Materiais de circuitos 1

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FIEL
FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA
ENGENHARIA ELÉTRICA
	Toda mudança na fonte de energia aplicada ou alterações nos elementos do circuito em que as correntes e/ou tensões passam de um valor a outro, dizemos que ocorreu um transitório.
	Após o transitório o circuito atinge o regime permanente (após 5 constantes de tempo ou 5 táu). 
	No geral, uma solução completa é a soma de uma resposta natural, transitória ou complementar e outra particular, permanente ou estacionária.
	
Elementos Armazenadores de Energia
Circuitos indutivos e capacitivos são descritos por equações diferenciais e armazenam energia no campo eletromagnético e elétrico, respectivamente.
Capacitor: i = 
 ( variação de carga no tempo)
Indutor: v = 
 (variação de fluxo no tempo)
Para resolver um circuito é necessário conhecer seu estado inicial, relacionado com a energia armazenada. A presença de um L ou C implica em uma equação diferencial de 1ª ordem. Com mais de um indutor ou capacitor, em série ou paralelo, teremos uma equação diferencial de 2ª ordem.
Circuito com Energia Armazenada, Sem Fontes (Circuito autônomo de 1ª. ordem)
i + i r = 0 ou i = - i r
 v R = R i r e i = 
	É cômodo escolher a variável de estado v, tensão no capacitor, já que a condição inicial (C.I.) se refere a ela.
	
	De i + i r = 0 → C 
 (eq. dif. linear homog. c/ coef. ctes)
Solução do tipo:
V = k 
 k e λ são constantes.
 
 
 
 
Portanto, V = k 
(v) 
t = 
 → v (
) = 0
t = 0 → v (0) = k , ou seja, o capacitor se comporta como circuito aberto para t = 0 e como curto-circuito para t = 
.
 = RC = constante de tempo do circuito. Para t = 
 → v = vo e - 1 
e 
INDUTOR
v L + v R = 0
i (0) = i
Solução do tipo: i(t) = i (0) 
 ; i (0) 
 com 
 (s)
O indutor se comporta como curto-circuito para t = 0 e como circuito aberto para t = 
CIRCUITO RC
 
 Na posição 1 em t = 0 (chave fechada).
a) Integração Direta
 
i (0) = 
ln i = 
ln i = 
 onde 
 = constante de tempo do circuito RC
Tensão nos Terminais do Capacitor
�� EMBED Equation.3 
Para t = 0 → v c (0) = 0 : capacitor como curto-circuito
Para t = 
 → v c (
) : capacitor como circuito aberto.
Carga no Circuito RC
Em t = 0, q = 0 (capacitor descarregado); qo =valor final da carga no capacitor (p/ t = 
).
 ou 
; equação dif. Linear de 1ª ordem.
Busca da solução:
 pois 
 
Integrando
 ou 
 ou 
Para t = 0 
 q = 0 
 0 = 
Portanto, 
 ou 
Outra maneira de solução:
i = i n + i f (solução natural + solução forçada)
 Para equação na forma:
 P e Q constantes; P > 0; Q representa a excitação
Multiplicando-se por 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Onde 
�� EMBED Equation.3 solução natural, transitória.
 
 solução estacionária, forçada.
Ou, ainda:
 com A e B determinados pelas C. I.
Aplicação
	Uma f.e.m. de 200 Volts é aplicada a um circuito RC série no qual a resistência R vale 200,0 Ohms e a capacitância C é igual a 10 -4 F. Sabendo-se que em t = 0, q (0) = 0, encontrar i(t) para qualquer instante t.
 
 
�� EMBED Equation.3 
q (0) = 0 → 0 = A + 
 
q (0) = 0 e q (
) = 
CIRCUITO RL
	
	
Chave fechada em t = 0 (posição A)
 
 
Integrando:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
P/ t = 0 → i (0) = 0 → 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 = t
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 ou
 onde 
= constante de tempo do circ. RL = 
P/ t = 0 → i = 0 e p/ t = 
→ i = 
O indutor se comporta como circ. aberto p/ t= 0 e curto-circuito p/ t = 
.
- estado natural ou transitório: 
- estado permanente ou estacionário: 
No indutor há uma passagem de corrente a partir do instante t = 0 e consequentemente uma variação de fluxo que se opõe à tensão aplicada (f.c.e.m.).
e = - 
Exercícios 
	Uma bobina de 20 H e um resistor de 20,0 Ohms estão ligados em série através de uma fonte de 120 Volts. Pedem-se:
Corrente no fechamento da chave (t =0).
Corrente p/ t= 1,2,3,4,5 segundos.
Qual a tensão na bobina e no resistor para t= 1 s?
	
