diferencial.
1. y � x2; xy� � y � 3x2 2. y � ex; y� � y � 0
3. y � c qualquer constante; y� � 2xy � x
4. y � Cekx, C qualquer constante; 
5. y � e�2x; y
 � y� � 2y � 0
6. y � C1ex � C2e2x; y
 � 3y� � 2y � 0
7. y � C1e�2x � C2xe�2x; y
 � 4y� � 4y � 0
8. y � C1 � C2x1/3; 3xy
 � 2y� � 0
9. x2y
 � 3xy� � y � 0
10. y � C1ex � C2 xex � C3 x2ex; y� � 3y
 � 3y� � y � 0
11. y � C � Ae�kt, A e C constantes; � k C � y
12. y � A e C constantes; � ky C � y
Nos exercícios 13 a 18 , verifique se y é uma solução geral da
equação diferencial. Em seguida, encontre uma solução parti-
cular da equação diferencial que satisfaça a condição ao lado.
13. y � Cx2 � 2x; y� � � 2; y 1 � 10
14. ; y� � �2xy; y 0 � y0
15. y � y� � y 1 � 1
16. y � Ce2x � 2x � 1; y� � 2y � 4x � 0; y 0 � 3
17. y � y� � y 1 �
18. y � C1x3 � C2x2; x2y
 � 4xy� � 6y � 0; y 2 � 0 e 
y� 2 � 4
19. Decaimento Radioativo A substância radioativa decai a uma
taxa diretamente proporcional à quantidade presente. Se
a substância está presente na quantidade de Q0 g inicial-
mente (t � 0), encontre a quantidade presente em qual-
quer instante t. Formule, mas não resolva o problema em
termos de uma equação diferencial com uma condição ao
lado.
20. Oferta e Demanda Seja S(t) o fornecimento de uma deter-
minada mercadoria em função do tempo t. Suponhamos
que a taxa de variação da oferta é proporcional à dife-
rença entre a demanda D(t) e a oferta. Encontre uma
equação diferencial que descreva essa situação.
21. Investimento Líquido A administração de uma empresa de-
cidiu que o nível do seu investimento não deve exceder C
dólares. Além disso, a administração decidiu que a taxa
de investimento líquido (a taxa de variação do capital
total investido) deve ser proporcional à diferença entre C
e o capital total investido. Formule, mas não resolva o
problema em termos de uma equação diferencial.
22. Lei da Absorção de Lambert A Lei da Absorção de Lambert
indica que a porcentagem de luz incidente, L, absorvida
21 21
�
1
2
e21a 1 � x
x
b y � ex;Cex
x
�
1
2
xex;
21
21a 1
x
b y � 0;C
x
;
21y � Ce�x2
212 a y
x
b
21dy
dt
C
1 � Ae�Ckt
,
21dy
dt
y �
C1
x
� C2
ln x
x
;
dy
dx
� ky
1
2
� ce�x
2
,
636 Matemática Aplicada a Administração e Economia
2. A população de uma determinada espécie cresce a uma
taxa diretamente proporcional à raiz quadrada de seu ta-
manho. Se a população inicial é N0, encontre a população
no instante t. Formule, mas não resolva o problema.
As soluções dos Testes de Conhecimento 9.1 podem ser en-
contradas na página 638
1. Defina os seguintes termos em suas próprias palavras.
a. Uma equação diferencial.
b. A solução geral de uma equação diferencial.
c. Uma solução particular de uma equação diferencial.
2. Dê uma equação diferencial que descreva a situação:
a. O tamanho de uma população em qualquer instante
t, Q(t), aumenta a uma velocidade que é proporcio-
nal a Q(t).
b. O tamanho de uma população em qualquer instante t,
Q(t), que não exceda um número C, e a taxa de cres-
cimento de Q(t) é proporcional à diferença entre seu li-
mite superior e seu tamanho atual.
3. a. A equação da Questão 2(a) descreve crescimento res-
trito ou irrestrito?
b. A equação da Questão 2(b) descreve crescimento res-
trito ou irrestrito?
4. Dado um problema típico de mistura, em que A(t) indica
a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t, a
que condição a derivada dA/dt, a taxa de variação da
quantidade de sal no instante t, deve satisfazer?
9.1 Questões Conceituais
9.1 Exercícios
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 636
que passa através de uma fina camada de material, x, é
proporcional à espessura do material. Se, para um deter-
minado material, x0 polegada do material reduz a luz à
metade de sua intensidade, quanto de material adicional
é necessário para reduzir a intensidade para um quarto do
seu valor inicial? Formule, mas não resolva, o problema
em termos de uma equação diferencial com uma condi-
ção ao lado.
23. Concentração de uma Droga na Corrente Sanguínea A taxa em
que a concentração de uma droga no sangue diminui é
proporcional à concentração no instante t. Inicialmente,
a concentraçãoda droga na corrente sanguínea é C0
g/mL. Qual é a concentração da droga na corrente san-
guínea em qualquer instante t? Formule, mas não resolva,
o problema em termos de uma equação diferencial com
uma condição ao lado.
24. Quantidade de Glicose na Corrente Sanguínea Suponhamos que
seja injetada glicose na corrente sanguínea a uma taxa
constante de C g/min e, ao mesmo tempo, a glicose seja
convertida e removida da corrente sanguínea a uma taxa
proporcional à quantidade dela presente. Mostre que a
quantidade de glicose A(t) presente na corrente sanguí-
nea, em qualquer instante t, é governada pela equação di-
ferencial
A� � C � kA
onde k é uma constante.
25. Lei de Resfriamento de Newton A Lei de Resfriamento de
Newton indica que a temperatura de um corpo cai a uma
taxa que é proporcional à diferença entre a temperatura y
do corpo e a temperatura constante de C do ambiente ao
redor. (Supondo que a temperatura do corpo é inicial-
mente maior do que C.) Mostre que a Lei de Resfria-
mento de Newton pode ser expressa como a equação
diferencial
onde y0 indica a temperatura do corpo antes da imersão no
meio.
26. A Lei de Fick Suponha que uma célula de volume V cm3 é
cercada por uma solução homogênea de concentração
química C g/cm3, y denota a concentração do soluto no
interior da célula em qualquer instante t e suponha que,
inicialmente, a concentração é y0. A Lei de Fick, nomeada
em homenagem ao fisiologista alemão Adolf Fick (1829-
1901), afirma que a taxa de variação da concentração do
soluto no interior da célula, em qualquer instante t, é pro-
porcional à diferença entre a concentração do soluto no
exterior da célula e a concentração no interior da célula,
e inversamente proporcional ao volume da célula. Mos-
tre que a Lei de Fick pode ser expressa como a equação
diferencial
onde k é uma constante. (Observação: A constante de
proporcionalidade k depende da área e da permeabilidade
da membrana da célula.)
27. Leis Alométricas Alometria é o estudo do crescimento rela-
tivo de uma parte de um organismo em relação ao cres-
cimento do organismo inteiro. Supondo que x(t)
representa o peso de um órgão de um animal no instante
t e t(t) indica o tamanho de outro órgão no mesmo ani-
mal, no mesmo instante t. Uma lei alométrica estabelece
que a taxa de crescimento relativo de um órgão, (dx/dt)/x,
é proporcional à taxa de crescimento relativa do outro,
(dy/dt)/y. Mostre que essa lei alométrica pode ser ex-
pressa em termos da equação diferencial
onde k é uma constante.
28. Curva de Crescimento de Gompertz Suponha que uma quanti-
dade Q(t) não exceda um número C, isto é, Q(t) � C em
todos os instantes t. Suponha, além disso, que a taxa de
crescimento de Q(t) é proporcional conjuntamente a sua
dimensão atual e a diferença entre C e o logaritmo natu-
ral de seu tamanho atual. Qual é o tamanho da quanti-
dade Q(t), em qualquer instante t? Mostre que a fórmula
matemática do problema conduz à equação diferencial
onde Q0 indica o tamanho da quantidade inicialmente pre-
sente. O gráfico de Q(t) é chamado de curva de cresci-
mento de Gompertz. Esse modelo, tal como os que
conduzem à curva de aprendizagem e à curva de logís-
tica, descreve o crescimento restrito.
Nos exercícios 29 a 32, determine se a afirmação é verdadeira
ou falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Se for falsa, expli-
que o motivo, ou dê um exemplo para mostrar por que ela é
falsa.
29. A função f(x) � x2 � 2x � é uma solução da equação
diferencial xy� � y � 3x2 � 4x.
30. A funçãof(x) � � ce�x é uma solução da equação
diferencial y� � y � e3x.
31. A função f(x) � 2 � é uma solução da equação di-
ferencial y� � 3x2y � x2.
32. A função f(x) � 1 � cx�2 é uma solução da equação di-
ferencial xy� � 2y � 3.
ce�x
3
1
4
e3x
1
x
dQ
dt
� kQ1C � ln Q 2 Q10 2 � Q0
1
x
dx
dt
� k
1
y
dy
dt
dy
dt
�
k
V
1C � y 2 y10 2 � y0
dy
dt
� �k1y � C 2 y10 2 � y0
Equações Diferenciais 637
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 637
9.2 Separação de Variáveis
O Método de Separação de Variáveis
Equações diferenciais são classificadas de acordo com sua forma básica. A razão con-
vincente para essa classificação é que métodos diferentes são usados para resolver di-
ferentes tipos de equações.
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada da função des-
conhecida que aparece na equação. A equação diferencial pode ser classificada por sua
ordem. Por exemplo, as equações diferenciais
y� � xex e y� � 2y � x2
são equações de primeira ordem, ao passo que a equação diferencial
é uma equação de segunda ordem. Para o restante deste capítulo, restringimos o nosso
estudo a equações diferenciais de primeira ordem.
