Apresentação - Introdução e Transformadas de Laplace

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Transformadas de Laplace
Engenharia Mecânica - FAENG
SISTEMAS DE CONTROLESISTEMAS DE CONTROLE
Prof. Josemar dos Santos
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Transformadas de Laplace
SumárioSumário
• Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Definições Básicas;
• Exemplos.
• Transformadas de Laplace
• Definição;
Transformada de Laplace;• Transformada de Laplace;
• Exemplo.
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Transformadas de Laplace
Sistemas de ControleSistemas de Controle
Objetivo:j
•Introduzir ferramental matemático, conceitos fundamentais e algumas 
técnicas de Modelagem de Sistemas Dinâmicos e de Engenharia de 
Controle Moderno;Controle Moderno;
•Utilização do Scilab como ferramenta computacional de engenharia 
para aplicação dos conceitos e técnicas de controle e modelagem.
Ementa:
• Introdução à engenharia de controle de sistemas.
Preliminares matemáticas Re isão de Números Comple os e• Preliminares matemáticas: Revisão de Números Complexos e 
Transformadas de Laplace.
• Conceitos e técnicas de modelagem de sistemas.
• Funções de transferência e diagramas de blocos.
• Critérios de desempenho, estabilidade e realimentação de sistemas.
• Técnicas de síntese de controle pelo método do lugar das raízes e 
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de resposta em freqüência.
• Projeto de compensadores.
Transformadas de Laplace
Sistemas de ControleSistemas de Controle
Livro Texto:
• Nise, N. Engenharia de Sistemas de Controle, 3a edição, LTC 
Editora , 2002.
Bibliografia Complementar:
• Franklin, G.; Powell, J.D. Feedback Control of Dynamic Systems, 
Prentice-Hall 2005Prentice-Hall,2005.
• Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, 4a edição, Prentice-
Hall, 2003.
Dorf R C Sistemas de Controle Moderno LTC Editora 2001• Dorf, R.C. Sistemas de Controle Moderno, LTC Editora, 2001.
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Transformadas de Laplace
Sistemas de ControleSistemas de Controle
Critério de Avaliaçãoç
P1*0 4+P2*0 4+AT*0 2P1*0,4+P2*0,4+AT*0,2
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Definições Básicas;
• Exemplos.
• Transformadas de Laplace
• Definição;
Transformada de Laplace;• Transformada de Laplace;
• Exemplo.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Controle
Controle é o ato de comandar, dirigir, ordenar,
manipular alguma coisa ou alguém. Assim, ummanipular alguma coisa ou alguém. Assim, um
sistema de controle é um conjunto de
componentes que tem por função dirigir algumacomponentes que tem por função dirigir alguma
coisa (ou alguém).
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um 
sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
– Entradas são grandezas que estimulam, excitam um 
sistema Também chamadas de Referência ou dosistema. Também chamadas de Referência ou do 
inglês, Set Point (SP).
– Saídas são as reações, respostas, do sistema a um 
ou mais estímulos externos. Também chamadas deou mais estímulos externos. Também chamadas de 
Variável do Processo ou do inglês, Process Variable 
(PV).
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um 
sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
– Variável manipulada é uma grandeza ou condição 
que é variada pelo controlador para que modifique oque é variada pelo controlador para que modifique o 
valor da variável controlada. Do inglês, Manipulated 
Variable (MV).a ab e ( )
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Grandezas que cruzam a fronteira imaginária de um 
sistema podem ser chamadas de entradas ou saídas.
– Perturbações (ou distúrbios) são sinais que tendem
a afetar adversamente o valor da saída do sistemaa afetar adversamente o valor da saída do sistema.
