Apostila de Medidas Elétricas

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Ele´trica
Apostila de Medidas Ele´tricas
Marcus Vinicius Arau´jo Fernandes
Natal/RN - Brasil
Semestre 2008.1
Cap´ıtulo 1
Generalidades sobre os Instrumentos
de Medidas Ele´tricas
1.1 Definic¸a˜o de Medida
Medida e´ um processo de comparac¸a˜o de grandezas de mesma espe´cie, ou seja, que
possuem um padra˜o u´nico e comum entre elas. Duas grandezas de mesma espe´cie possuem
a mesma dimensa˜o.
No processo de medida, a grande que serve de comparac¸a˜o e´ denominada de “grandeza
unita´ria”ou “padra˜o unita´rio”.
As grandezas f´ısicas sa˜o englobadas em duas categorias:
a. Grandezas fundamentais (comprimento, tempo, etc.).
Grandezas Fundamentais
Grandeza Unidade Simbologia
Comprimento metro [m]
Massa quilograma [kg]
Tempo segundo [s]
Intensidade de Corrente ampe´res [A]
Temperatura Termodinaˆmica kelvin [K]
Quantidade de Mate´ria mole [mol]
Intensidade Luminosa candela [cd]
b. Grandezas derivadas (velocidade, acelerac¸a˜o, etc.).
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 2
Grandezas Ele´tricas Derivadas
Grandeza Derivada Unidade Dimensa˜o Simbologia
Carga coulomb [A · s] [C]
Energia joule [m2 · kg · s−2] [J ]
Poteˆncia watt [m2 · kg · s−3] [W ]
Tensa˜o volt [m2 · kg · s−3 · A−1] [V ]
Resisteˆncia ohm [m2 · kg · s−3 · A−2] [Ω]
Condutaˆncia siemens [m−2 · kg−1 · s3 · A2] [S]
Capacitaˆncia farad [m−2 · kg−1 · s4 · A2] [F ]
Indutaˆncia henri [m2 · kg · s−2 · A−2] [H]
Frequ¨eˆncia hertz [s−1] [Hz]
1.2 Sistema de unidades
E´ um conjunto de definic¸o˜es que reu´ne de forma completa, coerente e concisa todas
as grandezas f´ısicas fundamentais e derivadas. Ao longo dos anos, os cientistas tentaram
estabelecer sistemas de unidades universais como, por exemplo, o CGS, MKS e o SI.
1.2.1 Sistema Internacional (SI)
E´ derivado do MKS e foi adotado internacionalmente a partir dos anos 60. E´ o
padra˜o utilizado no mundo, mesmo que alguns pa´ıses ainda adotem algumas unidades
dos sistemas precedentes.
1.3 Noc¸o˜es de Padra˜o, Aferic¸a˜o e Calibrac¸a˜o
1.3.1 Padra˜o
Padra˜o e´ um elemento ou instrumento de medida destinado a definir, conservar e
reproduzir a unidade base de medida de uma determinada grandeza. Possui uma alta
estabilidade com o tempo e e´ mantido em um ambiente neutro e controlado (temperatura,
pressa˜o, umidade, etc. constantes).
Padro˜es de Grandezas Ele´tricas
Corrente Ele´trica: O ampe´re e´ a corrente constante que, mantida entre dois condutores
paralelos de comprimento infinito e sec¸a˜o transversal desprez´ıvel separados de 1m,
no va´cuo, produz uma forc¸a entre os dois condutores de 2 · 10−7N/m. Na pra´tica
sa˜o utilizados instrumentos chamados “balanc¸as de corrente”, que medem a forc¸a
de atrac¸a˜o entre duas bobinas ideˆnticas e de eixos coincidentes.
Tensa˜o: O padra˜o do volt e´ baseado numa pilha eletroqu´ımica conhecida como “Ce´lula
Padra˜o de Weston”, constitu´ıda por cristais de sulfato de ca´dmio (CdSO4) e uma
pasta de sulfato de mercu´rio (HgSO4) imersos em uma soluc¸a˜o saturada de sulfato
de ca´dmio. Em uma concentrac¸a˜o espec´ıfica da soluc¸a˜o e temperatura de 20oC a
tensa˜o medida e´ de 1, 01830V .
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 3
Resisteˆncia: O padra˜o do ohm e´ normalmente baseado num fio de manganina (84% Cu,
12% Mn e 4% Ni) enrolado sob a forma de bobina e imerso num banho de o´leo a
temperatura constante. A resisteˆncia depende do comprimento e do diaˆmetro do
fio, possuindo valores nominais entre 10−4Ω e 106Ω.
Capacitaˆncia: O padra˜o do farad e´ baseado no ca´lculo de capacitores de geometria
precisa e bem definida com um diele´trico de propriedades esta´veis e bem conhecidas.
Normalmente usam-se duas esferas ou 2 cilindros conceˆntricos separados por um
diele´trico gasoso.
Indutaˆncia: O padra˜o do henri e´ tambe´m baseado no ca´lculo de indutores sob a forma
de bobinas cil´ındricas e longas em relac¸a˜o ao diaˆmetro com uma u´nica camada de
espiras.
1.3.2 Aferic¸a˜o
Aferic¸a˜o e´ o procedimento de comparac¸a˜o entre o valor lido por um instrumento e o
valor padra˜o apropriado de mesma natureza. Apresenta cara´ter passivo, pois os erros sa˜o
determinados, mas na˜o corrigidos.
1.3.3 Calibrac¸a˜o
Calibrac¸a˜o e´ o procedimento que consiste em ajustar o valor lido por um instrumento
com o valor de mesma natureza. Apresenta cara´ter ativo, pois o erro, ale´m de determi-
nado, e´ corrigido.
1.4 Classificac¸a˜o dos Erros
De acordo com a causa, ou origem, dos erros cometidos nas medidas, estes podem
ser classificados em: grosseiros, sistema´ticos e acidentais. E de acordo com suas carac-
ter´ısticas, estes podem ser classificados em: constantes, aleato´rios e perio´dicos.
1.4.1 Erros Grosseiros
Estes erros sa˜o causados por falha do operador, como por exemplo, a troca da posic¸a˜o
dos algarismos ao escrever os resultados, os enganos nas operac¸o˜es elementares efetuadas,
ou o posicionamento incorreto da v´ırgula nos nu´meros contendo decimais.
Estes erros podem ser evitados com a repetic¸a˜o dos ensaios pelo mesmo operador, ou
por outros operadores.
1.4.2 Erros Sistema´ticos
Sa˜o os ligados a`s deficieˆncias do me´todo utilizado, do material empregado e da apre-
ciac¸a˜o do experimentador.
a. A construc¸a˜o e aferic¸a˜o de um aparelho de medida nunca podem ser perfeitas. Por
outro lado, ha´ sempre uma divergeˆncia, embora pequena, entre a ana´lise teo´rica de
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 4
um circuito e o comportamento pra´tico deste circuito. As hipo´teses de base da teoria
na˜o sa˜o inteiramente realiza´veis na pra´tica. Basta mencionar, como exemplo, o
consumo de energia dos aparelhos de medida e as variac¸o˜es das caracter´ısticas f´ısicas
ou ele´tricas dos elementos que constituem o circuito. Este conjunto de imperfeic¸o˜es
constitui a deficieˆncia do me´todo.
b. A pro´pria definic¸a˜o dos erros sistema´ticos indica quais sa˜o os meios de limitac¸a˜o. O
material empregado deve ser aferido: medidores, pilhas, resisteˆncias, capacitores,
etc. O seu controle deve ser perio´dico. Um modo simples de verificar a presenc¸a
ou auseˆncia de erro sistema´tico consiste na repetic¸a˜o da mesma experieˆncia, substi-
tuindo os elementos iniciais por elementos teoricamente iguais. A identificac¸a˜o dos
resultados da´ como conclusa˜o a auseˆncia do erro sistema´tico; pore´m, a discordaˆncia
indidca que ha´ um erro, no me´todo ou no material, sem identificar qual dos dois e´
o responsa´vel.
c. Ha´ experimentadores que teˆm a peculiaridade de fazer a leitura maior do que a real,
enquanto outros a fazem menor. Este erro pode ser limitado tomando-se como
resultado a me´dia aritme´tica das leituras de va´rias pessoas.
1.4.3 Erros Acidentais
A experieˆncia mostra que, a mesma pessoa, realizando os mesmos ensaios com os
mesmos elementos constitutivos de um circuito ele´trico, na˜o consegue obter, cada vez, o
mesmo resultado. A divergeˆncia entre estes resultados e´ devida a` existeˆncia de um fator
incontrola´vel, o “fator sorte”. Para usar uma terminologia mais cient´ıfica, diremos que
os erros acidentais sa˜o a consequ¨eˆncia do “impondera´vel”. Como ja´ foi dito, sa˜o erros
essencialmente varia´veis e na˜o suscet´ıveis de limitac¸a˜o.
1.4.4 Erros Constantes
Erros invaria´veis em aplitude e polaridade devido a impreciso˜es instrumentais. Em
geral, podem ser facilmente corrigidos pela comparac¸a˜o com um padra˜o conhecido da
medida.
1.4.5 Erros Perio´dicos
Erros varia´veis em amplitude e polaridade, mas que obedecem a uma certa lei (por
exemplo, a na˜o linearidade de um conversor A/D). Podem ser eliminados pela medic¸a˜o
repetitiva sob condic¸o˜es distintas e conhecidas.
1.4.6 Erros Aleato´rios
Erros Aleato´rios sa˜o todos os errosrestantes, possuem amplitude e polaridade varia´veis
e na˜o seguem necessariamente uma lei sistema´tica. Sa˜o em geral pequenos, mas na˜o esta˜o
presentes em qualquer medida, provenientes de sinais espu´rios, condic¸o˜es varia´veis de
observac¸a˜o, ru´ıdos do pro´prio instrumento.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 5
Erros Aleato´rios: caracter´ısticas e limitac¸o˜es
- os valores lidos possuem uma distribuic¸a˜o estat´ıstica;
- cada medida e´ independente das outras;
- erros pequenos ocorrem com maior probabilidade que os grandes;
- erros importantes sa˜o aperio´dicos;
- erros (+) e (−) possuem mesma amplitude e probabilidade de ocorreˆncia e frequ¨eˆncia.
1.5 Erros Absoluto e Relativo
A palavra “erro”designa a diferenc¸a alge´brica entre o valor medido Vm de uma grandeza
e o seu valor verdadeiro, ou aceito como verdadeiro, Ve:
∆V = Vm − Ve
Assim, o valor verdadeiro Ve da grandeza pode ser expresso da seguinte maneira:
Vm −∆V ≤ Ve ≤ Vm + ∆V
O valor ∆V e´ chamado limite superior do erro absoluto, limite ma´ximo do erro absoluto
ou simplesmente “erro absoluto”.
Quando o valor Vm encontrado na medida e´ maior que o valor verdadeiro Ve, diz-se que
o erro cometido e´ “por excesso”. Quando Vm e´ menor que Ve, diz-se que o erro cometido
e´ “por falta”.
O “erro relativo”ε e´ difinido como a relac¸a˜o entre o erro absoluto ∆V e o valor verda-
deiro Ve da grandeza medida:
ε = ∆V
Ve
Para efeito de ca´lculo de ε pode-se, na maioria dos casos, considerar Ve = Vm tendo-se
em conta que estes valores sa˜o muito aproximadamente iguais entre si.
O erro relativo percentual tem a forma:
ε = ∆V
Ve
· 100
1.6 Tratamento de erros em medidas
Com o intuito de minimizar e identificar os va´rios tipos de erros presentes numa
medida, um tratamento estat´ıstico pode ser aplicado num conjunto de dados obtidos em
condic¸o˜es ideˆnticas e/ou conhecidas. Este tratamento estat´ıstico baseado na observac¸a˜o
repetitiva e´ eficaz na minimizac¸a˜o de erros perio´dicos e aleato´rios.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 6
1.6.1 Me´dia Aritme´tica
A me´dia aritme´tica x¯ e´ dada a partir da equac¸a˜o a seguir.
x¯ =
n∑
i=1
xi
n
onde xi sa˜o os valores medidos e n e´ o nu´mero de medidas. O res´ıduo r e´ a diferenc¸a ente
a me´dia e cada uma das medidas r = (x¯− xi).
