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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA 2 CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS SEGUNDO SEMESTRE DE 2014 Valores Extremos Condicionados 1. Determine os pontos extremos de (a) f(x, y) = 25− x2 − y2 tais que x2 + y2 − 4y = 0. (b) f(x, y) = x2 + 2xy + y2 tais que x− y = 3. (c) f(x, y) = 4x2 + 2y2 + 5 tais que x2 + y2 − 2y = 0. (d) f(x, y) = x2 + y2 + z2 tais que 3x− 2y + z − 4 = 0. (e) f(x, y) = x+ y + z tais que x2 − y2 + z2 = 4. (f) f(x, y) = (x+ y + z)2 tais que x2 + 2y2 + 3z2 = 1. 2. Determine os pontos extremos de f(x, y) = x2 + y2 + z2 tais que x2 + y2 + z2 ≤ 1. 3. determine o maior e menor valor de xy tal que 2x+ y = 2, com x e y positivos. 4. Determine os valores ma´ximos e mı´nimos de w = x+ 2y + z se x2 + y2 = 1 e y + z = 1. 5. Sejam 0 < p < q. Determine o ma´ximo e o mı´nimo de xp + yp + zp tal que xq + yq + zq = 1, com x, y e z na˜o negativos. 6. Determine os valores extremos de z = cosx + cos2 y se 4(x+ y) = pi. 7. De todos os retaˆngulos de a´rea 16cm2, determine o de menor per´ımetro. 8. Determine o valor ma´ximo de (a) f(x, y, z) = x+ y + z tal que x2 + y2 + z2 = a2 e conclua que (x+ y + z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2). (b) f(x, y, z) = xyz tal que x+ y + z = s e conclua que 3 √ xyz ≤ x+y+z 3 . (c) f(x, y, z) = xyz tal que x2 + y2 + z2 = s e conclua que 3 √ xyz ≤ √ x+y+z 3 . 9. Determine o ponto P da elipse x2+2y2 = 6 e o ponto Q da reta x+y = 4 tais que a distaˆncia entre P e Q seja a menor poss´ıvel. 10. Determine os pontos mais afastados da origem tais que x2 + 4y2 + z2 = 4 e x+ y + z = 1. 11. Dentre todos os triaˆngulos retaˆngulos de a´rea S determine o que tem hipotenusa mı´nima. Integrac¸a˜o em Retaˆngulos 1. Seja R = [1, 2]× [0, 1] ⊂ R2. Calcule ∫∫ R f(x, y) dxdy, onde (a) f(x, y) = √ x+ y (b) f(x, y) = 1 x+ y (c) f(x, y) = x cos(xy) (d) f(x, y) = 1 1 + x2 + 2xy + y2 (e) f(x, y) = sec2(x+ y) 2. Seja R = [a, b]× [c, d] ⊂ R2.Mostre que se F (x, y) = f(x) · g(y), enta˜o∫∫ R F (x, y) dxdy = (∫ b a f(x)dx ) · (∫ d c g(y)dy ) . 3. Usando o exerc´ıcio anterior calcule (a) ∫∫ R x cos 2y dxdy, onde A = [0, 1]× [−pi, pi]. (b) ∫∫ R xyex 2−y2 dxdy, onde A = [−1, 1]× [0, 2]. (c) ∫∫ R xy senx 1 + 4y2 dxdy, onde A = [ 0, pi 2 ] × [0, 1]. (d) ∫∫ R √ x2 + 1 3− 2y − y2 dxdy, onde A = [0, 2]× [0, 1]. 4. Calcule o volume dos so´lidos abaixo: (a) S = { (x, y, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤√9− y2} (b) S = {(x, y, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ pi, 0 ≤ z ≤ x sen y} (c) S = {(x, y, z) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, x+ y ≤ z ≤ x+ y + 2} (d) S = {(x, y, z) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ ex+y}
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