Nesta seção, descrevemos um método para a resolução de uma importante classe de
equações diferenciais de primeira ordem: as que podem ser escritas na forma
em que f(x) é uma função de x e apenas t(y) é uma função de y apenas. Referimo-nos
a essas equações como equações diferenciais separáveis porque as variáveis podem
ser separadas. As Equações de (1) a (5) são equações diferenciais separáveis de primeira
ordem. Por exemplo, a Equação (3)
tem a forma dQ>dt � f(t)t(Q), em que f(t) � k e t(Q) � Q(C � Q), por isso é separá-
vel. Por outro lado, a equação diferencial
não é separável.
Equações de primeira ordem separáveis podem ser resolvidas por meio da utiliza-
ção do método de separação de variáveis.
dy
dx
� xy2 � 2
dQ
dt
� kQ1C � Q 2
dy
dx
� f 1x 2t1y 2
d 2y
dt 2
� a dy
dt
b 3 � ty � 8 � 0
638 Matemática Aplicada a Administração e Economia
9.1 Soluções dos Testes de Conhecimento
1. a. Calculamos
Substituindo esse valor de y� no lado esquerdo da
equação diferencial dada, temos
que equivale à expressão do lado direito da equação
diferencial, e isso verifica a afirmação.
b. Usando a condição dada, temos
e a solução particular necessária é
2. N representa o tamanho da população em qualquer ins-
tante t. Depois a equação diferencial necessária é
e a condição inicial é N(0) � N0.
dN
dt
� kN 1/2
y � x 2 �
3
x 2
4 � 12 �
c
12
ou c � 3
� 2x 2 �
2c
x 2
� 2x 2 �
2c
x 2
� 4x 2
x a2x � 2c
x 3
b � 2 a x 2 � c
x 2
b
y¿ � 2x �
2c
x 3
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 638
Equações Diferenciais 639
Método de Separação de Variáveis
Suponha que nos é dada uma equação diferencial separável de primeira ordem na
forma
(6)
Passo 1 Escreva a Equação (6) na forma
(7)
Quando escritas dessa forma, as variáveis em (7) são ditas que são sepa-
radas.
Passo 2 Integrar cada lado da Equação (7) de acordo com a variável apropriada.
dy
t1y 2 � f 1x 2 dx
dy
dx
� f 1x 2t1y 2
Vamos justificar esse método no final desta seção.
Resolução de Equações Diferenciais Separáveis
EXEMPLO 1 Encontre a solução geral da equação diferencial .
Solução
Passo 1 Uma vez que a equação diferencial tem a forma
em que f(x) � 1>x e t(y) � y, é separável. Separando as variáveis, obtemos
Passo 2 Integrando cada lado da última equação em relação à variável apropriada,
temos
ou
em que e são constantes arbitrárias. Se escolhermos C tal que
, então
ln A � ln B � ln AB
Assim, a solução geral é y � Cx.
EXEMPLO 2 Encontre a solução geral da equação diferencial
Solução
Passo 1 Observa-se que a equação diferencial tem a forma
y¿ �
xy
x 2 � 1
� ln 1 0 C 0 0 x 0 2 � ln 0 Cx 0ln 0 y 0 � ln 0 x 0 � ln 0 C 0
C2 � C1 � ln 0 C 0C2C1
ln 0 y 0 � C1 � ln 0 x 0 � C2
�dyy ��
dx
x
dy
y
�
dx
x
dy
dx
�
1
x
# y � f 1x 2t1 y 2
dy
dx
�
y
x
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 639
em que f(x) � x>(x2 � 1) e t(y) � y, e é , por conseguinte, separável. Separando
as variáveis , obtemos
Passo 2 Integrando cada lado da última equação com base navariável apropriada, temos
ou
em que C1 e C2 são constantes arbitrárias de integração. Se escolhermos C tal
que C2 � C1 � então temos
ln A � ln B � ln AB
de modo que a solução geral é
y � C2x 2 � 1
� ln 0 C2x 2 � 1 0� ln2x
2 � 1 � ln 0 C 0
ln 0 y 0 � 1
2
ln1x 2 � 1 2 � ln 0 C 0
ln 0 C 0 ,
ln 0 y 0 � 1
2
ln1x 2 � 1 2 � C2 � C1
ln 0 y 0 � C1 � 12 ln1x 2 � 1 2 � C2
�dyy ��
x
x 2 � 1
dx
dy
y
� a x
x 2 � 1
b dx
dy
dx
� a x
x 2 � 1
b y � f 1x 2t1y 2
640 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Explorando com
TECNOLOGIA
Consulte o Exemplo 2, em que foi demonstrado que a solução geral da equação
diferencial dada é Use uma ferramenta gráfica para traçar osy � C2x2 � 1.
gráficos dos membros desta família de soluções correspondentes a C � �3, �2,
�1, 0, 1, 2 e 3. Use a janela de visualização padrão.
EXEMPLO 3 Encontre a solução particular da equação diferencial
yex � y2 � 1 y� � 0
que satisfaça a condição y(0) � 1.
Solução
Passo 1 Escrevendo a equação diferencial dada sob a forma
e separando as variáveis , obtemos
y2 � 1
y
dy � �ex dx
yex � 1y2 � 1 2 dy
dx
� 0 ou 1y2 � 1 2 dy
dx
� �yex
21
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 640
Passo 2 Integrando cada lado dessa equação em relação à variável apropriada, temos
C � 2C1
Usando a condição y(0) � 1, temos
1 � ln 1 � �2 � C ou C � 3
Portanto, a solução necessária é
y2 � ln y2 � �2ex � 3
O Exemplo 3 é um problema de valor inicial. Em geral, um problema de valor ini-
cial consiste de uma equação diferencial com uma ou mais condições laterais especifi-
cadas em um ponto. Além disso, observa-se que a solução do Exemplo 3 apareceu como
uma equação implícita que envolve x e y. Isso geralmente acontece quando resolvemos
equações diferenciais separáveis.
EXEMPLO 4 Encontre uma equação que satisfaça as seguintes condições: (1) o de-
clive da linha tangente à curva da equação em qualquer ponto P(x, y) é dado por �x>(2y)
e (2) o gráfico da equação passa pelo ponto P(1, 2).
Solução A inclinação da linha tangente a qualquer ponto P(x, y) no gráfico da equa-
ção é dada por
que é uma equação diferencial separável. Separando as variáveis , obtemos
2y dy � �x dx
que, após a integração, produz
ou
C � 2C1
em que C é uma constante arbitrária.
Para avaliar C, usamos a segunda condição, que implica que quando x � 1, y � 2.
Isto dá
12 � 2 22 � C ou C � 9
Por isso, a equação necessária é
x2 � 2y2 � 9
O gráfico dessa equação aparece na Figura 6.
21
x 2 � 2y2 � C
y2 � �
1
2
x 2 � C1
y¿ �
dy
dx
� �
x
2y
y2 � ln y2 � �2ex � C
1
2
y2 � ln 0 y 0 � �ex � C1
� a y � 1y b dy � ��ex dx
� y
2 � 1
y
dy � ��ex dx
Equações Diferenciais 641
y
x
3–3
–1
–3
3
1
(1, 2)
FIGURA 6 
O gráfico de x2 � 2y2 � 9.
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 641
Justificação do Método de Separação de Variáveis
Vamos considerar a equação separável (6), em sua forma geral:
Se t(y) 
 0, podemos reescrever a equação na forma
Agora, suponha que G é uma antiderivada de 1>t e F é uma antiderivada de f. Utilizando
a regra da cadeia, vemos que
Portanto,
assim
C, uma constante
Mas a última equação é equivalente a
que é precisamente o resultado do Passo 2 do método de separação de variáveis .
G1y 2 � F1x 2 � C ou � dyt1y 2 �� f 1x 2 dx
G1y 2 � F1x 2 � C
d
dx
3G1y 2 � F1x 2 4 � 0
d
dx
3G1y 2 � F1x 2 4 � G¿ 1y 2 dy
dx
� F¿ 1x 2 � 1t1y 2 dydx � f 1x 2
1
t1y 2 dydx � f 1x 2 � 0
dy
dx
� f 1x 2t1y 2
642 Matemática Aplicada a Administração e Economia
9.2 Teste de Conhecimento
Encontre a solução da equação diferencial y� � 2x2y � 2x2
que satisfaça a condição y(0) � 0.
A solução do Teste de Conhecimento da seção 9.2 pode ser en-
contrada na página 644.
1. a. Qual é a ordem de uma equação diferencial? Dê um
exemplo.
b. O que é uma equação separável? Dê um exemplo de
uma equação diferencial que é separável e uma que
não é separável.
2. Explique como você poderia resolver uma equação sepa-
rável.
3. O que é um problema de valor inicial?
9.2 Questões Conceituais
9.2 Exercícios
Nos exercícios 1 a 16, resolva as equações diferenciais de pri-
meira ordem separando as variáveis .
1. 2.
3. 4.
5. y� � 2y 6. y� � 2 y � 1
7. y� � xy2 8.
9. y� � �2 3y � 4 10.
11. 12.
13. 14. y¿ �
xy2
21 � x 2y¿ � B
y
x
y¿ �
xex
2y
y¿ �
x 2 � 1
3y2
y¿ �
2y � 3
x 2
21
y¿ �
2y
x � 1
21
y¿ � �
x
y
y¿ �
ex
y2
y¿ �
x 2
y
y¿ �
x � 1
y2
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 642
15. 16.
Nos exercícios 17 a 28, encontre a solução do problema de va-
lor inicial.
17. 18. y� � xe�y; y 0 � 1
19. y� � 2 � y; y 0 � 3 20.
