Equações Diferenciais II Series de fourier

Prévia do material em texto

10.2 Séries e Integrais de Fourier
Veremos como resolver muitos problemas importantes 
envolvendo equações diferenciais parciais, desde que possa 
expressar uma função dada como uma séries infinita de senos e 
ou cossenos. 
A partir daqui vamos explicar em detalhe como isso pode ser 
feito.
Essas séries trigonométricas são chamadas séries de Fourier; 
elas são análogas às séries de Taylor no sentido de que ambos os 
 tipos de séries fornecem um modo de se expressar funções 
bastante complicadas em termos de certas funções elementares.
 
Representação de Funções em Séries de Fourier 
Vamos começar com uma série da forma
No conjunto de pontos onde esta série converge, ela define 
uma função f cujos valores em cada ponto x é a soma da série 
para aquele valor de x. 
Nesse caso, dizemos que a série acima é a série de Fourier 
series de f. 
Nossos objetivos imediatos são determinar que funções podem 
ser representadas como uma soma de uma série de Fourier e 
encontrar maneiras de calcular os coeficientes na série 
correspondente a uma função dada. 
∑∞
=



++
1
0 sincos
2 m
mm L
xmb
L
xmaa pipi
 
Funções Periódicas 
É necessário desenvolver propriedades de sin(mpi x/L) e 
cos(mpi x/L), onde m é um inteiro positivo.
A primeira propriedade é seu caráter periódico. 
Uma função é periódica com período T > 0 se o domínio de f 
contém x + T sempre que contiver x, e se 
f (x + T) = f(x) , para todo x. 
 
Periodecidade das Funções Seno e Cosseno
Uma função periódica de período T, f (x + T) = f(x) para todo x. 
Note que 2T é também um período e, de fato, qualquer 
múltiplo inteiro de T.
O menor valor de T para o qual f é periódica é chamado de 
período fundamental of f. 
Se f e g são duas funções periódicas com periódo comum T, 
então fg e c1 f + c2g são também periódica com período T. 
Em particular, sin(mpi x/L) e cos(mpi x/L) são periódica com 
período T = 2L/m. 
 
Ortogonalidade
O produto interno usual (u, v) de duas funções reais u e v em 
um intervalo α ≤ x ≤ β é definida por 
As funções u e v são ditas ortogonais em α ≤ x ≤ β se seu 
produto interno (u, v) é zero:
Um conjunto de funções é mutualmente ortogonal se cada 
distinto pares de funções, pertence ao conjunto e é ortogonal. 
∫= βα dxxvxuvu )()(),(
0)()(),( == ∫ βα dxxvxuvu
 
Ortogonalidade de Seno e Cosseno 
As funções sin(mpi x/L) e cos(mpi x/L), m = 1, 2, …, formal um 
conjunto mutualmente ortogonal de funções em -L ≤ x ≤ L, 
com
Estes resultados podem ser obtidos por integração direta; 


=
≠
=
=


=
≠
=
∫
∫
∫
−
−
−
.,
,,0
sinsin
;, all,0sincos
;,
,,0
coscos
nmL
nm
dx
L
xn
L
xm
nmdx
L
xm
L
xm
nmL
nm
dx
L
xn
L
xm
L
L
L
L
L
L
pipi
pipi
pipi
 
Encontrando Coeficientes da Expansão de Fourier
Suponha que a séries converge, e chamamos esta soma de f(x):
Os coeficientes an, n = 1, 2, …, podem ser encontrados da 
seguinte maneira
Por Ortogonalidade 
∑∞
=



++=
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xmaaxf pipi
∫∑
∫∑∫∫
−
∞
=
−
∞
=
−−
+
+=
L
L
m
m
L
L
m
m
L
L
L
L
dx
L
xn
L
xmb
dx
L
xn
L
xmadx
L
xnadx
L
xnxf
pipi
pipipipi
cossin
coscoscos
2
cos)(
1
1
0
n
L
Ln
L
L
Ladx
L
xnadx
L
xnxf == ∫∫
−−
pipi 2coscos)(
 
