Teoria da Utilidade e Seguro

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introduc¸a˜o
breves noc¸o˜es acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
1. teoria da utilidade e seguro
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introduc¸a˜o
breves noc¸o˜es acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
1 introduc¸a˜o
2 breves noc¸o˜es acerca da teoria da utilidade
3 alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
4 elementos de seguro
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alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
elementos de seguro
Introduc¸a˜o
Um sistema de seguranc¸a e´, de um modo lato, um mecanismo
criado com o objectivo de reduzir o impacto financeiro adverso
resultante de acontecimentos aleato´rios que impedem a
concretizac¸a˜o de certas perspectivas razoa´veis a` partida.
Outro sistema que afecta pagamentos associados na ocorreˆncia de
acontecimentos aleato´rios e´ o JOGO.
No entanto, este distingue-se do primeiro pelo facto daquele
(sistema de seguranc¸a) ser criado com vista a proteger contra
oimpacto econo´mico de riscos que existem e esta˜o fora de controle
do segurado, enquanto que no jogo o risco e´
”procurado”voluntariamene pelos participantes.
Efectivamente, o u´nico ponto comum entre estes dois sistemas e´ o
facto de envolverem uma redistribuic¸a˜o da riqueza.
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breves noc¸o˜es acerca da teoria da utilidade
Se cada um de no´s pudesse predizer as consequeˆncias das nossas deciso˜es
obviamente que a nossa vida seria muito simplificada, mas contudo...
desinteressante!
Tudo se resumiria a tomar deciso˜es com base nas prefereˆncias
relativamente a`s consequeˆncias.
No entanto, na possuimos (e ainda bem!) esse dom profe´tico.
O melhor que podemos fazer e´ seleccionar uma acc¸a˜o que nos ira´
conduzir preferencialmente a um conjunto de incertezas.
A teoria da utilidade e´ uma teoria elaborada no sentido de levar a um
conhecimento aprofundado acerca de como tomar deciso˜es face a`
incerteza. Trata-se de uma teoria com importaˆncia relevante para os
sistemas de seguranc¸a.
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Assim, face ao problema de tomar uma decisa˜o face a`
incerteza, uma soluc¸a˜o poss´ıvel podera´ ser definir o valor de
um projecto econo´mico com resultado aleato´rio atrave´s do seu
valor esperado. Em economia e´ designado este valor por Valor
Justo ou Valor Actuarial.
Atrave´s deste princ´ıpio, o agente de decisa˜o encara de modo
indiferente entre assumir um preju´ızo aleato´rio X e efectuar
um pagamento de montante E [X ].
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No entanto, muitos agentes de decisa˜o na˜o adoptam este
princ´ıpio (por vezes, designado como Princ´ıpio do Valor
Justo); para eles, o n´ıvel de riqueza e outros aspectos da
distribuic¸a˜o dos resultados influenciam as suas deciso˜es. No
exemplo seguinte esta´ bem patente a insuficieˆncia do princ´ıpio
referido.
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Exemplo 1.1. (seguro de acidentes)
Considere-se P[acidente]=0.1 inalterada.
Os treˆs casos seguintes esta˜o escalonados de acordo com o
montante de preju´ızo resultante de um acidente, eventualmente.
Preju´ızos Poss´ıveis (u.m.)1 Preju´ızo Esperado (u.m.)
caso 1 0 1 0.1
caso 2 0 1.000 100
caso 3 0 1.000.000 100.000
No caso 1 o montante de perdas na˜o e´ relevante, pelo que o
agente de decisa˜o na˜o estara´ disposto a pagar mais do que o valor
esperado dos preju´ızos para efectuar o seguro.
1u.m. - unidade moneta´ria
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Contudo, se fixarmos a nossa atenc¸a˜o no caso 3, um preju´ızo de
1.000.000 u.m. podera´ revelar-se catastro´fico e exceder as suas
disponibilidades financeiras.
Neste caso, possivelmente o agente de decisa˜o podera´ estar
disposto a pagar ”mais do que”o valor esperado do preju´ızo de
forma a efectuar o seguro.
Este facto sugere que o ”princ´ıpio do valor Justo”nem sempre e´ o
mais adequado como base da decisa˜o.
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ALTERNATIVAS?
Iremos ver uma abordagem que de certo modo explica o facto de
um agente de decisa˜o poder estar disposto a pagar mais do que o
valor esperado -
a func¸a˜o utilidade.
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Os treˆs exemplos seguintes situam-se na a´rea dos JOGOS e servem
para ilustrar alguns dos conceitos fundamentais na Teoria da
Utilidade.
