Análise de Sinais - FEUP

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Exercícios de Análise de Sinal 
FEUP – DEEC 
Setembro 2008 
recolha de problemas de diversos autores 
edição feita por: 
H. Miranda, J. Barbosa (2000) 
M.I. Carvalho, A. Matos (2003, 2006, 2008) 
Conteu´do
1 Complexos 3
2 Sinais 5
3 Sistemas 10
4 Sistemas lineares e invariantes em tempo discreto 12
5 Sistemas lineares e invariantes em tempo cont´ınuo 15
6 Se´rie de Fourier em tempo cont´ınuo 18
7 Transformada de Fourier em tempo cont´ınuo 20
8 Ana´lise de Fourier de SLITs cont´ınuos 23
9 Se´rie de Fourier em tempo discreto 25
10 Transformada de Fourier em tempo discreto 27
11 Ana´lise de Fourier de SLITs discretos 30
12 Transformada de Laplace 33
13 Transformada Z 35
14 Amostragem 36
Anexo 1 – Decomposic¸a˜o em Fracc¸o˜es Simples 38
2
Folha 1
Complexos
1 Para o nu´mero complexo z = x+ jy = rejθ, exprima:
(a) r e θ em func¸a˜o de x e y
(b) x e y em func¸a˜o de r e θ
2 Usando a equac¸a˜o de Euler, prove as seguintes relac¸o˜es:
(a) cos θ = 12(e
jθ + e−jθ)
(b) sin θ = 12j (e
jθ − e−jθ)
(c) cos2 θ = 12(1 + cos 2θ)
3 Seja z0 um nu´mero complexo de coordenadas polares (r0,θ0) e coordenadas cartesianas
(x0,y0). Determine as expresso˜es das coordenadas cartesianas dos nu´meros complexos
representados a seguir. Represente ainda z0, z1, z2 e z3 no plano complexo quando r0 = 2
e θ0 =
pi
4 .
(a) z1 = r0e
−jθ0
(b) z2 = r0
(c) z3 = r0e
j(θ0+pi)
4 Sendo o nu´mero complexo z = x+ jy = rejθ, o nu´mero complexo conjugado, representado
por z∗, e´ definido por: z∗ = x− jy = re−jθ. Mostre que as seguintes relac¸o˜es sa˜o va´lidas:
(a) zz∗ = r2
(b) zz∗ = e
2jθ
(c) z + z∗ = 2<e{z}
(d) z − z∗ = 2j =m{z}
5 Exprima cada um dos seguintes nu´meros complexos em coordenadas rectangulares e po-
lares e represente-o no plano complexo:
(a) 3+4j1−2j
(b) 2j (1+j)
2
(3−j)
3
(c) je1+j
pi
2
(d) (1− j)9
(e)
√
2ejpi/4 − 1+2j3−j
(f) (1+
√
3j)6
3+4j
6 Represente graficamente o mo´dulo e a fase de cada uma das seguintes func¸o˜es complexas
de varia´vel real:
(a) f(x) = cos(x)
(b) g(x) = cos(x)e−jx
(c) h(t) = sin(2t) ejt
(d) S(ω) = (1 + cos(2ω)) e−j3ω
7 Prove a validade das seguintes expresso˜es:
(a)
N−1∑
n=0
αn =
{
N , α = 1
1−αN
1−α , α 6= 1
(b)
∞∑
n=0
αn =
1
1− α, |α| < 1
(c)
∞∑
n=0
nαn =
α
(1− α)2 , |α| < 1
(d)
∞∑
n=k
αn =
αk
1− α, |α| < 1
8 Determine o valor de:
(a)
∞∑
n=0
(
1− j
2
)n
(b)
∞∑
n=6
(
1 + j
2
)n
(c)
∞∑
n=0
n
(
1 + j
2
)n
(d)
20∑
n=6
(1− j)n
4
Folha 2
Sinais
1 Considere os sinais x(t) e y(t) da figura
1
1 2 3 4−1
x(t)
t
1
−1
1 2 3−1−2
y(t)
t
Determine e esboce os sinais
(a) 2x(t)
(b) x(t)− 2y(t)
(c) x(t)y(t)
(d) x(t− 2) + 2y(t)
(e) ty(t)
(f) y(t)u(t)
(g) 3x(2t)u(t− 1)
2 Considere o sinal x(t) representado a seguir.
t
x(t)
−1 1 2 3
1
2
−1
(a) Represente x(t− 2).
(b) Represente x(1− t).
5
3 O sinal h(t) esta´ representado na seguinte figura.
−1 1
1
2−2
h(t)
t
(a) Represente h(2− 2t).
(b) Calcule a energia de h(t).
4 Considere o sinal z(t) representado na figura seguinte.
1
2
1 2 3 4−1−2−3−4
z(t)
t
(a) Represente o sinal z
(
2− t2
)
.
(b) Calcule a energia de z(t).