Fórmulas dos Coeficientes
Portanto como vimos anteriormente temos
Para encontrar o coeficiente a0, temos que
Assim, os coeficientes an são determinados pela fórmula
Analogamente, os coeficientes bn são determinados pela fórmula
0
11
0 sincos
2
)( Ladx
L
xmbdx
L
xmadxadxxf
L
L
m
m
L
L
m
m
L
L
L
L
=++= ∫∑∫∑∫∫
−
∞
=
−
∞
=
−−
pipi
,2,1,0,cos)(1 == ∫
−
ndx
L
xnxf
L
a
L
Ln
pi
,2,1,cos)(1 == ∫
−
ndx
L
xnxf
L
a
L
Ln
pi
,2,1,sin)(1 == ∫
−
ndx
L
xnxf
L
b
L
Ln
pi
 
As Fórmulas de Euler-Fourier
Assim, os coeficientes são dados pelas equações
 as quais são conhecidas como as fórmulas Euler-Fourier .
Note que estas fórmulas dependem somente dos valores de f(x) 
no intervalo -L ≤ x ≤ L. Como cada um dos termos da série de 
Fourier 
 é periódico com período 2L, a séries converge para todo x 
sempre que convergir em -L ≤ x ≤ L, e f é determinada para 
todo x por seus valores no intervalo -L ≤ x ≤ L. 
,,2,1,sin)(1
,,2,1,0,cos)(1


==
==
∫
∫
−
−
ndx
L
xnxf
L
b
ndx
L
xnxf
L
a
L
Ln
L
Ln
pi
pi
∑∞
=



++=
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xmaaxf pipi
 
Exemplo 1: Onda Triangular (1 de 3) 
Considere a função abaixo, 
Esta função representa uma onda triangular, e é periódica com 
período T = 4. (veja gráfico). Neste caso, L = 2. 
Assumindo que f tem uma representação em série de Fourier, 
encontrar os coeficientes am e bm. 
)()4(,
20,
02,
)( xfxf
xx
xx
xf =+

<≤
<≤−−
=
 
Exemplo 1: Coeficientes (2 de 3) 
Primeiro, encontramos a0: 
Então, para am, m = 1, 2, …, temos 
onde usamos a integração por partes. 
Analogamente, podemos obter os bm= 0, m = 1, 2, …
( ) 211
2
1
2
1 2
0
0
20
=+=+−= ∫∫
−
dxxdxxa
( )


−
=+−= ∫∫
− even,0,
odd,)/(8
2
cos
2
1
2
cos
2
1 22
0
0
2 m
mm
dxxmxdxxmxam
pipipi
 
Exemplo 1: Expansão em Fourier (3 de 3) 
Assim bm= 0, m = 1, 2, …, e
Então
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−
−=
−=



+++−=



++=
1
22
,...5,3,1
22
222
1
0
)12(
]2/)12cos[(81
)2/cos(81
2
5cos
5
1
2
3cos
3
1
2
cos81
cos
2
)(
n
m
m
mm
n
xn
m
xm
xxx
L
xmsinb
L
xmaaxf
pi
pi
pi
pi
pipipi
pi
pipi



−
==
,p0,
í,)/(8
,2
2
0 arm
mparmm
aa m
pi
 
Exemplo 2: Função (1 de 3) 
Considere a função abaixo. 
Esta função é periódica com período T = 6. Neste caso, L = 3. 
Assumindo que f tem uma representação em série de Fourier, 
encontrar os coeficientes an e bn. 
)()6(,
31,0
11,1
13,0
)( xfxf
x
x
x
xf =+



<<
<<−
−<<−
=
 
Exemplo 2: Coeficientes (2 de 3) 
Primeiro, encontramos a0: 
Usando a fórmula de Euler-Fourier, obtemos
3
2
3
1)(
3
1 1
1
3
30
=== ∫∫
−−
dxdxxfa
,,2,1,0
3
cos1
3
sin
3
1
,,2,1,
3
sin2
3
sin1
3
cos
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1


==−==
====
−
−
−
−
∫
∫
nxn
n
dxxnb
nn
n
xn
n
dxxna
n
n
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
 
Exemplo 2: Expansão em Fourier (3 de 3) 
Assim bn= 0, n = 1, 2, …, e
Então



+


−


−


+


−=
+=



++=
∑
∑
∞
=
∞
=

3
5cos
5
1
3
4cos
4
1
3
2cos
2
1
3
cos3
3
1
3
cos
3
sin2
3
1
sincos
2
)(
1
1
0
xxxx
xnn
n
L
xnb
L
xnaaxf
n
n
nn
pipipipi
pi
pipi
pi
pipi
,2,1,
3
sin2,
3
2
0 === n
n
n
aa n
pi
pi
 