Exemplo 1.2.
Embora dois jogos distintos X e Y possam ter o mesmo ganho
esperado, uma pessoa que seja forc¸ada a aceitar um dos dois jogos,
preferira´ tipicamente um deles ao outro.
Por exemplo, sejam
X :
{
500 −400
1/2 1/2
e Y :
{
60 50 40
1/3 1/3 1/3
com E [X ] = E [Y ] = 50.
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Contudo, uma pessoa que na˜o queira arriscar perder 400 u.m. para
ter a possibilidade de ganhar 500 u.m.,preferira´, de um modo geral,
o jogo Y , que lhe oferece a possibilidade de um ganho certo de,
pelo menos, 40 u.m. .
A Teoria da Utilidade foi desenvolvida nos anos 30/40 com o
objectivo de descrever as prefereˆncias pessoais em jogos como os
que acaba´mos de descrever:
Uma pessoa preferira´ um jogo X para o qual o valor esperado de
uma certa func¸a˜o u(X ), E [X ], seja um ma´ximo (em vez de E [X ]!)
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u(.) −→ func¸a˜o utilidade
x −→ u(x)
u(x), que representa o valor que a pessoa atribui ao facto de
ganhar o montante x .
because giving a bank note to a poor person makes more sense
than giving it to a millionaire – Rolski et al. (1999)
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E [u(X )] =
1
2
u(500) +
1
2
u(−400)
E [u(Y )] =
1
3
u(60) +
1
3
u(50) +
1
3
u(40)
> prefere X
E [u(X )] = E [u(Y )] indiferente entre X e Y
< prefere Y
u(x) e´ uma func¸a˜o crescente do ganho X
E´ uma hipo´tese razoa´vel, se pensarmos que pessoa prefere um
ganho maior a outro mais pequeno!
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Contudo, a forma de uma func¸a˜o utilidade u(.) varia de pessoa
para pessoa e depende do balanc¸o pessoal entre o risco assumido
referente aos diversos montantes e a tentativa de aumentar os seus
ganhos.
Exemplo 1.3.
jogo 1. jogo 2.
X :
{ −3 2.5 6
0.5 0.4 0.1
Y :
{ −2 1 3
0.3 0.4 0.3
Qual a prefereˆncia pessoal entre o jogo 1 e o jogo 2?
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a) Func¸a˜o utilidade linear: u(x)= ax + b, a > 0.
E [u(X )] = E [aX + b] = aE [X ] + b = aµ
X
+ b, donde
E [u(X )] > E [u(Y )] sse µ
X
> µ
Y
portanto,
quando a utilidade e´ linear o jogo escolhido e´ sempre aquele para o
qual o ganho esperado e´ ma´ximo.
E [X ] = 0.5× (−3) + 0.4× 2.5 + 0.1× 6 = 0.1
E [Y ] = 0.7
⇒ E [Y ] > E [X ]
e portanto a prefereˆncia e´ pelo jogo 2.
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b) Func¸a˜o utilidade cu´bica: u(x) = x3
E [u(X )] = 0.5× (−3)3 + 0.4× (2.5)3 + 0.1× (6)3 = 14.35
E [u(Y )] = 6.1
E [u(X )] > E [u(Y )]
⇒ prefereˆncia pelo jogo 1 (X )
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Exemplo 1.4. (Paradoxo de St. Petersburg)
O exemplo que se segue foi discutido por Daniel Bernoulli nos
princ´ıpios do sec. XVIII, como exemplo ilustrativo do facto da
func¸a˜o utilidade, considerada como func¸a˜o dos lucros poss´ıveis,
podera´ na˜o ser uma func¸a˜o linear.
Suponhamos que e´ dada a oportunidade a uma pessoa de
participar no seguinte jogo:
Uma moeda e´ lanc¸ada repetidamente ate´ que seja obtida a face
“cara”pela primeira vez.
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Se a primeira vez que a face “cara”aparece e´ no n−e´simo
lanc¸amento, enta˜o a pessoa obtem um GANHO de 2n u.m. ,
(n = 1, 2, . . .)
Questa˜o:
Qual o montante que uma pessoa esta´ disposta a gastar como
entrada de forma a permitir a sua participac¸a˜o no jogo?