Se a perturbação for gerada dentro do sistema, ela é
denominada perturbação interna, enquanto que umade o ada pe u bação e a, e qua o que u a
perturbação (distúrbio) externa é gerada fora do
sistema e constitui uma entrada.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
Si t d t l li t d é i t
Introdução a Sistemas de Controle
• Sistema de controle realimentado é um sistema que 
mantém uma determinada relação entre a saída e alguma 
entrada de referência comparando-as e utilizando a diferença 
como um meio de controle. Exemplo: um sistema de controle 
da temperatura ambiente. Os sistemas de controle 
realimentados não estão limitados a aplicações de p ç
Engenharia. Um exemplo é o sistema de controle da 
temperatura do corpo humano, que é um sistema altamente 
avançado.avançado.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
S (SC )
Introdução a Sistemas de Controle
• Sistema de controle a malha aberta (SCMA)
é l i t íd ã t h f it bé aquele sistema em que a saída não tem nenhum efeito sobre 
a ação de controle. Em outras palavras, em um SCMA a 
saída não é medida nem realimentada para comparação com p p ç
a entrada. Exemplo: máquina de lavar roupas.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de Controle
Sistema de controle a malha fechada (SCMF)
Introdução a Sistemas de Controle
•Sistema de controle a malha fechada (SCMF)
Nome dado ao sistema de controle realimentado. Num SCMF a 
dif t f ê i ( i l d t d ) did d iá ldiferença entre a referência (sinal de entrada) e a medida da variável 
controlada (sinal realimentado), também chamada de sinal de erro 
atuante, é introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer 
a saída do sistema a um valor desejado O termo controle a malhaa saída do sistema a um valor desejado. O termo controle a malha 
fechada sempre implica o uso de ação de controle realimentado a fim 
de reduzir o erro do sistema.
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• SCMF x SCMA
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Transformadas de Laplace
Introdução a Sistemas de ControleIntrodução a Sistemas de Controle
• Componentes de um Sistema de Controle
 SP MV PV 
Controlador Atuador Planta 
± 
Sensor 
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Transformadas de Laplace
Modelo MatemáticoModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático
Consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência 
e engenharia para se obter uma representação matemática 
d i tde um sistema.
• Circuitos Elétricos – Lei de Ohm e as Leis de Kirchoff
• Sistemas Mecânicos – Leis de Newton
Entrada Saída
Descrição
matemática
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Transformadas de Laplace
Modelo MatemáticoModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático
Equações Diferenciais
1 1
a
d y
dt
a
d y
dt
a
dy
dt
a y b
d x
dt
b
d x
dt
b
dx
dt
b xn
n
n n
n
n m
m
m m
m
m+ + + + = + + + +−
−
− −
−
−1
1
1 1 0 1
1
1 1 0... ...
y - saída do sistema
t d d i tx - entrada do sistema
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Transformadas de Laplace
d l á iModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
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Transformadas de Laplace
d l á iModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga
Impedância
Z(s) = V(s)/I(s)
Admitância
Y(s) = I(s)/V(s)
Tabela 1 - Relações Tensão-corrente, Tensão-carga, e Impedâncias de capacitores, resistores e 
indutores
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga Z(s) = V(s)/I(s) Y(s) = I(s)/V(s)
Indutor
Nota: ν( t ) = V (volts) i( t ) = A (ampères) q( t ) = Q (coulombs) C = F (farads) R = Ω (ohms) G = (mhos) L = H (henries)19
Nota: ν( t ) V (volts), i( t ) A (ampères), q( t ) Q (coulombs), C F (farads), R Ω (ohms), G (mhos), L H (henries)
Transformadas de Laplace
M d l M t átiModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
∫t diRitdiL )()(1)()( ∫ =++ tvdiCtRidtL
0
)()()()( ττ
20
Transformadas de Laplace
M d l M t átiModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
M d d iá l tMudança de variável corrente para carga
1)()(2 tdqtqd )()(1)()(2 tvtqCdt
tdqR
dt
tqdL =++
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Transformadas de Laplace
M d l M t átiModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
Utili d l ã t ã d T b l 1Utilizando a relação tensão-carga da Tabela 1.