Exemplo 3: Onda Triangular (1 de 5) 
Considere agora a função do Exemplo 1 
com o seu gráfico e sua representação em série de Fourier, abaixo
Invertigaremos a velocidade de convergência da série e 
determinaremos quantos termos são necessários para que o erro 
não seja maior que 0.01 para todo x. 
),()4(,
20,
02,
)( xfxf
xx
xx
xf =+

<≤
<≤−−
=
∑∞
=
−−
−=
1
22 )12(
2/)12cos(81)(
n n
xnxf pi
pi
 
Exemplo 3: Somas Parcias (2 de 5) 
A m-ésima soma parcial na série de Fourier 
e pode ser usado para aproximar a função f. 
Os coeficientes diminuem como (2n -1)2, de modo que a série, 
converge razoavelmente rápido. Veja no gráfico de s1, s2, e f. 
,
)12(
2/)12cos(81)(
1
22 ∑
=
−
−
−=
m
n
m n
xnxs pi
pi
 
Exemplo 3: Erro (3 de 5) 
Para investigar a convergência com mais detalhes, consideremos 
a função erro em(x) = f (x) - sm(x). 
Dado abaixo no gráfico de |e6(x)| em 0 ≤ x ≤ 2. 
Note que o erro é maior nos pontos x = 0 e x = 2, onde o gráfico 
de f(x) tem bicos. 
Analogamente, gráficos são obtidos para outros valores de m. 
 
Exemplo 3: Limite Uniforme (4 de 5) 
Desde que o erro máximo ocorre em x = 0 ou x = 2, obtemos 
uma cota uniforme para o erro para cada m calculando |em(x)| 
em um destes pontos.
Por exemplo, e6(2) = 0.03370, onde |e6(x)| < 0.034 em 
0 ≤ x ≤ 2, e consequentemente para todo x. 
 
Exemplo 3: Velocidade de Convergência (5 de 5) 
A tabela mostra valores de |em(2)| para outros valores de m, e 
esses dados estão plotados abaixo. 
 Dessa informação, podemos começar a estimar o número de 
termos que serão necessários para obter a precisão pedida.
Para guarantir que |em(2)| ≤ 0.01, necessitamos escolher m = 21. 
m e_m(2)
2 0.09937
4 0.05040
6 0.03370
10 0.02025
15 0.01350
20 0.01013
25 0.00810
 
10.3: O Teorema de Convergência de Fourier
Na Seção 10.2, mostramos que, se a série de Fourier
converge e, define uma função f, e então f é periódica com período 
2L, com coeficientes am e bm dado por
Nesta seção vamos supor que é dada uma função periódica f de 
período 2L que é integravel em [-L, L]. Podemos calcular am e 
bm usando as fórmulas acima e construir a série de Fourier 
associada. O problema é saber se essa série converge para 
algum valor de x, e se esse for o caso, se sua soma é f(x). 
∑∞
=



++
1
0 sincos
2 m
mm L
xmb
L
xmaa pipi
dx
L
xmxf
L
bdx
L
xmxf
L
a
L
Lm
L
Lm ∫∫ −− == pipi sin)(1,cos)(1
 
Representação das Funções em Séries de Fourier 
Para garantir a convergência de uma série de Fourier para a 
função da qual seus coeficientes são calculados, é essencial 
colocar hipóteses adicionais sobre a função. 
De um ponto de vista prático, tais condições devem ser fracas o 
suficiente para cobrir todas as situações de interesse e, ainda, 
simples o suficiente para serem facilmente verificadas. 
Para este propósito, vamos relembrar do a definição de função 
contínua por partes. 
 