1.6.2 Erro Padra˜o ou Desvio Padra˜o
O erro padra˜o σ e´ encontrado a partir de uma se´rie de leituras e fornece uma estima-
tiva da amplitude do erro presente nestas medidas e consequentemente sua precisa˜o. A
determinac¸a˜o precisa do erro padra˜o σ implica num grande nu´mero de leituras.
σ =
√∑
r2
n− 1 sendo:
∑
r2 = (x¯− x1)2 + (x¯− x2)2 + . . .+ (x¯− xi)2
Distibuic¸a˜o Normal ou Curva Gaussiana
y = 1√
2piσ2
· e− r
2
2σ2
onde σ2 e´ a variaˆncia, tp e´ o ponto de retorno ( dy
dx
= 0) e pi sa˜o os pontos de inflexa˜o
( d
2y
d2x
= 0).
A a´rea hachurada na curva representa 68, 3% da a´rea total que equivale ao conjunto
de todas as medidas. O erro padra˜o σ de uma se´rie de medidas indica enta˜o uma proba-
bilidade de 68, 3% que o valor verdadeiro da medida esteja entre −σ e +σ do valor me´dio
x¯ do conjunto de dados. Consequentemente 2σ ⇒ 95, 4% e 3σ ⇒ 99, 7%.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 7
1.6.3 Erro Limite
O erro limite L e´ uma forma de indicac¸a˜o da margem de erro baseada nos valores
extremos (ma´ximo e mı´nimo) poss´ıveis. Em geral, e´ definido como uma porcentagem do
valor padra˜o ou fundo de escala. Supo˜e uma probabilidade teo´rica de 100% de que o valor
verdadeiro (yv) esteja no intervalo y ± L.
Apesar de menos rigorosa, esta medida de erro e´ mais popular que o erro padra˜o,
pois indica o erro de forma mais direta e facilmente compreens´ıvel por um leigo. Numa
avaliac¸a˜o rigorosa de dados, sempre que poss´ıvel deve-se usar a definic¸a˜o de erro padra˜o.
Exemplo:
a. R = 10kΩ± 5%;
b. C = 10µF + 20%− 10%;
c. Em um instrumento: “precisa˜o”= 5% (o termo “precisa˜o”utilizado aqui deve ser
substitu´ıdo por “erro”).
1.6.4 Determinac¸a˜o do valor mais prova´vel
O valor verdadeiro xv da grandeza a ser medida e´, em geral, desconhecido. Atrave´s
da teoria de erros pode-se determinar, com alto grau de exatida˜o, o valor mais prova´vel
xp e o quanto este valor ifere do valor verdadeiro.
Num conjunto de medidas onde os erros predominantes sa˜o aleato´rios, o valor mais
prova´vel corresponde a` me´dia aritme´tica xp ≡ x¯.
1.6.5 Intervalo de Confianc¸a
Faixa de valores compreendida entre xp±σ (ou 2σ, 3σ, . . . ) ou xp±L. Considerando
um conjunto de medidas quaisquer, a probabilidade de que o valor verdadeiro xv esteja
presente em xp ± σ e´ de 31, 7%.
1.7 Dados Caracter´ısticos dos Instrumentos Ele´tricos
de Medic¸a˜o
Sa˜o indicados a seguir alguns dados caracter´ısticos essenciais dos instrumentos ele´tricos
de medic¸a˜o, dados estes importantes na utilizac¸a˜o correta dos mesmos.
1.7.1 Natureza do Instrumento
Natureza do instrumento e´ a caracter´ıstica que o identifica de acordo com o tipo
de grandeza mensura´vel pelo mesmo. Exemplo: amper´ımetro, volt´ımetro, watt´ımetro,
fas´ımetro, etc.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 8
1.7.2 Natureza do Conjugado Motor
A natureza do conjugado motor caracteriza o princ´ıpio f´ısico de funcionamento do
instrumento; caracteriza o efeito da corrente ele´trica aproveitado no mesmo. Exemplo:
eletrodinaˆmico - efeito de corrente ele´trica sobre corrente ele´trica; ferro-mo´vel - efeito do
campo magne´tico da corrente ele´trica sobre pec¸a de material ferromagne´tico; te´rmico -
efeito do aquecimento produzido pela corrente ele´trica ao percorrer um condutor, etc.
1.7.3 Calibre do Instrumento
O calibre do instrumento e´ o valor ma´ximo, da grandeza mensura´vel, que o isntrumento
e´ capaz de medir. Exemplo: um volt´ımetro que pode medir no ma´ximo 200 volts, diz-se
que o seu calibre e´ de 200 volts. Ha´ a considerar dois casos:
Instrumento de um so´ calibre: o valor do calibre corresponde, normalmente, ao valor
marcado no fim de sua escala. Exemplo: a figura abaixo representa um volt´ımetro
de calibre u´nico, 200 volts.
Instrumento de mu´ltiplo calibre: os valores dos respectivos calibres veˆm indicados nas
va´rias posic¸o˜es da chave de comutac¸a˜o dos calibres, posic¸o˜es da chave de comuta;ca˜o
dos calibres, podendo haver no mostrador apenas uma escala graduada. O valor de
uma grandeza medida num dos calibres sera´ obtido pela relac¸a˜o:
Valor da grandeza = Calibre utilizado
Valor marcado no fim da escala
· Leitura
Exemplo: A figura abaixo representa um multivolt´ımetro cujos terminais 1 e 2 sa˜o
para ligac¸a˜o do mesmo ao circuito ele´trico cuja tensa˜o se deseja medir, sendo a sua
escala graduada em diviso˜es, de 0 a 200 diviso˜es. Utilizando-se a chave de comutac¸a˜o
K no calibre de 300V , liga-se o volt´ımetro a um circuito ele´trico obtendo-se a leitura
de 148 diviso˜es. Portanto, o valor medido V da tensa˜o sera´:
V = 300
200
· 148 = 222V
1.7.4 Discrepaˆncia
Discrepaˆncia e´ a diferenc¸a entre valores medidos para a mesma grandeza. Exemplo:
um volt´ımetro e´ empregado para medir a tensa˜o de uma fonte, dando como primeira
leitura 218V e como segunda leitura 220V . Diz-se enta˜o que entre as duas medic¸o˜es ha´
uma discrepaˆncia de 2V .
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 9
1.7.5 Sensibilidade
Sensibilidade e´ a caracter´ıstica de um instrumento de medic¸a˜o que exprime a relac¸a˜o
entre o valor da grandeza medida e o deslocamento da indicac¸a˜o. Exemplo: dois am-
per´ımetros sa˜o postos em se´rie para medir uma mesma corrente I. No primeiro, observa-
se uma indicac¸a˜o de x diviso˜es na escala e no segundo, uma indicac¸a˜o de 2x diviso˜es.
Diz-se,enta˜o, que a sensibilidade do segundo amper´ımetro e´ o dobro da sensibilidade do
primeiro.
1.7.6 Resoluc¸a˜o
Resoluc¸a˜o e´ o menor incremento que se pode assegurar na leitura de um instrumento,
o que corresponde a` menor divisa˜o marcada na escala do instrumento.
1.7.7 Mobilidade
Mobilidade e´ a menor variac¸a˜o da grandeza medida capaz de usar um deslocamento
percept´ıvel no ponteiro ou na imagem luminosa.
1.7.8 Perda Pro´pria
Perda pro´pria e´ a poteˆncia consumida pelo instrumento correspondente a` indicac¸a˜o
final da escala, correspondente ao calibre. Exemplo: um amper´ımetro de calibre 10A e
resisteˆncia pro´pria 0, 2Ω tem uma perda pro´pria de 20W . E´ deseja´vel que os instrumentos
ele´tricos de medic¸a˜o tenham a mı´nima perda pro´pria a fim de que na˜o perturbem o circuito
em que esta´ ligado, sobretudo este circuito trata-se de um circuito de pequena poteˆncia.
Os instrumentos eletroˆnicos de medic¸a˜o sa˜o considerados de perda pro´pria praticamente
nula.
1.7.9 Eficieˆncia
Eficieˆncia de um instrumento e´ a relac¸a˜o entre o seu calibre e a perda pro´pria. Exem-
plo: levando em considerac¸a˜o o exemplo do item anterior, a eficieˆncia do amper´ımetro
seria: 10A/20W = 0, 5A/W . No caso de volt´ımetro e´ usual exprimir a eficieˆncia em Ω/V ,
pois: V/W = RI/V I = R/V . Dois volt´ımetros, um de 800Ω/V e outro de 5000Ω/V , o
segundo tem melhor eficieˆncia que o primeiro.
1.7.10 Rigidez Diele´trica
Rigidez diele´trica caracteriza a isolac¸a˜o entre a parte ativa e a carcac¸a do instrumento.
A rigidez diele´trica e´ expressa por um certo nu´mero de quilovolts, chamado de “tensa˜o
de prova”ou “tensa˜o de ensaio”, o qual representa a tensa˜o ma´xima que se pode aplicar
entre a parte ativa e a carcac¸a do instrumento sem que lhe cause danos.
Estes valores sa˜o representados nos instrumentos simbolicamente por uma estrela con-
tendo, ou na˜o, um nu´mero em seu interior.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 10
1.7.11 Categoria de Medic¸a˜o
Definido pelos padro˜es internacionais, a categoria de medic¸a˜o define categorias de
I a IV, onde os sistemas sa˜o divididos de acordo com a distribuic¸a˜o de energia. Esta
divisa˜o e´ baseada no fato de que um transiente perigoso de alta energia, como um raio,
sera´ atenuado ou amortecido a` medida que passa pela impedaˆncia (resisteˆncia CA) do
sistema.
1.7.12 Exatida˜o
Exatida˜o e´ a caracter´ıstica de um instrumento de medic¸a˜o que exprime o afastamento
entre a medida nele efetuada e o valor de refereˆncia aceito como verdadeiro. O valor da
exatida˜o de um instrumento de medic¸a˜o ou de um acesso´rio e´ definido pelos limites do
erro intr´ınseco e pelos limites da variac¸a˜o na indicac¸a˜o.
Como se veˆ, a exatida˜o de um instrumento e´ considerada em relac¸a˜o a um padra˜o, a um
valor aceito como verdadeiro. Pode-se dizer que a exatida˜o esta´ diretamente relacionada
com as caracter´ısticas pro´prias do instrumento, a forma como foi projetado e constru´ıdo.
Os erros sistema´ticos e´ que definem se um instrumento e´ mais exato ou menos exato que
outro. A exatida˜o vem indicada nos instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o e nos acesso´rios
atrave´s da sua “classe de exatida˜o”.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 11
Classe de Exatida˜o do Instrumento
A classe de exatida˜o do instrumento representa o limite de erro, garantido pelo fa-
bricante do instrumento, que se pode cometer em qualquer medida efetuada com este
instrumento. A classe de exatida˜o e´ representada pelo “´ındice de classe”, um nu´mero
abstrato, o qual deve ser tomado como uma percentagem do calibre do instrumento.
Exemplo: seja um volt´ımetro de calibre C = 300V e classe de exatida˜o 1, 5; o limite de
erro que se pode cometer em qualquer medida feita com este volt´ımetro e´ de 1, 5% de
300V , ou seja:
∆C = 300·1,5
100
= 4, 5V
Veˆ-se que o erro relativo percentual e´ ∆C
X
· 100 > 1, 5% para uma medic¸a˜o efetuada
de X volts. Isto mostra que o instrumento deve ser utilizado para medir grandezas de
valor o mais pro´ximo poss´ıvel do ser calibre, onde teremos o erro relativo mı´nimo. Uma
pra´tica usual e´ selecionar um instrumento de calibre tal que o calor medido se situe no
u´ltimo terc¸o da escala.
Um instrumento ele´trico de medic¸a˜o, quanto melhor e´ a sua classe de exatida˜o, mais
caro ele custa e mais cuidados ele requer na sua utilizac¸a˜o, com pessoal mais especializado.
Tendo em vista este fato e´ que os instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o podem ser classificados
em dois grupos:
Instrumentos de Laborato´rio: sa˜o medidas realizadas em ambientes e condic¸o˜es ideais,
distintos do ambiente industrial. Sa˜o medidas feitas para averiguar o funcionamento
dos dispositivos de medidas industriais, ou para o projeto de dispositivos e circuitos.
Devem ter uma maior precisa˜o e por isso sa˜o mais caros e delicados. Classe de
exatida˜o de 0, 1 a 1, 5;
Instrumentos de Servic¸o, Instrumentos Industriais: sa˜o aquelas medidas feitas direta-
mente sobre a montagem industrial ou instalac¸a˜o ele´trica. Sa˜o utilizados equipa-
mentos pra´ticos tanto fixos como porta´teis, classe de exatida˜o de 2 a 3, ou maior.
1.7.13 Repetibilidade (Precisa˜o)
No Vocabula´rio Internacional de Metrologia, o termo Precisa˜o foi substitu´ıdo por
Repetibilidade. Neste texto adotaremos o termo Repetibilidade.
Repetibilidade e´ a caracter´ıstica de um instrumento de medic¸a˜o, determinada atrave´s
de um processo estat´ıstico de medic¸o˜es, que exprime o afastamento mu´tuo entre as diversas
medidas obtidas de uma grandeza dada, em relac¸a˜o a` me´dia aritme´tica dessas medidas.
Ou seja, repetibilidade e´ a propriedade de um instrumento de, em condic¸o˜es ideˆnticas,
indicar o mesmo valor para uma determinada grandeza medida.
Um instrumento preciso na˜o e´ necessariamente exato, embora seja na maioria dos
casos. A repetibilidade esta´ mais ligada a` operac¸a˜o, ao fato de medir a grandeza. Ou
seja, e´ o termo que esta´ necessariamente ligado a uma avaliac¸a˜o estat´ıstica sobre os valores
resultantes de uma medida. A precisa˜o exprime o grau de consisteˆncia ou reproduc¸a˜o nas
indicac¸o˜es de uma medida sob as mesmas condic¸o˜es. A repetibilidade na˜o vem indicada
nos intrumentos, pois ela resulta de uma ana´lise estat´ıstica.
A repetibilidade de uma medida se faz atrave´s do “´ındice de repetibilidade”, comu-
mente dado em func¸a˜o do desvio padra˜o sobre a me´dia dos valores medidos. Assim,
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 12
quando se diz que determinado resultado tem uma repetibilidade de 0, 5% isto que dizer
que a relac¸a˜o σ/x¯ ≤ 0, 005, onde σ e´ o desvio padra˜o.
A repetibilidade e´ um pre´-requisito da exatida˜o, mas a repetibilidade na˜o garante a
exatida˜o. As medidas efetuadas podera˜o ser ta˜o mais precisas quanto mais exato for o
instrumento empregado.
Exemplo: Suponhamos um volt´ımetro, constru´ıdo com certa classe de exatida˜o, tem
sua resisteˆncia original substitu´ıda por outra de maior valor. Este volt´ımetro continua a
fazer medidas com a mesma repetibilidade, entretanto a sua exatida˜o pode estar muito
diferente daquela que ele tinha quando estava com a resisteˆncia original. A exatida˜o das
medidas somente pode ser comprovada atrave´s da comparac¸a˜o do instrumento com um
padra˜o.
Exemplo: Suponhamos dois volt´ımetros de mesmo calibre, um de classe de exatida˜o
2 e outro de classe de exatida˜o 1. Os dois volt´ımetros podera˜o fazer medidas com a
mesma repetibilidade, pore´m o segundo indicara´ valores mais exatos, pois estes estara˜o
mais pro´ximos do valor aceito como verdadeiro.
1.8 Princ´ıpios de Funcionamento de Instrumentos Ele-
tromecaˆnicos
Os primeiros instrumentos utilizados para medidas de grandezas ele´tricas eram ba-
seados na deflexa˜o de um ponteiro acoplado a uma bobina mo´vel imersaem um campo
magne´tico. Uma corrente aplicada na bobina produz o seu deslocamento pela forc¸a de Lo-
rentz. Um mecanismo de contra-reac¸a˜o (em geral uma mola) produz uma forc¸a contra´ria
de modo que a deflexa˜o do ponteiro seja proporcional a` corrente na bobina.
Estes instrumentos analo´gicos esta˜o em desuso em func¸a˜o de suas qualidades inferiores
se comparadas a`s dos instrumentos digitais (impreciso˜es de leitura, fragilidade, desgaste
mecaˆnico, dif´ıcil automac¸a˜o de leitura, etc.).
Os instrumentos digitais atuais sa˜o inteiramente eletroˆnicos, na˜o possuindo partes
mo´veis (exceto seletores de escala e teclas). Sa˜o mais robustos, precisos, esta´veis e
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 13
dura´veis. Sa˜o baseados em conversores analo´gico/digital (A/D) e sa˜o facilmente adapta´veis
a uma leitura automatizada. Ale´m disso, o custo dos instrumentos digitais e´ em geral
inferior (com excec¸a˜o dos oscilosco´pios).
Contudo, iremos estudar os princ´ıpios gerais sobre instrumentos eletromecaˆnicos de
medic¸a˜o para entendermos melhor o avanc¸o dos instrumentos digitais.
1.8.1 Generalidades sobre Instrumentos Ele´tricos de Medic¸a˜o
Os instrumentos ele´tricos empregados na medic¸a˜o das grandezas ele´tricas teˆm sempre
um conjunto que e´ deslocado aproveitando um dos efeitos da corrente ele´trica: efeito
te´rmico, efeito magne´tico, efeito dinaˆmico, etc. Preso ao conjunto mo´vel esta´ um ponteiro
que se desloca na frente de uma escala graduada em valores da grandeza a que se destina
o instrumento medir, como na figura abaixo.
A corrente ele´trica cont´ınua ao percorrer a bobina fica na presenc¸a do campo magne´tico
do ima˜ permanente. A interac¸a˜o entre a corrente e o campo magne´tico origina as forc¸as
aplicadas aos condutores da bobina, forc¸as estas que produzem um conjugado em relac¸a˜o
ao eixo de rotac¸a˜o do sistema, fazendo girar a bobina em torno deste eixo. Este conjunto
assim originado e´ chamado de “conjugado motor”.
Ao mesmo tempo as molas, com uma extremidade presa ao eixo da bobina e a outra a`
carcac¸a do instrumento, ficam sob tensa˜o mecaˆnica e se opo˜em ao movimento de rotac¸a˜o
da bobina, originando um “conjugado antagonista”ou “conjugado restaurador”. Estas
molas, ale´m da oposic¸a˜o ao deslocamento do conjunto mo´vel, fazem-no voltar a` posic¸a˜o
inicial (posic¸a˜o de repouso) cessado o efeito do conjugado motor.
Para evitar as oscilac¸o˜es do conjunto mo´vel em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio, cria-
se um “conjugado de amortecimento”por meio de artif´ıcios externos ao sistema. Este
“conjugado de amortecimento”evita tambe´m os deslocamentos bruscos do conjunto mo´vel
ao partir da posic¸a˜o de repouso, como ao voltar a ela cessado o efeito do conjugado motor.
O conjunto mo´vel dos instrumentos ele´tricos e´ assim submetido a treˆs conjugados:
1. O motor produzido pela grandeza a medir, aproveitando um dos efeitos da corrente
ele´trica;
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 14
2. O antagonista produzido pelas molas;
3. O de amortecimento produzido por arranjos externos ao conjunto mo´vel.
1.8.2 Amortecimento do Movimento do Conjunto Mo´vel
Ha´ treˆs tipos principais de amortecimentos aplicados aos instrumentos ele´tricos de
medic¸a˜o: amortecimento por correntes de Foucault, por atrito sobre o ar e por atrito
sobre l´ıquido.
Amortecimento por Correntes de Foucault
A figura acima mostra o princ´ıpio f´ısico em que se baseia este amortecimento. O
disco de alumı´nio e´ rigidamente solida´rio ao eixo do conjunto mo´vel. Quando este se
desloca, movido pelo conjugado motor, o disco corta as linhas de fluxo do entreferro do
ima˜ permanente. No disco sa˜o enta˜o induzidas correntes de Foucault. Como elas esta˜o na
presenc¸a do campo magne´tico do mesmo ima˜ permanente, a interac¸a˜o entre estas correntes
e o referido campo magne´tico dara´ origem a uma forc¸a cujo sentido se opo˜e ao movimento
do disco, produzindo assim um conjugado em relac¸a˜o ao eixo de rotac¸a˜o, conjugado este
que e´ de amortecimento, pois a sua existeˆncia esta´ condicionada ao movimento do disco.
O conjugado de amortecimento e´ diretamente proporcional a` velocidade angular do disco.
Amortecimento por Atrito sobre o Ar
E´ provocado pela reac¸a˜o do ar sobre uma fina palheta meta´lica presa ao eixo de rotac¸a˜o
do conjunto mo´vel, ao qual esta´ tambe´m preso o ponteiro.
A figura abaixo mostra o artif´ıcio mais empregado para este tipo de amortecimento.
Pode ser demonstrado que o conjugado de amortecimento e´ proporcional a` velocidade
angular do conjunto mo´vel.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 15
Amortecimento por Atrito sobre L´ıquido
O l´ıquido mais usado e´ o o´leo mineral, em virtude de suas caracter´ısticas, tambe´m
como isolante. A viscosidade do o´leo e´ escolhida de acordo com o mais intenso ou menos
intenso amortecimento que se queira dar ao movimento do conjunto mo´vel. Demonstra-se
tambe´m em dinaˆmica dos l´ıquidos que o conjugado de amortecimento neste caso e´ ainda
proporcional a` velocidade angular do conjunto mo´vel.
1.8.3 Suspensa˜o do Conjunto Mo´vel
Esta e´ a parte mais delicada na construc¸a˜o dos instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o,
devendo a suspensa˜o do conjunto mo´vel ser feita com tal perfeic¸a˜o a proporcionar um
movimento sem nenhum atrito. Ha´ treˆs tipos de suspenso˜es mais empregadas: suspensa˜o
por fio, por eixo (instrumento de “pivot”) e suspensa˜o magne´tica.
Suspensa˜o por Fio
Empregada, sobretudo, em instrumentos de alta sensibilidade, instrumentos de labo-
rato´rio.
O fio de suspensa˜o mostrado na figura acima e´, em geral, feito de uma liga fo´sforo-
bronze e tem treˆs finalidades: suportar o conjunto mo´vel; fornecer, por interme´dio da
torc¸a˜o, o conjugado antagonista; e servir como condutor para levar a corrente ele´trica a`
bobina.
A extremidade superior do fio e´ presa a` carcac¸a do instrumento e a sua porc¸a˜o inferior
e´ feita em forma de mola para permitir regular a tensa˜o mecaˆnica do fio e centralizar o
conjunto mo´vel.
Suspensa˜o por Eixo
O eixo e´ feito de ac¸o, tendo nas extremidades dois bicos pontudos de ac¸o duro repou-
sando sobre dois apoios de rubi ou safira sinte´tica.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 16
O eixo pode ser vertical ou horizontal, como na figura acima. Devido a este detalhe,
deve-se ter o cuidado de utilizar o instrumento na posic¸a˜o correta indicada pelo fabricante,
no mostrador, por s´ımbolos que podem ser vistos na sessa˜o a seguir.