21. y� � 3xy � 2x; y 0 � 1 22.
23. 24. y� � x2y�1/2; y 1 � 1
25. y� � xyex; y 1 � 1 26. y� � 2xe�y; y 0 � 1
27. y� � 3x2e�y; y 0 � 1 28.
29. Encontre uma função f, dado que (1) o declive da linha
tangente para o gráfico de f em qualquer ponto P(x, y) é
dado por dy>dx � (3x2)>(2y) e (2) o gráfico de f passa
pelo ponto (1, 3).
30. Encontre uma função f, dado que (1) a inclinação da linha
tangente para o gráfico de f em qualquer ponto P(x, y) é
dado por dy/ dx �3xy e (2) o gráfico de f passa pelo ponto
(0, 2).
31. Decomposição Exponencial Use a separação de variáveis para
resolver a equação diferencial
onde k e Q0 são constantes positivas, descrevendo de-
composição exponencial.
32. A Lei de Fick Consulte o Exercício 26, Seção 9.1. Use a se-
paração de variáveis para resolver a equação diferencial
onde k, V, C e y0 são constantes com C � y � 0. Encon-
tre e interprete o seu resultado.
33. Concentração de Glicose na Corrente Sanguínea Consulte o
Exercício 24, Seção 9.1. Use a separação de variáveis 
para resolver a equação diferencial A� � C – kA , onde C
e k são constantes positivas.
Dica: Reescreva a equação diferencial dada sob a forma
34. Leis Alométricas Consulte o Exercício 27, Seção 9.1. Use a
separação de variáveis para resolver a equação diferencial
onde k é uma constante.
35. Oferta e Demanda Suponha que a taxa de mudança da oferta
de uma mercadoria é proporcional à diferença entre a de-
manda e a oferta, de modo que
onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha-
-se que D é constante e S(0) � S0. Encontre uma fórmula
para S(t).
36. Oferta e Demanda Suponha que a taxa de mudança do preço
unitário de uma mercadoria é proporcional à diferença
entre a oferta e a demanda, de modo que
onde k é uma constante de proporcionalidade. Suponha-
-se que D � 50 � 2p, S � 5 � 3p e p(0) � 4. Encontre
uma fórmula para p(t).
37. Investimento Líquido Consulte o Exercício 21, Seção 9.1.
A administração de uma empresa decidiu que o nível de
seu investimento não deve exceder C dólares. Além disso,
a administração decidiu que a taxa de investimento lí-
quido (a taxa de variação do capital total investido) deve
ser proporcional à diferença entre C e o capital investido.
Formule e resolva a equação diferencial.
38. Elasticidade da Demanda Lembre-se da Seção 3.4 que se x �
f(p) é uma equação de demanda, então a elasticidade da
demanda em preço p é dada por
Encontre todas as funções de demanda que têm unidade
de elasticidade.
Dica: Resolva a equação diferencial .
Nos exercícios 39 a 46, determine se a afirmação é verdadeira ou
falsa. Se for verdadeira, explique por quê. Se for falsa, explique o
motivo, ou dê um exemplo para mostrar por que ela é falsa.
39. Se y � f(x) é uma solução de uma equação diferencial de
primeira ordem, então y � Cf (x) é também uma solução.
40. Se y � f(x) é uma solução de uma equação diferencial de
primeira ordem, então y � f(x) � C também é uma solu-
ção.
41. A equação diferencial y� � xy � 2x � y � 2 é separável.
42. A equação diferencial y� �x2 � y2 é separável.
43. Se a equação diferenciável M(x, y) dx � N(x, y) dy � 0
pode ser escrita de modo que M(x, y) � f(x)t(y) e N(x, y)
� F(x)G(y) para as funções f, t, F e G, então é separável.
44. A equação diferencial (x2 � 2) dx � (2x � 4xy) dy � 0
é separável.
�
p
dx
dp
x
� 1
E1p 2 � �pf ¿ 1p 2
f 1p 2
dp
dt
� k1D � S 2
dS
dt
� k1D � S 2
1
x
dx
dt
� k
1
y
dy
dt
dA
dt
� k aC
k
� A b
lim
tS�
y
dy
dt
�
k
V
1C � y 2 y10 2 � y0
dQ
dt
� �kQ Q10 2 � Q0
y¿ �
y2
x � 2
; y13 2 � 121
2121
21y¿ � xy
x 2 � 1
; y10 2 � 1
y¿ � xex2y; y10 2 � 121
y¿ �
y
x
; y11 2 � 121
21y¿ � 2x
y
; y11 2 � �2
y¿ �
1x � 4 2y4
x 31y2 � 3 2y¿ � y ln xx
Equações Diferenciais 643
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 643
9.3 Aplicações das Equações Diferenciais Separáveis
Nesta seção, veremos algumas aplicações das equações de primeira ordem diferenciais
separáveis. Começamos por rever algumas das aplicações discutidas na Seção 9.1.
Modelos Irrestritos de Crescimento
A equação diferencial que descreve um modelo de crescimento irrestrito é dada por
em que Q(t) representa o tamanho de certa população no tempo t e k é uma constante
positiva. Separando as variáveis nessa equação diferencial e integrando, temos
C2 � eC1
C � 	C2
Assim, podemos escrever a solução como
Q t � Cekt
Observe que, se a quantidade presente inicialmente é denotada por Q0, então Q(0) � Q0.
Essa condição produz a seguinte equação
Ce0 � Q0 ou C � Q0
Portanto, o modelo de crescimento exponencial irrestrito com população inicial Q0 é dada
por
Q t � Q0ekt (8)
(Figura 7).
1 2
1 2
Q � Cekt
ƒQ ƒ � ekt�C1 � C2ekt
ln 0 Q 0 � kt � C1
�dQQ ��k dt
dQ
dt
� kQ
644 Matemática Aplicada a Administração e Economia
45. A equação diferencial y dx � (y � xy2) dy � 0 é sepa-
rável.
46. A equação diferencial é separável.dy
dx
�
f 1x 2t1y 2
F1x 2 � G1y 2
Escrevendo a equação diferencial na forma
e separando as variáveis , obtemos
Integrando cada lado da última equação em relação a variável
apropriada, temos
C2 � eC1
C � 	C2
Usando a condição inicial y(0) � 0, temos
0 � �1 � C ou C � 1
assim
� dyy � 1 ��2x2 dx ou ln 0 y � 1 0 � 23 x3 � C1
y � e12/32x3 � 1
y � �1 � Ce 12/32x3
y � 1 � Ce 12/32x3
ƒ y � 1 ƒ � e 12/32x3�C1 � C2e 12/32x3
dy
y � 1
� 2x 2 dx
dy
dx
� 2x 21y � 1 2
9.2 Solução dos Teste de Conhecimento
y
t
Q0
Q(t) = Q0ekt
FIGURA 7 
Um modelo de crescimento irrestrito
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 644
EXEMPLO APLICADO 1 Crescimento de Bactérias Em condições laboratoriais
ideais, a taxa de crescimento de bactérias em uma cultura é proporcional ao ta-
manho da cultura em qualquer instante t. Suponhamos que 10.000 bactérias estão
presentes inicialmente em uma cultura, e 60.000 estão presentes duas horas mais
tarde. Quantas bactérias haverá na cultura após quatro horas?
Solução Sendo Q(t) o número de bactérias presentes na cultura no tempo t, em que
t é medido em horas, então
onde k é uma constante de proporcionalidade. Resolvendo essa equação separável di-
ferencial de primeira ordem, obtemos
Q t � Q0ekt Equação (8)
onde Q0 indica a população inicial de bactérias. Como Q0 � 10,000, temos
Q t � 10,000ekt
Em seguida, a condição de 60.000 bactérias presentes duas horas mais tarde se traduz
em 
Assim, o número de bactérias presentes em qualquer momento t é dado por
Em particular, o número de bactérias presentes na cultura, no final de quatro horas, é
dado por
Modelos de Crescimento Restrito
Na Seção 9.1, vemos que uma equação diferencial que descreve um modelo de cresci-
mento restrito é dado por
(9)
onde ambos k e C são constantes positivas. Para resolver essa equação diferencial se-
parável de primeira ordem, primeiro separamos as variáveis e em seguida integramos,
obtendo
C1, uma constante arbitrária (10)
C2 � e�C1
A � 	C2
Essa é a equação da curva de aprendizagem (Figura 8) estudada no Capítulo 5.
C � Q � Ae�kt
ƒC � Q ƒ � e�kt�C1 � e�kte�C1 � C2e�kt
ln 0 C � Q 0 � �kt � C1�ln 0 C � Q 0 � kt � C1
� dQC � Q ��k dt
dQ
dt
� k1C � Q 2
� 360 000
Q14 2 � 10 000164/2 2
� 110 000 26t/2Q1t 2 � 10 000e
kt � 10 0001ek 2 t
ek � 61/2
e2k � 6
60 000 � 10 000e2k
21
21
dQ
dt
� kQ
Equações Diferenciais 645
y
t
C – A
Q(t) = C – Ae–kt
y = C
FIGURA 8 
Um modelo restrito de crescimento 
exponencial.
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 645
EXEMPLO APLICADO 2 Rendimento de um Campo de Trigo Em um experimento
realizado por pesquisadores do Departamento de Agricultura de uma universi-
dade do Meio-Oeste, verificou-se que o rendimento máximo do trigo em uma esta-
ção de campo experimental da Universidade foi de 150 sacos por hectare. Além disso,
os pesquisadores descobriram que a velocidade de rendimento do trigo era regulada
pela equação diferencial
onde Q(x) denota o rendimento em alqueires por acre e x é a quantidade em libras de
um fertilizante experimental utilizado por acre de terra. Os dados obtidos na expe-
riência indicaram que 10 libras de fertilizante por acre de terra resultam em um ren-
dimento de 80 sacos de trigo por hectare, enquanto 20 libras de fertilizante por hec-
tare de terra resultam em um rendimento de 120 sacos de trigo por hectare. Determine
o rendimento se forem utilizadas 30 libras de fertilizante por hectare.