Funções Contínuas Por Partes
Uma função f é contínua por partes em um intervalo [a, b] se este 
intervalo pode ser particionado por um número finito de pontos
a = x0 < x1 < … < xn = b tal que 
(1) f é contínua em cada intervalo (xk, xk+1) 
A notação f(c+) denota o limite de f(x) com x→ c+ (pela direita) e 
f(c-) denota o limite de f(x) com x→ c- (pela esqueda). 
Não é necessário que a função esteja definida nos pontos da partição 
xk,, e nem é necessário que o intervalo [a, b] seja fechado.
nkxf
nkxf
k
k
xx
tx
,,1,)(lim)3(
1,,0,)(lim)2(
1


=∞<
−=∞<
−
+
+
→
→
 
Teorema 10.3.1
Suponha que f e f ' são contínuas por partes em [-L, L). 
Alé disso, suponha que f está definida fora de [-L, L) de modo 
a ser periódica de período 2L. 
Então f tem uma série de Fourier.
onde
A série de Fourier converge para f(x) em todos os pontos x 
onde f é contínua, e converge para [f (x+) + f (x-)]/2 em todos 
os pontos x onde f é descontínua. 
∑∞
=



++=
1
0 sincos
2
)(
m
mm L
xmb
L
xmaaxf pipi
dx
L
xmxf
L
bdx
L
xmxf
L
a
L
Lm
L
Lm ∫∫ −− == pipi sin)(1,cos)(1
 
Identidade de Parseval
A identidade de Parseval afirma que 
onde an e bn são os coeficientes de Fourier correspondentes a f(x) 
e se f(x) satisfaz às condições do teorema 10.3.1
( )∑∫ ∞
=
−
++=
1
22
2
02
2
)(1
m
L
L
mm
baadxxf
L
 
Integral de Séries de Fourier
∑ ∫∫ ∑ ∞
=
∞
=




=


11
)()(
n
b
a
n
b
a n
n dxxudxxu
Se cada termo de uma série infinita é contínuo em um 
intervalo (a,b) e se a série converge uniformemente para f(x) 
nesse intervalo. Então:
(a) f(x) também é contínua no intervalo;
(b) a série pode ser integrada termo a termo, isto é,
 
Derivada de Séries de Fourier
 
 
Se cada termo de uma série infinita é derivável, e se a série de 
derivadas é uniformemente converge, então a série pode ser 
derivada termo a termo, isto é:
∑∑ ∞
=
∞
=



=


11
)()(
n
n
n
n xudx
dxu
dx
d
 
Teorema 10.3.1: Observações
Note que a série de Fourier converge para a média de f (x+) e f 
(x-) nos pontos de descontinuidade de f. 
A condição dada neste teorema são somente suficiente para a 
convergência de uma série de Fourier; Elas não são necessária. 
Nem são as condições suficientes mais gerais que foram 
descobertas. 
Funções não incluídas no teorema são, principalmente, as que 
têm descontinuidades infinitas no intervalo [-L, L), como 1/x2.
Uma série de Fourier pode convergir para pode convergir para 
uma soma que não é diferenciável, nem mesmo contínua, apesar 
do fato de que cada termo da série é contínuo e até diferenciável 
um número infinito de vezes. (Veja Ex. Anteriores 1 e 2).
 
Exemplo 1: Onda Quadrada (1 de 8) 
Considere a função abaixo. 
Vamos, temporariamente, deixar em aberto a definição de f em 
x = 0 e x = ±L, exceto para dizer que seu valor tem que ser finito. 
Esta função representa a onda quadrada, e é periódica com 
período T = 2L. 
)()2(,
0,
0,0
)( xfLxf
LxL
xL
xf =+

<<
<<−
=
 
Exemplo 1: Onda quadrada (2 de 8) 
 Lembre-se que para nossa função f, 
O intervalo [-L, L) pode ser particionado em dois subintervalos 
abertos (-L, 0) e (0, L). 
Em (0, L), f(x) = L e f '(x) = 0. Assim f e f ' são contínuas e tendo 
limites finitos quando x → 0 pela direita e x → L pela esquerda. 
Analogamente em (-L, 0). Assim f e f ' são contínuas por partes 
em [-L, L), e podemos aplicar o Teorema 10.3.1. 
)()2(,
0,
0,0
)( xfLxf
LxL
xL
xf =+

<<
<<−
=
 
Exemplo 1: Coeficientes (3 de 8) 
Primeiro, encontre a0: 
Então para am, m = 1, 2, …, temos 
Analogamente, para bm= 0, m = 1, 2, …,
LdxL
L
dxxf
L
a
LL
L
=== ∫∫
− 00
1)(1
0,0sincos1
0
0
≠=== ∫ mL xmmLdxL xmLLa
L
L
m
pi
pi
pi