Suspensa˜o Magne´tica
E´ utilizada, sobretudo, nos instrumentos de eixo vertical. Dois pequenos ima˜s per-
manentes sa˜o empregados: um preso ao eixo do conjunto mo´vel e outro a` carcac¸a do
instrumento.
A suspensa˜o magne´tica pode ser de dois tipos: repulsa˜o, conforme a figura acima, em
que po´los de mesmo nome sa˜o colocados em presenc¸a na parte inferior do eixo; e atrac¸a˜o,
conforme figura acima, em que po´los de nomes contra´rios sa˜o colocados em presenc¸a na
parte superior do eixo.
O guia indicado nas figuras e´ feito de material na˜o magne´tico e serve para evitar que
o conjunto mo´vel fuja da posic¸a˜o correta em que deve trabalhar.
Esta suspensa˜o tem sido empregada com resultados satisfato´rios nos medidores de
energia ele´trica, eliminando consideravelmente o atrito no apoio inferior, uma vez que
com este artif´ıcio o conjunto mo´vel fica flutuando no ar. Isto fez com que a vida me´dia
destes medidores aumentasse de 15 para 30 anos.
1.8.4 Processos de Leitura
Os instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o, conforme o modo de indicac¸a˜o do valor das
grandezas medidas, podem ser classificados em treˆs tipos: indicadores, registradores e
acumuladores, ou totalizadores.
Instrumentos Indicadores
Sobre uma escala graduada, eles indicam ovalor da grandeza a que se destinam medir.
Podem ser do tipo “ponteiro”para instrumentos analo´gicos de suspensa˜o por eixo e do
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 17
tipo “feixe luminoso”ou “imagem luminosa”para instrumentos analo´gicos de suspensa˜o
por fio.
Os instrumentos digitais podem utilizar leds, displays, ou monitores independente dos
tipos de instrumento; podendo inclusive, atrave´s de uma rede, possibilitar uma indicac¸a˜o
remota .
Instrumentos Registradores
Em instrumentos analo´gicos, sobre um rolo de papel graduado, eles registram os valores
da grandeza a que se destinam medir. Depois, retirando-se o papel do instrumento, tem-
se uma ide´ia da variac¸a˜o da grandeza medida durante o per´ıodo de tempo em que este
instrumento esteve ligado.
Em instrumentos digitais, o registro e´ realizado atrave´s de memo´rias. O que facilita a
ana´lise e o armazenamento de dados. Ale´m de, atrave´s de uma rede, possibilitar a ana´lise
de forma remota.
Acumuladores ou Totalizadores
O mostrador destes instrumentos indica o valor acumulado da grandeza medida, desde
o momento em que os mesmos foram instalados.
Sa˜o especialmente destinados a` medic¸a˜o de energia ele´trica, levando em considerac¸a˜o
a poteˆncia ele´trica solicitada por uma carga e o tempo de utilizac¸a˜o da mesma. A quan-
tidade de energia ele´trica solicitada durante um certo per´ıodo, um meˆs por exemplo, e´
obtida pela diferenc¸a entre a leitura no fim do per´ıodo, chamada “leitura atual”, e a
leitura que foi feita no in´ıcio do per´ıodo, chamada “leitura anterior”.
1.9 Simbologia para Instrumentos de Medida
A utilizac¸a˜o correta dos instrumentos de medidas ele´tricas depende da escolha dos
instrumentos. Isto permite a medida correta das grandezas sem por em risco a vida
do operador e a integridade do equipamento. Para tanto, deve-se observar os s´ımbolos
gravados nos visores. As tabelas a seguir ilustram alguns dos s´ımbolos frequ¨entemente
utilizados em medidas ele´tricas e nos diagramas dos circuitos ele´tricos.
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 18
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 19
Para fixar a ide´ia, vamos dar um exemplo:
Significac¸a˜o: instrumento de ferro mo´vel, para correntes cont´ınua e alternada, classe
de exatida˜o 1, deve ser utilizado com o mostrador na posic¸a˜o horizontal, tensa˜o de ensaio
2kV .
1.10 Precauc¸o˜es na Utilizac¸a˜o
E´ aconselha´vel que o operador somente utilize um instrumento ele´trico de medic¸a˜o se
tiver real certeza de que o esta´ utilizando de modo correto. Esta precauc¸a˜o faz evitar
acidentes para o operador e para o instrumento. Se o instrumento na˜o e´ ainda conhecido
para o operador, antes de coloca´-lo em operac¸a˜o, devem ser lidos os manuais de instruc¸o˜es
fornecidos pelo fabricante.
Para fazer a medida de uma grandeza ele´trica, e´ necessa´rio selecionar o instrumento
adequado tendo em vista va´rias condic¸o˜es:
1. Natureza da grandeza que se quer medir: corrente, tensa˜o, poteˆncia, energia, etc., e
o seu tipo, isto e´, grandeza cont´ınua ou alternada.
2. Valor aproximado da grandeza para que se possa fazer a selec¸a˜o do calibre adequado.
Na pra´tica, isto e´ quase sempre poss´ıvel em virtude dos dados caracter´ısticos do
equipamento fornecidos na sua placa de identificac¸a˜o. Por exemplo, deseja-se me-
dir a corrente solicitada por uma laˆmpada de 200W , 220V , pode-se empregar um
amper´ımetro de calibre 1A, uma vez que, calculando a corrente solicitada por esta
laˆmpada, se veˆ que ela e´ ligeiramente inferior a 1A.
Se na˜o ha´ condic¸o˜es para determinar previamente o valor aproximado da grandeza,
enta˜o deve ser selecionado um instrumento de calibre o maior poss´ıvel. Verificado
assim desta forma o valor da grandeza, pode-se enta˜o selecionar um calibre mais
adequado, de tal modo que o valor medido se situe no u´ltimo terc¸o da escala do
instrumento utilizado, obtendo-se assim melhor resultado na medida.
3. O instrumento deve ter uma classe de exatida˜o compat´ıvel com a qualidade da gran-
deza que se esta´ medindo e com a precisa˜o que se deseja nos resultados que sera˜o
obtidos.
4. Em relac¸a˜o a` poteˆncia ele´trica da fonte que alimenta o circuito em que vai ser intro-
duzido o instrumento de medic¸a˜o, este deve ser selecionado com uma eficieˆncia a
melhor poss´ıvel a fim de que nenhuma influeˆncia cause no referido circuito.
5. E´ interessante analisar previamente a perturbac¸a˜o que pode causar um determinado
instrumento de medic¸a˜o ao ser inserido num circuito. Este fato e´ ressaltado com
o exemplo seguinte: corriqueiramente e´ dito que todo amper´ımetro tem resisteˆncia
interna desprez´ıvel quando e´ utilizado para medir uma corrente ele´trica. Esta afirma-
tiva e´ precipitada! E´ mais correto afirmar que a resisteˆncia interna do amper´ımetro
Cap´ıtulo 1. Generalidades sobre os Instrumentos de Medidas Ele´tricas 20
e´ pequena, mas na˜o, desprez´ıvel. Podera´ ser desprez´ıvel se realmente for muito me-
nor do que a resisteˆncia do circuito com a qual tenha sido posto em se´rie. Para fixar
a ide´ia, suponhamos que uma fonte E = 10V alimenta uma resisteˆncia R = 1Ω,
conforme a figura abaixo.
Ora, a corrente I que circula atrave´s de R e´ de 10A. Se for introduzido em se´rie
com R um amper´ımetro de resisteˆncia interna Ra = 1Ω, conforme a figura abaixo,
a corrente sera´ agora I = 5A.
Isto mostra que o amper´ımetro causou uma perturbac¸a˜o no circuito em virtude de
a sua resisteˆncia ser considera´vel, e na˜o desprez´ıvel, diante do valor da resisteˆncia
R do circuito. Este exemplo e´ extensivo a todos os outros instrumentos ele´tricos de
medic¸a˜o e serve de alerta aos seus manipuladores.
Cap´ıtulo 2
Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e
Reativa
2.1 Watt´ımetro Eletrodinaˆmico
A figura a seguir esquematiza este instrumento que consta essencialmente das seguintes
partes, ale´m das molas restauradoras:
a. Uma bobina fixa Bc constitu´ıda de duas meias bobinas ideˆnticas;
b. Uma bobina mo´vel Bp, a` qual esta´ preso o ponteiro, colocada entre as duas meias
bobinas Bc.
O movimento do conjunto mo´vel, bobina Bp, resulta da interac¸a˜o entre o campo
eletromagne´tico, criado pela corrente ic, e a corrente ip da bobinaBp. O seu funcionamento
e´ assim ideˆntico ao do instrumento de ima˜ fixo e bobina mo´vel, sendo o ima˜ permanente
substitu´ıdo por Bc, fazendo-se ressalva de que os eletrodinaˆmicos sa˜o utiliza´veis tanto em
corrente cont´ınua como em corrente alternada.
A notac¸a˜o Bc e Bp e´ justificada pela utilizac¸a˜o destes instrumentos como watt´ımetro,
onde Bc e´ chamada bobina de corrente e Bp, bobina de potencial ou bobina de tensa˜o. E
ainda, Lc e´ o coeficiente de auto-induc¸a˜o de Bc e Lp, de Bp.
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 22
Consideremos uma carga Z submetida a` tensa˜o v e percorrida pela corrente i. Ligando
Bc em se´rie com esta carga e Bp em paralelo, e considerando Rp >> ωLp, temos que ic = i
e ip =
v
Rp
. O que nos da´ a poteˆncia ativa da carga Z em watt, de modo que a leitura do
valor da poteˆncia ativa e´ feita diretamente.
2.1.1 Erro Sistema´tico do Watt´ımetro
Como mostram os dois esquemas seguintes e´ imposs´ıvel realizar, ao mesmo tempo, a
ligac¸a˜o se´rie Bc−carga e a ligac¸a˜o paralela Bp−carga. A medic¸a˜o, portanto, comporta um
erro sistema´tico: seja com a influeˆncia da bobina Bc na corrente ic antes da medic¸a˜o de
Bp, ou na influeˆncia da corrente ip da bobina Bp fazendo que haja um desvio da corrente
total i = ic da carga e que e´ medida pela bobina Bc.
No caso em que se deseje um valor preciso de poteˆncia medida, e´ poss´ıvel determinar-se
o valor da poteˆncia perdida para subtra´ı-lo da indicac¸a˜o do watt´ımetro.
2.1.2 Modo Pra´tico de Ligar o Watt´ımetro
Antes de ligar um watt´ımetro,e´ preciso observar os valores ma´ximos de corrente
e tensa˜o suporta´veis por Bc e Bp, respectivamente. Estes valores esta˜o indicados no
mostrador do instrumento, como por exemplo, na figura abaixo em que Bc suporta no
ma´ximo 5A e Bp, 300V .
Olhando para um watt´ımetro, facilmente identificamos os terminais das bobinas Bc e
Bp: os terminais de Bc teˆm maior sec¸a˜o que os de Bp. Ou aqueles esta˜o designados por
A1 e A2, e estes por V1 e V2.
Um terminal de Bc, como tambe´m um de Bp, esta´ marcado com um sinal ± ou com
um aster´ıstico ∗. Isto indica a entrada das bobinas Bc e Bp.
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 23
Para que o watt´ımetro deˆ uma indicac¸a˜o correta:
1. O terminal marcado de Bc deve ser ligado a` fonte e o outro a` carga, como mostra a
figura acima.
2. O terminal marcado de Bp deve ser ligado no condutor que esta´ em se´rie com Bc;
levando em conta o recomendado no item anterior, sua ligac¸a˜o deve ser feita como
na figura acima, isto e´, a bobina Bp ligada depois da bobina de corrente.
3. O terminal na˜o marcado de Bp sera´ ligado ao outro condutor, isto e´, ligado ao ponto
B ou E ou D da figura acima.
4. O watt´ımetro pode dar indicac¸a˜o para tra´s desde que o aˆngulo θ, entre a tensa˜o
aplicada a Bp e a corrente que percorre Bc, tenha cos θ < 0. Para dar indicac¸a˜o para
frente, e´ preciso inverter uma de suas duas bobinas Bc ou Bp, conforme mostram as
figuras abaixo.
