Lista de Exercícios - PUC-RS

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Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
1 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE SÉRIES DE FOURIER 
 
1) Encontre a série de Fourier da função descrita por: 
( ) ( ) ( ).tf4tfe4t0se,2ttf =+<£-= 
 
2) Dada a seguinte função periódica: 
f t t se t e f t f t t( ) , , ( ) ( ), ,= - < < + = " ÎÂ3 3 6 
determine os coeficientes a0, a3 e b5 da série de Fourier. 
 
3) Determinar os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de Fourier 
de: 
f(t) = 
î
í
ì
<£-
<<-+
2t0se,t1
0t2se,t1
 e f(t +4) = f(t), " ÎÂt . 
 
4) Dada a função abaixo: 
.t),t(f)4t(fe
2t1e1t2se,0
1t1se,t
)t(f ÂÎ"=+
î
í
ì
<<-<<-
<<--
= 
Calcular os coeficientes de Fourier nn bea , para n = 0, 1, 2 e 3. 
 
5) Dada a função periódica abaixo, determine os coeficientes de Fourier e os quatro primeiros 
termos não-nulos da série de Fourier: 
 4
 6 4 2 -2 -4
 
6) Dada a função periódica graficada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os três 
primeiros termos não-nulos da série de Fourier: 
 2
 4
 9 6 3 -3 -6
 
7) Dada a função periódica graficada abaixo, determine todos os coeficientes de Fourier e os três 
primeiros termos não-nulos da série de Fourier: 
 3p 2p -2p
 2
 4
 p -p
 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
2 
8) Determine os coeficientes de Fourier e os três primeiros termos não-nulos da série de Fourier 
para a função: 
f t t se t e f t f t t( ) , , ( ) ( ), .= - < < + = " ÎÂ2 2p p p 
 
9) