exercicios serie de Fourier

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SÉRIES DE FOURIER
Em 1822 o matemático francês Joseph Fourier1 apresentou sua obra Theorie Analytique 
de la Chaleur, onde apresenta um tratamento matemático sobre o problema da condução térmica. 
Desde o século XVII, com o desenvolvimento do cálculo diferencial, físicos e matemáticos 
conseguiram descrever inúmeros fenômenos por meio das equações diferenciais. Em seu tratado, 
Fourier não apenas apresenta uma solução para a equação do calor, mas também uma forma para 
resolver inúmeras equações diferenciais parciais.
 
5.1 Séries de Fourier
Uma série de Fourier, é a representação de uma função periódica como uma soma de 
funções periódicas simples, particularmente, co-seno e seno. Para que possamos escrever uma 
função periódica com os resultados discutidos por Fourier, definiremos primeiro uma série 
trigonométrica.
5.1.1 Definição
Chama-se série trigonométrica a uma série da forma: 
........)2()2cos()()cos(
2 2211
0 +++++ xsenbxaxsenbxa
a
 ou, sob uma forma mais compacta:
∑∞
=
++
1
0 ))()cos((
2 n
nn nxsenbnxa
a
 (1)
As constantes nn baa ,,0 (n = 1,2,3,...) são os coeficientes da série trigonométrica.
Se a série (1) convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2pi, dado que 
sen(nx) e cos(nx) são funções periódicas de período 2pi. Neste livro, não trataremos sobre 
1 FOURIER,Jean Baptiste Joseph. (1768 – 1830). Estudou a teoria matemática de condução do calor. Estabeleceu 
equações diferenciais parciais referentes à difusão do calor e solucionou-as usando séries de funções 
trigonométricas.
convergência ou divergência de séries, tal estudo, demandaria um capítulo específico para tal.
5.1.2 Determinação dos coeficientes da série
Suponhamos que a função f(x), periódica e de período 2pi, pode ser representada por 
uma série trigonométrica convergente para f(x) no intervalo (-pi,pi), isto é, que seja a soma desta 
série:
∑∞
=
++=
1
0 ))()cos((
2
)(
n
nn nxsenbnxa
a
xf (2)
Suponhamos que a integral da função do primeiro membro desta igualdade é igual à 
soma das integrais dos termos da série (2), isto é possível desde que a série proposta convirja 
absolutamente. A série pode então ser integrada termo a termo de -pi a pi:
∫∑ ∫∫∫
−
∞
=
−−−
++=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
))()cos((
2
)(
1
0 dxnxsenbdxnxadxadxxf n
n
n (3)
Calculando as integrais separadamente, obtemos:
dxa∫
−
pi
pi
2
0 = 0.api 0))cos( =∫
−
pi
pi
dxnxan 0))( =∫
−
pi
pi
dxnxsenbn
Assim:
0
0 .
2
)( adx
a
dxxf pi
pi
pi
pi
pi
== ∫∫
−−
∫
−
=
pi
pi
pi
dxxfa )(10
Para calcular os outros coeficientes da série, utilizaremos as seguintes integrais 
auxiliares; se n e k forem inteiros e se n ≠ k, tem-se:
∫pi
pi-
cos(nx).cos(kx) dx = 0 ∫pi
pi-
cos(nx).sen(kx) dx = 0 ∫pi
pi-
sen(nx).sen(kx) dx = 0
E se n = k:
∫pi
pi-
cos2 (kx) dx = pi ∫pi
pi-
sen(kx).cos(kx) dx = 0 ∫pi
pi-
sen2 (kx) dx = pi
Para determinar ka para 0≠k , multipliquemos os dois membros da igualdade abaixo 
por cos(kx):
∫∑ ∫∫∫
−
∞
=
−−−
++=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
))()cos((
2
)(
1
0 dxnxsenbdxnxadxadxxf n
n
n
∫∑ ∫∫∫
−
∞
=
−−−
++=
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
))cos()()cos()cos(()cos(
2
)cos()(
1
0 dxkxnxsenbdxkxnxadxkx
a
dxkxxf n
n
n
∫∫
−−
==
pi
pi
pi
pi
pi.)(cos)cos()( 2 kk adxkxadxkxxf
∫
−
=
pi
pi
pi
dxkxxfak )cos()(
1
De modo análogo, ao multiplicarmos a expressão (3) por sen(kx), obtém-se:
∫
−
=
pi
pi
pi
dxkxsenxfbk )()(
1
Ex.1: Dada uma função periódica de período 2pi definida como segue: f(x) = x2 onde -pi < x < pi, 
calcular os coeficientes de Fourier e escrever a série trigonométrica:
ao = 
pi
1 ∫pi
pi-
x2dx = 
pi
1
. 
pi
pi−
3
3x
= 
pi
1
 