Substituindo os valores na equação acima teremos os valores da tabela.
	Tempo em s
	Corrente em A
	0
	0
	1
	3,79
	2
	5,19
	3
	5,70
	4
	5,89
	5
	5,96
	tendendo a 
	6,00
De 
tem-se para t = 1 s, V R = 75,8 Volts.
tem-se para t = 1 s, V L = 44,2 Volts.
V R + V L = 75,8 + 44,2 = 120,0) (VFonte).
Com relação ao problema anterior, abriu-se a chave após 7s. Pede-se:
Qual o valor da corrente 2,0 s após a chave ter sido aberta?
Qual o valor de VR ? Qual o valor de VL ?
Obs. A corrente é considerada, do ponto de vista prático, como já tendo atingido o seu estado estacionário no final de 5 constantes de tempo (5
�� EMBED Equation.3 .
De 
	p/ t = 2 s	
De 
	→ V R = 16,2 V
(V) 		→ V L = -16,2 V
Um circuito tem R = 10,0 Ohms e L = 50 Henries. Em quantos segundos
 a corrente atingirá o estado estacionário?
 (5
�� EMBED Equation.3 = 
	Para um circuito RC série em que V Fonte = 110,0 V, 
R = 2,0 kΩ e C = 1000,0 µF, calcular:
a corrente 1,0 s após o circuito ter sido fechado; 
a tensão no resistor (VR ) 
a tensão no capacitor (VC).
	
De 
= 
 
Ou Vc = V Fonte - VR = 110,0 - 66,8 = 43,2 (V)
Após o capacitor, do exercício anterior, ter se carregado até 110,0 Volts (atingindo o estado estacionário), a chave é aberta. Calcular a corrente, a tensão VR e Vc, 1,0 s após o circuito ter sido aberto.
V = V R + VC = 0 
Qual é o tempo para se atingir uma determinada tensão em VR ?
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Uma constante de tempo para um circuito RC série é definida como o tempo em segundos que o capacitor demora em carregar até 63,2% de seu valor final. Demonstre tal afirmativa.
	
 
	
Qual a constante de tempo do circuito da figura? Suponha que quando a chave S for aberta passe pelo circuito uma corrente de 10 A. 
	
	
0,5 s 
	Seja o circuito RC da figura; V = 10,0 Volts, C = 20,0 µF e R = 100,0 kΩ calcular:
A constante de tempo (táu) do circuito;
As tensões VR e VC, após uma constante de tempo do fechamento da chave (chave na posição 1). 
Idem para 5,0 segundos.
	
a) 
b) 
 
 
ou V R = VFonte – VC = 10,0 – 6,32 = 3, 68 (V) 
t = 5 s 
= VR + VC → VR = - 3,68 (V) 
O circuito da figura é usado para produzir uma onda dente de serra, através de chaveamento. A chave S é fechada e a seguir aberta rapidamente, de modo que o capacitor não esteja, ainda, completamente carregado; apenas atingiu a parte linear de sua curva exponencial de carga. A chave se abre e se fecha em intervalos determinados, de modo a produzir uma onda de tensão dente de serra, através do capacitor. Calcular o valor de Vc quando a duração do intervalo de chaveamento for um quinto (1/5) da constante de tempo (
) do circuito. Qual o intervalo de tempo ?
 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
	20 ( 1 – 0, 819) = 3,62 V
	t = 
	
Tem-se um circuito RC série. Emt=0 a fonte é de 100,0 V; R é igual a 1000,0 Ω. 
 a) Qual a tensão inicial no capacitor de C = 2 µF ?
	 
 Vc (0) = ( 1 – 1 ) = 0
b) Qual o valor da corrente em t = 0 ?
 = 100 mA
Qual a razão da variação de tensão 
?
 