P[X = 2n] = P[obter primeira face “cara”no n-e´simo lanc¸amento] =
=
(
1
2
)n−1
× 1
2
=
(
1
2
)n
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O ganho no jogo e´ descrito por
X :
{
2n, n = 1, 2, . . .(
1
2
)n
,
E [X ] =
∞∑
n=1
2n
(
1
2
)n
=∞
Se a func¸a˜o utilidade fosse uma func¸a˜o linear, enta˜o a pessoa
estaria disposta a pagar como entrada qualquer montante
arbitra´rio.
No entanto, o que acontece de facto e´ que cada pessoa esta´
disposta a pagar apenas uma quantia finita (e eventualmente
reduzida), que depende da sua pro´pria func¸a˜o utilidade.
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A func¸a˜o utilidade, u(.), associada a um agente de decisa˜o, pode
enta˜o ser usada com o objectivo de comparar duas perspectivas
econo´micas aleato´rias X e Y .
Seja w a riqueza que possui determinado agente de decisa˜o
econo´mica. Sera´ seleccionada a perspectiva econo´mica X se
E [u(w + X )] > E [u(w + Y )]
e sera´ indiferente entre as duas perspectivas X e Y se
E [u(w + X )] = E [u(w + Y )]
quer dizer, a relac¸a˜o de prefereˆncia qualitativa ou de indiferenc¸a
pode ser substitu´ıda por uma comparac¸a˜o nume´rica consistente.
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Vejamos como a teoria da utilidade nos pode levar a um
conhecimento aprofundado no campo dos SEGUROS.
Suponhamos que um agente de decisa˜o possui uma propriedade
que pode ser danificada ou destru´ıda no per´ıodo de tempo
seguinte.
Seja X a varia´vel aleato´ria que representa o montante de preju´ızos
(que pode ser eventualmente zero).
Consideremos tambe´m que a distribuic¸a˜o de X e´ conhecida.
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X −→ montante de preju´ızo
E [X ] −→ preju´ızo esperado no pro´ximo per´ıodo.
SEGURADOR −→ organizac¸a˜o que ajuda a reduzir as
consequeˆncias financeiras do dano ou destruic¸a˜o da
propriedade.
SEGURADO −→ dono da propriedade sujeita a risco
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APO´LICES −→ contratos estabelecidos entre o segurador e o
segurado no sentido de ser pago um montante igual ou menor
do que o preju´ızo financeiro sofrido face ao dano que venha a
ocorrer eventualmente, no per´ıodo de vigeˆncia da apo´lice →
pagamento da indemnizac¸a˜o.
PRE´MIO −→ pagamento efectuado pelo segurado ao
segurador como retribuic¸a˜o das ”promessas”contidas na
apo´lice por parte do segurador.
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princ´ıpio do valor justo (ou esperado)
Supondo que o segurador adopta uma func¸a˜o de utilidade linear
com o objectivo de estabelecer o pre´mio a ser pago pelo segurado,
o PRINC´IPIO DO VALOR JUSTO ou ESPERADO estabelece esse
montante.
µ = E [X ]→ pre´mio puro para o per´ıodo da apo´lice em causa.
Este montante e´ incrementado de alguma sobrecarga (ou CARGA)
de forma a cobrir despesas, impostos, lucros e alguma seguranc¸a
contra o risco.
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Pre´mio = pre´mio puro + carga de seguranc¸a + carga admnistrativa
por exemplo :
P = µ(1 + θ) + c = µ+ θ · µ+ c
com θ, c > 0 e onde
θ – COEFICIENTE de CARGA DE SEGURANC¸A
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Princ´ıpios de Ca´lculo de Pre´mio
Existem outros princ´ıpios econo´micos que podem ser adoptados
pelas seguradoras.
Assim, e com µ := E [X ], quando:
carga de seguranc¸a=
= θ · µ – Princ´ıpio do Valor Esperado.
= θ · VAR[X ] – Princ´ıpio da Variaˆncia.
= θ ·√VAR[X ] – Princ´ıpio do Desvio Padra˜o.
= θ · VAR[X ]/µ – Princ´ıpio Modificado da Variaˆncia.
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Vejamos agora a perspectiva do dono da propriedade sujeita a risco
- segurado - em termos da teoria da utilidade - u(x).
perspectiva do segurado
A indiferenc¸a entre pagar um montante G ao segurador e assumir
o risco ele pro´prio pode ser estabelecido pela igualdade
u(w − G ) = E [u(w − X )] (∗)
onde
u(w − G )→ valor esperado do pagamento de G para
protecc¸a˜o financeira dada pela seguradora
E [u(w − X )]→ utilidade esperada de na˜o comprar o seguro,
quando a riqueza e´ w
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No entanto...