+
33
33 pipi
= 
pi
pi
3
2 3 = 
3
2 2pi
an = 
pi
1 ∫pi
pi-
x2cos(nx)dx =
pi
1 ( ) pi
pi−



− ∫ xdxnnxnnxx 2.)sen(sen.2 = pi
1 ( ) pi
pi−



−+ )sen(2)cos(2sen. 32
2 nx
nn
nxx
n
nxx 
an = 
pi
1 


2
)cos(4
n
npipi
= 


=
=−
... 6, 4, 2, n 
n
4
5 3, 1, n 4
2
2n
bn = 
pi
1
 ∫pi
pi-
x2 sen(nx) dx =
pi
1 pi
pi−



++− )cos(2)(2)cos(. 32
2 nx
nn
nxxsen
n
nxx = 0 
f(x) = x2 = )...4cos(
4
4)3cos(
3
4)2cos(
2
4)1cos(
1
4
3 2222
2
xxxx +−+−pi
Ex.2: Dada uma função periódica de período 2pi definida como segue, calcular os coeficientes de 
Fourier e escrever a série trigonométrica:
f(x) = 

≤<
≤≤−
pi
pi
xx
xx
0,2
0,
ao = 
pi
1 ∫pi
pi-
f(x)dx = 
pi
1
. 


+ ∫∫
−
pi
pi 0
0
2xdxxdx = 
pi
1




+
−
pi
pi
0
2
02
2
xx = 
pi
1 


+− 2
2
2
pi
pi
= 
pi
pi
2
2
 = 
2
pi
an = 
pi
1
 


+ ∫∫
−
pi
pi 0
0
)cos(2)cos( dxnxxdxnxx =
pi
1
 
0
22
1)cos(1
pi
pi
−



−
n
n
n
= - 2
2
npi
 , n = 1, 3, 5, ….
bn = 
pi
1
 


+ ∫∫
−
pi
pi 0
0
)sen(2)sen( dxnxxdxnxx = 
pi
1 
n
npipi cos3−
 = n3
 n3 
−
 
...6,4,2
...5,3,1
=
=
n
n
f(x) = ....)2(
2
3)3cos(
9
2)(3)cos(2 +−−+− xsenxxsenx
pipi
pi
5.1.3 Propriedade
Indiquemos a propriedade seguinte de uma função f(x) de período 2pi:
∫∫ +
−
=
piλ
λ
pi
pi
ϕϕ
2
)()( dxxdxx λ - número qualquer
A propriedade mencionada significa: A integral de uma função periódica ϕ(x) sobre um 
segmento arbitrário de comprimento igual ao período tem sempre o mesmo valor.
Como resultado da propriedade acima, temos a simplificação de alguns cálculos:
 a0 = 
pi
1 ∫ + piλλ 2 )( dxxf bn = pi1 ∫ + piλλ 2 )sen()( dxnxxf an = pi1 ∫ + piλλ 2 )cos()( dxnxxf
Ex.: f(x) = x de período 2pi sobre o segmento 0 ≤ x ≤ 2pi
ao= 
pi
1
2
22
0
xxdx =∫ pi
pi
pi
2
0
1
= 2pi
an= 
pi
1
=∫ dxnxx )cos(20 pi pi1
pi2
0
2
)cos()sen(. 