Solução A equação diferencial dada tem a mesma forma que a Equação (9), com 
C � 150. Ao resolvê-la diretamente ou usar o resultado obtido na solução da Equa-
ção (9), vemos que o rendimento por hectare é dado por
Q x � 150 � Ae�kx
A primeira condição implica que Q(10) � 80, isto é,
150 � Ae�10k � 80
ou A � 70e10k. Portanto,
A segunda condição implica que Q(20) � 120, ou
Tomando o logaritmo de cada lado da equação, encontramos
Portanto,
Q x � 150 � 70e�0,0851x�102
Em particular, quando x � 30, temos
Assim, o rendimento seria 137 sacos por hectare, se fossem utilizadas 30 libras de fer-
tilizante por hectare. O gráfico de Q é mostrado na Figura 9.
� 137
� 150 � 70e�1,7
Q130 2 � 150 � 70e�0,0851202
21
k � 0,085
�10k � ln 3 � ln 7 � �0,8473
ln e�10k � ln a 3
7
b
e�10k �
3
7
70e�10k � 30
150 � 70e�k120�102 � 120
� 150 � 70e�k1x�102
Q1x 2 � 150 � 70e10ke�kx
21
dQ
dx
� k1150 � Q 2
646 Matemática Aplicada a Administração e Economia
y
x
10 20 30 40
y = 150
150
100
50 Q(x) = 150 – 70e
–0,085(x – 10)
FIGURA 9 
Q é uma função que relaciona o rendimento
das culturas à quantidade de fertilizante
utilizado. 
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:55 PM Page 646
Em seguida, vamos considerar uma equação diferencial que descreve outro tipo de
crescimento restrito:
onde k e C são constantes positivas. Separando as variáveis e integrando cada lado da
equação resultante em relação à variável apropriada, temos
Tal como está, o integrando no lado esquerdo dessa equação não está de uma forma que
possa ser facilmente integrado. No entanto, observa-se que
como você pode verificar pela soma dos termos entre os colchetes no lado direito. Fa-
zendo uso dessa identidade, temos
b, uma constante arbitrária
B � 	eb
e
ou
A � (11)
(veja a Figura 2, página 632). Na sua forma final, essa função é equivalente à função
logística encontrada no Capítulo 5.
EXEMPLO APLICADO 3 Propagação de uma Epidemia de Gripe Durante uma epide-
mia de gripe, 5% dos 5.000 soldados do exército em Fort MacArthur havia con-
traído influenza no tempo t � 0. Além disso, a velocidade com que eles contraíram
influenza foi conjuntamente proporcional ao número de oficiais que já tinham contraído
a doença e à população não infectada. Se 20% dos oficiais havia contraído gripe até o dia
10, encontre o número de oficiais que contraíram gripeaté o dia 13.
Solução Sendo Q(t) o número de oficiais do exército que tinham contraído gripe
após t dias, então
1
B
Q1t 2 � C
1 � Ae�Ckt
Q �
CBeCkt
1 � BeCkt
11 � BeCkt 2Q � CBeCktQ � CBe
Ckt � QBeCkt
Q
C � Q
� BeCkt
` Q
C � Q
` � eCkt�b � ebeCkt
ln ` Q
C � Q
` � Ckt � b
ln 0 Q 0 � ln 0 C � Q 0 � Ckt � b�
dQ
Q
� � dQC � Q � Ck�dt
� 1C c 1Q � 1C � Q ddQ ��k dt
1
Q1C � Q 2 � 1C c 1Q � 1C � Q d
� 1Q1C � Q 2 dQ ��k dt
dQ
dt
� kQ1C � Q 2
Equações Diferenciais 647
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 647
Podemos resolver diretamente essa equação diferencial separável ou usar o resultado
para o problema mais geral obtido anteriormente. Optando por este último, utilizamos
a Equação (11) com C � 5.000 para obter
A condição de que 5% da população tinha contraído gripe no tempo t � 0 implica que
com base no qual podemos ver que A � 19. Portanto,
Em seguida, a condição de que 20% da população tinha contraído gripe no 10o dia im-
plica que
ou
e
Portanto,
Em particular, o número de oficiais do exército que tinham contraído gripe até o 13o
dia é dado por
ou cerca de 29%. O gráfico de Q é mostrado na Figura 10.
Q113 2 � 5 000
1 � 19e�0,1561132 �
5 000
1 � 19e�2,028
� 1 428
Q1t 2 � 5 000
1 � 19e�0,156t
� 0,0000312
k � �
1
50 000
1ln 4 � ln 19 2
�50 000k � ln 4 � ln 19
e�50 000k �
4
19
1 � 19e�50 000k � 5
Q110 2 � 5 000
1 � 19e�50 000k
� 1 000
Q1t 2 � 5 000
1 � 19e�5 000kt
Q10 2 � 5 000
1 � A
� 250
Q1t 2 � 5 000
1 � Ae�5 000kt
dQ
dt
� kQ15 000 � Q 2
648 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 648
EXEMPLO APLICADO 4 Lei de Weber-Fechner Derive a lei de Weber-Fechner ao
descrever a relação entre um estímulo S e a resposta resultante R, resolvendo
a equação diferencial (4) sujeita à condição R � 0 quando S � S0, onde S0 é o nível
do limiar.
Solução A equação diferencial
é separável. Separando as variáveis , temos
Integrando ambos os lados da equação, temos
em que C é uma constante arbitrária. Usando a condição de R � 0 quando S � S0,
temos
Substituindo esse valor de C na expressão para R, encontramos
a relação necessária entre R e S. O gráfico de R é mostrado na Figura 11.
� k ln
S
S0
R � k ln S � k ln S0
C � �k ln S0
0 � k ln S0 � C
R � k ln S � C
�dR � k�dSS
dR � k
dS
S
dR
dS
�
k
S
Equações Diferenciais 649
FIGURA 10 
Um modelo de epidemia.
y
t
y = 5 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
10 20 30 40
Q(t) = 1 + 19e–0,156t
5 000
Explore e Discuta
Considere o modelo de crescimento restrito descrito pela equação diferencial
dQ>dt � kQ(C � Q) com a solução dada pela Equação (11).
1. Mostre que a taxa de crescimento de Q é maior em t � (ln A)>(kC).
Dica: Use a equação diferencial e a Equação (11).
2. Consulte o Exemplo 4. Em qual momento o número de casos de gripe está aumentando na
maior taxa?
y
S
S0
R = k ln 
S0
S
FIGURA 11 
A Lei de Weber–Fechner.
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 649
EXEMPLO APLICADO 5 Um Problema de Mistura Um tanque contém inicial-
mente dez galões de água pura. Uma salmoura contendo 3 libras de sal por
galão de água entra no tanque a uma taxa de 2 galões por minuto e a solução, bem
misturada, sai do tanque com a mesma taxa. Quanto sal está presente ao final de 10
minutos? Quanto sal está presente em longo prazo?
Solução O problema foi formulado matematicamente na página 633 e fomos leva-
dos para a equação diferencial
sujeita à condição A (0) � 0. Separando as variáveis , temos
Em seguida, integramos ambos os lados da última equação para obter
b, uma constante
10 � A � 302
C � e�b
A condição A(0) � 0 implica que
0 � 30 � C
dando C � 30, então
A t � 30 1 � e�t/5
A quantidade de sal presente depois de dez minutos é
A 10 � 30 1 � e�2 � 25,94
ou 25,94 libras. A quantidade de sal presente no longo prazo é
ou 30 libras (Figura 12).
EXEMPLO APLICADO 6 Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de
Newton indica que a temperatura de um objeto cai a uma velocidade proporcio-
nal à diferença entre a temperatura do objeto e a do ambiete em volta. Suponha
que uma torta de maçã é retirada do forno a uma temperatura de 200 °F e é colocada
no balcão de uma sala, onde a temperatura é de 70 °F. Se a temperatura da torta de maçã
é de 150 °F após cinco minutos, encontre sua temperatura y(t) em função do tempo t.
Qual será a temperatura da torta dez minutos após ser retirada do forno?
Solução Assuma que y indica a temperatura da torta de maçã. Uma vez que a tem-
peratura da torta cai a uma velocidade proporcional à diferença entre a temperatura
da torta e a temperatura da sala, vemos que y satisfaz a equação diferencial
dy
dt
� �k1y � 70 2
lim
tS�
A1t 2 � lim
tS�
3011 � e�t/5 2 � 30
2121
2121
A � 30 � Ce�t/5
30 � A � e�be�t/5
ln 0 30 � A 0 � � 1
5
t � b
�ln 0 30 � A 0 � 1
5
t � b
� dA30 � A ��
1
5
dt
dA
30 � A
�
1
5
dt
dA
dt
� 6 �
A
5
�
30 � A
5
650 Matemática Aplicada a Administração e Economia
y
t
5 10 15 20
y = 30
30
20
10
A(t) = 30(1 – e–t/5)
FIGURA 12 
A solução da equação diferencial
dA
dt
� 6 �
A
5
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 650
onde o número positivo k é uma constante de proporcionalidade. Para resolver a equa-
ção diferencial, separamos as variáveis e integramos, obtendo
d, uma constante arbitrária
A � ed, y � 70
A condição em que a torta está a 200 °F quando é retirada do forno se traduz na con-
dição inicial y(0) � 200. Usando essa condição, temos
ou A � 130. Portanto,
Para determinar o valor de k, utilizamos o fato de que y(5) � 150, obtendo
Portanto,
A temperatura da torta dez minutos após ter sido retirada do forno é
ou cerca de 119,3 °F.
y110 2 � 70 � 130e�0,0971102 � 119,28
y1t 2 � 70 � 130e�0,097t
� 0,097
k � �
1
5
ln
80
130
�5k � ln
80
130
e�5k �
80
130
130e�5k � 80
150 � 70 � 130e�5k
y � 70 � 130e�kt
200 � 70 � Ae0 � 70 � A
y � 70 � Ae�kt
y � 70 � e�kt�d � Ae�kt
ln 0 y � 70 0 � �kt � d
� dyy � 70 ���k dt
Equações Diferenciais 651
Suponha que o dinheiro depositado em um banco cresce a uma
velocidade que é proporcional à quantidade acumulada. Se o
montante em depósito inicialmente é P dólares, encontre uma
expressão para a quantidade acumulada A após t anos. Re-
concilie o seu resultado com a fórmula de juros compostos
contínuos, A� Pert.