O contrato da apo´lice devera´ ser vantajoso para ambas as
partes- segurado e segurador.
Sob este ponto de vista iremos ver que o dono da propriedade na˜o
pode ter uma func¸a˜o utilidade linear.
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Por absurdo, suponhamos que u(w) = aw + b, a > 0. De (∗),
a(w − G ) + b = E [a(w − X ) + b]
⇔ a(w − G ) + b = aE (w − X ) + b,
⇔ a(w − G ) + b = a(w − µ) + b,
pelo que
G = µ
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O que quer dizer:
O pagamento (ma´ximo) G que o segurado esta´ disposto a pagar
de modoa ser indiferente fazer o seguro ou na˜o, e´ igual ao preju´ızo
esperado, µ.
Ora, vimos anteriormente que na perspectiva da seguradora, para
que o contrato resulte, a companhia devera´ cobrar um pre´mio
maior do que os preju´ızos esperados. Isto e´, G > µ
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Desigualdade de Jensen:
Seja u(w) uma func¸a˜o crescente, coˆncava. Isto e´, suponhamos que
u′(w) > 0 e u′′(w) < 0.
Enta˜o, para toda a v.a. X , desde que os valores me´dios envolvidos
existam, tem-se
E [u(X )] ≤ u(E [X ])
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Dem:
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u(w) ≤ u(µ) + u′(µ)(w − µ), ∀w
pelo que
E [u(X )] ≤ E [u(µ) + u′(µ)(X − µ)]
⇔ E [u(X )] ≤ u(µ) + u′(µ)E [(X − µ)]
e, consequentemente,
E [u(X )] ≤ u(µ), c.q.d.
Verifica-se a igualdade apenas se X for constante.
Observac¸a˜o: Esta desigualdade e´ de grande aplicabilidade em
Matema´ticas Actuariais.
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Retomamos agora o problema da func¸a˜o utilidade adoptada pelo
dono da propriedade, de forma a tornar vantajoso para ambas as
partes o contrato constante da apo´lice.
De (*) vem o seguinte quando u(.) e´ coˆncava:
u(w − G ) = E [u(w − X )] ≤ u(w − µ)
a desigualdade decorre da desigualdade de Jensen e, porque u(.) e´
crescente, conclui-se que
w − G ≤ w − µ
e consequentemente
G ≥ µ.
Com G > µ a menos que X seja constante.
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Enta˜o,
o segurado pagara´ um montante maior do que o preju´ızo esperado
de forma a efectuar o seguro → ADVERSO AO RISCO.
Voltemos ao ponto de vista do segurador, associando uma func¸a˜o
utilidade coˆncava u1(.). Consideremos tambe´m
H → pre´mio m´ınimo aceita´vel para assumir o preju´ızo
aleato´rio X
w1 → riqueza corrente
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perspectiva do segurador
u1(w1) = E [u1(w1 + H − X )]
Corresponde ao
Princ´ıpio de utilidade nula: a utilidade da riqueza corrente seja
igual ao valor esperado da riqueza final, i.e., depois de feito o
seguro (recebidos os pre´mios (H) e pagos os preju´ızos ou
indemnizac¸o˜es (X )).
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Enta˜o, se u1(.) e´ coˆncava (e crescente) vem H ≥ µ
apo´lice pratica´vel
Se
G ≥ H ≥ µ
enta˜o a apo´lice e´ pratica´vel!
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Exemplos de func¸o˜es utilidade
func¸o˜es utilidade exponenciais
u(w) = −e−αw
propriedades da func¸o˜es utilidade exponenciais
u(w) e´ uma f. utilidade associada a uma atitude adversa face
ao risco. (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)
Tem-se que E [u(X )] = −M
X
(−α), com M
X
(r) = E [erX ] a
f.g.m. de X .
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propriedades da func¸o˜es utilidade exponenciais
O pre´mio de seguro na˜o depende da riqueza do agente de
decisa˜o (segurado ou seguradora)
u(w − G ) = E [u(w − X )]⇒ −e−α(w−G) = E [−e−α(w−X )]
⇒ eαG = M
X
(α)⇒ G = log MX (α)
α
que na˜o depende de w .