−
n
nx
n
nxx = 0
bn = 
pi
1
=∫ dxnxx )sen(20 pi - n2
f(x) = pi - sen(x) - 
2
2
sen(2x) - 
3
2
 sen(3x) - 
4
2
 sen(4x) - …
5.1.4 Séries de Fourier de funções pares e ímpares
Se tivermos o desenvolvimento de Fourier de uma função f(x) ímpar, o produto 
f(x).cos(nx) é uma função ímpar e f(x).sen(nx) uma função par, logo:
a0 = 
pi
1 ∫
−
pi
pi
dxxf )( = 0
an = 
pi
1 ∫
−
pi
pi
)cos()( nxxf = 0
bn = 
pi
1 ∫
−
=
pi
pi pi
2)()( nxsenxf dxnxsenxf∫ pi0 )()(
Em conseqüência do exposto acima, a série de Fourier de uma função ímpar apenas 
contém senos e a série de Fourier de uma função par apenas contém co-senos.
5.1.5 Séries de Fourier de funções de período 2
Como uma grande parte dos problemas práticos que envolvem as séries de Fourier trata 
de períodos que envolvem números inteiros, procuramos nesta seção abordar períodos quaisquer 2 
. Assim, os coeficientes de Fourier podem ser generalizados como:
ao = 

1 ∫
−


dxxf )(
an = 

1 ∫
−



 
dxxnxf picos)(
bn = 

1 ∫
−



 
dxxnsenxf pi)(
∑∞
=
++=
1
0 ))()cos((
2
)(
n
nn
xnsenbxna
a
xf

pipi
Como exemplo, apresentamos o desenvolvimento em série de Fourier da função periódica f(x) = 
|x|, de período 2 = 6, definidano intervalo [ 3− ,3 ].
|x| = 
2

- 2
4
pi

. 








++  23
3cos
1
cos xx pipi
 = 
2
3
- 2
3.4
pi
. 








++ 23
3
3cos
1
3
cos xx pipi
5.1.6 Séries de Fourier somente em senos e co-senos
Nesta seção apresentamos os coeficientes de Fourier para uma função f(x) qualquer, 
podendo desenvolvê-la à vontade, numa série de senos ou de co-senos, válida no intervalo de (0,pi). 
Para o desenvolvimento em co-senos, os coeficientes an se determinam pela fórmula:
an = dxnxxf∫pipi 0 )cos()(
2
Para o desenvolvimento em senos, os coeficientes bn são dados por:
bn = dxnxsenxf∫pipi 0 )()(
2
Devido a esta abrangência para o desenvolvimento de funções em séries de Fourier, 
podemos concluir que uma função f(x), que não seja nem par nem ímpar, pode ser desenvolvida no 
intervalo (0,pi) numa série de senos ou de co-senos, ou ainda numa série de senos e co-senos. É 
importante notar, entretanto, que a série de Fourier em senos e co-senos correspondentes à f(x) no 
intervalo de (-pi,pi) é única, o mesmo não acontece quando o intervalo se reduz a (0,pi), neste caso há 
uma infinidade de séries em senos e co-senos juntos, que satisfazem a função.
Apresentamos, a seguir, dois exemplos de desenvolvimento de Fourier, apenas em séries 
de senos ou de co-senos.
Ex. 1: f(x) = x  [0, pi] em séries de senos.
x = 2 


+− 
2
2
1
xsensenx
Ex. 2: f(x) = x  [0, pi] em séries de co-senos.
 x = 
pi
pi 4
2
− 


+− 23
3cos
1
cos xx
5.1.7 Aplicações das séries de Fourier
Torna-se relevante notarmos que podemos fazer aproximações de funções por séries, até 
mesmo porque muitas vezes nem chegamos a conhecer a função em sua forma analítica quando 
trabalhamos com experimentos, sejam eles em campo, laboratório, trabalho ou no dia-a-dia. Cabe, 
no entanto, ressaltarmos que quando desejamos uma aproximação muito boa para uma função nas 
vizinhanças de um ponto, a série de Taylor, vista no capítulo 3, seria uma boa escolha, porém, a 
função em questão deve obedecer algumas restrições, como ser suave, no sentido que podemos 
derivá-la até uma determinada ordem. Além disso, esta aproximação é local, e não global como no 
caso das séries de Fourier. Para funções periódicas a série de Fourier é muito mais adequada para 
fazermos tais aproximações.
A seguir, utilizamos uma ferramenta computacional para representar uma função, que 
chamamos onda quadrada:
f( )x .4
pi
sin( )x sin( )
.3 x
3
sin( ).5 x
5
sin( ).7 x
7
0 5 10
2
1
0
1
2
f( )x
x
Notar que, com quatro parcelas, já ocorre uma aproximação da função desejada. Se 
fossem infinitas, o resultado seria uma forma perfeita para a representação da função:
 