Qual é o tempo para se atingir o valor máximo de tensão ?
Hipótese: t = 5
 = 5 RC = 5 x 1000,0 x 2 x 10 – 6 = 10 ms
Calcular a tensão no capacitor da figura, sabendo-se que o circuito atingiu o regime permanente (chave fechada).
Obs. Em t = 0 a chave ainda está fechada e o capacitor se comporta como circuito aberto (regime permanente)
 
	O circuito passa a se comportar como:
 	
 
Após a chave ter sido aberta, qual a tensão v (t) e v1 (t) ?
 = RC = 10 x 1 = 10 s
�� EMBED Equation.3 
 
 
Dado o circuito da figura, em t = 0 a chave é fechada, calcular i1(t), i2(t) e v (t).
�� EMBED Equation.3 
Dado o circuito da figura com a chave fechada em t = 0, calcular i(t), vc(t) para t > 0.
50 = 20 i1 - 10 i 2
0 = - 10 i1 + 10 i 2 
i 1 = 
Solução do tipo:
i 2 (0) = 
 (capacitor é c.c. para t = 0).
Portanto, 
De i 1 = 
�� EMBED Equation.3 
= 
�� EMBED Equation.3 
 = 
A chave esteve na posição 1 por longo tempo e foi passada para a posição 2 em t = 0. Obter i (t) para t > 0.
Solução do tipo: 
 ; L é c.c. para t = 
( muito tempo na posição 1)
i (0) = A + B = 1,25
i (
) = 
 (muito tempo em 2) → B = 0,25 e, portanto, A = 1,0
 e 
Logo: 
�� EMBED Equation.3 
Substituindo: i (0) = 1,25 A e i (
) = 0,25 A.
Outra maneira pode ainda, ser escrita da seguinte forma:
A chave esteve na posição 1 por muito tempo e foi passada para a posição 2 em t = 0; pedem-se: vC (t), vR (t) para t > 0.
 
C. I → vC (0) = 100 V
C. F. → vC (
) = - 50 V (chave muito tempo em 2)
 vC (0) = 100 = A + B e vC (
) = - 50 = B 
vC (0) = 100 = A + B e vC (
) = - 50 = B 
A = 150
 
vC + vR = -50 → vR = - 50 - vC → 
17) A chave é fechada em t = 0; encontrar i1 e i2, p/ t > 0.
100 = 15 i 1 + 10 i 2 + 0,01 
100 = 10 i 1 + 15 i 2 → 
Solução do tipo:
i 1 (0) = 0 
 A + B = 0
i 1 (
) = 4 A 
 B = 4 e A = - 4
TRANSITÓRIO EM CIRCUITO RLC – SÉRIE
Seja o circuito da figura, sem fonte de energia ( já energizado):
 
V R + V L + V C = V
Diferenciando:
Afirmamos que a solução da equação diferencial é da forma:
�� EMBED Equation.3 
Ou seja, se s 1 e s 2 forem as raízes de 
Tem-se:
Onde 
Ou, ainda:
De ( s - s 1) ( s - s 2) = 0; para s 1 e s 2 reais e s 1 ≠ s 2, a solução da equação:
�� EMBED Equation.3 > 
e a solução é dita superamortecida.
Se s 1 = s 2 = s, a solução é do tipo:
�� EMBED Equation.3 = 
ou 
Ou 
�� EMBED Equation.3 = 
ou 
e a solução é dita de amortecimento crítico.
3º. Caso
Em se tratando de raízes complexas, ou seja, se 
A solução será da forma:
Aplicações
1) Seja um circuito RLC em que R = 200,0 Ω, L = 0,10 H e C = 13,33 µF.
 Vc ( 0 - ) = Vc ( 0 + ) = 200,0 V
 Obter o transitório de corrente se a chave for fechada em t = 0.
 
 
 >
 
 e
(superamortecimento)
 
 
 
Portanto,
 
i (0) = 0 ( circuito aberto devido a L)
 com i (0) = 0
 
 
0 = C 1 + C2
�� EMBED Equation.3 
-2000 = - 500 C 1 - 1500 C 2
 Solução: C 1 = -2,0 e C2 = 2,0
 0 = C 1 + C 2
Solução Final:
 i ( t) = 
 
2) Para o circuito RLC com R = 200,0 Ω, L = 0,10 H e C = 10,0 µF com Vc (0) = 200,0 V
 
 
 
 
 
Portanto, 
com i(0) = 0
 
�� EMBED Equation.3 
3) Seja o circuito RLC, série com R = 200,0 Ω, L = 0,10 H e C = 1,0 µF com Vc (0) = 200,0 V e i(0) = 0. Em t = 0, a chave na posição 2, com Vc(0) = 200,0 V. 
 
 
Substituindo os valores das constantes, teremos:
TÓPICOS: TRANSITÓRIOS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
 
LIMEIRA - SP
2014
Professor ALCINDO ANTONIAZZI
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS I
v / vo
0,37
t
� EMBED Equation.3 ���
i(t)
0, 632 V/R
t
� EMBED Equation.3 ���
V/R
v(t)
i(t)
Chave Fechada
t
Chave Aberta
Condição de Carga
Condição de Descarga
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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