A solução do Teste de conhecimento 9.3 pode ser encontrada
na página 655.
9.3 Teste de Conhecimento
9.3 Questões conceituais
1. Considere a equação diferencial , que
descreve o crescimento irrestrito. Suponha que 
Q(0) � Q0 � 0.
a. O que a equação diz sobre a taxa de crescimento de Q
em relação a t? O que acontece com a taxa de cresci-
mento enquanto t se aproxima do infinito?
b. Relacione sua resposta do item (a) com a solução
Q(t) � Q0ekt da equação diferencial.
2. Considere a equação diferencial ,
descrevendo a relação entre um estímulo S e o resul-
tando de resposta R (lei de Weber-Fechner).
dR
dS
�
k
S
1k � 0 2
dQ
dt
� kQ 1k � 0 2
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 651
1. Decomposição Química A taxa de decomposição de uma de-
terminada substância química é diretamente proporcional
à quantidade presente em um instante t. Se y0 g do produto
químico está presente no tempo t � 0, encontre uma fór-
mula para exprimir a quantidade presente em qualquer
momento t.
2. Crescimento de Bactérias. Em condições ideais de laborató-
rio, a taxa de crescimento de bactérias em uma cultura é
proporcional ao seu tamanho em um instante t. Suponha-
-se que 2.000 bactérias estejam inicialmente presentes na
cultura e 5.000 delas 1 h mais tarde. Quantasbactérias
estarão presentes na cultura no final de 2 h?
3. Crescimento Populacional Mundial A população mundial no
início de 1980 era de 4,5 bilhões. Considerando-se que a
população continuou a crescer a uma taxa de cerca de 2%
ao ano, encontre a função Q que expressa a população
mundial (em bilhões) em função do tempo t (em anos).
Qual será a população mundial no início de 2015?
4. Crescimento Populacional A população de uma determinada
comunidade está aumentando a uma taxa diretamente
proporcional à população em um instante t. Nos últimos
três anos, a população duplicou. Quanto tempo vai de-
morar para que a população triplique?
5. Lei de Absorção de Lambert Segundo a lei de absorção de
Lambert, a porcentagem de luz incidente L absorvida na
passagem através de uma fina camada de material x é pro-
porcional à espessura do material. Se polegada de um
certo material reduz a luz para metade da sua intensidade,
quanto de material adicional será necessário para reduzir
a intensidade para um quarto do seu valor inicial?
6. Contas-Poupança Uma quantia em dinheiro depositada em
uma conta-poupança cresce a uma taxa proporcional à
quantidade nela presente (Pode-se mostrar que uma quan-
tidade de dinheiro cresce dessa forma ao render juros
compostos continuamente). Suponha que US$ 10.000
sejam depositados em uma conta que rende a uma taxa de
juros compostos continuamente de 4% ao ano.
a. Qual será o valor acumulado após cinco anos?
b. Quanto tempo levará para que o depósito original
dobre de valor?
7. Reações Químicas Em uma determinada reação química,
uma substância é convertida em outra a uma taxa pro-
porcional ao quadrado do valor da primeira substância
presente em um instante t. Inicialmente (t � 0), 50g da
primeira substância estavam presentes; uma hora mais
tarde, restaram apenas 10 g dela. Encontre uma fórmula
que forneça o valor da primeira substância presente em
qualquer momento t. Qual é o valor presente após 2h?
8. Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de New-
ton afirma que a taxa de mudança na temperatura de um
objeto é diretamente proporcional à diferença entre a tem-
peratura do objeto e o meio circundante. Uma ferradura
aquecida a uma temperatura de 100 °C é imersa num
grande tanque de água a uma temperatura (constante) de
30 °C no momento t � 0. Três minutos mais tarde, a tem-
peratura da ferradura é reduzida para 70 °C. Deduza uma
fórmula que forneça a temperatura da ferradura em qual-
quer momento t. Qual será a temperatura da ferradura 5
min depois de ter sido submersa em água?
9. Lei de Resfriamento de Newton A lei de resfriamento de New-
ton afirma que a taxa de mudança na temperatura de um
objeto é diretamente proporcional à diferença entre a tem-
peratura do objeto e a do ambiente circundante. Uma xí-
cara de café é preparada com água fervente (212 °F) e
deixada para esfriar no balcão de uma sala onde a tempe-
ratura é de 72 °F. Se a temperatura do café for de 140 °F
após 2 min, determine quando o café vai estar frio o sufi-
ciente para ser tomado (digamos, a 110 °F).
10. Decaimento Exponencial Um isótopo radioativo com uma
massa inicial de 100 mg decai a uma taxa que é propor-
cional à sua massa, a qual, cinco anos mais tarde, é de 60
mg. Encontre uma fórmula que forneça a quantidade do
isótopo restante em qualquer momento. Qual será a quan-
tidade remanescente após dez anos?
11. Decaimento Radioativo Se 4g de uma substância radioativa
está presente no tempo t � 1 (anos) e 1g está presente em
t � 6, qual era a quantidade inicial? Qual é a meia-vida
da substância?
Dica: Consulte o Exemplo 2, página 391.
12. Curvas de Aprendizagem O American Court Reporter Insti-
tute considera que um estudante comum, fazendo o curso
de estenografia elementar, progride a uma taxa dada por
em 20 semanas, onde Q(t) indica o número de palavras
do ditado que um estudante pode anotar por minuto, após
t semanas do curso. Se um aluno comum pode anotar 50
palavras do ditado por minuto, após dez semanas no
curso, quantas palavras por minuto um aluno comum
pode anotar após a conclusão do curso?
13. Treinamento de Pessoal O gerente de pessoal da Companhia
de Seguros Gibraltar estima que o número de pedidos de
seguros que um funcionário experiente pode processar
dQ
dt
� k180 � Q 2
1
2
652 Matemática Aplicada a Administração e Economia
a. O que você pode dizer sobre a taxa de variação de R
em relação a S? O que acontece com a taxa de mu-
dança quando S se aproxima do infinito?
b. Relacione suas respostas do item (a) com a solução 
da equação diferencial. Suponha que 
S(0) � S0 � 0.
R � k ln
S
S0
9.3 Exercícios
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 652
em um dia é de 40. Além disso, a taxa que um funcioná-
rio pode processar pedidos de seguros por dia durante a
semana t de treinamento é proporcional à diferença entre
o número máximo possível (40) e o número que pode ser
processado por dia, na semana t. Se o número médio de
pedidos que os estagiários podem processar após duas se-
manas no cargo é de 10/dia, determine quantos pedidos
um estagiário médio pode processar após seis semanas
no trabalho.
14. Efeito da Imigração no Crescimento Populacional Suponha que
a população de um país em um instante t cresça de acordo
com a fórmula 
em que P indica a população em qualquer instante t, k é
uma constante positiva que reflete a taxa de crescimento
natural da população e I é uma constante que fornece a
taxa (constante) de imigração no país. Se a população
total do país no momento t � 0 é P0, encontre uma fór-
mula para exprimir a população em qualquer instante t.
15. Efeito da Imigração no Crescimento Populacional Consulte o
Exercício 14. A população dos Estados Unidos no ano de
1980 (t � 0) era de 226,5 milhões. Suponha que a taxa de
crescimento natural seja de 0,8% ao ano (k � 0,008), a
imigração líquida seja permitida a uma taxa de 0,5 mi-
lhão de pessoas/ano (I � 0,5) e P0 � 226,5. Qual será a
população dos EUA em 2015?
16. Fundos de Retiradas O proprietário da loja de ferragens Car-
son decidiu participar de um fundo, com a finalidade de
comprar um servidor para a área de TI daqui a dois anos.
Estima-se que a compra custará US$ 30.000 e que o
fundo cresce a uma taxa de
onde A denota o valor do fundo em um instante t, r é a
taxa de juros anuais, compostos continuamente, de ren-
dimento do fundo, e P é o valor (em dólares) depositado
anualmente no fundo pelo proprietário (suponha que os
depósitos sejam realizados com frequência, em pequenas
quantias, ao longo do ano, de modo que sejam essencial-
mente contínuos). Se o fundo rende 5% de juros com-
postos continuamente ao ano, determine qual a quantia
que o proprietário deverá investir anualmente no fundo.
17. Propagação de um Rumor A taxa de propagação de um boato
através de uma aldeia alpina de 400 moradores é conjun-
tamente proporcional ao número de moradores que o ou-
viram e o número dos que não o ouviram. Inicialmente,
dez moradores ouviram o rumor, mas, dois dias depois,
esse número tinha aumentado para 80. Encontre o número
de pessoas que irão ter ouvido o rumor após uma semana.
