Cap 2 Lajes de Concreto Armado

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ES-013 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de um Projeto Completo de um 
Edifício de Concreto Armado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
agosto - 2001
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 2 
 
2 – Lajes de Concreto Armado 
 
2.1 Lajes Maciças de Concreto Armado 
 
2.1.1 Introdução 
 
Lajes são elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente 
normais ao seu plano médio. Considerando uma estrutura convencional, as lajes 
transmitem as cargas do piso às vigas, que as transmitem, por sua vez, aos pilares, 
através dos quais são as cargas transmitidas às fundações, e daí ao solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-1 – Representação de uma laje [FUSCO] 
 
O comportamento estrutural primário das lajes é o de placa, que por definição, é uma 
estrutura de superfície caracterizada por uma superfície média (S) e uma espessura (h), 
com esforços externos aplicados perpendicularmente a S. 
 
As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as ações horizontais, 
comportando-se como diafragmas rígidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento 
dos pilares em cada piso (contraventando-os). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-2 – Comportamento das placas [FUSCO] 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 3 
 
As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses 
[ABNT-2]: 
 
ƒ Manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente 
estreitas; 
ƒ Representação dos elementos por seu plano médio. 
 
Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o 
cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das 
vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, 
considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser 
desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas 
apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, 
justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez 
à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, 
em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É obrigatória, entretanto, 
a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a 
compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da 
laje [ISHITANI-1]. 
 
As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e 
dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais. 
 
 
2.1.2 Classificação 
 
As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em uma única 
direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem 
ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções, 
podem ser analisadas utilizando o modelo elástico-linear, com elementos de placa, 
utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta 
sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as 
condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou 
não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo 
de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de 
engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se 
tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, 
Timoshenko). 
 
A diferenciação entre as lajes armadas em uma e duas direções é realizada comparando-
se a relação entre os vãos (dimensões) da laje. Desta forma, temos: 
 
ƒ lajes armadas em cruz, quando 2
x
y ≤l
l
, e 
 
 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-3 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções) 
 
ƒ lajes armadas numa só direção, quando 2
x
y >l
l
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-4 – Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direções) 
 
Lembramos que nas “lajes armadas em uma direção” sempre existe uma armadura 
perpendicular à principal, de distribuição. 
 
2.1.3 Ações a considerar 
 
As cargas verticais que atuam sobre as lajes são consideradas geralmente uniformes, 
algumas o são de fato, outras, como o caso de paredes apoiadas em lajes armadas em 
cruz, são transformadas em cargas uniformes utilizando hipóteses simplificadoras. 
Referimo-nos sempre às lajes de edifícios residenciais ou comerciais; no caso de lajes de 
pontes, por exemplo, o cálculo deve ser mais preciso. 
 
As principais cargas a se considerar são: 
ƒ Peso próprio da laje; 
ƒ Peso de eventual enchimento; 
ƒ Revestimento; 
ƒ Paredes sobre lajes; 
ƒ Carregamento acidental. 
 
O método para o levantamento destas cargas é indicado no Capítulo 1. 
 
V
V1 P1 P2 
P P4 
lx B B 
A 
A 
ly 
flecha a
flecha a 
C 
lx 
D 
C 
ly ≤ 2 lx 
D 
 
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2.1.4 Pré-dimensionamento (Aplicação ao Edifício Exemplo) 
 
O pré-dimensionamento das lajes já foi realizado no capítulo anterior e desta forma, 
apenas transcrevemos os resultados: 
 
Tabela 2-1 – Pré-dimensionamento das lajes (cópia da Tabela 1.3) 
Laje lx (m) ly (m) 0,7 ly (m) l* (m) n(*) d (cm) h (cm) 
L1=L3=L8=L10 4,31 5,59 3,91 3,91 1 9,4 10 
L2=L4=L9=L11 4,60 5,69 3,98 3,98 2 9,2 10 
L5=L6 2,75 2,76 1,93 1,93 3 4,2 7 
L7 3,60 3,80 10 
 
2.1.5 Vãos Teóricos 
 
O item 3.3.2.3 da NB-1 ensina a calcular os vãos teóricos de uma laje. Em edifícios, as 
vigas são geralmente de pequena largura, como no edifício exemplo. Neste caso, pode-se 
adotar sempre como vão teórico a distância entre os eixos das vigas de apoio. 
 
Por convenção, suporemos sempre


=
=
maiorvão
menorvão
y
x
l
l
 
 
 
2.1.6 Determinação das Condições de Apoio das Lajes 
 
Admitem-se três tipos de apoio para as lajes: 
 
ƒ Bordo livre: quando não há suporte (Ex.: laje em balanço); 
 
 
Figura 2-5 – Corte de uma laje em balanço (bordo livre) 
 
ƒ Bordo apoiado: quando não há restrição dos deslocamentos verticais, sem 
impedir a rotação das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas); 
 
 
Figura 2-6 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados) 
 
ƒ Bordo engastado: quando há impedimento do deslocamento vertical e rotação da 
laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez). 
 
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Figura 2-7 – Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados) 
 
2.1.6.1 Lajes Isoladas 
 
Para lajes isoladas, admite-se que se utilize: 
 
ƒ Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez; 
ƒ Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal; 
ƒ Bordo livre, quando não existirem vigas de apoio. 
 
 
 
Figura 2-8 – Convenção utilizada para a representação dos apoios 
 
2.1.6.2 Painéis de Lajes 
 
Para os painéis de lajes de edifícios, quando houver lajes contíguas no mesmo nível, o 
bordo poderá ser considerado perfeitamente engastado para o cálculo da laje, como 
mostra a próxima figura: 
 
 
Figura 2-9 – Lajes contíguas 
 
Casos Particulares 
 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 7Figura 2-10 – Lajes em níveis diferentes 
 
 
Figura 2-11 – Lajes com inércias muito diferentes 
 
 
 
Figura 2-12 – Lajes com vãos muito diferentes 
 
 







→<
→≥
maiormenor
maiormenor
3
2
3
2
ll
ll
 
 
 
 
Figura 2-13 – Condição de apoio parcial de lajes 
 
Após o cálculo das lajes de maneira isolada deve ser feita a compatibilização dos 
esforços de engastamento. 
 
 
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2.1.7 Cálculo das Solicitações (Cálculo Elástico) 
 
Para o cálculo dos esforços atuantes nas lajes, admitimos as seguintes hipóteses: 
 
ƒ Separação virtual entre lajes e vigas, permitindo seu cálculo separadamente; 
ƒ Consideração das vigas como sendo apoios indeslocáveis; 
ƒ Consideração das reações das lajes sobre as vigas, uniformemente distribuída. 
 