Observamos que o watt´ımetro da´ um desvio proporcional ao produto V I cos θ, onde:
V e´ o valor eficaz da tensa˜o aplicada a` Bp; I e´ o valor eficaz da corrente que percorre Bc;
e θ e´ o aˆngulo de defasagem entre V e I.
Como a escala do instrumento ja´ e´ graduada em valores de poteˆncia, no caso em watts,
enta˜o a sua indicac¸a˜o sera´:
W = V I · cos θ
Se as grandezas aplicadas ao watt´ımetro forem as mesmas aplicadas a` carga, enta˜o
ele indicara´ a poteˆncia ativa da carga, conforme a expressa˜o de W acima. Chamamos a
atenc¸a˜o para este ponto porque pode acontecer de a carga ser alimentada com a tensa˜o
V e percorrida pela corrente I, enquanto que o watt´ımetro tenha Bp submetida a` tensa˜o
U , diferente de V , e Bc percorrida pela mesma corrente I. A indicac¸a˜o W do watt´ımetro
sera´ neste caso:
W = UI · cos
(
~̂U ~I
)
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 24
2.2 Medic¸a˜o de Poteˆncia Ele´trica em Corrente Alter-
nada
Para a medic¸a˜o da poteˆncia ele´trica ativa solicitada por uma carga, empregamos o
watt´ımetro. O instrumento pode ser o mesmo, quer a fonte seja de corrente cont´ınua ou
de corrente alternada. Chamamos a atenc¸a˜o para o fato de que a indicac¸a˜o do watt´ımetro
e´ igual ao produto da tensa˜o V aplicada a` sua bobina de potencial Bp pela corrente I que
percorre a sua bobina de corrente Bc e pelo cosseno do aˆngulo de defasagem entre V e I:
W = V I · cos
(
~̂V ~I
)
Se V for a mesma tensa˜o aplicada a` carga e I a mesma corrente que percorre, enta˜o
a indicac¸a˜o do watt´ımetro sera´ a poteˆncia ativa absorvida pela carga.
Relembramos as expresso˜es das poteˆncias ele´tricas em corrente alternada:
Poteˆncia Aparente: S = V I expressa em volt-ampe´re (V A).
Poteˆncia Ativa: P = V I · cos θ expressa em watt (W ).
Poteˆncia Reativa: Q = V I · sin θ expressa em var (var).
E´ preciso tambe´m na˜o esquecer a relac¸a˜o entre a tensa˜o composta U (tensa˜o entre
fases) e a tensa˜o simples V¯ (tensa˜o entre fase e neutro) nos circuitos trifa´sicos equilibrados:
U =
√
3 · V
Para os ciscuitos trifa´sicos equilibrados, as expresso˜es das poteˆncias ficara˜o:
Poteˆncia Aparente: S = 3V I =
√
3 · UI.
Poteˆncia Ativa: P = 3V I · cos θ = √3 · UI cos θ.
Poteˆncia Reativa: Q = 3V I · sin θ = √3 · UI sin θ.
2.2.1 Me´todos para Medic¸a˜o da Poteˆncia Ativa
Num circuito trifa´sico a poteˆncia instantaˆnea e´ dada pela relac¸a˜o:
p = v1i1 + v2i2 + v3i3
onde: i1, i2 e i3 sa˜o as correntes das fases 1, 2 e 3, respectivamente; v1, v2 e v3 sa˜o as
respectivas tenso˜es entre cada fase e o neutro.
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 25
Me´todo dos Treˆs Watt´ımetros: Circuitos de 3 Fases e um Neutro
Este me´todo e´ aplica´vel para os circuitos trifa´sicos a quatro fios, equilibrados ou na˜o,
sendo treˆs fios de fase e um fio de neutro. Temos enta˜o:
P = V1I1 cos θ1 + V2I2 cos θ2 + V3I3 cos θ3
Aplicando enta˜o treˆs watt´ımetros, como mostra a figura abaixo, temos que a soma das
suas indicac¸o˜es respectivas representa a poteˆncia ativa total absorvida pela carga Z.
As indicac¸o˜es dos watt´ımetros sera˜o:
a. W = V1I1 cos
(
~̂V1~I1
)
b. W = V2I2 cos
(
~̂V2~I2
)
c. W = V3I3 cos
(
~̂V3~I3
)
Levando em considerac¸a˜o que a figura do diagrama fasorial corresponde ao esquema
da mesma figura, temos:
a. cos
(
~̂V1~I1
)
= cos θ1
b. cos
(
~̂V2~I2
)
= cos θ2
c. cos
(
~̂V3~I3
)
= cos θ3
A indicac¸a˜o total sera´: W = W1 + W2 + W3 e a poteˆncia ativa total: P = W . Se o
circuito e´ equilibrado, isto e´, existem as igualdades:
a. V1 = V2 = V3 = V
b. I1 = I2 = I3 = I
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 26
c. θ1 = θ2 = θ3 = θ
enta˜o, teremos:
P = 3V I cos θ
Para este caso podemos empregar apenas um watt´ımetro e multiplicar a sua indicac¸a˜o
por 3 para termos a poteˆncia ativa total P .
Me´todo dos Dois Watt´ımetros: Circuitos de 3 Fases
Este me´todo e´ aplica´vel para os circuitos trifa´sicos a treˆs fios, equilibrados ou na˜o,
sendo todos os treˆs fios de fase. Podera´ ser aplicado ao circuito de 4 fios se o mesmo for
equilibrado, o que significa na˜o circular corrente no neutro.
Nos circuitos trifa´sicos a treˆs fios, duas condic¸o˜es sa˜o sempre satisfeitas:
1. A soma das correntes de linha e´ sempre zero:
i1 + i2 + i3 = 0
Isto corresponde a:
~I1 + ~I2 + ~I3 = 0
2. A soma das tenso˜es compostas e´ sempre zero:
u12 + u23 + u31 = 0
Isto corresponde a:
~U12 + ~U23 + ~U31 = 0
Explicitando i3 na expressa˜o acima e substituindo na expressa˜o de poteˆncia ins-
tantaˆnea obtemos:
p = v1i1 + v2i2 − v3 (i1 + i2)
ou ainda:
p = (v1 − v3) i1 + (v2 − v3) i2
Podemos ainda escrever as seguintes relac¸o˜es:{
v1 − v3 = u13 que e´ a tensa˜o composta entre as fases 1 e 3
v2 − v3 = u23 que e´ a tensa˜o composta entre as fases 2 e 3
Enta˜o:
p = u13i1 + u23i2
E a poteˆncia ativa total sera´:
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 27
P = U13I1 · cos
(
~̂U13, ~I1
)
+ U23I2 · cos
(
~̂U23, ~I2
)
A figura acima indica a montagem a realizar com os dois watt´ımetros para a obtenc¸a˜o
de P . Cada watt´ımetro indicara´:
a. W1 = U13I1 · cos
(
~̂U13, ~I1
)
b. W2 = U23I2 · cos
(
~̂U23, ~I2
)
Se o circuito e´ equilibrado, temos do diagrama fasorial da figura acima:
a. ~̂U13, ~I1 = 30
o − θ
b. ~̂U23, ~I2 = 30
o + θ
Acarretando como consequ¨eˆncia:
a. W1 = UI · cos (30o − θ)
b. W2 = UI · cos (30o + θ)
Sobre as expresso˜es acima faremos as seguintes observac¸o˜es:
1. θ < 60o acarreta cos θ > 0, 5
Neste caso temos W1 e W2 positivos, isto e´, os dois watt´ımetros da˜o indicac¸a˜o para
a frente.
2. θ > 60o acarreta cos θ < 0, 5
O primeiro watt´ımetro da´ indicac¸a˜o para frente, mas o segundo da´ indicac¸a˜o para
tra´s.
3. θ = 60o acarreta cos θ = 0, 5
O primeiro watt´ımetro indica sozinho a poteˆncia ativa total da carga, pois o segundo
indica W2 = 0.
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 28
Os dois watt´ımetros sempre dara˜o indicac¸o˜es diferentes entre si. Somente para θ = 0
e´ que teremos: W1 = W2.
A poteˆncia ativa total P = W1+W2 e´ assim a soma alge´brica das respectivas indicac¸o˜es
dos dois watt´ımetros. Se acontecer o segundo caso num circuito, devemos inverter a bobina
de corrente Bc do segundo watt´ımetro de modo que o mesmo deˆ uma indicac¸a˜o parafrente
e este valor sera´ subtra´ıdo da indicac¸a˜o do primeiro instrumento para termos a poteˆncia
total P .
O fator de poteˆncia da carga pode ser calculado a partir das expresso˜es:
cos θ = W1+W2√
3·UI ; sin θ =
W1−W2
UI
; tgθ = W1+W2
W1−W2 ·
√
3
Para este me´todo, ale´m da montagem da figura acima, pode ser realizadas as monta-
gens mostradas na figura abaixo, bastando para isto substituir na expressa˜o da corrente
os valores correspondentes:
i1 = − (i2 + i3) ou i2 = − (i1 + i3)
2.2.2 Medic¸a˜o da Poteˆncia Reativa
A poteˆncia reativa solicitada por uma carga monofa´sica, de fator de poteˆncia cos θ, e´
expressa como:
Q = V I · sin θ
Para a carga trifa´sica esta poteˆncia sera´:
Q = V1I1 sin θ1 + V2I2 sin θ2 + V3I3 sin θ3
Se a carga trifa´sica e´ equilibrada, esta expressa˜o, ficara´:
Q = 3V I · sin θ
Embora existam instrumentos especiais para medic¸a˜o de poteˆncia reativa, eles sa˜o
pouco empregados.Para os circuitos monofa´sicos emprega-se o watt´ımetro e mais um
volt´ımetro e um amper´ımetro, como mostra a figura abaixo.
Da´ı deduzimos: cos θ = P
V I
e consequentemente sin θ e ainda: Q = V I · sin θ. Para
os circuitos trifa´sicos empregamos o wattimetro tendo cuidado de alimentar a sua bobina
Bp com uma tensa˜o defasada de 90
o em relac¸a˜o a` tensa˜o aplicada a` carga.
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 29
Montagens para Medic¸a˜o da Poteˆncia Reativa em Circuitos Trifa´sicos
O circuito trifa´sico pode ser a 3 ou 4 fios, equilibrado ou na˜o, a montagem a realizar
e´ a mostrada na figura abaixo. O fio neutro na˜o e´ utilizado.