5 x[n] e´ um sinal discreto ilustrado a seguir.
−1 1
1
2−2
x[n]
−3 3 4 5 6 n
(a) Represente x[n− 2].
(b) Represente x[2n].
(c) Represente x[2− 2n].
(d) Calcule a energia de x[n].
6 Considere o sinal x[n] representado na seguinte figura.
6
−1
2 3 4
2
x[n]
1
1
−2
n5 6
−6 −5 −4 −3 −2 −1
Represente x[n+ 1](u[n+ 3]− u[−n]) em que u[n] e´ o degrau unita´rio discreto.
7 Fac¸a a decomposic¸a˜o em parte par e parte ı´mpar dos seguintes sinais:
(a)
−1 1
1
−2 t
x(t)
(b)
−1 1
1
2−2−3 3 4
2
3
x[n]
n5 6−4
(c)
1
2
−1
1 2 3−1
z(t)
t
8 Conhecendo a parte par de x[n], xP [n], e sabendo que x[n] = 0 para n < 0, determine x[n].
7
−1 1 2−2−3 3 4 5−4
xp[n]
1
1
8
1
16
−5 n
1
4
9 Conhecendo a parte par de x(t), xP (t), e sabendo a forma de x(t + 1)u(−t − 1), deter-
mine x(t).
−1 1
1
t
xp(t)
−1
1
x(t+ 1)u(−t− 1)
−2 t
10 Conhecendo a parte ı´mpar de x[n], xi[n], e sabendo a forma de x[−n+1]u[n−1], determine
x[n].
1
2
−1
−2
xi[n]
n
1
2
−1
−2
x[−n+ 1]u[n− 1]
n
11 Calcule, para o sinal perio´dico v(t) representado a seguir:
t
A
v(t)
1−1
(a) o valor me´dio: 〈v(t)〉;
(b) a poteˆncia: 〈v2(t)〉;
(c) o valor eficaz: vRMS ;
(d) a componente alternada: vAC(t).
8
12 Determine o valor me´dio, a poteˆncia, o valor eficaz e a componente alternada dos seguintes
sinais perio´dicos:
(a) v1(t) = sin(t)
(b)
t
A
v2(t)
T
−A
(c)
1
−1
1 2 3 4
v3(t)
t
9
Folha 3
Sistemas
1 Considere um sistema S com entrada x[n] e sa´ıda y[n], que e´ constitu´ıdo pela ligac¸a˜o
em se´rie de um subsistema S1 seguido por um subsistema S2. Estes dois subsistemas
caracterizam-se pelas seguintes relac¸o˜es entrada-sa´ıda:
S1 : y1[n] = x1[n] + 2x1[n+ 1]
S2 : y2[n] = x2[n− 3]− 4x2[n− 1]
(a) Determine a relac¸a˜o entrada-sa´ıda para o sistema composto S.
(b) Esta relac¸a˜o sera´ alterada se a ordem dos dois subsistemas em se´rie for modificada?
2 Considere um sistema S composto por treˆs subsistema como indica a figura.
S1 
S2 
S3 
x(t) y(t) 
As relac¸o˜es entrada-sa´ıda dos treˆs subsistemas sa˜o, respectivamente:
S1 : y1(t) = tx1(t)
S2 : y2(t) = x2(t− 1)
S3 : y3(t) = x3(−2t).
(a) Determine a relac¸a˜o entrada-sa´ıda do sistema composto.
(b) Determine e esboce a sa´ıda y(t) quando x(t) = u(t)− u(t− 1).
3 Considere o sistema S de entrada x(t) e sa´ıda y(t) caracterizado por
y(t) =
∫ t
−∞
x(s)ds.
Determine e esboce y(t) quando a entrada do sistema e´
(a) x(t) = δ(t+ 1)− 2δ(t− 1)
(b) x(t) = u(t+ 2)− u(t− 1)
10
(c) x(t) = tu(t)u(1− t)
4 Classifique os sistemas seguintes relativamente a`s qualidades de ter ou na˜o memo´ria, in-
variaˆncia no tempo, linearidade, causalidade e estabilidade.
(a) y(t) = ex(t)
(b) y[n] = x[n]x[n− 1]
(c) y(t) = x(t− 1)− x(1− t)
(d) y[n] = x[2n]
5 Classifique cada um dos seguintes sistemas com entrada x e sa´ıda y quanto a` linearidade
e invariaˆncia no tempo
(a) y(t) = t2 x(t− 1)
(b) y[n] = x2[n− 2]
(c) y[n] = x[n+ 1]− x[n− 1]
(d) y(t) = xi(t), onde xi(t) e´ a parte ı´mpar de x(t).
6 Considere um sistema em tempo cont´ınuo de entrada x(t) e sa´ıda y(t) = xp(t) (parte par
de x(t)). Verifique quais as propriedades que este sistema possui.
7 Em cada caso identifique um sistema com as propriedades indicadas. Caso na˜o seja
poss´ıvel, indique a raza˜o.