2.1.7.1 Lajes Armadas em Uma Direção 
 
 
a) Lajes Isoladas 
 
 
Figura 2-14 – Determinação de esforços em lajes isoladas armadas em uma direção 
 
b) Lajes Contínuas 
 
Figura 2-15 – Laje armada em uma direção contínua 
 
 
 
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2.1.7.2 Lajes Armadas em Duas Direções 
 
 
Pelo fato de apresentarem dimensões de seus lados comparáveis, as lajes armadas em 
cruz apresentam curvaturas comparáveis segundo os dois cortes (AA e BB indicados na 
figura), indicando a presença de momentos fletores comparáveis, mx e my. 
 
 mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; 
my = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-16 – Lajes armadas em cruz 
 
Considerando o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, de novo, 
a presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (mα = momento por unidade de 
largura atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto 
de armadura paralela ao lado lx, para resisitir a mx, e armadura paralela a ly, para resistir a 
my. Os ensaios mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expresso por: 
 
mα = mx cos2 α + my sen2 α ( 2.1 ) 
 
Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos 
aos lados lx e ly) são suficientes para garantir a segurança da laje. 
 
A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é 
bastante trabalhosa. Entretanto, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito. 
Dentre as diversas tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos as de Czerny, com 
coeficiente de Poisson ν = 0,20. Estas tabelas trazem a solução para as lajes isoladas. 
Dentro do contexto de um pavimento, após a determinação dos esforços nas lajes 
isoladas, devemos fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das lajes 
adjacentes, como veremos no item b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
A 
C 
α 
lx ≤ ly 
ly A 
B 
C 
α 
lx 
ly 
ao 
ao ao 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 10 
 
a) Lajes Isoladas 
 
As tabelas do tópico 2.2 reproduzem os casos de carga uniformemente distribuída em 
lajes retangulares. O lado lx é sempre o menor. A notação m significa momento fletor por 
unidade de largura (por metro) de laje. O cálculo é imediato: 
 
x
2
x
x
pm α=
l 
y
2
x
y
pm α=
l 
x
2
x
bx
pm β=
l 
y
2
x
by
pm β=
l 
 
onde, 
αx, αy, βx e βy são coeficientes tabelados 
p é a carga atuante; 
mx e my são os momentos positivos, 
 mx na direção x e my na direção y; 
mbx e mby são os momentos negativos de borda, 
 mbx na direção x e mby na direção y. 
( 2.2 ) 
 
Observa-se que as tabelas enfrentam o problema também quando K > 2. Podemos, 
portanto, calcular todas as lajes retangulares como lajes em cruz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-17 – Distribuição de esforços (pela Teoria da Elasticidade) [FUSCO] 
 
b) Lajes Contíguas 
 
O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da 
compatibilização dos momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas: 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 11 
 



⋅
⋅
+
≥
2b
1b
2b1b
12b
m8,0
m8,0
2
mm
m 
( 2.3 ) 
 
Ao compatibilizarmos os momentos negativos sobre os apoios, devemos corrigir o 
momento positivo da laje que tiver o seu momento fletor de bordo diminuído: 
 ( )12bbiifinal,i12bbi mm5,0mmmmse −+=→< ( 2.4 ) 
 
O momento aplicado no bordo de uma laje em balanço não pode ser reduzido. 
 
2.1.8 Dimensionamento à Flexão (Estado Limite Último – E.L.Últ.) 
 
O dimensionamento é feito para uma seção retangular de largura unitária (normalmente, 
b = 1 m = 100 cm) e altura igual à espessura total da laje, h. 
 
a) Altura útil 
 
A armadura de flexão será distribuída na largura de 100 cm. Em geral, tem-se nos vãos, 
num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si. 
Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura útil; dx para o 
momento fletor mx e dy para o momento fletor my. Normalmente, mx é maior do que my; 
por isso, costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento 
fletor my (Asy) é colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx), 
fig. 2.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-18 – Altura útil 
 
 
Conforme a figura, tem-se: 
 
dx = h - c - φx / 2 
dy = h - c - φx - φy / 2 
( 2.5 ) 
 
onde 
φy 
φx 
c 
h 
dy 
dx 
dy dx 
100 cm 
Asy 
Asx 
 
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c = cobrimento mínimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes 
protegidas com argamassa de espessura mínima de 1 cm (NBR-6118) 
φx = diâmetro da armadura Asx correspondente a mx 
φy = diâmetro da armadura Asy correspondente a my . 
 
Nas lajes maciças revestidas, usuais em edifícios (comercial e residencial), pode-se 
adotar aproximadamente: 
 
dx ≅ h - c - 0,5 cm 
dy ≅ h - c - 1 cm 
( 2.6 ) 
 
 
b) Cálculo das Armaduras 
 
Tem-se uma seção retangular de largura unitária (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e 
altura h, sujeita a momento fletor m (mx ou my ) em valor característico. A altura d é igual a 
dx para o momento fletor mx e, dy para o momento fletor my. O momento fletor de cálculo é 
dado por: 
 
md = γf mk = 1,4 mk ( 2.7 ) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-19 – Armadura de flexão 
 
Nas lajes, normalmente, a flexão conduz a um dimensionamento como peça sub-armada 
com armadura simples (x ≤ x34). Assim, conforme a fig. 2.8, a equação de equilíbrio 
conduz a: 
 
0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md ( 2.8 ) 
 
resultando, para a altura da zona comprimida o valor 
 



 −−=
cd
2
d
fbd425,0
m11d25,1x (x ≤ x34) 
( 2.9 ) 
 
e a armadura 
 
)x4,0d(f
mA
yd
d
s −= 
( 2.10 ) 
 
onde 
 As = Asx , para m = mx 
e 
100 cm 
h d 0,8
md 
0,85fc
Rcd 
Rsd 
 
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 As = Asy para m = my. 
 
Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando m e md em kN.cm/m, x em cm 
e As em cm2 / m. 
 
2.1.9 Cálculo das Reações de Apoio 
 
Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, 
permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos 
triângulos ou trapézios determinados por meio das charneiras plásticas correspondentes à 
análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica [ABNT-2]. Estas 
charneiraspodem ser (de maneira aproximada) representadas por retas inclinadas, a 
partir dos vértices da laje, com ângulos de: 
 
ƒ 45o entre dois apoios de mesmo tipo; 
ƒ 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado 
simplesmente apoiado; 
ƒ 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre (NBR6118). 
 