=== ∫ ,p0, í,/2cos1 00 arm
mparmmL
L
xm
m
Ldx
L
xmLsin
L
b
L
L
m
pipi
pi
pi
 
Exemplo 1: Expansão em Fourier (4 de 8) 
Assim, am= 0, m = 1, 2, …, e
Então
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
−
+=
+=



++++=



++=
1
,...5,3,1
1
0
12
/)12sin(2
2
)/sin(2
2
5sin
5
13sin
3
1sin2
2
sincos
2
)(
n
m
m
mm
n
LxnLL
L
LxmLL
L
x
L
x
L
xLL
L
xmb
L
xmaaxf
pi
pi
pi
pi
pipipi
pi
pipi



==
,p0,
í,/2
,0 arm
mparmmL
bLa m
pi
 
Exemplo 1: Teorema 10.3.1 (5 de 8) 
Portanto
Agora f é contínua em (-nL, 0) e (0, nL), onde a série de Fourier 
converge para f(x) em todos estes intervalos, pelo Teorema 10.3.1. 
Nos pontos x = 0, ±nL onde f é descontinua, todos os termos antes do 
primeiro desaparecem, e a soma é L/2=[f (x+)+f (x-)]/2. 
Assim, podemos, escolher como definição da f (x) ser L/2 nestes 
pontos de descontinuidade, para que desta forma a series possa 
convergir para f nestes pontos.∑∞
=
−
−
+=
1 12
/)12sin(2
2
)(
n n
LxnLLxf pi
pi
 
Exemplo 1: Fenômeno de Gibbs (6 de 8) 
Considere a soma parcial
O gráfico de s8(x) e f são dados abaixo para L = 1. 
As somas parciais parecem convergir para f nos pontos de 
continuidade e têm tendência a ultrapassar f nos pontos próximos de 
descontinuidade. 
Este comportamento é típico de séries de fourier em pontos de 
descontinuidades e é conhecido como fenômeno de Gibbs. 
∑
=
−
−
+=
n
k
n k
LxkLLxs
1 12
/)12sin(2
2
)( pi
pi
 
Exemplo 1: Erro (7 de 8) 
Para investigar a convergência com mais detalhes. Considere a 
função erro en(x) = f (x) - sn(x). 
É dado abaixo o gráfico de |e8(x)| e L = 1. O menor cota 
superior de |e8(x)| é 0.5, e é aproximada quando x → 0 e x → 1. 
Quando n aumenta, o erro diminui em (0, 1), onde f é contínua, 
mas a menor cota superior não diminui quando n aumenta. 
Portanto não podemos reduzir
uniformemente o erro no intervalo 
 inteiro aumentando o número 
 de termos.
 
 
Exemplo 1: Velocidade de Convergência (8 de 8) 
Note que na nossa série de Fourier,
 os coeficientes são proporcional a 1/(2n-1). 
Assim esta séries converge mais devagar do que as dos 
Exemplos 1 e 3 da Seção 10.2, porque nestes, os coeficientes 
são proporcionais a 1/(2n -1)2. 
∑∞
=
−
−
+=
1 12
/)12sin(2
2
)(
n n
LxnLLxf pi
pi
 
10.4: Funções Pares e Ímpares
Antes de olhar outros exemplos de séries de Fourier, vamos 
distinguir duas classes de funções para as quais a fórmula de 
Euler-Fourier pode ser simplificada. 
Essas classes são formadas pelas funções pares e ímpares, que 
geometricamente, pela propriedade de simetria em relação ao 
eixo dos y e à origem, respectivamente. 
dx
L
xnxf
L
b
dx
L
xnxf
L
a
L
Ln
L
Ln
∫
∫
−
−
=
=
pi
pi
sin)(1
cos)(1
 
Definição de fonções pares e ímpares
Analiticamente, f é uma função par se seu domínio contém o 
ponto –x sempre que contiver x, e se f (-x) = f (x) para cada x 
no domínio de f. figura (a) .
A função f é uma função ímpar se seu domínio contém o 
ponto –x sempre que contiver x, e se f (-x) = - f (x) para cada x 
no domínio de f. figura (b) .
Note que f (0) = 0 para toda função ímpar. 
Exemplos de funções pares
 1, x2, cos x, |x|. 
Exemplos de funções ímpres
 x, x3, sin x.
 