As indicac¸o˜es dos watt´ımetros sera˜o:
a. W1 = U23I1 cos
(
~̂U23~I1
)
b. W2 = U31I2 cos
(
~̂U31~I2
)
c. W3 = U12I3 cos
(
~̂U12~I3
)
Do diagrama fasorial correspondente, mostrado na figura acima, temos:
a. cos
(
~̂U23~I1
)
= cos (90o − θ1) = sin θ1
b. cos
(
~̂U31~I2
)
= cos (90o − θ2) = sin θ2
c. cos
(
~̂U12~I3
)
= cos (90o − θ3) = sin θ3
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 30
Assim, a soma das indicac¸o˜es sera´:
W = U23I1 sin θ1 + U31I2 sin θ2 + U12I3 sin θ3
Como as tenso˜es sa˜o supostas sempre equilibradas temos que:
| ~U23| = | ~U31| = | ~U12| = U =
√
3 · V
Assim, a expressa˜o toma a forma:
W =
√
3 · (V I1 sin θ1 + V I2 sin θ2 + V I3 sin θ3)
Comparando as equac¸o˜es, conclui-se que:
W =
√
3 ·Q ∴ Q = W√
3
Ou seja: a poteˆncia reativa total Q da carga e´ igual a` soma das indicac¸o˜es dos treˆs
watt´ımetros dividida por
√
3. Sendo o circuito trifa´sico equilibrado, podemos empregar
apenas o primeiro watt´ımetro como mostra a figura abaixo. Desta se conclui:
W1 = UI sin θ =
√
3 · V I sin θ
E neste caso para termos a poteˆncia reativa total Q:
Q =
√
3 ·W1 ou seja: Q = 3V I sin θ
Costuma-se fazer a montagem da figura com treˆs watt´ımetros na pra´tica para verificar
se o circuito trifa´sico e´ realmente equilibrado, pois em caso afirmativo todos os watt´ımetros
dara˜o a mesma indicac¸a˜o:
W1 = W2 = W3
Ainda para os circuitos trifa´sicos equilibrados podemos empregar dois watt´ımetros
como na figura abaixo e teremos:
W = W1 +W2
Cap´ıtulo 2. Medic¸a˜o de Poteˆncias Ativa e Reativa 31
Sequeˆncia das Fases
Na medic¸a˜o da poteˆncia ativa na˜o importa a sequ¨eˆncia das fases. Mas, na medic¸a˜o da
poteˆncia reativa e´ muito importante conhecer a sequ¨eˆncia das fases, pois se a ligac¸a˜o de
Bp na˜o for a correta, como a indicada nas montagens anteriores, o instrumento pode dar
indicac¸a˜o incorreta, inclusive em sentido contra´rio ao normal. A primeira vista parece que
e´ bastante inverter a ligac¸a˜o de Bc e teremos a indicac¸a˜o correta para a frente. Entretanto,
esta observac¸a˜o e´ feita para o fato da identificac¸a˜o da natureza da poteˆncia reativa, isto e´,
indutiva ou capacitiva. Se a poteˆncia reativa for capacitiva, embora o instrumento esteja
com a ligac¸a˜o correta, sua indicac¸a˜o sera´ para tra´s, como se pode ver na figura abaixo.
A indicac¸a˜o do watt´ımetro:
W = U23I1 · cos
(
~̂U23, ~I1
)
Mas, do diagrama fasorial:
cos
(
~̂U23, ~I1
)
= cos (90o + θ) = − sin θ
Donde concluimos:
W = −U23I1 sin θ
Se a ligac¸a˜o tivesse sido U32 ter´ıamos que a indicac¸a˜o do watt´ımetro seria:
W = U32I1 sin θ
O mo´dulo seria o mesmo, mas dir´ıamos que a poteˆncia reativa e´ indutiva, quando na
realidade e´ capacitiva.
Cap´ıtulo 3
Transformadores para Instrumentos
3.1 Introduc¸a˜o
Os transformadores para instrumentos sa˜o equipamentos ele´tricos projetados e cons-
tru´ıdos especificamente para alimentarem instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o, controle ou
protec¸a˜o. Sa˜o dois os tipos de transformadores para instrumentos.
Transformador de Potencial (TP)
E´ um transformador para instrumento cujo enrolamento prima´rio e´ ligado em de-
rivac¸a˜o com um circuito ele´trico e cujo enrolamento secunda´rio se destina a alimentar
bobinas de potencial de instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o, controle ou protec¸a˜o. Na
pra´tica e´ considerado um “redutor de tensa˜o”, pois a tensa˜o no seu circuito secunda´rio e´
normalmente menor que a tensa˜o no seu enrolamento prima´rio.
Transformador de Corrente (TC)
E´ um transformador para instrumento cujo enrolamento prima´rio e´ ligado em se´rie
em um circuito ele´trico e cujo enrolamento secunda´rio se destina a alimentar bobinas de
corrente de instrumentos ele´tricos de medic¸a˜o, controle ou protec¸a˜o. Na pra´tica e´ consi-
derado um “redutor de corrente”, pois a corrente que percorre o seu circuito secunda´rio
e´ normalmente menor que a corrente que percorre o seu enrolamento prima´rio.
3.2 Generalidades sobre Transformadores
O transformador e´ um equipamento ele´trico, esta´tico, que recebe energia ele´trica
e fornece energia ele´trica. Um transformador consta essencialmente de dois circuitos
ele´tricos, acoplados atrave´s de um circuito magne´tico. Um dos circuitos ele´tricos, cha-
mado “prima´rio”, recebe energia de uma fonte AC, e o outro, chamado “secunda´rio”,
fornece energia da mesma forma e frequ¨eˆncia, mas usualmente sob tensa˜o diferente, a
uma carga M .
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 33
Os circuitos prima´rio e secunda´rio sa˜o bobinas de fios de cobre, em geral com n1 6= n2
onde n1 e´ o nu´mero de espiras do prima´rio e n2 e´ o nu´mero de espiras do secunda´rio.
O circuito magne´tico, chamado “nu´cleo”, e´ de chapas de ferro-sil´ıcio justapostas, mas
isoladas umas das outras para reduzir as perdas por correntes de Foucault.
Admitindo que a poteˆncia fornecida ao prima´rio e´ totalmente transferida ao secunda´rio,
isto e´, na˜o ha´ perdas, rendimento 100%, podemos escrever: U1I1 = U2I2 ou ainda:
U1
U2
= I2
I1
= n1
n2
Da expressa˜o acima conclu´ımos: n1I1 = n2I2, o que significa ser o nu´mero de ampe´res-
espiras do prima´rio igual ao nu´mero de ampe´res-espiras do secunda´rio. Portanto:
I1 =
n2
n1
· I2
Como ~I1 e ~I2 teˆm sentidos opostos, a relac¸a˜o fasorial entre elas sera´:
~I1 = −n2n1 · ~I2
E como ~E1 deve equilibrar a tensa˜o aplicada ~U1, temos as sequintes relac¸o˜es fasoriais:
~U2 = ~E2 e ~U1 = − ~E1
Agora, consideraremos um transformador real com todos os seus elementos considera-
dos: resisteˆncias dos enrolamentos prima´rio r1 e secunda´rio r2, corrente de excitac¸a˜o ~I0,
fluxo de dispersa˜o representados pelas “reataˆncias de fuga”ou “reataˆncias de dispersa˜o”do
prima´rio x1 e secunda´rio x2.
Desta forma, a expressa˜o do transformador ficara´:
~U1 = − ~E1 + r1~I1 + jx1~I1
~U2 = ~E2 − r2~I2 − jx2~I2
onde a corrente do prima´rio com a corrente de excitac¸a˜o e´ ~I1 = −n2n1 · ~I2 + ~I0.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 34
3.3 Transformador de Potencial (TP)
A figura abaixo representa, esquematicamente, o transformador de potencial (TP). O
TPtem n1 > n2 dando assim uma tensa˜o U2 < U1, sendo por isto considerado na pra´tica
como um elemento “redutor de tensa˜o”, pois uma tensa˜o elevada U1 e´ transformada para
uma tensa˜o reduzida U2 de valor suporta´vel pelos instrumentos ele´tricos usuais.
Os TPs sa˜o projetados e constru´ıdos para uma tensa˜o secunda´ria nominal padronizada
em 115 volts, sendo a tensa˜o prima´ria nominal estabelecida de acordo com a tensa˜o entre
fases do circuito em que o TP sera´ ligado. Assim, sa˜o encontrados no mercado TPs para:
2300/115V , 13800/115V , 69000/115V , etc., isto significa que:
a. Quando no prima´rio se aplica a tensa˜o nominal para o qual o TP foi constru´ıdo, no
secunda´rio tem-se 115 volts;
b. Quando no prima´rio se aplica um tensa˜o menor ou maior do que a nominal, no
secunda´rio tem-se tambe´m uma tensa˜o menor ou maior do que 115 volts, mas na
mesma proporc¸a˜o das tenso˜es nominais do TP utilizado. Exemplo: num TP de
13800/115V , ao aplicar-se a tensa˜o de 13400V no prima´rio, tem-se no secunda´rio
112V ; ao aplicar-se a tensa˜o de 14280V , tem-se no secunda´rio 119V .
Os TPs a serem ligados entre fase e neutro sa˜o constru´ıdos para terem como tensa˜o
prima´ria nominal a tensa˜o entre fases do circuito dividida por
√
3, e com tensa˜o secunda´ria
nominal 115/
√
3 volts ou 115V aproximadamente, podendo ainda ter estas duas possibi-
lidades de tenso˜es ao mesmo tempo por meio de uma derivac¸a˜o conforme mostra a figura
abaixo.
Assim, sa˜o tambe´m encontrados no mercado TPs, por exemplo, para:
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 35
1. Tensa˜o prima´ria nominal: 13800/
√
3 volts
Tensa˜o secunda´ria nominal: 115/
√
3 volts, ou as duas tenso˜es: 115/
√
3V e 115V
aproximadamente.
2. Tensa˜o prima´ria nominal: 69000/
√
3 volts
Tensa˜o secunda´ria nominal: 115/
√
3 volts, ou as duas tenso˜es: 115/
√
3V e 115V
aproximadamente.
O quadro abaixo mostra as tenso˜es prima´rias nominais e as relac¸o˜es nominais padro-
nizadas para os TPs fabricados normalmente no Brasil.
Os TPs sa˜o projetados e constru´ıdos para suportarem uma sobre-tensa˜o de ate´ 10%
em regime permanente, sem que nenhum dano lhes seja causado. Como os TPs sa˜o
empregados para alimentar instrumentos de alta impedaˆncia (volt´ımetros, bobinas de
potencial de watt´ımetros, bobinas de potencial de medidores de energia ele´trica, rele´s
de tensa˜o, etc.) a corrente secunda´ria I2 e´ muito pequena e por isto se diz que sa˜o
transformadores de poteˆncia que funcionam quase em vazio.
3.3.1 Relac¸a˜o Nominal
U1n
U2n
= Kp
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 36
E´ a relac¸a˜o entre os valores nominais U1n e U2n das tenso˜es prima´ria e secunda´ria,
respectivamente, tenso˜es estas para as quais o TP foi projetado e constru´ıdo. A “relac¸a˜o
nominal”e´ a indicada pelo fabricante na placa de identificac¸a˜o do TP. E´ chamada tambe´m
de “relac¸a˜o de transformac¸a˜o nominal”, ou simplesmente de “relac¸a˜o de transformac¸a˜o”,
sendo nas aplicac¸o˜es pra´ticas considerada uma constante para cada TP. Ela e´ muito
aproximadamente igual a` relac¸a˜o entre as espiras:
U1n
U2n
= Kp 6= n1n2
3.3.2 Relac¸a˜o Real
U1
U2
= Kr
E´ a relac¸a˜o entre o valor exato U1 de uma tensa˜o qualquer aplicada ao prima´rio do
TP e o correspondente valor exato U2 verificado no secunda´rio dele. Em virtude de o TP
ser um equipamento eletromagne´tico, a cada U1 corresponde um U2 e como consequ¨eˆncia,
um Kr:
U1
U2
= Kr ;
U ′1
U ′2
= K ′r ;
U ′′1
U ′′2
= K ′′r
Como tambe´m, para uma mesma tensa˜o U1 aplicada ao prima´rio, a cada carga colocada
no secunda´rio do TP podera´ corresponder um valor da tensa˜o U2, e como consequ¨eˆncia,
um Kr:
U1
U ′2
= K ′r ;
U1
U ′′2
= K ′′r ; etc.
Estes valores de Kr sa˜o todos muito pro´ximos entre si e tambe´m de Kp, pois os TPs sa˜o
projetados dentro de crite´rios especiais e sa˜o fabricados com materiais de boa qualidade
sob condic¸o˜es e cuidados tambe´m especiais.
Como na˜o e´ poss´ıvel medir U2 e U1 com volt´ımetros (U1 tem normalmente valor ele-
vado), mede-se U2 e chega-se ao valor exato U1 atrave´s da construc¸a˜o do diagrama fasorial
do TP. Por isto e´ que a “relac¸a˜o real”aparece mais comumente indicada sob a forma se-
guinte:
~U1
U2
= Kr
3.3.3 Fator de Correc¸a˜o de Relac¸a˜o
Kr
Kp
= FCRp
E´ o fator pelo qual deve ser multiplicada a “relac¸a˜o de transformac¸a˜o”Kp do TP para
se obter a sua relac¸a˜o real Kr.