Outra forma de representar estas charneiras, utilizada pelo prof. Lauro Modesto, é a de 
traçar sempre as charneiras pelas bissetrizes entre as arestas das lajes. 
 
Os resultados para o edifício exemplo já foram apresentados no Capítulo 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-20 – Charneiras plásticas [FUSCO] 
 
2.1.10 Esbeltez das Lajes 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 14 
 
Um estado limite de utilização que não pode ser esquecido nas lajes é o de deformação 
excessiva. A flecha da laje não pode exceder a flecha máxima admissível. 
 
Segundo o item 4.2.3.1 da NB-1/78, o cálculo das flechas nas lajes pode ser feito no 
Estádio I de comportamento do concreto (seção não fissurada) com: 
 
5,3f66009,0E ckcs +⋅= (MPa) ckcs f560085,0E ⋅= ( 2.11 ) 
 
Desta forma, as expressões para o cálculo das flechas (elásticas ⇔ Estádio I) são: 
 
a) Para as lajes armadas em uma direção: as mesmas equações para o cálculo de 
deformações elásticas na viga de largura unitária; 
b) Para as lajes armadas em cruz: valores tabelados nas tabelas de Czerny . 
 
2
3
cs
4
x
hE
pa α=
l , onde α2 é um valor tabelado ( 2.12 ) 
 
As deformações devem ser verificadas para cargas de curta e longa duração: 
 
ƒ Curta duração: 



→
≤
balançospara
250
500a
x
x
1 l
l
 
ƒ Longa duração: 



→
≤
balançospara
150
300a
x
x
2 l
l
 
 
onde lx é o vão teórico menor. 
( 2.13 ) 
 
No mesmo artigo, a NB-1/78 dispensa o cálculo da flecha desde que uma determinada 
condição seja verificada. Para isto, fornece coeficientes ψ2 e ψ3. Não recomendamos tal 
verificação. É igualmente simples e geralmente mais econômico calcular as flechas a1 e 
a2, para as cargas acima referidas, e verificar diretamente as condições (2.11) e (2.12). 
 
Para o cálculo da flecha proveniente do carregamento de curta duração deve-se 
considerar q7,0p* = , de acordo com o item 5.4.2.2 da NB-1. 
 
Para a estimativa da flecha de longa duração, sob carregamento total, é necessário 
levarmos em conta o efeito da fluência. 
 
Considerando o item 4.2.3.1 da NB-1/78, temos: 
 ( )
( ) sc
sc
inicial
inicialr
1
finalr
1
inicial
3aafinalflecha ε+ε
ε+ε== (εc e εs em valor absoluto) ( 2.14 ) 
 
Para a compatibilidade das deformações: 
 
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d
xk;
k1
k
xd
x
x
x
x
s
c =−=−=ε
ε ( 2.15 ) 
 
de modo que, 
 ( )
( ) xinicialr1
finalr
1
k21+= ( 2.16 ) 
 
e desta forma, 
 ( )xinicialfinal k21aa += ( 2.17 ) 
 
A expressão acima foi mostrada por MOREIRA DA ROCHA [7]. MACHADO [1] retomou o 
problema e mostrou que, no estádio I (lajes), um valor razoável de kx é igual a 0,7. Sendo 
assim, pela (2.17): 
 ( ) inicialinicialfinal a4,27,021aa ⋅=⋅+= no caso de lajes. ( 2.18 ) 
 
MACHADO sugere então, para o cálculo de afinal, que se trabalhe com Ecs inicial constante 
(2.12), mas que se adote: 
 
q7,0g4,2p* += para o cálculo de a2. ( 2.19 ) 
 
2.1.11 Cisalhamento em Lajes: Verificação (ELÚlt.) 
 
A NBR6118/78 permite a dispensa da armadura de cisalhamento para lajes pouco 
solicitadas, o que é o caso usual de lajes de edifícios. 
 
Para dispensarmos a armadura de cisalhamento, devemos verificar duas condições: 
 
a) Verificação da resistência do concreto 
 
wuwd τ≤τ ( 2.20 ) 
 
onde, 
 
bd
v
bd
v kfd
wd
⋅γ==τ ( 2.21 ) 
 
e 
 
MPa5,4f25,0 cdwu ≤⋅β=τ com β = 0,5 
(considerando lajes e peças lineares com bw > 5h, sem toda a armadura 
transversal inclinada a 45o) 
( 2.22 ) 
 
 
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b) Verificação da dispensa da armadura transversal de cisalhamento 
 
Para que possamos dispensar a armadura transversal em lajes, devemos verificar: 
 
1wuwd τ≤τ ( 2.23 ) 
 
com 
 
ck41wu fψ=τ (em MPa) ( 2.24 ) 
 
sendo, 
 
4
14 60,0 ρ=ψ para cm15h ≤ ( 2.25 ) 
 
Onde ρ1 é a taxa de armadura longitudinal a 2h do apoio. 
 
2.1.12 Escolha das Barras e Espaçamentos 
 
Dimensionadas as armaduras e feitas todas as verificações necessárias, resta-nos 
detalhar as armaduras. Para a correta escolha de bitolas e de espaçamento, é preciso 
lembrar de algumas prescrições normativas: 
 
a) Bitola máxima das barras 
 
A bitola máxima, definida pela NB-1, é: 
 
10
h
máx =φ ( 2.26 ) 
 
Recomenda-se utilizar como bitola mínima φ = 4mm e utilizar para a armadura negativa, 
no mínimo φ = 6,3mm, para evitar que esta se amasse muito (pelo peso de funcionários) 
antes da concretagem, o que reduz a altura útil da laje. Desta forma, devemos respeitar: 
 
10
h
)(mm3,6
)(mm4 ≤φ≤


−
+
 
( 2.27 ) 
 
 
b) Taxas de armadura mínimas de flexão 
 
Utilizando aços CA-40, 50 ou 60, devemos respeitar: 
 
Armadura Negativa: bhde%15,0A mín,s = ( 2.28 ) 
 
para lajes armadas em 2 direções Armadura Positiva: 

=
bhde%15,0
bhde%10,0
A mín,s para lajes armadas em 1 direção 
( 2.29 ) 
 
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Comentários: 
O valor mínimo da armadura principal positiva em lajes armadas numa só direção é: 
As,mín = 0,9 cm2/m, para não chocar com a exigência d). Seria estranho que a armadura 
“principal” fosse menor que a de distribuição. 
 