(a) linear, em tempo discreto, esta´vel, com memo´ria e causal;
(b) na˜o causal e sem memo´ria;
(c) linear, insta´vel e sem memo´ria;
(d) na˜o linear, na˜o causal e invariante.
11
Folha 4
Sistemas lineares e invariantes em
tempo discreto
1 Considere um sistema linear e invariante no tempo para o qual a resposta ao sinal x[n] e´
o sinal y[n].
1
−1
x[n]
n−1 1
2 3
4
1
−1
y[n]
n−1
1 2
3 4
Determine a resposta deste sistema a`s entradas x1[n] e x2[n].
1
−1
x1[n]
n−3 −2 −1 1
2 3
4
1
2
−1
x2[n]
n−1 1
2 3 4 5
6
2 (a) Exprima o sinal da figura a` custa de δ[n] e suas co´pias deslocadas.
1
2
−1
w[n]
n−2 −1
1 2
3
12
(b) Sabendo que a resposta de um sistema LTI a` entrada δ[n] e´ um sinal h[n], determine
a resposta z[n] deste sistema a` entrada w[n].
(c) Sendo h[n] o sinal da figura, esboce z[n].
1
−1
h[n]
n−2
−1
1
2
3
3 Sabendo que a resposta de umSLIT a` entrada δ[n] e´
(
1
2
)n
u[n], determine a resposta do
sistema a` entrada u[n].
4 Sabendo que a resposta de um SLIT a` entrada u[n] e´ s[n] =
(
1
3
)n
u[n], determine a resposta
impulsional do sistema.
5 Calcule a convoluc¸a˜o y[n] entre os sinais x[n] e h[n] representados a seguir:
(a)
1
1 2 3 4−1
x[n]
n
1
−1
1 2 3−1−2
h[n]
n
(b)
−1 1
1
2−2−3 3
2
−4 n
x[n]
−1 1
1
2−2 3 4 5 6 n
h[n]
(c)
13
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12−1
x[n]
n
1
1 2 3−1
h[n]
n
6 Calcule (αnu[n]) ∗ (βnu[n]).
7 Considere um sistema linear e invariante em tempo discreto com resposta impulsional
h[n] =
(
1
2
)n
u[n].
(a) O sistema e´ esta´vel? E tem memo´ria?
(b) Calcule a sa´ıda do sistema quando a sua entrada e´ o sinal x[n] = u[n+ 2]− u[n− 3].
8 Considere o sinal x[n] = 0.8nu[n] aplicado a` entrada de um SLIT com resposta impulsional
h[n] = u[n+ 1]− u[n− 2].
(a) Indique se este sistema e´ ou na˜o causal e esta´vel.
(b) Calcule o sinal de sa´ıda do sistema.
14
Folha 5
Sistemas lineares e invariantes em
tempo cont´ınuo
1 Considere um sistema linear e invariante no tempo para o qual a resposta ao sinal x(t) e´
o sinal y(t).
1
21 t
x(t)
1
21
y(t)
t
2
3 4
Calcule as respostas do sistema aos sinais x1(t) e x2(t).
1
t21
−1
3 4
x1(t)
21 t
2
1
−1
x2(t)
2 Em cada um dos casos, determine a convoluc¸a˜o entre os sinais indicados.
(a)
1
1−1
x(t)
t
1
1
h(t)
t
(b)
15
1−1
−1
v1(t)
t
21
2
t
v2(t)
3
1
3
(c)
1
1−1
x(t)
t
1
1
h(t)
t
(d)
1−1
1
v1(t)
t 1−1
v2(t)
t
1
2 3
3 Em cada caso determine y(t) = x(t) ∗ h(t):
(a) x(t) = e−2tu(t), h(t) = 3u(t).
(b) x(t) = e−2tu(t), h(t) = e−3tu(t).
(c) x(t) = e−2tu(t)u(4− t), h(t) = u(t)u(3− t).
(d) x(t) = cos(pit)u(t)u(1− t), h(t) = u(t+ 1)u(1− t).
(e) x(t) = h(t) = sin(t)u(t).
4 Considere um sistema cont´ınuo LTI, de entrada x(t), sa´ıda y(t) e com resposta impulsional
h(t) = u(t)− u(t− 4).
(a) Este sistema e´ causal? E tem memo´ria? Justifique as respostas.
(b) Sabendo que x(t) = e−2tu(t) determine y(t).
5 Dois sistemas cont´ınuos LTI, S1 e S2, com respostas impulsionais, respectivamente, h1(t)
e h2(t) representadas na figura, sa˜o ligados em se´rie para formar um sistema composto.
1
−1
1−1
h1(t)
t
1
1 2
h2(t)
t
(a) Determine e represente graficamente a resposta impulsional h(t) do sistema composto.
16
(b) Indique se o sistema composto e´:
i. causal;
ii. esta´vel.