18. Crescimento de uma Colônia de Moscas-das-Frutas Um biólogo
determinou que o número máximo de moscas-das-
-frutas que pode ser mantido em um ambiente cuidado-
samente controlado (com um número limitado de espaço
e alimentação) é de 400. Suponha-se que a taxa de cres-
cimento da população da colônia obedeça à regra 
onde C é a capacidade limite (400) e Q representa o número
de moscas-das-frutas na colônia no instante t. Se a popula-
ção inicial de moscas-das-frutas no experimento é de 10,
aumentando para 45 após dez dias, determine a população
da colônia de moscas-das-frutas no final do 20o dia.
19. Vazão de Água de um Tanque Um recipiente com uma seção
transversal constante é enchido com água até a altura H.
A água flui através de uma aberturada seção transversal
B, na base do recipiente. Usando a lei de Torricelli, pode
ser demonstrado que a altura h da água no instante t sa-
tisfaz o problema de valor inicial 
a. Encontre a fórmula para h.
b. Encontre o tempo T necessário para que o tanque se
esvazie.
c. Encontre T, se A � 4 (pés2), B � 1 (pol.2), H � 16
(pés) e g� 32 (pés/seg2).
20. Curvas de Crescimento de Gompertz Consulte o Exercício 28,
Seção 9.1. Considere a equação diferencial
com a condição inicial Q(0) � Q0. A solução de Q(t) des-
creve um crescimento restrito e tem um gráfico conhe-
cido como a curva de Gompertz. Usando a separação de
variáveis, resolva essa equação diferencial.
21. Curvas de Crescimento de Gompertz Considere a equação di-
ferencial de Gompertz 
onde c é uma constante positiva e L é a capacidade limite
do ambiente.
a. Resolva a equação diferencial com a condição inicial
P(0) � P0.
b. Encontre P(t).
c. Mostre que P(t) cresce mais rapidamente quando 
P � L>e.
lim
tS�
dP
dt
� cP ln a L
P
b
dQ
dt
� kQ1C � ln Q 2
H pés
A pés2
B pol.2
dh
dt
� �
B
A
22th h10 2 � H
dQ
dt
� kQ1C � Q 2
dA
dt
� rA � P
dP
dt
� kP � I
Equações Diferenciais 653
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:56 PM Page 653
d. Mostre que P(t) cresce mais rapidamente quando
22. Concentração de uma Droga na Corrente Sanguínea Suponha-
-se que a taxa de redução da concentração de um medi-
camento na corrente sanguínea é proporcional à concen-
tração no tempo t. Inicialmente, não há nenhum
medicamento na corrente sanguínea até o tempo t � 0,
quando é introduzido na concentração de C0 g/mL.
a. Qual é a concentração do medicamento na corrente
sanguínea no final de T h?
b. Se no tempo T outra dose com a concentração de C0
g/mL for injetada na corrente sanguínea, qual é a con-
centração do medicamento no fim de 2T h?
c. Se o processo foi contínuo, qual seria a concentração
do medicamento no final de NT h?
d. Calcule a concentração do medicamento na corrente
sanguínea a longo prazo.
Dica: Avaliar y(NT), onde y(NT) denota a concentração da
droga ao final de NT h.
23. Propagação de Doenças Um modelo matemático simples em
epidemiologia, relativo à propagação de uma doença,
pressupõe que a taxa de propagação de uma doença é
conjuntamente proporcional ao número de pessoas in-
fectadas e ao número de pessoas não infectadas. Supo-
nha-se que haja um total de N pessoas na população, das
quais N0 são inicialmente infectadas. Demonstre que o
número de pessoas infectadas após t semanas, x(t), é dado
por
onde k é uma constante positiva.
24. Propagação de Doenças Consulte o Exercício 23. Suponha
que há 8.000 alunos de uma faculdade e 400 alunos te-
nham contraído gripe no início da semana.
a. Se 1.200 tinham contraído gripe no final da semana,
quantos terão contraído gripe no final de duas, três e
quatro semanas?
b. Quanto tempo levará para que 80% da população es-
tudantil seja infectada?
c. Faça o gráfico da função de x(t).
25. Modelo de Crescimento de Von Bertalanffy O modelo de cres-
cimento de Von Bertalanffy é utilizado para prever o com-
primento dos peixes comerciais. O modelo é descrito pela
equação diferencial
onde x(t) é o comprimento do peixe no instante t, k é uma
constante positiva chamada de taxa de crescimento de
von Bertalanffy e L é o comprimento máximo do peixe.
a. Encontre x(t), dado que o comprimento do peixe em 
t � 0 é x0.
b. Na época em que as larvas eclodem, a arinca do Mar
do Norte têm cerca de 0,4 cm de comprimento, e a
arinca média cresce a um comprimento de 10 cm após
um ano. Encontre uma expressão para o comprimento
da arinca do Mar do Norte no tempo t.
c. Faça o gráfico de x, sendo L � 100 (cm).
d. As arincas que são apanhadas hoje estão, em média,
entre 40 cm e 60 cm de comprimento. Quais são as
idades das arincas que são pegas?
26. Taxas de Reações Químicas Duas soluções químicas, uma
contendo N moléculas do produto químico A e outra con-
tendo M moléculas de produto químico B, são misturadas
em conjunto a um tempo t � 0. As moléculas dos dois
produtos químicos combinam-se para formar outra solu-
ção química que contém y moléculas do produto químico
AB. A taxa a que as moléculas AB são formadas, dy/dt, é
chamada de taxa de reação e é conjuntamente propor-
cional a (N � y) e (M � y). Assim,
onde k é uma constante. (Assumimos que a temperatura
da mistura química permanece constante durante a inte-
ração.) Resolva essa equação diferencial com a condição
inicial y(0) � 0 assumindo que N � y � 0 e M � y � 0.
Dica: Use a identidade
27. Problemas de Mistura Um tanque contém inicialmente 20
galões de água pura. A salmoura, que contém 2 libras de
sal por galão, entra no tanque a uma taxa de 3 galões/mi-
nuto, e a mistura bem agitada sai do tanque à mesma taxa.
Quanto sal está presente no tanque em qualquer instante
t? Quanto sal está presente ao final de 20 minutos?
Quanto sal está presente a longo prazo?
28. Problemas de Mistura Um tanque contém inicialmente 50
galões de salmoura, no qual 10 libras de sal estão dissol-
vidas. A salmoura, que contém 2 libras de sal dissolvido
por galão, flui para dentro do tanque à taxa de 2 ga-
lões/minuto, e a mistura bem agitada flui para fora do tan-
que à mesma taxa. Quanto sal está presente no tanque ao
final de dez minutos?
11N � y 2 1M � y 2 � 1M � N a 1N � y � 1M � y b
dy
dt
� k1N � y 2 1M � y 2
dx
dt
� k1L � x 2
x1t 2 � N
1 � aN � N0
N0
b e�kNt
lim
NS�
t �
ln ln a L
P0
b
c
654 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:57 PM Page 654
9.4 Soluções Aproximadas de Equações Diferenciais
Método de Euler
Como no caso de integrais definidas, existem muitas equações diferenciais cujas solu-
ções exatas não podem ser encontradas com a utilização de qualquer um dos métodos
disponíveis. Aqui, novamente, recorremos para aproximar as soluções.
Muitos métodos numéricos foram desenvolvidos para o cálculo eficiente de soluções
aproximadas de equações diferenciais. Nesta seção, vamos estudar um método para re-
solver o problema
(12)
O método de Euler, em homenagem a Leonhard Euler (1707-1783), descreve uma
forma de encontrar uma solução aproximada da Equação (12). Basicamente, a técnica
exige aproximação da solução real y � f(x) em determinados valores selecionados de
x. Os valores de f entre dois valores adjacentes de x são, então, encontrados por inter-
polação linear. Essa situação é representada geometricamente na Figura 13. Assim, no
método de Euler, a curva real da solução da equação diferencial é aproximada por uma
curva poligonal adequada.
dy
dx
� F1x, y 2 y1x0 2 � y0
Equações Diferenciais 655
Uma vez que a taxa de crescimento do dinheiro é proporcio-
nal à quantidade atual, temos o problema de valor inicial
Usando a Equação (8), temos
Portanto, o valor acumulado após t anos é dado por
dólares.
Se compararmos esse resultado com a fórmula de A � Pert,
vemos que as fórmulas são idênticas quando o crescimento
constante k é considerado como sendo igual a r, a taxa de ju-
ros nominal. Isso mostra que o dinheiro depositado em um
banco com juros compostos continuamente cresce de acordo
com a lei do crescimento natural.
A1t 2 � Pekt
A1t 2 � A10 2ekt � Pekt
• dAdt � kA
A10 2 � P
9.3 Solução do Teste de Conhecimento
y
x
x0 x1 x 2 x 3 x4
Solução real
y = f (x)
Solução
aproximada
FIGURA 13 
Usando o método de Euler, a real curva de
solução da equação diferencial é aproxi-
mada por uma curva poligonal.
Para descrever o método, seja h um pequeno número positivo e x
n
� x0 � nh, em que
n � 1, 2, 3, . . . ; isto é,
x1 � x0 � h x2 � x0 � 2h x3 � x0 � 3h . . .
Assim, os pontos x0, x1, x2, x3, . . . são espaçados uniformemente, e a distância entre quais-
quer dois pontos adjacentes é de h unidades.