A armadura negativa mínima é 1,5 cm2/m (item 6.3.1.2 da NB-1/78), a menos que haja 
estribos com ramos horizontais prolongados nas mesas das vigas T. 
 
 
c) Espaçamento das barras 
 
Lajes armadas em cruz: O espaçamento máximo da armadura principal positiva 
é 20cm. 
Lajes armadas em 1 direção: O espaçamento máximo da armadura principal positiva 
é 20 cm ou 2h. 
 
Para facilitar a concretagem de uma laje, costuma-se utilizar o espaçamento s, entre as 
barras de no mínimo 8cm. 
 
 
d) Armadura de distribuição 
 
Nas lajes armadas numa só direção, a armadura de distribuição deve: 
 
ƒ Ser ≥ 20% da área da armadura principal; 
ƒ Ser ≥ 0,9 cm2/m; 
ƒ Ter espaçamento s ≤ 33cm. 
 
Utiliza-se também a armadura de distribuição para apoiar a armadura negativa das lajes. 
 
e) Definição das barras e espaçamentos 
 
 
 Bitolas comerciais 
 
 
 
 
 
 
 
 
φ = diâmetro nominal da barra em mm 
 As1 = área da seção transversal de uma barra em cm2 
 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m 
 
Figura 2-21 – Escolha das barras (bitola x espaçamento) 
 
 φ(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 
4 0,125 0,1 
5 0,2 0,16 
6,3 0,315 0,25 
8 0,5 0,4 
10 0,8 0,63 
12,5 1,25 1,0 
100 cm 
h 
s s 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 18 
 
Calculada a área de aço As por metro de laje, e conhecendo a área da seção transversal 
de uma barra (As1) de uma determinada bitola (Figura 2-21), determinamos a quantidade 
mínima de barras necessária em 1m de laje: 
 
1s
s
A
An = ( 2.30 ) 
 
Com a quantidade de barras, determinamos o espaçamento entre as barras: 
( )cmem
n
100s = ( 2.31 ) 
 
Para escolher as barras e espaçamentos, podemos fazer também uso de tabelas: 
 
Tabela 2-2 - Área da seção da armadura por metro de laje (cm2/m) 
Espaç. Bitola 
cm 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 
7 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 28,57 
8 1,00 1,56 2,503,94 6,25 10,00 15,63 25,00 
9 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 22,22 
10 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 20,00 
11 0,73 1,14 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 18,18 
12 0,67 1,04 1,67 2,63 4,17 6,67 10,42 16,67 
13 0,62 0,96 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 15,38 
14 0,57 0,89 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 14,29 
15 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 13,33 
16 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 12,50 
17 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 11,76 
18 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 11,11 
19 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 10,53 
20 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 10,00 
 
2.1.13 Detalhamento das Armaduras 
 
a) Armadura Positiva 
 
É estendida, a favor da segurança até os apoios, penetrando no mínimo 10φ ou 6cm no 
apoio. Para garantir o comportamento de chapa, deve ser ancorada nas vigas. 
 
Alguma economia pode ser conseguida utilizando barras alternadas, que podem ter seu 
comprimento reduzido de 0,2 lx. 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 19 
 
 
Figura 2-22 – Armadura positiva – barras alternadas 
 
b) Armadura Negativa 
 
Devem cobrir o diagrama de momento fletor negativo. Em geral, utiliza-se uma extensão 
lx/4 para cada lado do apoio (para vãos diferentes, adota-se lx = l>vão). 
 
Deve ser utilizada uma “armadura de borda” ao longo dos apoios livres, para combater a 
eventual fissuração decorrente do engaste parcial. Costuma-se adotar barras com 
comprimento de lx/5 com porcentagem de armadura igual à mínima, restringindo o 
espaçamento entre as barras a 2h, devendo-se lembrar da armadura de distribuição 
associada. 
 
 
Figura 2-23 – Armadura de borda 
 
Para as lajes em balanço, é usual prolongar a armadura do balanço, sobre a laje 
adjacente, com extensão de lbalanço. 
 
Alguma economia pode ser feita utilizando barras alternadas: 
 
 
Figura 2-24 – Armadura negativa – barras alternadas 
 
Quando não houver viga em algum bordo de uma laje, deve ser feito um “gancho” com a 
armadura positiva ou negativa para proteger a borda da laje. 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 20 
 
 
 
 
Figura 2-25 – Armadura de proteção (bordos sem vigas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-26 – Armadura de proteção (furo em laje – bordos sem vigas) 
 
2.1.14 Desenho das Armaduras 
 
Determinados a bitola e o espaçamento das barras pode ser feito nos “croquis” das 
fôrmas um desenho esquemático das armaduras. O esquema mais importante é o da 
armadura negativa, onde aparecem os detalhes: comprimento da barra sem considerar os 
ganchos e dimensões de um lado e de outro do eixo da viga. 
 
2.1.15 Tabela de Ferros e Tabela Resumo 
 
Fica por conta do desenhista, com fiscalização do engenheiro calculista, os detalhes 
restantes, como por exemplo, número da barra (ou posição número tal), número de 
barras, comprimento total da barra incluindo ganchos, etc. 
 
No fim, o desenho deve apresentar a “tabela de ferros”: 
 
Comprimento (m) No. φ (mm) Quant. Unitário Total 
 
... ... ... ... ... 
 
Figura 2-27 – Tabela de Ferros 
 
Seguida da “tabela-resumo”: 
 
20φ 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 21 
 
φ (mm) C. Total (m) 
Peso 
(kg) 
 
... ... ... 
 
Figura 2-28 – Tabela Resumo 
 
Com as tabelas-resumo, o construtor encomenda o aço necessário à obra. A coluna “kg” 
pode incluir um peso adicional de 10% como previsão para as perdas inevitáveis no corte 
das barras. 
 
2.1.16 Funcionamento Global das Lajes 
 
As lajes possuem grande capacidade de acomodação plástica, permitindo o cálculo na 
ruptura em regime rígido plástico, sem maiores indagações sobre a capacidade de 
rotação das charneiras plásticas. 
 
Entretanto, quando precisarmos que a laje funcione também como chapa: 
 
ƒ Deveremos admitir uma redistribuição máxima de 15% dos momentos negativos 
calculados em regime elástico, evitando a formação de charneiras plásticas; 
ƒ A laje não deve ser calculada pelo método das charneiras plásticas. 
 