Propriedades Aritiméticas
Segue as seguintes propriedades aritiméticas: 
A soma (diferença) e o produto (quociente) de duas funções pares é par.
O produto (quociente) de função par com ímpar é ímpar.
A soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar. 
O produto (quociente) de duas funções ímpares é par.
O soma (diferença) de função par com ímpar não par nem ímpar.
 
Propriedades Integrais
Se f é uma função par, então
se f é uma função ímpar, então
 
dxxfdxxf
LL
L ∫∫ =− 0 )(2)(
0)( =∫
−
dxxf
L
L
 
Séries em Cossenos
Suponha que f e f ' são contínuas por partes em [-L, L) e que f é 
uma função par e periódica com período 2L. 
Então f(x) cos(npi x/L) é par e f(x) sin(npi x/L) é ímpar. Assim,
Logo, f tem série de Fourier e é da forma 
Assim a série de Fourier de uma função par consiste somente de 
termos de cossenos (e termos constantes), e é chamada de Série 
de Fourier em Cossenos. 
∑∞
=
+=
1
0 cos
2
)(
n
n L
xnaaxf pi


,2,1,0
,2,1,0,cos)(2
0
==
== ∫
nb
ndx
L
xnxf
L
a
n
L
n
pi
 
Séries em Senos
∑∞
=
=
1
sin)(
n
n L
xnbxf pi


,2,1,sin)(2
,2,1,0,0
0
==
==
∫ ndxL xnxfLb
na
L
n
n
pi
Suponha que f e f ' são contínuas por partes em [-L, L) e que f é 
uma função ímpar e periódica com período 2L. 
Então f(x) cos(npi x/L) é ímpar e f(x) sin(npi x/L) é par. Assim,
Logo, f tem série de Fourier e é da forma 
Assim a série de Fourier de uma função ímpar consiste somente 
de termos de senos (e termos constantes), e é chamada de Série 
de Fourier em Senos. 
 
Exemplo 1: Onda dente de Serra (1 de 3) 
Considere a função abaixo. 
Esta função representa uma onda dente de serra, e é periódica 
com período T = 2L. 
Encontre a série de Fourier dessa função. 
)()2(,
,0
,
)( xfLxf
Lx
LxLx
xf =+

±=
<<−
=
 
Exemplo 1: Coeficientes (2 de 3)
Como f é uma função ímpar periódica com período 2L, temos 
Segue que a série de Fourier de f é 
( )∑∞
=
+
−
=
1
1
sin12)(
n
n
L
xn
n
Lxf pi
pi
( ) 

,2,1,12
cossin2sin2
,2,1,0,0
1
0
2
0
=−=



−


==
==
+
∫
n
n
L
L
xn
L
xn
L
xn
n
L
L
dx
L
xnx
L
b
na
n
L
L
n
n
pi
pipipi
pi
pi
 
Exemplo 1: Gráfico da Soma Parcial (3 de 3) 
Os gráficos da soma parcial de s9(x) e f são dados abaixo.
Observe que f é descontínua em x = ±(2n +1)L, e nestes pontos 
a série converge para a média dos limites à direita e à esquerda 
nestes pontos,[f (x+) + f (x-)]/2 , que é zero.
O fenômeno de Gibbs ocorre, novamente, próximo aos pontos 
de descontinuidade.
 
Prolongamentos de Funções
É muito útil expandir uma função f dada, originalmente, no 
intervalo [0,L], em uma série de Fourier de período 2L. 
Extensão Par: Definir uma função g de períoda 2L tal que 
A função g é, então, uma extensão periódica par de f. Sua série 
de Fourier, que é uma série em cossenos, representa f em [0, L].
Por exemplo, a extensão periódica par de f (x) = x em [0, 2] é a 
onda triangular g(x). 
)()2(,
0),(
0),(
)( xgLxg
xLxf
Lxxf
xg =+

<<−−
≤≤
=


<≤
<≤−−
=
20,
02,
)(
xx
xx
xg
 
Extensão Ímpar
Como antes, seja f uma função definida sómente em (0, L). 
Definir uma função h de período 2L tal que 
A função h é a extensão periódica ímpar de f. Sua série de 
Fourier, que é uma série de senos, representa f em (0, L).
Por exemplo, a estensão periódica ímpar de f (x) = x em [0, L) é 
a onda dente de serra h(x) dada por. 
)()2(,
0)(
,0,0
0),(
)( xhLxh
xLxf
Lx
Lxxf
xh =+