17
Folha 6
Se´rie de Fourier em tempo cont´ınuo
1 Calcule os coeficientes da se´rie de Fourier dos seguintes sinais.
(a)
1
2
1 2 3 4 5−1−2−3
x(t)
t
(b)
1
−1
1 2 3 4−1−2
x(t)
t
2 Considere o sinal x(t) de per´ıodo 3, tal que x(t) = et, t ∈ [0, 3].
(a) Esboce x(t).
(b) Determine a expressa˜o geral dos coeficientes da se´rie de Fourier de x(t).
3 Determine os coeficientes da se´rie de Fourier dos sinais
(a) x(t) = sin(2pit/T );
(b) y(t) = cos(2pit/T ).
4 Calcule os coeficientes da se´rie de Fourier do sinal v(t) =
∣∣sin (2piT t)∣∣.
5 Os coeficientes da se´rie de Fourier de um sinal perio´dico x(t) com per´ıodo 4 sa˜o
ak =
{
j k, |k| < 3
0, outros casos
18
Determine x(t).
6 Calcule a se´rie de Fourier do sinal v(t), representado a seguir.
t
1
v(t)
T−T T
2
−T
2
7 (a) Mostre que o sinal v(t)
v(t)
T1−T1 t
1
−T0
2
T0
2
T0−T0
tem como se´rie de Fourier v(t) =
2T1
T0
+
+∞∑
k=1
2 sin(kω0T1)
kpi
cos(kω0t), ω0 =
2pi
T0
.
(b) Atendendo a` se´rie de Fourier de v(t), determine a se´rie de Fourier de:
i.
tT1−T1
v1(t)
1
2−T0
2
T0
2
−T0 T0
− 1
2
ii.
T1−T1 t−T0
2
T0
2
T0−T0
v2(t)
T1
2
−T1
2
1
2
8 Determine os sinais x(t) que satisfazem simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) x(t) e´ um sinal real;
(b) x(t) tem per´ıodo 4, e coeficientes da se´rie de Fourier ak;
(c) ak = 0, |k| > 1;
(d) o sinal y(t) com coeficientes de Fourier bk = e
−jkpi/2a−k e´ real e ı´mpar;
(e) 14
∫ 4
0 |x(t)|2dt = 12 .
19
Folha 7
Transformada de Fourier em tempo
cont´ınuo
1 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
(a) x(t) = δ(t− 4).
(b)
1
1 2−1−2
x(t)
t
(c)
f(t)
−T t
1
(d) f(t) = A
(e) f(t) = ejω0t
(f) f(t) = u(t)
(g) f(t) = u(t− 1)− u(t− 3)
(h) f(t) = cos
(
2pi
T t
)
[u(t+ T )− u(t− T )]
(i) f(t) e´ perio´dico (per´ıodo T0)
f(t)
−T1
1
tT0−T0 T1
(j)
f(t)
1
−2 −1 t1
20
2 Sendo X(ω) a transformada de Fourier de x(t), exprima em func¸a˜o de X(ω) as transfor-
madas dos seguintes sinais:
(a) x0(t) = x(2t)
(b) x1(t) = x(3t− 6)
(c) x2(t) = x(−3t− 6)
(d) x3(t) =
d2
dt2
x(t− 1)
(e) x4(t) = 2
d2x(t)
dt2
+ 3 dx(t)dt − 5x(t)
(f) x5(t) = e
j2tx(t)
(g) x6(t) = cos(3t)x(t)
(h) x7(t) = e
j3tx(2t+ 1)
3 O sinal f(t) tem a transformada de Fourier da figura.
ω1
∠F (ω)
1
2|F (ω)|
ω0−ω0
1
ω
Obtenha f(t) recorrendo a`s propriedades da transformada de Fourier.
4 Diga, com base na respectiva transformada de Fourier, se os sinais seguintes sa˜o reais e
pares:
(a) X1(ω) = u(ω)− u(ω − 2)
(b) X2(ω) = A(ω)e
jB(ω), em que A(ω) = sin(2ω)ω e B(ω) = 2ω +
pi
2
5 Sabendo que X(ω) = 2
1+ω2
e´ a transformada de Fourier do sinal x(t) = e−|t|, calcule a
transformada de Fourier do sinal te−|t|.
6 Determine a fase da transformada de Fourier do sinal representado na figura.
x(t)
t− 1
2
1
2
− 3
2
1
−1
7 Determine a parte imagina´ria da transformada de Fourier do sinal da figura. (Sugesta˜o:
utilize as propriedades da transformada de Fourier.)
21
1
2
1 2 3 4−1−2−3−4
x(t)
t
8 Determine a transformada de Fourier de
(a) x(t) = e−|t|;
(b) y(t) = 2
1+t2
.
22
Folha 8
Ana´lise de Fourier de SLITs
cont´ınuos
1 Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequeˆncia. Determine,
em cada caso, a sa´ıda do sistema quando a entrada e´ o sinal x(t) = cos(t) + cos(
√
3t).