Trabalhando como chapa, as lajes contraventam a estrutura, ajudando a garantir a 
integridade estrutural tridimensional da estrutura como um todo. A garantia do 
comportamento de chapa das lajes decorre do detalhamento adequado das ancoragens, 
conforme mostram as próximas figuras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-29 – Ancoragens das armaduras das lajes para o seu funcionamento como chapa 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 22 
 
2.1.17 Aplicação ao Edifício Exemplo 
 
Neste item serão apresentados os cálculos das lajes L1 e L7 do edifício exemplo, 
tomando como base a teoria apresentada anteriormente. Inicialmente, será feito o cálculo 
da laje L7 e posteriormente será apresentado o cálculo da laje L1. 
 
a) Laje L7 
 
A laje 7 é uma laje de tipo especial: em forma de L, com duas bordas livres. Dificilmente 
encontraremos tabelas para tais casos. O cálculo “exato”, pela Teoria da Elasticidade ou 
utilizando um programa de elementos finitos, como já dissemos, é bastante trabalhoso e 
não se justifica pela dimensão do problema. Faremos, então, um cálculo aproximado bem 
simples, a favor da segurança. 
 
Hipótese Simplificadora: 
A faixa com 1,97m de largura apóia-se nas vigas V6 e V11 e a faixa com 2,00m de largura 
apóia-se nas vigas V18 e V20, conforme ilustra a Figura 2-30. 
 
 
L7
Pd=10,77 kN/m
mx
my
V6
V11
V
18
V
20
 
Figura 2-30 – Simplificação adotada para o cálculo da laje L7 
 
A laje L7 apresenta carregamento permanente de 4,69 kN/cm² e carregamento variável de 
3,0 kN/cm², o que resulta em um carregamento total de 7,69 kN/cm². Dessa maneira, o 
valor de cálculo do carregamento é igual a : 
 
pd = 1,4.pk = 1,4.7,69 = 10,77 kN/cm² 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 23 
 
Sabendo-se os carregamentos e os vãos podemos calcular os momentos nas direções x 
e y. Assim, temos: 
 
cm.kN5,1648
8
5,3.77,10
8
lpm
22
xd
x === 
cm.kN9,1792
8
65,3.77,10
8
lp
m
22
yd
y === 
 
A altura da laje L7 e o cobrimento de armadura adotado baseado no Projeto de Revisão 
da NBR6118 são ilustrados na Figura 2-31. 
 
 
Figura 2-31 – Altura e cobrimentos de armaduras das lajes com h=10cm 
 
Conhecidos os momentos atuantes nas duas direções é possível calcular a armadura 
necessária. O cálculo é feito da seguinte maneira: 
 
Direção x 
 
mx = 1648,5 kN.cm (valor de cálculo) 
dx = 6,5 cm 
²cm/kN786,1
4,1
5,2fcd == 
²cm/kN48,43
15,1
50fyd == 
!OKcm08,4d628,0xcm46,2x
786,1.5,6.100.425,0
5,164811.5,7.25,1
f.d.b.425,0
m11d25,1x
34
2
cd
2
d
→==<=


 −−=


 −−⋅=
²cm87,6
)46,2.4,05,7.(48,43
5,1648
)x.4,0d(f
mA
yd
d
s =−=−= 
 
 
Direção y 
 
my = 1792,9 kN.cm(valor de cálculo) 
dy = 7,5 cm 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 24 
 
²cm/kN786,1
4,1
5,2fcd == 
²cm/kN48,43
15,1
50fyd == 
!OKcm08,4d628,0xcm24,2x
786,1.5,7.100.425,0
9,179211.5,6.25,1
f.d.b.425,0
m11d25,1x
34
2
cd
2
d
→==<=


 −−=


 −−⋅=
²cm24,6
)24,2.4,05,6.(48,43
9,1792
)x.4,0d(f
mA
yd
d
s =−=−= 
 
 
b) Laje L1 
 
A laje L1 possui continuidade com as lajes adjacentes L2 e L5. Dessa maneira, os 
momentos negativos devem ser calculados de maneira isolada para cada laje e então 
compatibilizados. A correção do momento positivo sempre deve ser feita no lado em que 
o momento negativo atuante é menor que o momento negativo compatibilizado. A Figura 
2-32 ilustra a denominação adotada paraos momentos atuantes nas lajes de maneira 
isolada e compatibilizada. 
 
L1
L2
L5
my1
m
x1
mby1 mbx2
m
bx
5
mb12
m
b1
5
 
Figura 2-32 – Momentos atuantes nas lajes adjacentes a L1 
 
Conhecidos os carregamentos, os vãos e as condições de vinculação das lajes isoladas 
pode-se obter os esforços solicitantes por meio da utilização das Tabelas de Czerny, 
fornecidas no item 2.2. 
 
A laje L1 possui três bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada, dessa 
maneira, trata-se de uma laje do Tipo 2A. A partir da relação entre os vãos da laje é 
possível entrar na tabela citada anteriormente e obter os coeficientes para o cálculo dos 
esforços solicitantes. Assim, temos que: 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 25 
 
 



=β
=α
=α
 →== −
7,9
7,23
5,19
28,1
432
555
l
l
y
y
x
A2TipoTabela
x
y 
 
²m/kN65,989,6.4,1p.4,1pd === 
 
cm.kN2,923m.kN23,9
5,19
32,4.65,9lx.pmx
2
x
2
d
1 ===α= 
cm.kN9,759m.kN60,7
7,23
32,4.65,9lx.pmy
2
y
2
d
1 ===α= 
cm.kN6,1856m.kN56,18
7,9
32,4.65,9lx.pmby
2
y
2
d
1 ===β= 
 
 
A laje L2 possui duas bordas adjacentes engastadas e duas bordas livremente apoiadas. 
Dessa maneira, temos uma laje do Tipo 3. 
 
7,1123,1
460
565
l
l
x
3TipoTabela
x
y =β →== − 
 
²m/kN07,1019,7.4,1p.4,1pd === 
 
cm.kN2,1821m.kN2,18
7,11
6,4.07,10lx.pmbx
2
x
2
d
2 ===β= 
 
A Laje L5, por sua vez, possui 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor 
engastada e outra livremente apoiada. Dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 5B. 
 