f(x) = 
pi
pi
<≤
<<−−
x
x
0,1
0,1
Em cursos de engenharia ou tecnologia na área elétrica, por exemplo, consideramos a 
onda um sinal elétrico, sendo que a primeira parcela sendo nula, indica que o sinal estaria acima e 
abaixo do nível zero. Assim, pode-se dizer que ela é o componente de corrente contínua do sinal. 
A segunda parcela [(4/pi). sen(x)] tem o mesmo período ou mesma freqüência (inverso do período) 
do sinal. Por esta igualdade, é chamada oscilação fundamental do sinal. As parcelas seguintes têm 
freqüências múltiplas [(4/3pi).sen(3x), (4/5pi).sen(5x), ...] da fundamental e são chamadas oscilações 
harmônicas ou simplesmente harmônicos do sinal. Portanto, pode-se dizer que todo sinal 
periódico é formado por um componente contínuo (que pode ser nulo), uma oscilação fundamental 
e oscilações harmônicas. Um sinal senoidal puro tem somente a oscilação fundamental.
Os coeficientes an e bn são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico. Notar que só 
existem harmônicos ímpares neste exemplo e, se consideramos o componente contínuo no sinal 
quadrado, ele deixa de ser uma função ímpar e, portanto, nem todos os ak precisam ser nulos.
Os sinais periódicos se transmitem pelos meios físicos como um conjunto de 
componentes senoidais conforme respectivas séries de Fourier. Se o sinal é senoidal, o processo é 
facilitado por existir somente o componente fundamental. Se não é, haverá em geral infinitos 
harmônicos. Nenhum dispositivo real tem resposta de freqüência em uma faixa infinita. Assim, os 
circuitos de transmissão e recepção de sinais devem ter largura de banda suficiente para a passagem 
dos harmônicos mais significativos, de forma a permitir a reconstituição mais próxima possível do 
sinal original. Em alguns casos, harmônicos são indesejáveis. Num processo usado para variar 
iluminação em residências, por exemplo, onde o controle de algumas centenas de watts, isso não 
representa problema. Já num equipamento industrial, de dezenas ou centenas de quilowatts, 
harmônicos na faixa de megahertz podem ter intensidade suficiente para produzir interferências em 
outros aparelhos eletrônicos. Neste caso, ligam-se ou desligam-se seqüências de ciclos inteiros e o 
que se varia é a quantidade deles. Portanto, a forma senoidal é preservada, evitando harmônicos. 
Exercícios Resolvidos 5.1
Apresentamos, a seguir, o desenvolvimento de algumas funções em séries de Fourier e, em seguida, 
o gráfico destas séries com algumas parcelas:
1. f(x) = 3x + 1 0 < x < 6
 Em série de senos:
bn = ( ) 


+∫ 61361.2
6
0
xnsenx pi = ( )
( ) ( ) 6
0
6
cos
186
cos
136
6
1.2








++− ∫ dxn
xn
n
xn
x
pi
pi
pi
pi
= ( )
( )
( )
6
0
2 6
1086
cos
136
6
1.2








++−
xnsen
nn
xn
x pi
pipi
pi
= 
( )
( ) ( ) ( ) 


−++− 0.1086108cos114
6
1.2
22
pipi
pi
pipi
pi
nn
nsen
nn
n
= 
pin
20.2
 n = 1, 3, ...
= 
pin
18.2
 n = 2, 4, ...
f(x) = 3x + 1 = 



−


+


−



6
3
3
40
6
2
2
36
6
40 xsenxsenxsen pi
pi
pi
pi
pi
pi
0 7.5 15 22.5 30
20
10
0
10
20
f( )x
x
2. f(x) = x p/ 0 < x ≤ 1 0 < x < 2
 2 – x p/ 1 < x < 2
 Em série de senos:
bn= 2 . 2
1 

 