(a) H(ω) = 1jω+1 ;
(b) H(ω) = 1jω ;
(c) H(ω) = jω;
(d) sistema passa baixo ideal com frequeˆncia de corte ωc = 1.5;
(e) sistema passa alto ideal com frequeˆncia de corte ωc = 2.
2 Considere o sinal perio´dico representado na figura.
1
2
1 2 3 4 5 6−1−2−3
x(t)
t
(a) Determine a expressa˜o geral dos coeficientes ak do desenvolvimento em se´rie de
Fourier de x(t).
(b) Considere agora que x(t) e´ a entrada de um filtro passa-baixo ideal com frequeˆncia
de corte ωc = 2. Determine o sinal de sa´ıda y(t) deste filtro.
3 Um dado sistema e´ caracterizado pela equac¸a˜o diferencial
d2y(t)
dt2
+ 4
dy(t)
dt
+ 3y(t) =
dx(t)
dt
+ x(t)
onde x(t) e´ a entrada do sistema e y(t) a sa´ıda. Determine
(a) a resposta em frequeˆncia do sistema;
(b) a resposta impulsional do sistema;
(c) a sa´ıda do sistema quando x(t) = e−2t u(t).
23
4 Dois sistemas cont´ınuos LTI, com respostas impulsionais h1(t) = e
−2tu(t) e h2(t) =
e−3tu(t), sa˜o ligados em se´rie para constitu´ırem um sistema composto, de resposta im-
pulsional h(t).
(a) Determine a resposta impulsional h(t).
(b) O sistema composto pode ser descrito por uma equac¸a˜o diferencial linear de coefi-
cientes constantes. Determine-a.
(c) Determine o sinal de sa´ıda do sistema composto quando o sinal de entrada e´ x(t) =
e−2tu(t).
5 Considere um sistema cont´ınuo LTI com resposta em frequeˆncia
H(ω) =
1
(jω)2 + 2
√
2(jω) + 1
+
1
(2 + jω)2
.
(a) Determine a resposta impulsional do sistema.
(b) Determine um equac¸a˜o diferencial linear de coeficientes constantes que relaciona a
entradax(t) e a sa´ıda y(t) deste sistema.
6 Considere a associac¸a˜o em se´rie de dois sistemas lineares e invariantes em tempo cont´ınuo
S1 e S2, com entrada x(t) e sa´ıda z(t). A resposta em frequeˆncia de S1 e´ H1(ω) =
3+jω
2+jω e
a resposta impulsional de S2 e´ h2(t) = e
−3tu(t). Determine:
(a) a resposta em frequeˆncia da se´rie dos dois sistemas;
(b) a equac¸a˜o diferencial que relaciona a entrada x(t) e a sa´ıda z(t);
(c) a sa´ıda z(t) quando x(t) = e−3tu(t).
7 Considere o SLIT constitu´ıdo pela seguinte associac¸a˜o dos sub-sistemas S1, S2 e S3, car-
acterizados, respectivamente por h1(t) = e
−3tu(t), h2(t) = h1(t), H3(ω) = 2jω+1 .
S1 
S2 
S3 
x(t) y(t) 
(a) Determine a resposta em frequeˆncia, H(ω), do sistema global.
(b) Obtenha uma equac¸a˜o diferencial que relaciona os sinais de entrada, x(t), e de sa´ıda,
y(t), do sistema global.
(c) Determine a resposta impulsional, h(t), do sistema global.
24
Folha 9
Se´rie de Fourier em tempo discreto
1 Determine os coeficiente da se´rie de Fourier dos seguintes sinais:
(a) x[n] = sin
(
2pin
5
)
;
(b) x[n] = δN [n] =
∑+∞
m=−∞ δ[n−mN ];
(c) x[n] = 4δ4[n] + 8δ4[n− 1] =
∑+∞
m=−∞ (4δ[n− 4m] + 8δ[n− 1− 4m]).
2 Considere o sinal perio´dico representado na figura.
1
−1
x[n]
n
−4
−3 −2
−1
1
2
3 4
5
6 7
(a) Calcule os coeficientes da se´rie de Fourier do sinal.
(b) A partir destes coeficientes, determine a expressa˜o temporal do sinal.
3 Considere um sinal x[n] real e ı´mpar de per´ıodo N = 7. Sabendo que os coeficientes de
Fourier a15, a16, a17 tem os seguintes valores:
a15 = j; a16 = 2j; a17 = 3j
Determine os coeficientes a0, a−1, a−2 e a−3.
4 Seja x[n] um sinal real e par, de per´ıodo N = 6 e com valor me´dio 1. Deste sinal sa˜o
conhecidos os seguintes coeficientes da sua expansa˜o em se´rie de Fourier: a7 = −1, a4 = 0
e a9 = 2.
(a) Determine a0, a1, a2, a3 e a5.