 
2,1601,1
273
275
l
l
x
B5TipoTabela
x
y =β →== − 
 
²m/kN17,955,6.4,1p.4,1pd === 
 
cm.kN9,421m.kN2,4
2,16
73,2.17,9lx.pmbx
2
x
2
d
5 ===β= 
 
Após calcular os momentos negativos atuantes na laje 1 e nas lajes adjacentes é 
necessário então fazer a compatibilização dos momentos fletores negativos. O momento 
compatibilizado é o maior valor entre a média dos momentos negativos e 80% do maior 
momento negativo. Dessa maneira, temos na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte 
compatibilização: 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 26 
 



==
=+=+
≥
cm.kN3,14856,1856.8,0mby.8,0
cm.kN9,1838
2
2,18216,1856
2
mbxmby
mb
1
21
12 
 
Na continuidade existente entre as lajes L1 e L5 o momento compatibilizado é dado por: 
 



==
==
≥
cm.kN5,3379,421.8,0mbx.8,0
cm.kN211
2
9,421
2
mbx
mb
5
5
15 
 
Feita a compatibilização dos momentos negativos é necessário corrigir os momentos 
positivos da laje L1. Isto é feito da seguinte maneira: 
 
cm.kN8,768
2
9,18386,18569,759
2
mbmbymymymbymb 12111112 =−+=−+=→< 
cm.kN2,923mx0mbxmb 1115 =→=> 
 
Uma vez obtidos os esforços finais (momentos corrigidos e compatibilizados), podemos 
então calcular as armaduras necessárias. A rotina de cálculo para o cálculo das 
armaduras é a mesma apresentada para a laje L7. Dessa maneira, temos: 
 
mx1 = 923,2 kN.cm (valor de cálculo) 
d = 7,5 cm 
 
²cm/kN786,1
4,1
5,2fcd == 
²cm/kN48,43
15,1
50fyd == 
!OKcm7,4d628,0xcm1,1x
786,1.5,7.100.425,0
2,92311.5,7.25,1
f.d.b.425,0
m11d.25,1x
34
2
cd
2
d
→==<=


 −−=


 −−=
 
²cm0,3
)1,1.4,05,7.(48,43
2,923
)x.4,0d(f
mA
yd
d
s =−=−= 
 
Realizando os mesmos cálculos descritos anteriormente para os vários momentos 
atuantes na laje L1, chega-se as armaduras apresentadas na Tabela 2-3. Deve-se 
observar que a altura da laje L5 é igual a 7cm, e por isso, a altura útil (d) é igual a 4,5 cm. 
Essa condição foi utilizada no cálculo da armadura necessária para vencer o momento 
negativo mb15. 
 
 
Tabela 2-3 – Armaduras necessárias para a laje L1 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 27 
 
 As (cm²/m) d(cm) 
mx1 3,00 7,5 
my1 2,91 6,5 
mb12 6,43 7,5 
mb15 1,83 4,5 
 
 
Após calculadas as armaduras resistentes é necessário verificar a flecha da laje satisfaz 
os valores limites. 
 
Da Tabela 2A temos que 9,172 =α , tal que: 
 
2
3
4
x
Eh
pa α=
l 
 
Do Projeto de Revisão da NBR6118 temos que: 
 
²cm/kN2380MPa2380025.5600.85,0f.5600.85,0EE ckcs ===== 
lx = 4,32 m 
h = 10 cm 


=+=+
===
)final(²cm/kN99,135,1.7,039,5.4,2q7,0g4,2
)inicial(²cm/kN05,15,1.7,0q7,0
p 
 
!OKcm86,0
500
cm09,0a xinicial →=<= l 
!OKcm44,1
300
cm14,1a xfinal →=<= l 
 
Dessa maneira, as flechas da laje L1 estão dentro dos limites estabelecidos por norma. 
 
Finalmente, é preciso fazer a verificação da laje quanto ao cisalhamento junto aos apoios. 
O primeiro passo é a verificação do concreto: 
 
 wudwd bd
V τ≤=τ 
m/kN04,40)9,49,23.(4,1V max,d =+= 
²cm/kN04,0
100.10
04,40
wd ==τ 
²cm/kN223,0f.25,0.5,0 cdwu ==τ 
!OKwuwd →τ≤τ 
 
Como a tensão de cisalhamento atuante é menor que o valor último de cisalhamento do 
concreto utilizado pode-se garantir que não haverá ruptura do concreto nas regiões de 
apoio da laje L1. No entanto, deve ser feita uma nova verificação, para avaliar se a laje L1 
precisará de armadura transversal. Esse cálculo segue a seguinte rotina: 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 28 
 
²cm/kN04,0wd =τ 
00643,0
100.10
43,6
h.b
A existente,s
1 ===ρ 
17,000643,060,060,0 44 14 ==ρ=ψ 
²cm/kN085,02517,0fck41wu ==ψ=τ 
 
Como 1wuwd τ<τ não é necessário dispor armadura transversal. 
 
Calculadas as armaduras deve-se então fazer o detalhamento final da laje L1. A escolha 
das barras e os espaçamentos máximos são feitos utilizando os critérios abaixo: 
 
Escolha da bitola → mm10
10
h
mm3,6
mm4 =≤φ≤ 
 
Escolha do espaçamento → cm20scm8 ≤≤ 
 
 
As armaduras mínimas calculadas para a laje L1 são dadas abaixo: 
m/²cm110.10,0A min,s ==+ 
m/²cm5,110.15,0A min,s ==− 
 
O cálculo do número de barras para o momento negativo mb12 é apresentado abaixo: 
 
As = 6,43 cm²/m 
As1= 0,8 cm² (φ10 mm) 
m/barras04,8
8,0
43,6
A
An
1s
s === 
12cmc/10 - N1cm12s4,12
04,8
100s φ→=→== 
N1 - φ10 c/12 cm 
 
Do mesmo modo, procede-se para as demais armaduras, de maneira que é possível 
montar a Tabela 2-4. 
 