−+

 ∫∫ dxxnsenxdxxnxsen 2)2(2
2
1
1
0
pipi
bn = ( )
2
1
1
0 2
4cos24
2
cos22
2
2cos2
2
cos2 

 




−
−
+

 


+

− ∫∫ dxnxnxndxxnxnn x pipipipipipipipi
bn = ( ) ( ) ( )
2
1
2
1
0
2 2
4
2
cos22
2
4
2
cos2 

 


−

−
+

 


+

− xnsen
n
xnx
n
xnsen
n
xn
n
x pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
bn = ( ) ( ) 

 


−

−
+

 


+

−
2
4)
2
cos(2
2
4
2
cos2 22
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
nsen
n
n
n
nsen
n
n
n
x
bn = ( ) 2
8
pin
 sen 


2
pin
= ( ) 2
8
pin
n = 1, 5, 9, …
- ( ) 2
8
pin
n = 3, 7, 11, …
f(x) = 2
8
pi
 sen 


2
1 pix
- ( ) 23
8
pi
 sen 


2
3 pix
+ ( ) 25
8
pi
 sen 


2
5 pix
- ( ) 27
8
pi
sen 


2
7 pix
+ ……..
0 2.5 5 7.5 10
2
1
0
1
2
f( )x
x
3. f(x) = x -3 < x < 3
ao = 3
1 ∫∫
−−
=
3
3
23
3 2
xdxx = 0
an = 0 (a função é ímpar, apresenta apenas o coeficiente bn)
bn = 3
1 3
3
3
3 3
cos3
3
cos.3.
3
1
3
−
−



 


+


−=
 ∫∫ dxxnnxnnxdxxnsenx pipipipipi
bn = 3
1
( )
3
3
2 3
9
3
cos.3.
−



 


+


−
xnsen
n
xn
n
x pi
pi
pi
pi
bn = 3
1 ( ) ( ) ( ) 



−
−
pi
pi
pi
pi
n
n
n
n
cos9cos.9. 2
bn = 3
1 ( ) 

 −
pi
pi
n
n
cos.18.
bn = 
pin
6
− n = 2, 4
 
pin
6
n = 1, 3
f(x) = +
pi
6
 sen 


3
1 pix
-
pi2
6
sen 


3
2 pix
 +
pi3
6
sen 


3
3 pix
- 
pi4
6
sen 


3
4 pix
...
0 5 10 15 20
4
2
0
2
4
f( )x
x
Exercícios 5.1
1. Desenvolver em séries de Fourier válida de -pi a pi as funções abaixo:
 a) f(x) = 2x
 b) g(x) = x – 4
 c) h(x) = 3x2
2. Desenvolver em séries de senos para 0 < x < pi as funções:
 a) f(x) = -3x
 b) g(x) = 3 – x 
3. Desenvolver em séries de Fourier f(x), sendo:
 f(x) = 3 no intervalo de (-pi,0) 
 4 no intervalo de [0, pi)
4. Desenvolver em séries de Fourier:
 a) f(x) = x, para -3< x < 3
 b) f(x) = 2, para -20< x < 0
 1, para 0 ≤ x < 20
5. Achar a série de Fourier a cada função dada:
 a) f(x) = x + 1 , -1 ≤ x < 0
 1 – x , 0 ≤ x ≤ 1 f(x+2) = f(x)
 b) g(x) = x2 – 1 de [-pi,pi]
6. Desenvolver:
 a) f(x) = x2 , -pi< x < pi
 b) f(x) = x2 , -4< x < 4
 c) f(x) = x2 , em série de senos de 0 a pi.
7. Desenvolver em séries de senos:
 
 f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1
 1 , 1 ≤ x ≤ 2 
8. Desenvolver em séries de co-senos:
 g(x) = 1 – x , com 0 ≤ x ≤ 3
9. Através da série de Fourier para a onda quadrada, mostrar que:
 .......
7
1
5
1
3
11
4
+−+−=
pi
10. Desenvolver em séries de Fourier de [-pi,pi]:
 f(x) = 2x – 7
11. Através da série de Fourier para a onda triangular, mostrar que:
 .......
5
1
3
11
8 22
2
+++=
pi
12. Desenvolver em séries de Fourier: 
 f(x) = 0 , -4 < x < 0
 ex , 0 < x < 4.