(b) Determine e represente o sinal x[n].
5 Considere o sinal x[n], que e´ real e par e tem per´ıodo 4. Este sinal tem x[0] = A, x[1] = B
e x[2] = C.
25
(a) Supondo que A = 4, B = 2 e C = 0, determine
i. os coeficientes ak da sua se´rie de Fourier;
ii. a expressa˜o do sinal.
(b) Admitindo agora que a11 = 1 e a10 = −1 e que 〈x[n]〉 = 0, determine A, B e C e
esboce o sinal.
6 Determine o sinal x[n] que verifica simultaneamente as seguintes condic¸o˜es:
(a) x[n] e´ real e par e tem per´ıodo 6;
(b)
∑5
n=0 x[n] = 2;
(c)
∑7
n=2(−1)nx[n] = 1;
(d) x[0] = 5/2;
(e) a1 = 0.
26
Folha 10
Transformada de Fourier em tempo
discreto
1 Considere o sinal discreto da figura.
1
−1
x[n]
n
−2 −1 1
2
3
(a) X(Ω).
(b) Represente graficamente |X(Ω)| e ∠X(Ω).
(c) Obtenha x[n] a partir de X(Ω).
2 Calcule a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
(a) x1[n] = δ[n− 1] + δ[n+ 1]
(b) x2[n] =
(
1
2
)n−1
u[n− 1]
(c) x3[n] = a
|n|, |a| < 1
(d) x4[n] =
{
1, |n| ≤M
0, |n| > M
(e) x5[n] = cos(2pin/5)
(f) x6[n] = δN [n] =
∑+∞
l=−∞ δ[n− lN ]
3 Calcule a transformada de Fourier do sinal da seguinte figura:
−1 1
1
2−2
x[n]
−3 3 4 5 6 n
27
4 Calcule a transformada de Fourier do sinal da figura e represente-a em mo´dulo e fase.
−1 1
1
2−2
x[n]
3 4 5 6 n
5 Considere o sinal s[n] da figura.
1
−1
−2
s[n]
n
−2 −1
1
2 3 4
(a) Determine S(Ω).
(b) Represente o mo´dulo e a fase de S(Ω).
(c) Considere o sinal z[n] que e´ constitu´ıdo pela repetic¸a˜o de s[n] com per´ıodo N = 12.
Determine o valor do coeficiente a15 da sua expansa˜o em se´rie de Fourier.
6 Considere o sinal da figura.
1
2
x[n]
n
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
(a) Determine X(Ω).
(b) Considere o sinal y[n], com coeficientes de Fourier ak, o qual e´ obtido por repetic¸a˜o
de x[n] com per´ıodo N = 8.
i. determine a relac¸a˜o entre a1 e a7, sem calcular estes valores;
ii. obtenha ak;
iii. determine e esboce Y (Ω).
7 Calcule a transformada inversa de X(Ω):
X(Ω) =
{
2j , 0 < Ω ≤ pi
−2j , −pi < Ω ≤ 0
28
8 Sabendo que x[n] tem como transformada de Fourier X(Ω), calcule as transformadas dos
seguintes sinais em func¸a˜o de X(Ω):
(a) x1[n] = x[1− n] + x[−1− n]
(b) x2[n] = (n− 1)2x[n]
29
Folha 11
Ana´lise de Fourier de SLITs
discretos
1 Um SLIT de entrada x[n] e sa´ıda y[n] e´ descrito pela equac¸a˜o y[n]− 0.25y[n− 1] = x[n].
Determine os coeficientes da se´rie de Fourier do sinal de sa´ıda e a sua expressa˜o quando a
entrada e´:
(a) x[n] = sin
(
3pin
4
)
;
(b) x[n] = cos
(
pin
4
)
+ 2 cos
(
pin
2
)
;
2 Considere os SLITs caracterizados pelas seguintes respostas em frequeˆncia. Determine em
cada caso a sa´ıda do sistema quando a entrada e´ o sinal x[n] = cos
(
pin
5
)
+ cos
(
2pin5
)
.
(a) sistema passa baixo ideal com frequeˆncia de corte pi/3;
(b) sistema passa alto ideal com frequeˆncia de corte pi/2.
3 Repita a al´ınea (a) do exerc´ıcio anterior, considerando agora o sinal de entrada da figura.
Esboce o sinal de sa´ıda.
1
x[n]
n
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
4 Um sistema discreto LTI e´ caracterizado pela equac¸a˜o
8y[n]− 6y[n− 1] + y[n− 2] = 3x[n]− x[n− 1]
onde x[n] e´ a entrada do sistema e y[n] a sa´ıda. Determine
(a) a resposta em frequeˆncia do sistema;
(b) a resposta impulsional do sistema;
(c) a sa´ıda do sistema quando a entrada e´ x[n] =
(
1
3
)n
u[n].