Tabela 2-4 – Bitolas e espaçamentos de armaduras para a laje L1 
 As (cm²/m) Bitolas e Espaçamento 
mx1 3,00 φ6,3 c/10 cm 
my1 2,91 φ6,3 c/10 cm 
mb12 6,43 φ10 c/12 cm 
mb15 1,83 φ6,3 c/17 cm 
 
Calculadas as armaduras, resta-nos determinar os desenhos de armação e as tabelas 
resumo: 
 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 29 
 
 
 
Figura 2-33 – Armaduras positivas 
 
 
Figura 2-34 – Armaduras negativas 
V9(19-12/55)
P13
(19/65) V
15
(1
2/
55
)
L5
h=7cm
V7(12/55)
P14
(20/160) V11(12/55)
L7
h=10cm
V4(19-12/55)
V1
4(
19
/5
5)
(19/65)
P7
(19/65)
P1
V1(19/55)
h=10cm
(20/285)
P8
L1
(110/19)
P2
(20/140)
h=10cm
L2 P9
V5(12/55) V
18
(1
0/
40
)
V3(12/55)
(20/40)
P3
P15
(20/160)
V8(12/55)
(20/140)
P10
P4
(20/40)
42 N1 - 0 6,3 c/ 10 - c= 569
54
 N
2 
- 0
 6
,3
 c
/ 1
0 
- c
= 
44
6
19 N3 - 0 10 c/ 11 - c= 379
13
 N
5 
- 0
 1
0 
c/
 1
2 
- c
= 
23
1
17
 N
6 
- 0
 1
0 
c/
 1
2 
- c
= 
36
4
13 N4 - 0 10 c/ 11 - c= 236
V4(19-12/55)
V9(19-12/55)
P7
P13
(19/65)
(19/65)
V1
4(
19
/5
5)
P1
(19/65) V1(19/55)
V1
8(
10
/4
0)
V1
5(12
/5
5)
L8
h=7cm
L5
V7(12/55)
P8
(20/285)
(20/160)
P14
L9
h=10cm
V11(12/55)
h=10cm
L7
V5(12/55)
L1
h=10cm
P2
(110/19)
(20/140)
h=10cm
L2 P9 V3(12/55)
P3
(20/40)
(20/160)
P15
(20/140)
P10
P4
(20/40)
10
8
10
8
115115
32 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99
42
 N
7 
- 0
 5
 c
/ 1
3 
- c
= 
99
35 N8 - 0 10 c/ 12 - c= 242
16
 N
9 
- 0
 6
,3
 c
/ 1
7 
- c
= 
22
5
21
 N
7 
- 0
 5
 c
/ 1
3 
- c
= 
99
15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236
15
 N
12
 - 
0 
5 
c/
 1
3 
- c
= 
18
8
112112
15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236
27
 N
11
 - 
0 
5 
c/
 1
3 
- c
= 
83
88
112 112
88
70
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 30 
 
 
 
 
Comprimento No. φ (mm) Quant. Unitário (cm) Total (m) 
1 6,3 42 569 239 
... ... ... ... ... 
 
 
 
φ (mm) C. Total (m) 
Peso 
(kg) 
6,3 239 59,75 
... ... ... 
 
 
2.1.18 Referências Bibliográficas 
 
[1] MACHADO, Claudinei Pinheiro – Fixação prática e econômica das espessuras de lajes 
usuais maciças e nervuradas de concreto armado. 
 
[2] FUSCO, P. B. – Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto. 
 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 31 
 
 
2.2 Tabelas de Czerny 
 
 
TABELA 1 - TIPO 1 
Laje com as 4 bordas livremente apoiadas 
(carga uniforme) 
 
 
 
TABELA 2 - TIPO 2A 
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e 
uma borda menor engastada 
(carga uniforme) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 
w
p
Ehmax
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 22,7 22,7 21,4 
1,05 20,8 22,5 19,4 
1,10 19,3 22,3 17,8 
1,15 18,1 22,3 16,5 
1,20 16,9 22,3 15,4 
1,25 15,9 22,4 14,3 
1,30 15,2 22,7 13,6 
1,35 14,4 22,9 12,9 
1,40 13,8 23,1 12,3 
1,45 13,2 23,3 11,7 
1,50 12,7 23,5 11,2 
1,55 12,3 23,5 10,8 
1,60 11,9 23,5 10,4 
1,65 11,5 23,5 10,1 
1,70 11,2 23,5 9,8 
1,75 10,8 23,5 9,5 
1,80 10,7 23,5 9,3 
1,85 10,4 23,5 9,1 
1,90 10,2 23,5 8,9 
1,95 10,1 23,5 8,7 
2,00 9,9 23,5 8,6 
>2 8,0 23,5 6,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 
 
′ = −m py x
y
l
2
β
 
 
w
p
Eh
max
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 32,4 26,5 11,9 31,2 
1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 
1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 
1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 
1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 
1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 
1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 
1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 
1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 
1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 
1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 
1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 
1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 
1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 
1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 
1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 
1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 
1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 
1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 
1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 
2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 
>2 8,0 24,0 8,0 6,7 
mx 
mx 
my 
my 
ly 
ly 
lx 
lx 
m’y 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 32 
 
TABELA 3 - TIPO 2B 
Laje com 3 bordas livremente apoiadas e 
uma borda maior engastada 
(carga uniforme) 
 
 
 
TABELA 4 - TIPO 3 
Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e 
as outras duas livremente apoiadas 
(carga uniforme) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m px x
x
l2
β
 
 
w
p
Ehmax
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 26,5 32,4 11,9 31,2 
1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 
1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 
1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 
1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 
1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 
1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 
1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 
1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 
1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 
1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 
1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 
1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 
1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 
1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 
1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 
1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 
1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 
1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 
1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 
2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 
>2 14,2 42,5 8,0 16,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m px x
x
l2
β
 
 ′ = −m py x
y
l2
β
 
 
w
p
Eh
max
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 
1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 
1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 
1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 
1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 
1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 
1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 
1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 
1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 
1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 
1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 
1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 
1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 
1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 
1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 
1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 
1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 
1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 
1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 
1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 
2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5 
>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7 
mx 
mx 
my 
my 
ly 
ly 
lx 
lx 
m’x 
m’x 
m’y 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 33 
 
TABELA 5 - TIPO 4A 
Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas 
menores engastadas (carga uniforme) 
 
 
 
TABELA 6 - TIPO 4B 
Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores 
livremente apoiadas (carga uniforme) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m py x
y
l2
β
 
 
w
p
Ehmax
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 46,1 31,6 14,3 45,3 
1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 
1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 
1,15 31,9 27,7 12,0 30,4 
1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 
1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 
1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 
1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 
1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 
1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 
1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 
1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 
1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 
1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 
1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 
1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 
1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 
1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 
1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 
1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 
2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 
>2 8,0 24,3 8,0 6,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m px x
x
l2
β
 
 
w
p
Ehmax
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 31,6 46,1 14,3 45,3 
1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 
1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 
1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 
1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 
1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 
1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 
1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 
1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 
1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 
1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 
1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 
1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 
1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 
1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 
1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 
1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 
1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 
1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 
1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 
2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 
>2 24,0 47,0 12,0 32,0 
mx 
mx 
my 
my 
m’x 
ly 
ly 
lx 
lx 
m’y 
m’ym’x 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 34 
 