Analogamente,
u1(w1) = E [u1(w1 + H − X )]⇒ H = log MX (α1)
α1
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Exemplo de aplicac¸a˜o:
Um agente de decisa˜o tem f. utilidade u(w) = −e−5w . Face a
duas perspectivas econo´micas X e Y , qual delas prefere quando
1 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.5)
2 X ∼ N(5, 2) e Y ∼ N(6, 2.4)
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Resoluc¸a˜o:
Recorde-se que X ∼ N(µ, σ2)⇒ M
X
(r) = eµr+σ
2r2/2
1
E [u(X )] = −M
X
(−5) = −1
e
E [u(Y )] = −M
Y
(−5) = −e−1.25
tem-se E [u(X )] > E [u(Y )] e portanto prefere X .
Observac¸a˜o: note-se que µ
X
< µ
Y
2 Neste caso, E [u(Y )] = −1 e portanto e´ indiferente entre X e
Y .
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func¸o˜es utilidade poteˆncia fracciona´rias
u(w) = wγ , w > 0, 0 < γ < 1
propriedades da func¸o˜es utilidade poteˆncia fracciona´rias
atitude adversa face ao risco. (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)
pre´mios dependem da riqueza do agente de decisa˜o.
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Exemplo de aplicac¸a˜o:
u(w) =
√
w ; considere-se w = 10 e X ∼ U(0, 10). Qual o
montante ma´ximo (G ) que o agente esta´ disposto a pagar para ter
cobertura face a um preju´ızo aleato´rio X ?
Resoluc¸a˜o:
u(10− G ) = E [u(10− X )]
⇔ √10− G =
∫ 10
0
√
10− x 1
10
dx
⇔ G == 2
3
√
10⇔ G = 10× 5
9
= 5.56
Observac¸a˜o: Note-se que se verifica, tal como foi discutido atra´s,
G > E [X ]
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func¸o˜es utilidade quadra´ticas
u(w) = w − αw 2, w < 1
2α
, α > 0
propriedades das func¸o˜es utilidade quadra´ticas
atitude adversa face ao risco. (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)
a decisa˜o depende apenas do valor me´dio e da variaˆncia
de X, E [X ] e E [X 2].
Observac¸a˜o: este tipo de func¸o˜es utilidade pode ter como
consequeˆncia certas atitudes “absurdas”face ao risco. Vejamos um
exemplo disso:
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elementos de seguro
Exemplo de aplicac¸a˜o:
Consideremos o seguinte cena´rio:
u(w) = w − 0.01w 2, w < 50; X :
{
0 c
p 1− p
Qual o montante ma´ximo (G ) que o agente de decisa˜o esta´
disposto a pagar para ter cobertura face a um preju´ızo aleato´rio
X ? Considere c = 10 e p = 12 e compare os resultados para dois
valores de w , w1 = 10 e w2 = 20.
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breves noc¸o˜es acerca da teoria da utilidade
alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
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Resoluc¸a˜o:
u(w − G ) = E [u(w − X )]
pelo que G devera´ satisfazer a seguinte equac¸a˜o de segundo grau:
(w − G )− 0.01(w − G )2 = pu(w) + (1− p)u(w − c)
= p[w − 0.01w 2] +
(1− p)[(w − c)− 0.01(w − c)2]
w1 = 10 −→ G = 5.28
w1 = 20 −→ G = 5.37
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Observac¸o˜es:
1 em ambos os casos G > E [X ] = 5 (adverso ao risco);
2 a conclusa˜o e´ algo absurda! O agente de decisa˜o esta´ disposto
a pagar um pre´mio superior no caso se ser, a` partida, mais
rico, exactamente pelo mesmo valor do dano (c = 10)!
As func¸o˜es utilidade quadra´ticasna˜o sa˜o convenientes para
agentes de decisa˜o com tendeˆncia a sofrer preju´ızos que aumentam
no sentido da riqueza.
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tipos de cobertura
Temos vindo a falar de seguros de cobertura total face a um
poss´ıvel dano que afecte um agente de decisa˜o.
Vejamos no seguinte exemplo as consequeˆncias que adveˆm do
facto de ser adoptada uma pol´ıtica de cobertura parcial.
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Exemplo:
Consideremos
u(w) = −e−0.005w .
A probabilidade que uma propriedade na˜o seja danificada, no
pro´ximo per´ıodo, e´ de 0.75; sendo sujeita a um dano
convenientemente modelado pelo modelo EXPONENCIAL de valor
me´dio 100, caso contra´rio.
Compare os montantes pre´mio quando tem a` sua escolha cada
uma das seguintes pol´ıticas face ao dano:
1 Cobertura total;
2 Cobertura parcial, de metade dos danos. (seguro
PROPORCIONAL).
e calcule o montante de excesso face a`s indemnizac¸o˜es esperadas,
em cada um dos casos.