30
5 Considere os sinais
1
−1
−2
s[n]
n−2 −1
1
2 3 4
1
2
1 2 3 4 5−1
x[n]
n
(a) Sabendo que s[n] e´ a resposta indicial de um sistema discreto LTI, determine a sua
resposta impulsional.
(b) Admitindo que x[n] e´ a entrada do referido sistema, determine a sua sa´ıda.
6 A resposta em frequeˆncia de um sistema discreto LTI e´
H(Ω) =
6
(
5− 2e−jΩ)
e−j2Ω − 5e−jΩ + 6 .
Determine
(a) uma equac¸a˜o a`s diferenc¸as que relacione a entrada e a sa´ıda do sistema;
(b) a resposta impulsional do sistema;
(c) a resposta indicial do sistema;
(d) a sa´ıda y[n] quando a entrada e´ x[n] =
(
1
4
)n
u[n].
7 Considere um sistema discreto descrito pela seguinte equac¸a˜o a`s diferenc¸as:
y[n] = x[n]− x[n− 8]
Represente graficamente a sua resposta em frequeˆncia.
8 Considere um sistema S obtido como a associac¸a˜o em paralelo dos sub-sistemas S1 e S2.
O sistema S e´ caracterizado pela resposta em frequeˆncia
H(Ω) =
1
9e
−j2Ω − 76e−jΩ + 2(
1
9e
−j2Ω − 23e−jΩ + 1
) (
1− 12e−jΩ
) ,
e a resposta impulsional de S1 e´ h1[n] =
(
1
2
)n
u[n].
(a) Determine a reposta em frequeˆncia de S2.
(b) Obtenha a resposta impulsional de S2.
(c) Sabendo que a entrada do sistema S e´ o sinal x[n] =
(
1
2
)n
u[n], determine as sa´ıdas
dos subsistemas S1 e S2, bem como a sa´ıda do sistema S.
9 Considere a associac¸a˜o em se´rie de dois sistemas lineares e invariantes em tempo discreto
S1 e S2, como se mostra na figura.
 
 
 
 
1S 2S 
x[n] y[n] z[n] 
31
A entrada e a sa´ıda do sistema S1 esta˜o relacionadas por y[n] + 0.5y[n − 1] = x[n], e a
resposta em frequeˆncia do sistema S2 e´
H2(Ω) =
1 + 0.5e−jΩ
1− 0.25e−jΩ .
(a) Determine as respostas impulsionais dos sistemas S1 e S2.
(b) Obtenha uma equac¸a˜o a`s diferenc¸as que relacione x[n] com z[n].
(c) Determine z[n] quando x[n] =
(
1
3
)n
u[n].
32
Folha 12
Transformada de Laplace
1 Diga qual e´ a regia˜o de convergeˆncia da transformada de Laplace dos seguintes sinais:
(a) x1(t) = e
−5tu(t)
(b) x2(t) = e
−5tu(−t)
(c) x3(t) = e
−5t[u(t+ 5)− u(t− 5)]
(d) x4(t) = e
−5t
(e) x5(t) = e
−5|t|
(f) x6(t) = e
−5|t|u(−t)
2 Considere o sinal x(t) = e−5tu(t) + e−βtu(t) que tem a transformada de Laplace X(s).
Quais devera˜o ser as restric¸o˜es impostas a` parte real e a` parte imagina´riade β para que a
regia˜o de convergeˆncia de X(s) seja <e{s} > −3?
3 Quantos sinais teˆm uma transformada de Laplace que pode ser expressa por:
X(s) =
s− 1
(s+ 2)(s+ 3)(s2 + s+ 1)
?
4 Considere a seguinte transformada de Laplace do sinal h(t):
H(s) =
2s+ 5
s2 + 5s+ 6
<e{s} > −2.
(a) Determine h(t).
(b) Sendo h(t) a resposta impulsional de um SLIT, determine a equac¸a˜o diferencial que
o caracteriza.
(c) A que e´ igual a transformada de Laplace do sinal s(t) =
∫ t
−∞ h(τ)dτ?
5 Um SLIT cont´ınuo tem uma func¸a˜o de sistema (transformada de Laplace da resposta
impulsional) com expressa˜o funcional dada por
X(s) =
s2 + 5s+ 4
(s2 + 4s+ 5)(s− 1) .
(a) Represente o diagrama de po´los e zeros da func¸a˜o de sistema.
33
(b) Qual deve ser a regia˜o de convergeˆncia de X(s) para que o sistema tenha resposta em
frequeˆncia definida (isto e´, exista a transformada de Fourier da resposta impulsional)?
(c) Determine o valor do mo´dulo da resposta em frequeˆncia, para ω = 1, a partir do
diagrama de po´los e zeros de X(s).
6 O sinal f(t) =
{
t2, |t| ≤ 1
0, |t| > 1 tem transformada de Laplace dada por
F (s) =
s2 + 2
s3
(
es − e−s)− 2
s2
(
es + e−s
)
.
