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ListaExercicios_ValoresExtremosCondicionados e IntegraçãoEmRetangulos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA 2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2
QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014
Valores Extremos Condicionados
1. Determine os pontos extremos de
(a) f(x, y) = 25− x2 − y2 tais que x2 + y2 − 4y = 0.
(b) f(x, y) = x2 + 2xy + y2 tais que x− y = 3.
(c) f(x, y) = 4x2 + 2y2 + 5 tais que x2 + y2 − 2y = 0.
(d) f(x, y) = x2 + y2 + z2 tais que 3x− 2y + z − 4 = 0.
(e) f(x, y) = x+ y + z tais que x2 − y2 + z2 = 4.
(f) f(x, y) = (x+ y + z)2 tais que x2 + 2y2 + 3z2 = 1.
2. Determine os pontos extremos de f(x, y) = x2 + y2 + z2 tais que x2 + y2 + z2 ≤ 1.
3. determine o maior e menor valor de xy tal que 2x+ y = 2, com x e y positivos.
4. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos de w = x+ 2y + z se x2 + y2 = 1 e y + z = 1.
5. Sejam 0 < p < q. Determine o ma´ximo e o mı´nimo de xp + yp + zp tal que xq + yq + zq = 1,
com x, y e z na˜o negativos.
6. Determine os valores extremos de z = cosx + cos2 y se 4(x+ y) = pi.
7. De todos os retaˆngulos de a´rea 16cm2, determine o de menor per´ımetro.
8. Determine o valor ma´ximo de
(a) f(x, y, z) = x+ y + z tal que x2 + y2 + z2 = a2 e conclua que
(x+ y + z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2).
(b) f(x, y, z) = xyz tal que x+ y + z = s e conclua que 3
√
xyz ≤ x+y+z
3
.
(c) f(x, y, z) = xyz tal que x2 + y2 + z2 = s e conclua que 3
√
xyz ≤
√
x+y+z
3
.
9. Determine o ponto P da elipse x2+2y2 = 6 e o ponto Q da reta x+y = 4 tais que a distaˆncia
entre P e Q seja a menor poss´ıvel.
10. Determine os pontos mais afastados da origem tais que x2 + 4y2 + z2 = 4 e x+ y + z = 1.
11. Dentre todos os triaˆngulos retaˆngulos de a´rea S determine o que tem hipotenusa mı´nima.
Integrac¸a˜o em Retaˆngulos
1. Seja R = [1, 2]× [0, 1] ⊂ R2. Calcule
∫∫
R
f(x, y) dxdy, onde
(a) f(x, y) =
√
x+ y
(b) f(x, y) =
1
x+ y
(c) f(x, y) = x cos(xy)
(d) f(x, y) =
1
1 + x2 + 2xy + y2
(e) f(x, y) = sec2(x+ y)
2. Seja R = [a, b]× [c, d] ⊂ R2.Mostre que se F (x, y) = f(x) · g(y), enta˜o∫∫
R
F (x, y) dxdy =
(∫ b
a
f(x)dx
)
·
(∫ d
c
g(y)dy
)
.
3. Usando o exerc´ıcio anterior calcule
(a)
∫∫
R
x cos 2y dxdy, onde A = [0, 1]× [−pi, pi].
(b)
∫∫
R
xyex
2−y2 dxdy, onde A = [−1, 1]× [0, 2].
(c)
∫∫
R
xy senx
1 + 4y2
dxdy, onde A =
[
0,
pi
2
]
× [0, 1].
(d)
∫∫
R
√
x2 + 1
3− 2y − y2 dxdy, onde A = [0, 2]× [0, 1].
4. Calcule o volume dos so´lidos abaixo:
(a) S =
{
(x, y, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤√9− y2}
(b) S = {(x, y, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi, 0 ≤ z ≤ x sen y}
(c) S = {(x, y, z) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x+ y ≤ z ≤ x+ y + 2}
(d) S = {(x, y, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ ex+y}

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