Tan09:Layout 15/28/14 4:57 PM Page 655
Começa-se por encontrar uma aproximação y1 para o valor da solução real, f(x1), em
x � x1. Observe que a condição inicial y(x0) � y0 de (12) nos diz que o ponto (x0, y0)
está na curva de solução. O método de Euler diz para aproximar a parte do gráfico de f
no intervalo [x0, x1] pelo segmento de reta que é tangente ao gráfico de f em (x0, y0). Para
encontrar uma equação desse segmento de reta, observa-se que a inclinação do segmento
de reta é igual a F(x0, y0). Então, usando a forma ponto-inclinação de uma equação de
uma reta, vemos que a equação necessária é
ou
Portanto, a aproximação de y1 para f(x1) é obtida pela substituição de x por x1. Assim,
Desde que x1 � x0 � h
Esta situação está ilustrada na Figura 14.
� y0 � F1x0, y0 2hy1 � y0 � F1x0, y0 2 1x1 � x0 2
y � y0 � F1x0, y0 2 1x � x0 2
y � y0 � F1x0, y0 2 1x � x0 2
656 Matemática Aplicada a Administração e Economia
y
x
x0 x1 x2
Solução real
y = f(x)
(x0, y0) (x1, f (x1))
(x1, y1)
FIGURA 14 
y
1
� y
0
� hF(x
0
, y
0
) é o número usado para
aproximar f(x
1
).
A seguir, para encontrar uma aproximação y2 para o valor da solução real, f(x2), em
x � x2, repetimos o procedimento anterior, mas desta vez tendo o declive do segmento
de reta em [x1, x2] para ser F(x1, y1). Obtemos
(Veja a Figura 15.)
y2 � y1 � F1x1, y1 2h
y
x
x0 x1 x2
Solução real
y = f(x)
(x1, y1)
(x2, y2)(x1, f (x1))
(x2, f (x2))
FIGURA 15 
y
2
� y
1
� hF(x
1
, y
1
) é o número usado para
aproximar f(x
2
).
Veja a página 36.(x2)
Continuando desta maneira, vemos que y1, y2, . . . , yn pode ser encontrada pela fór-
mula geral
Vamos agora resumir esse procedimento.
yn � yn�1 � hF1xn�1, yn�1 2 1n � 1, 2, . . . 2
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:57 PM Page 656
Resolução de Equações Diferenciais pelo Método de Euler
EXEMPLO 1 Utilize o método de Euler com n � 8 para obter uma aproximação da so-
lução do problema de valor inicial
y� � x � y y 0 � 1
quando x � 2.
Solução Aqui, x0 � 0 e b � 2, então tendo n � 8, encontramos
e
Além disso,
F x, y � x � y e y0 � y 0 � 1
Portanto, as aproximações da solução real nos pontos x0, x1, x2, . . . , xn � b são
y2 � y1 � hF1x1, y1 2 � 34 � 14 a 14 � 34 b � 58
y1 � y0 � hF1x0, y0 2 � 1 � 14 10 � 1 2 � 34
y0 � y10 2 � 1
2121
x5 �
5
4
x6 �
3
2
x7 �
7
4
x8 � b � 2
x0 � 0 x1 �
1
4
x2 �
1
2
x3 �
3
4
x4 � 1
h �
2 � 0
8
�
1
4
21
Equações Diferenciais 657
Método de Euler
Suponha que nos é dada a equação diferencial
sujeita à condição inicial y(x0) � y0, e queremos encontrar uma aproximação de y(b),
em que b é um número maior do que x0 e n é um número inteiro positivo. Calcule
x1 � x0 � h x2 � x0 � 2h x3 � x0 � 3h . . . xn � x0 � nh � b
e
Então, yn dá uma aproximação do verdadeiro valor y(b) da solução para o pro-
blema de valor inicial em x � b.
yn � yn�1 � hF1xn�1, yn�1 2o
y2 � y1 � hF1x1, y1 2y1 � y0 � hF1x0, y0 2
y0 � y1x0 2
h �
b � x0
n
dy
dx
� F1x, y 2
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:57 PM Page 657
Assim, o valor aproximado de y(2) é
EXEMPLO 2 Use o método de Euler, com (a), n � 5 e (b) n � 10, para aproximar a so-
lução do problema de valor inicial
y� � �2xy2 y 0 � 1
no intervalo de [0, 0,5]. Encontre a solução real do problema de valor inicial. Finalmente,
esboce os gráficos das soluções aproximadas e a solução real para 0 � x � 0,5 no mesmo
conjunto de eixos.
Solução
a. Aqui, x0 � 0 e b � 0,5. Tomando n � 5, encontramos
e x0 � 0; x1 � 0,1; x2 � 0,2; x3 � 0,3; x4 � 0,4; e x5 � b � 0,5. Além disso,
F x, y � �2xy2 e y0 � y 0 � 1
Portanto,
b. Aqui, x0 � 0 e b � 0,5. Tomando n � 10, encontramos
e x0 � 0; x1 � 0,05; x2 � 0,10; . . . , x9 � 0,45; e x10 � 0,5 � b. Continuando como
na parte (a), obtemos as soluções aproximadas indicadas na tabela seguinte:
x 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
y
n
1,0000 1,0000 0,9950 0,9851 0,9705 0,9517
h �
0,5 � 0
10
y5 � y4 � hF1x4, y4 2 � 0,8884 � 0,11�2 2 10,4 2 10,8884 2 2 � 0,8253y4 � y3 � hF1x3, y3 2 � 0,9416 � 0,11�2 2 10,3 2 10,9416 2
2 � 0,8884
y3 � y2 � hF1x2, y2 2 � 0,98 � 0,11�2 2 10,2 2 10,98 2 2 � 0,9416y2 � y1 � hF1x1, y1 2 � 1 � 0,11�2 2 10,1 2 11 2
2 � 0,98
y1 � y0 � hF1x0, y0 2 � 1 � 0,11�2 2 10 2 11 2 2 � 1y0 � y10 2 � 1
2121
h �
0,5 � 0
5
� 0,1
21
39 329
32 768
� 1,2002
y8 � y7 � hF1x7, y7 2 � 8 3318 192 � 14 a 74 � 8 3318 192 b � 39 32932 768
y7 � y6 � hF1x6, y6 2 � 1 7532 048 � 14 a 32 � 1 7532 048 b � 8 3318 192
y6 � y5 � hF1x5, y5 2 � 371512 � 14 a 54 � 371512 b � 1 7532 048
y5 � y4 � hF1x4, y4 2 � 81128 � 14 a1 � 81128 b � 371512
y4 � y3 � hF1x3, y3 2 � 1932 � 14 a 34 � 1932 b � 81128
y3 � y2 � hF1x2, y2 2 � 58 � 14 a 12 � 58 b � 1932
658 Matemática Aplicada a Administração e Economia
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:58 PM Page 658
x 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
y
n
0,9291 0,9032 0,8746 0,8440 0,8119
Para obter a solução real da equação diferencial, separamos as variáveis , obtendo
Integrando cada lado da última equação com base na variável apropriada, temos
ou
C � C1 � C2
Usando a condição y(0) � 1, temos
Portanto, a solução necessária é dada por
Os gráficos das soluções aproximadas e a solução real são esboçados na Figura 16.
y
x
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Solução
real
1,0
0,9
0,8
n = 5
n = 10
y �
1
x 2 � 1
1 �
1
0 � C
ou C � 1
y �
1
x 2 � C
1
y
� x 2 � C
�
1
y
� C1 � �x
2 � C2
�dyy2 � ��2x dx
dy
y2
� �2x dx
Equações Diferenciais 659
FIGURA 16 
As soluções aproximadas e a solução real
para um problema de valor inicial.
Use o método de Euler com n � 5 para obter aproximações
para a solução do problema de valor inicial
y� � 2x � y y 0 � 1
quando x � 1.
A solução do Teste de Conhecimento 9.4 pode ser encontrada
na página 660.21
9.4 Teste de Conhecimento
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:58 PM Page 659
A calculadora é recomendada para este conjunto de exercícios.
Nos exercícios 1 a 10, utilize o método de Euler, com (a) n � 4 e
(b) n � 6 para obter aproximações para a solução do problema
de valor inicial quando x � b.
1. y� � x � y, y 0 � 1; b � 1
2. y� � x � 2y, y 0 � 1; b � 2
3. y� � 2x � y � 1, y 0 � 2; b � 2
4. y� � 2xy, y 0 � 1; b � 0,5
5. y� � �2xy2, y 0 � 1; b � 0,5
6. y� � x2 � y2, y 0 � 1; b � 1,5
7. y� � y 1 � 1; b � 1,5
8. y� � 1 � x2 �1, y 0 � 0; b � 1
9. y 0 � 1; b � 1
10. y� � xy1/3, y 0 � 1; b � 1
Nos exercícios 11 a 15, use o método de Euler com n � 5 para
obter aproximações para a solução do problema de valor inicial
sobre o intervalo indicado.
11. y 0 � 1; 0 � x � 1
12. y� � x2y, y 0 � 2; 0 � x � 0,6
13. y� � 2x � y � 1, y 0 � 2; 0 � x � 1
14. y� � x � y2, y 0 � 0; 0 � x � 0,5
15. y� � x2 � y, y 0 � 1; 0 � x � 0,5
16. Crescimento das Indústrias de Serviços Estimou-se que as in-
dústrias de serviços, que atualmente compõem 30% da
força de trabalho não agrícola em um determinado país,
continuarão a crescer a uma taxa de
R t � 5e1/ 1 t�12
por cento por década t décadas a partir de agora. Estime
a porcentagem da força de trabalho não agrícola nas in-
dústrias de serviços uma década a partir de agora.
Dica: (a) Mostre que a resposta desejada é P(1), onde P é a so-
lução do problema de valor inicial
P� � 5e1/ 1 t�12 P 0 � 30
(b) Use o método de Euler com n � 10 para aproximar a solu-
ção.