(a) Qual e´ a regia˜o de convergeˆncia?
(b) Qual e´ a transformada de Laplace do sinal y(t) =
∫ t
−∞ f(2τ)dτ?
34
Folha 13
Transformada Z
1 Calcule a transformada Z do seguinte sinal:
x[n] =
(
1
5
)n
u[n− 3].
2 Considere a seguinte transformada Z:
X(z) =
1− 14z−2(
1 + 14z
−2) (1 + 54z−1 + 38z−2) .
Represente os po´los e os zeros no plano z e diga quantas regio˜es de convergeˆncia se podem
definir.
3 Considere o sinal x[n] com a seguinte transformada Z
X(z) =
z
4z2 − 5z + 1 , |z| > 1.
(a) Determine x[n].
(b) Determine a transformada Z do sinal y[n] =
∑n
k=−∞ x[k − 1].
4 Um SLIT discreto e´ caracterizado pela seguinte equac¸a˜o a`s diferenc¸as:
y[n] + 2.5y[n− 1] + y[n− 2] = x[n]− x[n− 1].
(a) Determine a func¸a˜o de transfereˆncia do sistema, H(z).
(b) Represente o diagrama de po´los e zeros de H(z).
(c) Que regia˜o de convergeˆncia se deve associar a H(z), sabendo que h[n] tem transfor-
mada de Fourier?
35
Folha 14
Amostragem
1 Considere o sinal x(t) com espectro X(ω) = u(ω + ω0)− u(ω − ω0), o qual e´ amostrado a`
frequeˆncia ωs. Esboce o espectro do sinal amostrado quando
(a) ωs = 3ω0;
(b) ωs = 1.5ω0.
2 Considere um sinal x(t) com frequeˆncia de Nyquist ωN . Indique a frequeˆncia de Nyquist
dos seguintes sinais:
(a) 3x(t)
(b) x(t− 3)
(c) x(3t)
(d) x(2t+ 1)
(e) x(t) ∗ x(t) ∗ x(t)
(f) x3(t)
(g) x(t) sin(2ωN t)
3 Determine a frequeˆncia de Nyquist para os seguintes sinais
(a) cos(20pit)
(b) 1 + sin(30pit) + 3 cos(50pit)
(c) cos2(100pit)
(d) sinc(50t)
(e) sinc(20t) sin(50pit)
(f) sinc2(20t)
(g) sinc(t/4) ∗ δ20(t)
(h) sinc(t)δ0.1(t)
4 Considere o sinal x(t) = 10 cos(20pit).
(a) Suponha que este sinal e´ amostrado a` frequeˆncia angular ωs = 50pi.
i. Determine o espectro do sinal amostrado.
36
ii. Obtenha a expressa˜o temporal e o per´ıodo do sinal em tempo discreto formado
pelas amostras de x(t).
iii. Determine o sinal que se obte´m passando o sinal amostrado por um filtro passa
baixo ideal com ganho unita´rio e frequeˆncia de corte igual a metade da frequeˆncia
de amostragem.
(b) Repita a al´ınea anterior considerando agora uma frequeˆncia (angular) de amostragem
de 30pi.
37
Anexo 1
Decomposic¸a˜o em Fracc¸o˜es Simples
Dada uma func¸a˜o G(x), fracc¸a˜o pro´pria de dois polino´mios, e supondo que o denominador tem
ra´ızes ρ1, ρ2, . . ., ρr, distintas, e de multiplicidade σ1, σ2, . . ., σr, respectivamente, ou seja,
G(x) =
P (x)
(x− ρ1)σ1(x− ρ2)σ2 · · · (x− ρr)σr ,
e´ poss´ıvel escreveˆ-la como uma soma de fracc¸o˜es, na forma
G(x) =
r∑
i=1
σi∑
k=1
Ai,k
(x− ρi)k ,
isto e´,
G(x) =
A1,1
x− ρ1 +
A1,2
(x− ρ1)2 + · · ·+
A1,σ1
(x− ρ1)σ1+
+
A2,1
x− ρ2 +
A2,2
(x− ρ2)2 + · · ·+
A2,σ2
(x− ρ2)σ2+
+ · · ·+
Ar,1
x− ρr +
Ar,2
(x− ρr)2 + · · ·+
Ar,σr
(x− ρr)σr ,
sendo os coeficientes Ai,k determinados pela expressa˜o
Ai,k =
1
(σi − k)!
[
dσi−k
dxσi−k
[(x− ρi)σi G(x)]
]
∣∣
x=ρi
.
1 Decomponha as seguintes func¸o˜es em fracc¸o˜es simples.
(a) H(x) = x(x−2)(x−3)
(b) F (x) = x+1
x2−5x+4
(c) F (x) = 1
(x−3)2(x−1)
(d) G(x) = 1
(x−1)3(x+2)
(e) H(x) = x(1−3x)(1−2x)
(f) H(x) = 2x−5
(1−3x)2(1−2x)
38