Gabarito da Lista II de Exercícios de Programação Linear

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LISTA DE EXERCICIOS II DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 
Formule e resolva os modelos de programação linear usando o Software PO para os 
problemas abaixo: 
1) Consideremos uma fábrica com três tipos de máquinas A, B e C, que podem produzir quatro 
produtos 1, 2, 3, 4. Cada um dos produtos tem que passar por alguma operação em cada um dos três 
tipos de máquinas (máquina de tornear, perfurar e laminar). A tabela abaixo mostra os tempos 
necessários de cada máquina para fazer a operação em cada produto, o total de funcionamento das 
máquinas por semana e o lucro obtido sobre a renda de uma unidade de cada um dos produtos. 
Considera-se que os lucros são diretamente proporcionais ao número de unidades vendidas. 
Sabendo-se que queremos determinar a produção semanal para cada produto de modo a maximizar 
os lucros, formule o problema de programação linear. 
 
 Produtos Tempo total 
Tipo de máquina 1 2 3 4 utilizado por semana 
A 1,5 1 2,4 1 2000 
B 1 5 1 3,5 8000 
C 1,5 3 3,5 1 5000 
Unidade de lucro 5,24 7,3 8,54 4,18 
 
Max Z = 5,24x1 + 7,3x2 + 8,54x3 + 4,18x4 (lucro semanal) 
1,5x1 + x2 + 2,4x3 + x4 ≤ 2000 horas (máquina do tipo A) 
 x1 +5 x2 + x3 + 3,5x4 ≤ 8000 horas (máquina do tipo B) 
1,5x1 + 3x2 + 3,5x3 + x4 ≤ 5000 horas (máquina do tipo C) 
x1, x2, x3, x4 ≥0 
 
2) Um fazendeiro tem 200 unidades de área de terra, onde planeja cultivar trigo, arroz e milho. A 
produção esperada é de 1800 Kg por unidade de área plantada de trigo, 2100 Kg por unidade de 
área plantada de arroz e 2900 Kg por unidade de área plantada de milho. Para atender o consumo 
interno de sua fazenda, ele deve plantar pelo menos 12 unidades de área de trigo, 16 unidades de 
área de arroz e 20 unidades de área de milho. Ele tem condições de armazenar no máximo 
700.000,0 Kg. Sabendo que o trigo dá um lucro de 0,20 R$/Kg, o arroz 0,15 R$/Kg e o milho 0,11 
R$/Kg, quantas unidades de área de cada produto ele deve plantar para que seu lucro seja o maior 
possível? 
Maximizar Z= 360X1 + 315X2 + 319X3 
Sujeito a: 
 X1 + X2 + X3  200 
 1.8X1 +2.1X2 + 2.9X3  700 
 X1  12 
 X2  16 
 X3  20 
Com: 
 X1, X2, X3  0 
Solução: X1 = 164; X2 = 16 ; X3=20 Z = R$ 70.460 
 
 
 
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3) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais econômica de aumentar em 
30% as vendas de seus dois produtos P1 e P2. As alternativas são: 
 
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do mesmo ramo. Esse 
programa requer um investimento mínimo de $3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 
3% nas vendas de cada produto, para cada $1.000,00 investidos. 
 
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000,00 investidos em P1 
retornam um aumento de 4% nas vendas, enquanto que para P2 o retorno é de 10%. A 
empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. 
 
Quanto deverá destinar a cada atividade? Construa e resolva o modelo de programação 
linear do sistema descrito. 
 