21
21
21 21
2121
21y¿ � 1
2
xy,
21
21y¿ � x
y
,
2121
211x � y,
21
21
21
21
21
21
660 Matemática Aplicada a Administração e Economia
1. Descreva as ideias por trás do método de Euler para en-
contrar as aproximações para a solução do problema de
valor inicial
em suas próprias palavras.
2. Dê procedimento para o método de Euler.
dy
dx
� F1x, y 2 y1x0 2 � y0
9.4 QuestõesConceituais
9.4 Exercícios
9.4 Solução do Teste de Conhecimento
Aqui, x0 � 0 e b � 1; assim, tendo n � 5, encontramos
e
Além disso,
F x, y � 2x � y e y0 � y 0 � 1
Portanto, as aproximações para a solução real nos pontos x0,
x1, x2, . . . , x5 � 1 são
Assim, o valor aproximado de y(1) é
10 828
3 125
� 3,4650
y5 � y4 � hF1x4, y4 2 � 1 638625 � 15 a 85 � 1 638625 b � 10 8283 125
y4 � y3 � hF1x3, y3 2 � 248125 � 15 a 65 � 248125 b � 1 638625
y3 � y2 � hF1x2, y2 2 � 3825 � 15 a 45 � 3825 b � 248125
y2 � y1 � hF1x1, y1 2 � 65 � 15 a 25 � 65 b � 3825
y1 � y0 � hF1x0, y0 2 � 1 � 15 10 � 1 2 � 65
y0 � y10 2 � 1
2121
x3 �
3
5
x4 �
4
5
x5 � b � 1
x0 � 0 x1 �
1
5
x2 �
2
5
h �
1 � 0
5
�
1
5
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:59 PM Page 660
Preencha os espaços em branco.
1. a. Uma equação que envolve uma função desconhe-
cida e suas derivadas é denominada um/uma ___
_______.
b. Uma solução de uma equação diferencial é qualquer
função que __________ a equação diferencial.
2. a. A solução de uma equação diferencial que envolve
uma constante c é denominada ________ solução da
equação diferencial.
b. A solução obtida por meio da atribuição de um valor
específico para c é denominada um/uma solução
__________.
3. a. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da
_________ derivada da função ________ na equação.
b. Uma equação diferencial separável tem a forma
_________, a equação é _______; 
a equação é __________.
c. Para resolver uma equação separável, primeiro
__________ as variáveis e, em seguida, integramos
cada termo em relação à/ao __________ apro-
priada(o).
4. a. A equação diferencial que descreve um modelo de
crescimento irrestrito é dada por __________.
b. O modelo de crescimento exponencial irrestrito com
população inicial Q0 é dado por Q(t) � __________.
c. As equações diferenciais e
descrevem __________ crescimento ex-
ponencial.
5. O método de Euler é usado para encontrar uma solução
de um ________ problema de valor inicial. A _________
curva da solução de uma equação diferencial é aproxi-
mada por um/uma curva __________.
kQ1C � Q 2
dQ
dt
�
dQ
dt
� k1C � Q 2
dQ
dt
�
dy
dx
�
ey
1 � x2
y¿ �
xy
x2 � y2
dy
dx
�
Equações Diferenciais 661
Resumo dos Principais TermosCapítulo 9
TERMOS
equação diferencial (632)
solução geral de uma equação diferen-
cial (634)
solução particular de uma equação dife-
rencial (635)
equação diferencial de primeira ordem
(638)
equação diferencial separável (638)
método de separação de variáveis (638)
problema de valor inicial (641)
método de Euler (655)
Exercícios de RevisãoCapítulo 9
Questões Conceituais de RevisãoCapítulo 9
Nos exercícios 1 a 3, verifique que y é uma solução da equação
diferencial.
1. y � C1e2x � C2e�3x; y
 � y� � 6y � 0
2. y � 2e2x � 3x � 2; y
 � y� � 2y � �6x � 1
3. y � Cx�4/3; 4xy3 dx � 3x2y2 dy � 0
Nos exercícios 4 e 5, verifique se y é uma solução geral da equa-
ção diferencial e encontre uma solução particular da equação
diferencial que satisfaça a condição inicial.
4.
5.
Nos exercícios 6 a 11, resolva a equação diferencial.
6. 7.
8.
9. y� � 3x2y2 � y2; y 0 � �2
10. y� � x2 1 � y ; y 0 � �2
11.
12. Encontre uma função f, dado que (1) a declividade da reta
tangente ao gráfico de f em qualquer ponto P(x, y) é dada
por
e (2) o gráfico de f passa através do ponto (1, 1).
y¿ � �
4xy
x 2 � 1
dy
dx
� �
3
2
x2y; y10 2 � 3
2121 21
y¿ �
y ln x
x
dy
dt
� 214 � y 2y¿ � x3 � 1
y2
y � 19x � C 2�1/3; dy
dx
� �3y4; y10 2 � 1
2
y �
1
x2 � C
;
dy
dx
� �2xy2; y10 2 � 1
Tan09:Layout 1 5/28/14 4:59 PM Page 661
Nos exercícios 13 a 16, utilize o método de Euler, com (a) n � 4
e (b) n � 6 para obter uma aproximação do problema de valor
inicial quando x � b.
13. y� � x � y2, y 0 � 0; b � 1
14. y� � x2 � 2y2, y 0 � 0; b � 1
15. y� � 1 � 2xy2, y 0 � 0; b � 1
16. y� � ex � y2, y 0 � 0; b � 1
Nos exercícios 17 e 18, utilize o método de Euler com n � 5 para
obter uma solução aproximada para o problema de valor inicial
sobre o intervalo indicado.
17. y� � 2xy, y 0 � 1; 0 � x � 1
18. y� � x2 � y2, y 0 � 1; 0 � x � 1
19. Valor de Revenda de uma Máquina O valor de revenda de uma
certa máquina diminui a uma taxa proporcional ao valor
atual da máquina. A máquina foi comprada por US$
50.000 e, dois anos mais tarde, valia US$ 32.000.
a. Encontre uma expressão para o valor de revenda da
máquina em qualquer instante t.
b. Encontre o valor da máquina depois de cinco anos.
20. Lei de Brentano-Stevens A Lei de Brentano-Stevens, que
descreve a taxa da mudança de uma resposta R a um es-
tímulo S, é dada por 
onde k é uma constante positiva. Resolva essa equação
diferencial. 
21. Juros Continuamente Compostos A HAL Corporation investe
P dólares/ano (suponha que isso é feito em uma base fre-
quente em pequenos depósitos ao longo do ano, de modo
que é essencialmente contínua) em um fundo, com juros
a uma taxa de r%/ano, compostos continuamente. Em se-
guida, o tamanho do fundo de A cresce a uma taxa dada
por
Suponha que A � 0 quando t � 0. Determine o montante
do fundo após t anos. Qual é o montante do fundo depois
de cinco anos, se P � US$ 50.000 e r � 6%/ano? 
22. Valor Futuro de uma Anuidade O valor futuro S de uma anui-
dade (um fluxo de pagamentos feitos continuamente) sa-
tisfaz a equação
onde r denota a taxa de juros compostos continuamente
e d é uma constante positiva que dá o ritmo a que os pa-
gamentos são feitos na conta.
a. Se o valor futuro de uma anuidade no tempo t � 0 é
de US$ S0, encontre uma expressão para o valor fu-
turo da anuidade a um instante t. 
b. Se o valor futuro de uma anuidade de t � 0 é de US$
10.000, a taxa de juros é de 6% compostos continua-
mente e um fluxo de pagamentos constante de US$
2.000/ano são feitos na conta, qual é o valor futuro da
anuidade após cinco anos? 
23. Demanda por uma Mercadoria Suponha que a demanda D por
uma determinada mercadoria é constante e que a taxa de
variação no fornecimento de S ao longo do tempo t é pro-
porcional à diferença entre a procura e a oferta, de modo
que
Encontre uma expressão para a oferta em um instante t se
o fornecimento a t � 0 é S0. 
24. Lei de Resfriamento de Newton Bárbara colocou uma costela
assada de 11 libras, mantida à temperatura ambiente (68
°F), num forno a 350 °F às 16 h. Às 18 h a temperatura
do assado era de 118 °F. Em que instante a temperatura
do assado era de 150 °F (ou seja, um pouco abaixo do
ponto)?
Dica: Use a Lei de Resfriamento (ou de Aquecimento) de
Newton.
25. Pressão Atmosférica A pressão atmosférica P em relação a
h diminui a uma velocidade proporcional a P, contanto
que a temperatura seja constante.
a. Encontre uma expressão para a pressão atmosférica
como uma função de altitude.
b. Se a pressão atmosférica é de 15 psi ao nível do solo,
e de 10 psi a uma altitude de 10.000 pés, qual é a pres-
são atmosférica a 20.000 pés?
26. A Curva de Aprendizagem O American Court Reporting Ins-
titute considera que o aluno médio do curso de Estenoti-
pia Avançada irá progredir a uma taxa dada por
em um curso de 20 semanas, em que Q(t) indica o número
de palavras do ditado que o aluno pode escrever por mi-
nuto após t semanas do curso. [Suponha Q(0) � 60.] Se o
aluno médio pode escrever 90 palavras de ditado por mi-
nuto após 10 semanas do curso, quantas palavras por 
minuto o aluno médio pode fazer após a conclusão do
curso?
27. Propagação de um Rumor Um rumor no sentido de que um
aumento de renda seria iminente foi ouvido pela primeira
vez por quatro moradores do Chatham West Condomi-
nium Complex. O rumor se propagou pelo complexo de
200 habitações unifamiliares a uma taxa conjuntamente
proporcional ao número