TABELA 7 - TIPO 5A 
Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e 
outra livremente apoiada 
(carga uniforme) 
 
 
 
TABELA 8 - TIPO 5B 
Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e 
outra livremente apoiada 
(carga uniforme) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m px x
x
l 2
β
 
 ′ = −m py x
y
l2
β
 
 
w
p
Ehmax
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 
1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 
1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 
1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 
1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 
1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 
1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 
1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 
1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 
1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 
1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 
1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 
1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 
1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 
1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 
1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 
1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 
1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 
1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 
1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 
2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 
>2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m px x
x
l2
β
 
 ′ = −m py x
y
l2
β
 
 
w
p
Eh
max
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 
1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 
1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 
1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 
1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 
1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 
1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 
1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 
1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 
1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 
1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 
1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 
1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 
1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 
1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 
1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 
1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 
1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 
1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 
1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 
2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7 
>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0 
mx 
mx 
my 
my 
m’x 
ly 
ly 
lx 
lx 
m’y 
m’y 
m’x 
m’x 
m’y 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 35 
 
TABELA 9 - TIPO 6 
Laje com as 4 bordas engastadas 
(carga uniforme) 
 
 
 
TABELA 10 
Laje com 3 bordas engastadas e uma livre 
(carga triangular) 
 
 
 
TABELA 11 
Laje com 3 bordas engastadas e uma livre 
(carga triangular) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m
p
x
x
x
= l
2
α
 
 
m py x
y
= l
2
α
 
 ′ = −m px x
x
l 2
β
 
 ′ = −m py x
y
l2
β
 
 
w
p
Ehmax
x= l
4
3
2α
 
 ν = 0 2, 
 
 Beton-Kalender (1976) 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 
1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 
1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 
1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 
1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 
1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 
1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 
1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 
1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 
1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 
1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 
1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 
1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 
1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 
1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 
1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 
1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 
1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 
1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 
1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5 
2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3 
>2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0 
 
 
 
 
 
 
 
l ly x/ α x α y βx βy α2 
1,00 85,5 80,5 29,0 34,5 118 
1,10 73,5 78,1 25,3 32,1 94,7 
1,20 65,2 77,7 22,9 30,3 79,5 
1,30 57,6 78,2 21,1 29,2 69,0 
1,40 52,4 80,8 19,6 28,5 61,3 
1,50 48,2 83,2 18,8 28,2 55,7 
2,00 37,8 94,6 16,6 27,3 43,0 
>2 33,5 94,6 15,0 26,0 34,9 
 
 
 
 
 
 
 
l ly x/ α x α y
 βx βy α2 
1,00 80,5 85,5 34,5 29,0 118 
1,10 70,3 82,9 31,1 26,9 103 
1,20 62,8 80,7 28,7 25,8 92,2 
1,30 57,7 78,9 26,7 24,9 85,4 
1,40 54,3 77,5 25,3 24,1 80,1 
1,50 51,5 76,4 23,7 23,8 76,6 
2,00 45,2 73,3 20,2 21,9 70,9 
>2 40,0 70,0 16,0 20,0 68,0 
mx 
mx 
my 
my 
mx 
my 
ly
ly 
lx
lx 
m’y 
ly 
m’y 
m’y 
lx 
m’x 
m’x 
m’x 
Valem as mesmas fórmulas 
das tabelas anteriores. 
Valem as mesmas fórmulas 
das tabelas anteriores. 
m’y 
m’y 
m’x m’x 
p 
p 
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 36 
 
2.3 Lajes Nervuradas 
 
2.3.1 Generalidades 
 
Lajes nervuradas são lajes cuja zona de tração é constituída por nervuras entre as quais 
podem ser postos materiais inertes, de modo a tornar plana a superfície externa (laje 
mista). Ainda que o material colocado entre as nervuras tenha certa resistência, não se 
conta com ela (caso contrário, teremos as lajes mistas, objeto da norma NB-4). 
 
As lajes nervuradas podem ser armadas em uma só direção, ou em cruz. Para realizar 
uma laje nervurada, há vários tipos de materiais de enchimento ou de técnicas de 
execução: “caixão perdido”, tijolos furados, blocos de concreto, de pumex, de isopor, etc. 
As nervuras podem ficar também aparentes, não havendo o material inerte entre 
nervuras, sem ou com forro falso (placas de gesso, “duratex”, etc.). 
 
As lajes maciças cobrem em geral vãos de até 6m, e possuem grande peso próprio. Já 
com as lajes nervuradas, aumentamos sua altura útil sem aumentar em demasia seu peso 
próprio. 
 
2.3.2 Disposições construtivas específicas das lajes nervuradas: 
 
(Item 6.1.1.3 da NBR6118/78) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2-35 – Laje nervurada 
 
ƒ ( ) cm100a 0 ≤= l (distância entre as faces das nervuras); 
 
bwbw
 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 37 
 
ƒ cm4bw ≥ (largura das nervuras); 
 
ƒ 


≥
15
cm4
h 0f l (altura da mesa); 
 
ƒ Para lajes armadas em 1 direção, deve-se dispor de: 


>
>
m6paraasdistribuídnervuras2
m4paraadistribuídnervura1
l
l
; 
 
ƒ Nervuras com bw < 8cm não podem ter A´s no lado oposto à mesa. 
 
As lajes nervuradas podem ser calculadas como se fossem maciças ( )cm50a ≤ , segundo 
o item 3.3.2.10 da NBR6118/78. A determinação dos esforços solicitantes pode ser feita 
no regime elástico. 
 
Seja a ou l0 a distância livre entre nervuras. A resistência da mesa à flexão deve ser 
verificada quando: 
 
ƒ cm500 >l ; 
ƒ Houver carga concentrada. 
 
As nervuras devem ser verificadas ao cisalhamento sempre. O valor último τwu será o de 
vigas quando cm500 >l e o de laje quando cm500 ≤l . 
 
A armadura mínima de distribuição é a mesma das lajes maciças armadas numa só 
direção (Item 6.3.1.1 da NB1/78). 
 
Os estribos das nervuras, quando necessários, devem ter espaçamento cm20s ≥ (Item 
6.3.2.1 da NB1/78). 
 
2.3.3 Verificação de flechas 
 
A norma (NBR6118/78) é incompleta neste ponto (Item 4.2.3.1.c). De qualquer maneira, 
não usaremos os coeficientes ψ2 e ψ3. Ao invés disto, utilizaremos a verificação de flechas 
no Estádio II.