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Resoluc¸a˜o:
O dano, X , e´ uma v.a. mista:
X :
{
0 Z ∼ Exp(100)
0.75 0.25
,
f
Z
(z) = 0.01e−0.01z , z > 0; I (X ) := cobertura.
1 Cobertura Total, i.e., tem-se I (X ) = X .
E [I (X )] = E [X ] = 0.75×0+0.25×E [Z ] = 0.25×100 = 25u.m.
2 Cobertura Parcial de tipo Proporcional tem-se I (X ) = X2 .
E [I (X )] =
25
2
= 12.5u.m.
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Determinemos para ambos os casos o montante ma´ximo que o
agente esta´ disposto a pagar para ter a cobertura contratada, G :
caso 1: cobertura total
u(w − G ) = E [u(w − X )]
= 0.75u(w) + 0.25E [u(w − Z )]
−e−0.005(w−G) = 0.75(−e−0.005w ) + 0.25E [−e−0.005(w−Z)]
(−e−0.005w )e0.005G = 0.75(−e−0.005w )
+0.25(−e−0.005w )E [e0.005Z ]
e0.005G = 0.75 + 0.25E [e0.005Z ]
Note-se que E [e0.005Z ] = M
Z
(0.005).
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Sendo M
Z
(r) = 11−100r , para r < 0.01, obtemos MZ (0.005) = 2
e portanto
G = 44.63u.m.
donde o excesso face a` indemnizac¸a˜o esperada e´
G − E [I (X )] = G − E [X ] = 44.63− 25 = 19.63u.m.
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caso 2: cobertura parcial de metade dos danos.
Desta vez vamos igualar a utilidade esperada com cobertura
parcial a` utilidade esperada sem cobertura.
E [u(w − G − (X − I (X )))] = E [u(w − X )]
E
[
u
(
w − G − X
2
)]
= E [u(w − X )]
0.75u(w − G ) + 0.25E
[
u
(
w − G − Z
2
)]
=
= 0.75u(w) + 0.25E [u(w − Z )]
...
G = 28.62u.m.
G−E [I (X )] = 28.62−12.5 = 16.12 > 12.5 (perda parcial esperada)
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elementos de seguro
Uma vez identificada uma classe de situac¸o˜es sujeitas a risco (e
como tal candidatas a seguro) podem ser obtidas informac¸o˜es
acerca das utilidades esperadas, associadas ao processo de
preju´ızos respectivo.
As ideias acerca da teoria da utilidade que foram apresentadas teˆm
sido usadas como fundamento para uma teoria elaborada no
sentido de constituir um guia para os agentes de decisa˜o, no
sentido de tomarem acc¸o˜es consistentes com as suas prefereˆncias.
Fac¸amos um ponto da situac¸a˜o nesse campo:
0 ≤ I (X ) ≤ X .(apo´lices admiss´ıveis)
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Hipo´tese simplificadora do problema
Suponhamos que qualquer apo´lice admiss´ıvel pode ser adquirida
pelo montante respeitante a` indemnizac¸a˜o esperada
−→ E [I (X )] ≤ E [X ]
Suponhamos que a func¸a˜o utilidade e´ tal que o agente de
decisa˜o e´ adverso ao risco (u′(w) > 0 e u′′(w) < 0)
P- pre´mio a ser pago pelo agente de decisa˜o.
0 < P = E [I (X )] ≤ E [X ]
E [X ] = µ
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Teorema: Arrow (1963) (seguro de sau´de)
De acordo com as condic¸o˜es anteriores, a utilidade de um agente
de decisa˜o adverso face ao risco e´ MAXIMIZADA adquirindo uma
apo´lice de seguro tipo ”STOP-LOSS”ou ”EXCESS-OF-LOSS”
I
d∗ (x) =
{
0 , x < d∗
x − d∗ , x ≥ d∗
em que d∗ e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
P =
∫ ∞
d
(x − d)f (x)dx (= E [I
d∗ (X )])
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Observac¸o˜es:
Uma apo´lice de seguro na˜o pode ser adquirida simplesmente
pelo valor esperado das indemnizac¸o˜es. (despesas
admnistrativas, lucro, carga de seguranc¸a)
O teorema indica o tipo de contrato a estabelecer entre a
seguradora e o segurado, mas na˜o estabelece o pre´mio P a ser
pago. (P fixado a` partida.)
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	introdução
	breves noções acerca da teoria da utilidade
	alguns conceitos em seguros sob uma perspectiva da utilidade
	elementos de seguro