 
 
 
 
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4) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura 
desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: 
 
 Material Recuperado 1 - 
MR1 – Composição 
 
Material Recuperado 2 - 
MR2 - Composição 
 
Ferro 60% 70% 
Carvão 20% 20% 
Silício 20% 5% 
Níquel 0,0% 5% 
Custo por Kg R$ 0,20 R$ 0,25 
 
 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
 
 
 
Os custos dos materiais puros são (por Kg): ferro: $0,30; carvão: $0,20; silício: $0,28; níquel:$0,50. 
Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo 
por Kg? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5) Uma fábrica de implementos agrícolas produz os modelos A, B e C, que proporcionam lucros 
unitários da ordem de $ 16, $ 30 e $ 50, respectivamente. As exigências de produção mínimas 
mensais são de 20 para o modelo A, 120 para o modelo B e 60 para o modelo C. Cada tipo de 
implemento requer uma certa quantidade de tempo para a fabricação das partes componentes, para a 
montagem e para testes de qualidade. Especificamente, uma dúzia de unidades do modelo A requer 
três horas para fabricar, quatro horas para montar e uma para testar. Os números correspondentes 
para uma dúzia de unidades do modelo B são 3,5, 5 e 1,5; e para uma dúzia de unidades do modelo 
C, são 5, 8 e 3. Durante o próximo mês, a fábrica tem disponíveis 120 horas de tempo de fabricação, 
160 horas de montagem e 48 horas de testes de qualidade. 
 
x1 = produção do modelo A 
x2 = produção do modelo B 
x3 = produção do modelo C 
321 .50.30.16 xxxZMax 
 
 
 
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sujeito a 
















57635,11
1920854
144055,33
60
120
20
321
321
321
3
2
1
xxx
xxx
xxx
x
x
x
 
1 2 3, ,x x x
  0 
 
6) Uma Companhia de Aviação Agrícola, que opera a partir de um determinado terminal, tem 8 
aviões do tipo l, 15 aviões do tipo 2 e 11 aviões do tipo 3, disponíveis para voos. As capacidades de 
pesticidas para pulverização, em toneladas, são 45 para o tipo l, 7 para o tipo 2 e 5 para o tipo 3. A 
Companhia deve expedir aviões para as propriedades A e B. As necessidades de tonelagem são 20 
na propriedade A e 28 na propriedade B. Sabe-se também que o excesso de pulverização em uma 
propriedade deve ser evitado; e que um avião pode voar somente uma vez durante o dia. 
O custo de enviar um avião do terminal a cada propriedade, em $, é dado pela seguinte tabela: 
 
Denotando por xl, x2 e x3 os números de aviões de cada tipo enviados à propriedade A, e do mesmo 
modo, yl, y2 e y3 os aviões enviados à propriedade B, formule e resolva o modelo de programação 
linear pertinente ao problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7) A Divisão de Planejamento Estratégico de um determinado Conglomerado Agroindustrial está 
analisando a possibilidade de redirecionamento de seus negócios. As alternativas levantadas dão 
conta, basicamente, de novos investimentos em seringueira e nozes macadâmia - culturas já 
existentes no portfólio de investimentos do Conglomerado -, só que com vistas ao mercado externo. 
A estratégia diria então respeito a um aumento do faturamento do Conglomerado, mediante a 
abertura de contratos com novos importadores de subprodutos daquelas culturas. 
Para simular esse novo cenário, foi incorporado à área agrícola do Conglomerado um lote de 16 ha. 
Além disso, uma empresa de consultoria em mercados foi contratada, passando a informação de que 
para cada talhão adicional de macadâmia a ser implantado, contratos com seis novos importadores 
poderão ser fechados; e que três novos contratos poderão ser esperados para cada novo talhão de 
seringueira a ser implantado. Na mesma proporção, contratos serão cancelados se talhões daquelasculturas forem erradicados. A receita esperada a partir de cada talhão de macadâmia é de $ 9/dia, e 
de $ 18/dia para cada talhão de seringueira. Sabe-se também que a área padrão de cada talhão é de 2 
ha. 
Assim sendo, a estratégia a ser implementada deve contemplar o seguinte: 
no mínimo 18 novos contratos deverão ser fechados; 
número total de talhões do conglomerado deverá ser aumentado a partir da devida exploração 
do lote adquirido - mesmo que isso implique a redução do número de talhões de macadâmia. 
Pede-se que sejam obtidas as recomendações a serem feitas com relação ao detalhamento da 
estratégia em si, ou seja, a distribuição das culturas na área adquirida, de tal forma que a receita seja 
maximizada.