De imediato veˆ-se que a cada Kr de um TP correspondera´ um FCRp. Em virtude
destas variac¸o˜es, determinam-se os valores limites inferior e superior do FCRp para cada
TP, sob condic¸o˜es especificadas, partindo-se da´ı para o estabelecimento da sua “classe de
exatida˜o”, conforme sera´ visto a seguir.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 37
Na pra´tica lemos o valor da tensa˜o U2 com um volt´ımetro ligado ao secunda´rio do TP
e multiplicamos este valor lido por Kp para obtermos o valor da tensa˜o prima´ria, valor
este que representa o “valor medido”desta tensa˜o prima´ria, e na˜o o seu valor exato U1.
Exemplo: um TP de 13800/115V tem o prima´rio ligado entre as duas fases de um
circuito de alta tensa˜o e o secunda´rio alimentando um volt´ımetro onde se leˆ: U2 = 113V .
Como a relac¸a˜o de transformac¸a˜o e´ neste caso Kp = 120, considera-se que a tensa˜o do
circuito e´:
KpU2 = 120 · 113 = 13560V
3.3.4 Diagrama Fasorial
O diagrama fasorial do TP, mostrado logo abaixo, e´ o mesmo do transformador geral.
A seguir e´ mostrado o racioc´ınio para sua construc¸a˜o.
Vamos trac¸ar o diagrama fasorial do transformador considerando n1 > n2. No se-
cunda´rio do transformador medem-se: U2, I2 e θ2, grandezas estas que dependem do tipo
de carga que o transformador alimenta. Escolhendo-se uma escala conveniente para repre-
sentac¸a˜o gra´fica dos fasores, fixa-se a posic¸a˜o do fasor ~I2 em relac¸a˜o ao fasor ~U2 e adota-se
a seguinte sequ¨eˆncia:
a. A partir da extremidade de ~U2, trac¸a-se r2~I2 paralelo a ~I2 por representar a queda de
tensa˜o na resisteˆncia pro´pria do enrolamento secunda´rio.
b. A partir da extremidade de r2~I2 trac¸a-se x2~I2 adiantado de 90
o em relac¸a˜o a ~I2 por
representar a queda de tensa˜o na reataˆncia de dispersa˜o do secunda´rio.
c. Unindo-se o ponto 0 a` extremidade do fasor x2~I2, determina-se o fasor ~E2 representa-
tivo da f.e.m. do enrolamento secunda´rio.
d. O fasor ~E1 esta´ em fase com ~E2, sendo o seu mo´dulo determinado pela seguinte
relac¸a˜o: E1 =
n1
n2
· E2
e. Adiantando-se de 90o em relac¸a˜o a ~E1 e ~E2 trac¸a-se o fasor representativo do fluxo φ.
f. A corrente de excitac¸a˜o I0, a qual e´ cerca de 1% da corrente nominal prima´ria,
e o aˆngulo θ0 sa˜o determinados por meio de um ensaio em vazio. No diagrama
fasorial ~I0 e´ posicionado em relac¸a˜o a − ~E1 uma vez que em vazio pode-se considerar:
~U1 = − ~E1. Na figura, o fasor ~I0 na˜o esta´ em escala para possibilitar uma melhor
visualizac¸a˜o da figura.
g. A partir da extremidade de ~I0 trac¸a-se um fasor paralelo a ~I2, pore´m de sentido
contra´rio, de mo´dulo: n1
n2
· I2.
h. Unindo-se o ponto 0 a` extremidade do fasor acima, determina-se o fasor ~I1.
i. A partir da extremidade de − ~E1 trac¸a-se r1~I1 paralelo a ~I1 por representar a queda
de tensa˜o na resisteˆncia pro´pria do enrolamento prima´rio.
j. A partir da extremidade de r1~I1 trac¸a-se x1~I1 adiantado de 90
o em relac¸a˜o a` ~I1 por
representar a queda de tensa˜o na reataˆncia de dispersa˜o do prima´rio.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 38
k. Unindo-se o ponto 0 a` extremidade de x1~I1 determina-se o fasor U1 representativo da
tensa˜o aplicada ao enrolamento prima´rio do transformador.
Se na˜o houvesse a corrente ~I0, a corrente ~I1 estaria defasada de exatamente 180
o em
relac¸a˜o a` corrente ~I2. Se o transformadorfosse perfeito, isto e´, sem perdas e sem fugas, a
tensa˜o ~U1 estaria tambe´m defasada de 180
o em relac¸a˜o a` tensa˜o ~U2.
No exemplo citado anteriormente, o valor encontrado de 13560V e´ o valor medido da
tensa˜o prima´ria do TP. Para determinar o valor verdadeiro U1 desta tensa˜o, ter-se-a´ de
construir o diagrama fasorial deste TP como aparece na figura acima. Assim, para fixar
a ide´ia:
a. KpU2 e´ o valor medido da tensa˜o prima´ria;
b. | ~U1| = U1 e´ o valor verdadeiro ou exato da tensa˜o prima´ria obtido no diagrama
fasorial, o qual pode diferir ligeiramente de KpU2.
Ainda na figura acima, pode ser visto que o inverso de ~U2 esta´ defasado de um aˆngulo
γ em relac¸a˜o a` ~U1. Num TP ideal este aˆngulo γ seria zero.
Estas considerac¸o˜es levam a concluir que o TP, ao refletir no secunda´rio o que se passa
no prima´rio, pode introduzir dois tipos de erros.
3.3.5 Erros do TP
Erro de Relac¸a˜o εp
valor relativo: εp =
KpU2−| ~U1|
| ~U1|
valor percentual: ε%p =
KpU2−| ~U1|
| ~U1| · 100
Quando εp e FCRp esta˜o expressos em valores percentuais, ha´ o seguinte relaciona-
mento entre eles:
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 39
ε%p = 100− FCR%p
Esta expressa˜o mostra a equivaleˆncia correta entre o erro de relac¸a˜o εp e o fator de
correc¸a˜o de relac¸a˜o FCRp, cujos valores indicados no paralelogramo de exatida˜o esta˜o
perfeitamente coerentes com esta equivaleˆncia.
Para fins de racioc´ınio, podem ser deduzidas as duas concluso˜es seguintes:
1. Kp < Kr acarreta FCRp > 100% e εp < 0:
Neste caso, o valor considerado KpU2 para a tensa˜o prima´ria (chamado de valor
medido) e´ menor do que o seu valor verdadeiro U1; ha´, portanto, um erro por falta;
2. Kp > Kr acarreta FCRp < 100% e εp > 0:
Neste caso, o valor considerado KpU2 para a tensa˜o prima´ria (chamado de valor
medido) e´ maior do que o seu valor verdadeiro U1; ha´, portanto, um erro por excesso;
Ha´ uma prefereˆncia na pra´tica em se trabalhar com o FCRp em lugar do εp, pois
aquele fator e´ simplesmente um nu´mero abstrato, independente de sinal, e da´ a entender
exatamente o que se quer em relac¸a˜o a` tensa˜o prima´ria refletida no secunda´rio, isto e´, se
ha´ erro por falta ou por excesso no valor a ela atribu´ıdo.
Em termos pra´ticos na˜o e´ usual o levantamento do diagrama fasorial como me´todo para
a determinac¸a˜o dos erros de relac¸a˜o e de fase de um TP, em virtude dos inconvenientes e
dificuldades inerentes a este pretenso me´todo.
Para se determinar estes erros, e consequentemente a classe de exatida˜o de um TP,
prefere-se na pra´tica, por simplicidade, comparar o TP com um TP padra˜o ideˆntico a ele,
de mesma relac¸a˜o de transformac¸a˜o nominal, pore´m sem erros, ou de erros conhecidos.
Para fixar a ide´ia, vamos dar um exemplo nume´rico. Ao prima´rio de um TP de
13800/115V , sob ensaio aplica-se uma certa tensa˜o que faz surgir no secunda´rio a tensa˜o
de 114V , comprovada atrave´s de um volt´ımetro. Constata-se depois que a tensa˜o prima´ria
fora de exatamente 13800V . Determinar: Kp, Kr, FCRp e ε
%
p .
Relac¸a˜o de Transformac¸a˜o Nominal: Kp = 13800/115 = 120
Relac¸a˜o Real: Kr = 13800/114 = 121, 053
Fator de Correc¸a˜o de Relac¸a˜o: FCRp = 121, 053/120 = 1, 00877 ou FCRp = 100, 877%
Erro de Relac¸a˜o: ε%p = 100− 100, 877 = −0, 877%
Sendo neste exemplo FCRp > 100% (εp < 0), conclu´ı-se que o erro cometido em
relac¸a˜o a` tensa˜o prima´ria e´ por falta, pois a esta tensa˜o seria atribu´ıdo o valor: U1 =
120 · 114 ∴ U1 = 13680V .
Erro de Fase ou Aˆngulo de Fase
E´ o aˆngulo de defasagem γ existente entre ~U1 e o inverso de ~U2. Se o inverso de ~U2 e´
adiantado em relac¸a˜o a ~U1, γ e´ positivo. Em caso contra´rio, e´ negativo.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 40
3.3.6 Classes de Exatida˜o dos TPs
Do diagrama fasorial conclui-se de imediato que para um mesmo TP, submetido a` uma
tensa˜o prima´ria U1, os erros de relac¸a˜o e de fase variam com o tipo de carga utilizada no
seu secunda´rio, isto e´, eles sa˜o func¸a˜o de I2 e θ2. E´ deseja´vel na pra´tica que estes erros
sejam os menores poss´ıveis.
Em virtude deste fato, e com o objetivo de detectar a qualidade dos TPs e o seu
comportamento prova´vel nas instalac¸o˜es, as normas te´cnicas estabelecem certas condic¸o˜es
sob as quais estes transformadores devem ser ensaiados, definindo a partir da´ı a “classe
de exatida˜o”dos mesmos.
Os TPs sa˜o enquadrados em uma ou mais das treˆs seguintes classe de exatida˜o: classe
de exatida˜o 0, 3, 0, 6 e 1, 2. Considera-se que um TP esta´ dentro de sua classe de exatida˜o
em condic¸o˜es especificadas quando, nestas condic¸o˜es, o ponto determinado pelo erro de
relac¸a˜o εp ou pelo fator de correc¸a˜o de relac¸a˜o FCRp e pelo aˆngulo de fase γ estiver dentro
do “paralelogramo de exatida˜o”especificado na figura abaixo correspondente a` sua classe
de exatida˜o.
Para se estabelecer a classe de exatida˜o dos TPs estes sa˜o ensaiados em vazio e depois
com cargas padronizadas colocadas no seu secunda´rio, uma de cada vez, sob as seguintes
condic¸o˜es de tensa˜o: tensa˜o nominal, 90% da tensa˜o nominal e 110% da tensa˜o nominal.
Estas tenso˜es de ensaio cobrem a faixa de tenso˜es prova´veis das instalac¸o˜es em que os
TPs sera˜o utilizados.
As cargas padronizadas, acima referidas, esta˜o relacionadas no quadro abaixo. E´
interessante ressaltar que estas cargas na˜o foram “criadas”aleatoriamente, mas sim tendo
em vista os tipos de instrumentos ele´tricos que sa˜o usualmente empregados no secunda´rio
dos TPs, instrumentos aqueles com os quais tais cargas se assemelham em caracter´ısticas
ele´tricas.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 41
Para melhor entendimento do paralelogramo de exatida˜o, suponhamos que um TP,
ensaiado com uma das cargas do quadro acima, apresentou:
erro de relac¸a˜o: εp = −0, 2% o que corresponde ao FCRp = 100, 2%
aˆngulo de fase: γ = 20′
O ponto correspondente a estes valores fica for a dos paralelogramos representativos
das classes 0, 3 e 0, 6. Entretanto fica dentro do paralelogramo da classe 1, 2. Enta˜o este
TP sera´ considerado de classe de exatida˜o 1, 2 para a carga de ensaio, embora o erro de
relac¸a˜o tenha sido de apenas 0, 2%.