<<−−−
=
<<
=


±=
<<−
=
Lx
LxLx
xh
,0
,
)(
 
Extensão em Geral
Portanto, seja f uma função definida somente em [0, L]. 
Defina uma função k de período 2L tal que 
onde m(x) é ma função definida de forma consistente com o 
Teorema 10.3.1. Por exemplo, podemos definir m(x) = 0. 
A série de Fourier para k envolve termos tanto em seno como 
em cosseno, e representa f em [0, L], independente do modo 
como m(x) é definida.
Assim, existe uma infinidade de tais séries, todas convergindo 
para f em [0, L].
)()2(,
0),(
0),(
)( xkLxk
xLxm
Lxxf
xk =+

<<−
≤≤
=
 
Exemplo 2 
Considere a função abaixo. 
Como indicado anteriormente, podemos representar f por uma série de 
cossenos ou uma série de senos em [0, 2]. onde, L = 2. 
A série em cossenos para f converge para uma extensão periódica par 
de f de período 4, e seu gráfico é dado abaixo à esquerda. 
A série em senos para f converge para uma extensão periódica ímpar 
de f de período 4, e seu gráfico é dado abaixo à direita.


≤<
≤<−
=
21,0
10,1
)(
x
xx
xf
 
Fórmula Complexa da Série de Fourier
Usando a fórmula de Euler, 
 
Para escrever
Logo, o coeficiente de é dado por
ou seja
Resumindo, 
i
eeeeeie
iiii
i
2
)sen(
2
)cos(,)sen()cos(
θθθθ
θ θθθθ
−−
−
=
+
=+=
L
xin
nnL
xin
nn
nn ei
bae
i
ba
L
xnb
L
xna
pipipipi −


−+


+=+
2222
sencos
L
xin
e
pi
( ) dx
L
xni
L
xnxf
L
iba
i
bac
L
L
nn
nn
n 

−=−=+= ∫
−
pipi sencos)(
2
1
2
1
22
dxxf
L
acendxexf
L
c
L
L
L
xinL
L
n ∫∫
−
−
−
==== )(
2
1
2
,..2,1,)(
2
1 0
0
pi
nc
ondeec
n
L
xin
n∑+ ∞
− ∞=
pi
,...2,1,0,)(
2
1 ±±== ∫
−
−L
L
L
xin
n nparadxexfL
c
pi
 
Integral de Fourier
A integral de Fourier de uma função f definida no intervalo 
é dada por
onde
( )+ ∞∞− ,
[ ] ,)sen()()cos()(1)(
0
ααααα
pi
dxBxAxf ∫+ ∞ +=
dxxxfBedxxxfA ∫∫ + ∞
∞−
+ ∞
∞−
== )sen()()()cos()()( αααα
 
Exemplo 1
Determine a representação, por uma integral de Fourier, da função



>
<<
<
=
2,0
20,1
0,0
)(
x
x
x
xf
 
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier e a transformada inversa de Fourier
Transformada seno de Fourier e a transf. seno de Fourier inversa
Transformada cosseno de Fourier e a transf. Cosseno de Fourier 
inversa 
∫∫ + ∞
∞−
−−
+ ∞
∞−
==ℑ==ℑ )()(
2
1)}({)()()}({ 1 xfdeFFeFdxexfxf xixi αα
pi
αα αα
∫∫ + ∞−+ ∞ ==ℑ==ℑ
0
1
0
)()sen()(2)}({)()sen()()}({ xfdxxFFeFdxxxfxf ss αα
pi
ααα
∫∫ + ∞−+ ∞ ==ℑ==ℑ
0
1
0
)()cos()(2)}({)()cos()()}({ xfdxxFFeFdxxxfxf cc αα
pi
ααα
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35
	Slide 36
	Slide 37
	Slide 38
	Slide 39
	Slide 40
	Slide 41
	Slide 42
	Slide 43
	Slide 44
	Slide 45
	Slide 46
	Slide 47
	Slide 48
	Slide 49
	Slide 50
	Slide 51
	Slide 52
	Slide 53