)()( tCvtq =
)()()()(
)()(
2
tvtvtdvRCtVdLC
tCvtq
CC
C
=++
=
)()(2 tvtvdt
RC
dt
LC C =++
22
Transformadas de Laplace
M d l M t átiModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
)()(2 tdvtvd )()()()(2 tvtvdt
tdvRC
dt
tvdLC CCC =++
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Transformadas de Laplace
M d l M t átiModelo Matemático
Conceitos BásicosConceitos Básicos
Modelo Matemático: Exemplo
Circuito RLC
)()()()(2
2
tvtv
dt
tdvRC
dt
tvdLC CCC =++2 dtdt
Aplicar a Transformada de LaplaceAplicar a Transformada de Laplace
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
• Método para solucionar equações diferenciais ordinárias
• É uma operação semelhante à transformada logarítmica• É uma operação semelhante à transformada logarítmica
• Equações diferenciais são transformadas em equações 
algébricasalgébricas
• Realiza-se operações no domínio “s”
• Retorna ao domínio “t” através da transformada inversa
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
EsquematicamenteEsquematicamente
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Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace
Matemático francês LAPLACE (1749-1827) inventou um método 
para resolver equações diferenciais da seguinte forma
•Multiplica cada termo da equação diferencial por e-st
•Integra cada termo em relação ao tempo de ZERO a 
INFINITO
• “s” é uma constante de unidade 1/tempo
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:
Transformada de Laplace
( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF st−∞∫L
Transformada de Laplace
( ) ( )[ ] ( ) dtetftfsF ∫==
0
L
Em que ωσ js += é uma variável complexa
Onde: F(s) - símbolo da transformada de Laplace 
f(t) - função contínua em 0 < t < infinito
L operador de Laplace
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L - operador de Laplace
Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:
Transformada Inversa de LaplaceTransformada Inversa de Laplace
[ ]( ) ( )[ ]f t f s= −L 1
Onde: f(t) - função que não é definida para t < 0
L-1 - operador da inversa de Laplace
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:
Tabela de Transformadas de Laplace
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
PROPRIEDADES• PROPRIEDADES
1 - SOMA DE DUAS FUNÇÕESÇ
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )sFsFtftftftf 212121 +=+=+ LLL
2 - MULTIPLICAÇÃO POR UMA CONSTANTE
( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= =( )[ ] ( )[ ] ( )L Laf t a f t aF s= =
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
PROPRIEDADES• PROPRIEDADES
3 – FUNÇÃO COM ATRASO NO TEMPOÇ
( )[ ] ( )L f t t e F st s− = −0 0( )[ ]0
( ) ∞∞ ∫∫( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )L f t t f t t e d t t e f t e dts t t s t s t− = − − =− − −∫∫0 0 0
00
0 0
( )[ ] ( )L f t t e F ss t− =0 0
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( )[ ]
Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
PROPRIEDADES• PROPRIEDADES
4 – DERIVADA PRIMEIRA DE UMA FUNÇÃOÇ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d f t
d t
sF s f o nd e f f t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − = =0 0 0:d t⎣ ⎦
( ) ( ) [ ]df t df t⎡ ⎤ ∞∞ ∞∫∫( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )L Ldf t
dt
fdf t
dt
e dt f t e dt f t e s fs t s t s t
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = = + = −
− − −∫∫
00 0
0
( ) ( ) ( )L df t F f⎡⎢ ⎤⎥ 0
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( ) ( )L
dt
sF s f⎣⎢ ⎦⎥ = − 0
Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
PROPRIEDADES• PROPRIEDADES
5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃOÇ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )00022
2
=−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
tf
dt
donde
dt
dfsfsFs
dt
tfd :L
⎦⎣ dtdtdt
( ) ( ) ( )df ( ) ( ) ( )φ s sF s f= − 0φ = df
dt
⎡ ⎤ [ ] ( ) ( )L Ld f dt d dt s s2 2 0⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥ = = −φ φ φ
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
PROPRIEDADES• PROPRIEDADES
5 – DERIVADA SEGUNDA DE UMA FUNÇÃOÇ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )0000 22
2
'fsfsFsfssFs
dt
fd −−=−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ φL
dt ⎠⎝
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Transformadas de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
PROPRIEDADES• PROPRIEDADES
6 – DERIVADA N-ÉSIMA DE UMA FUNÇÃOÇ
d d dn n⎡ ⎤ 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )L d
dt
f t s F s S f S
d
dt
f
d
dt
f
n
n
n n n
n⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = − − − −
− −
−
1 2
1
0 0 0......
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Transformadas de Laplace
R f ê i Bibli áfiReferências Bibliográficas
BEGA E A (Organizador) Instrumentação Industrial 1a ed Rio de Janeiro:BEGA, E. A. (Organizador). Instrumentação Industrial 1a. ed. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2003. 541 p. 
FRANKLIN, G.F., POWELL, J.D., EMAMI-NAEINI, A. Feedback Control of Dynamic y
Systems 3a. ed. USA: Addison-Wesley Publishing Company, 1994. 778 p.
GARCIA, CLAUDIO. Modelagem e Simulação 1a. ed. São Paulo: EDUSP, 1997. 458 p.
MARLIN, T. Process Control - Designing Processes and Control Systems for Dynamics 
Performance 1a. ed. USA: McGraw-Hill, 1995. 954 p.
NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle 3a. Edição ed. São Paulo: LTC, 2002. 
695 p. 
OGATA K Engenharia de Controle Moderno 4a ed São Paulo: Pearson Prentice HallOGATA, K. Engenharia de Controle Moderno 4a. ed. São Paulo: Pearson - Prentice Hall, 
2005. 788 p. 
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