Se na placa de um TP esta´ indicado: 0, 3WXY ; 0, 6Z isto significa que:
1. o TP ensaiado com as cargas padronizadas W , X e Y tem classe de exatida˜o 0, 3, isto
e´, apresenta erro de relac¸a˜o −0, 3% ≤ εp ≤ 0, 3% e aˆngulo de fase γ tal que o ponto
correspondente a estes erros fica dentro do paralelogramo de classe 0, 3%;
2. ensaiado com a carga padronizada Z tem classe de exatida˜o 0, 6.
Na designac¸a˜o da ABNT aquela indicac¸a˜o na placa do TP seria representada por
0, 3− P75; 0, 6− P200 .
O quadro abaixo mostra como selecionar a exatida˜o adequada para um TP tendo em
vista a sua aplicac¸a˜o nas diferentes categorias de medic¸o˜es.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 42
3.3.7 Fator de Correc¸a˜o de Transformac¸a˜o (FCTp) do TP
E´ interessante observar que na medic¸a˜o de tensa˜o, isto e´, quando o TP esta´ alimen-
tando apenas volt´ımetro, o FCRp e´ o u´nico que tem efeito nos valores medidos. Mas,
quando o TP alimenta instrumento cuja indicac¸a˜o depende dos respectivos mo´dulos da
tensa˜o e da corrente a ele aplicadas e tambe´m do aˆngulo de defasagem entre estas duas
grandezas, como no caso de watt´ımetros e medidos de energia ele´trica, enta˜o o FCRp e o
aˆngulo de fase γ teˆm efeito simultaˆneo nos valores medidos, e por isto devem ser ambos
levados em considerac¸a˜o na ana´lise dos resultados.
Com isto chega-se ao “fator de correc¸a˜o de transformac¸a˜o”FCTp que e´ definido da
seguinte maneira: fator pelo qual se deve multiplicar a leitura indicada por um watt´ımetro,
ou por um medidor de energia ele´trica, cuja bobina de potencial e´ alimentada atrave´s do
referido TP, para corrigir o efeito combinado do fatorde correc¸a˜o de relac¸a˜o FCRp e do
aˆngulo de fase γ.
A montagem da figura abaixo esquematiza o que foi dito acima.
As normas te´cnicas definem o trac¸ado dos paralelogramos de exatida˜o baseando-se
no FCTp e na carga medida no prima´rio do TP (carga M na figura acima), para o
qual estabelecem que o fator de poteˆncia deve ser indutivo e ter um valor compreendido
entre 0, 6 e 1. Fica enta˜o entendido que a exatida˜o do TP, indicada na sua placa de
identificac¸a˜o, somente e´ garantida para cargas medidas daquele tipo, isto e´, com fator de
poteˆncia indutivo entre 0, 6 e 1.
Para qualquer fator de correc¸a˜o da relac¸a˜o (FCRp) conhecido de um TP, o valor limite
positivo ou negativo do aˆngulo de fase (γ) em minutos e´ expresso por:
γ = 2600 (FCTp − FCRp)
onde o fator de correc¸a˜o da transformac¸a˜o (FCTp) deste TP assume os seus valores
ma´ximo e mı´nimo.
Justamente, a partir da expressa˜o acima e´ que se constro´i o paralelogramo de exatida˜o
correspondente a cada classe, pois, fixado um valor nume´rico para o FCTp, veˆ-se que esta
expressa˜o representa a equac¸a˜o de uma reta. E de acordo com o que foi dito acima, o
FCTp pode ter dois valores em cada classe de exatida˜o:
a. 1, 003 e 0, 997 na classe de exatida˜o 0, 3
b. 1, 006 e 0, 994 na classe de exatida˜o 0, 6
c. 1, 012 e 0, 988 na classe de exatida˜o 1, 2
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 43
Para se trac¸ar o paralelogramo referente a uma classe de exatida˜o, atribui-se ao FCTp
o seu valor ma´ximo e faz-se variar o FCRp desde o seu limite superior ate´ o limite inferior,
obtendo-se assim os valores positivos de γ, podendo-se enta˜o trac¸ar um lado inclinado da
figura. Em seguida, atribui-se ao FCTp o seu valor mı´nimo e faz-se novamente o FCRp
variar, obtendo-se agora os valores negativos de γ e consequ¨entemente o outro inclinado
da figura.
3.3.8 Como Especificar um TP
Para se especificar corretamente um TP, e´ necessa´rio antes de tudo saber-se qual
sera´ a finalidade da sua aplicac¸a˜o, pois isto definira´ a classe de exatida˜o, conforme visto
anteriormente.
A poteˆncia nominal do TP sera´ estabelecida tendo em vista as caracter´ısticas (em
termos de perdas ele´tricas internas) dos instrumentos ele´tricos que sera˜o inseridos no
secunda´rio, caracter´ısticas estas que sa˜o normalmente fornecidas pelos seus fabricantes ou
podera˜o ser determinadas em laborato´rio atrave´s de ensaios apropriados. O quadro da
figura abaixo indica, a t´ıtulo de refereˆncia, a ordem de grandeza das perdas da bobina
de potencial de alguns instrumentos ele´tricos que sa˜o utilizados com TPs, em condic¸o˜es
de 115V , 60Hz. E´ poss´ıvel, partindo da´ı, chegar-se a`s caracter´ısticas Z, R e L de cada
bobina, caso se deseje. Conve´m aqui lembrar que para a bobina de potencial dos medidores
de energia ele´trica, que as perdas na˜o devera˜o exceder 2W e 8V A. Os ensaios devem ser
feitos em condic¸o˜es nominais.
Para fixar ide´ia na especificac¸a˜o de TPs, vamos dar dois exemplos.
Exemplo 1
Especificar um TP para medic¸a˜o de energia ele´trica para faturamento a um consumidor
energizado em 69kV , em que sera˜o utilizados os seguintes instrumentos:
a. Medidor de kWh com indicador de demanda ma´xima tipo mecaˆnico.
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 44
b. Medidor de kvarh, espec´ıfico para energia reativa, sem indicador de demanda ma´xima.
Soluc¸a˜o:
a. Classe de exatida˜o: o quadro de classe de exatida˜o indica 0, 3.
b. Poteˆncia do TP: os fabricantes dos instrumentos ele´tricos que sera˜o utilizados forne-
ceram o seguinte quadro de perdas em 115V , 60Hz:
Da´ı, chega-se a:
S =
√
(6, 0)2 + (19, 3)2 ∴ S = 20, 21V A
Com estes resultados e consultando o quadro da figura de cargas nominais, veˆ-se
que o TP deve ser de carga nominal pelo menos de 25V A que e´ a carga padronizada
para ensaio de exatida˜o imediatamente superior a 20, 21V A. A especificac¸a˜o deste
TP, do ponto de vista ele´trico, pode enta˜o ter o seguinte enunciado: Transforma-
dor de potencial, tensa˜o prima´ria nominal 69000V , relac¸a˜o nominal 600 : 1, 60Hz,
carga nominal ABNT P25, classe de exatida˜o ABNT 0, 3−P25 (ou ANSI 0, 3WX),
poteˆncia te´rmica 1000V A, grupo de ligac¸a˜o 1, para uso exterior (ou interior, con-
forme for o caso), n´ıvel de isolamento: tensa˜o nominal 69kV , tensa˜o ma´xima de
operac¸a˜o 72, 5kV , tenso˜es suporta´veis nominais a` frequ¨eˆncia industrial e de impulso
atmosfe´rico: 140kV e 350kV , respectivamente.
Exemplo 2
Especificar um TP para medic¸a˜o de energia ele´trica e controle em 13, 8kV , sem fina-
lidade de faturamento, em que sera˜o utilizados os seguintes instrumentos:
a. Medidor de kWh com indicador de demanda ma´xima tipo mecaˆnico.
b. Medidor de kWh, sem indicador de demanda ma´xima, acoplado a um autotransfor-
mador de defasamento, servindo assim para medir kvarh.
c. Watt´ımetro.
d. Var´ımetro.
e. Volt´ımetro.
f. Fas´ımetro.
Soluc¸a˜o:
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 45
a. Classe de exatida˜o: o quadro da classe de exatida˜o indica 0, 6 ou 1, 2 (a optar pelo
comprador).
b. Poteˆncia do TP: os fabricantes dos instrumentos ele´tricos que sera˜o utilizados forne-
ceram o seguinte quadro de perdas:
Da´ı, chega-se a:
S =
√
(21, 9)2 + (30, 4)2 ∴ S = 37, 46V A
Com estes resultados e consultando o quadro da figura de cargas nominais, veˆ-se que
o TP deve ser de carga nominal pelo menos de 75V A que e´ a carga padronizada para
ensaio de exatida˜o imediatamente superior a 37, 46V A. A especificac¸a˜o deste TP,
do ponto de vista ele´trico, pode enta˜o ter o seguinte enunciado: Transformador de
potencial, tensa˜o prima´ria nominal 13800V , relac¸a˜o nominal 120 : 1, 60Hz, carga
nominal ABNT P75, classe de exatida˜o ABNT 0, 6 − P75 (ou ANSI 0, 6WXY ),
poteˆncia te´rmica 400V A, grupo de ligac¸a˜o 1, para uso exterior (ou interior, conforme
for o caso), n´ıvel de isolamento: tensa˜o nominal 13, 8kV , tensa˜o ma´xima de operac¸a˜o
15kV , tenso˜es suporta´veis nominais a` frequ¨eˆncia industrial e de impulso atmosfe´rico:
36kV e 110kV , respectivamente.
Observac¸o˜es
1. Na construc¸a˜o dos TPs modernos, e´ normal conseguir-se a classe de exatida˜o ABNT
0, 3 − P200 (ou ANSI 0, 3WXY Z) sem alterar em muito o prec¸o do equipamento,
grac¸as a` evoluc¸a˜o tecnolo´gica dos tipos de materiais utilizados. Para que os TPs
citados nos exemplos 1 e 2 possam ser empregados em medic¸a˜o para fins de fatu-
ramento, e tambe´m em medic¸a˜o para fins de controle, eles devem ser especificados,
quanto a` exatida˜o, pelo menos como: ABNT 0, 6−P75; 0, 6−P25 (ou ANSI 0, 3WX;
0, 6Y ).
2. No dimensionamento da carga nominal de um TP a ser empregado numa instalac¸a˜o,
na˜o ha´ necessidade de se considerar a resisteˆncia ele´trica dos condutores que ligam
os instrumentos ele´tricos ao TP. Como refereˆncia, podemos tomar os dois exemplos
citados anteriormente. Supondo que os instrumentos ficara˜o a 25m do TP e sera˜o
ligados a este por meio de fio de cobre no12AWG (resisteˆncia ele´trica: 5, 3Ω/km),
ter´ıamos como perdas nos condutores:
Cap´ıtulo 3. Transformadores para Instrumentos 46
No exemplo 1: 0, 0082W , o que e´ desprez´ıvel na frente da carga de 20, 21V A
imposta pelos instrumentos ele´tricos ao TP.
No exemplo 2: 0, 028W , o que e´ tambe´m desprez´ıvel na frente da carga de 37, 46V A
imposta pelos instrumentos ele´tricos ao TP.
3. Ressaltamos que os dois exemplos dados servem apenas como orientac¸a˜o de dimensi-
onamento. Para cada caso, devem considerados os valores corretos das perdas dos
instrumentos que sera˜o utilizados na medic¸a˜o, e na˜o ordem de grandeza dessas per-
das, pois ha´ uma variedade considera´vel de instrumentos e, em consequ¨eˆncia, uma
faixa muito larga de diferentes valores de perdas.
3.3.9 Transformador de Potencial Capacitivo (TPC)
Em circuitos de alta tensa˜o e extra tensa˜o, e´ mais conveniente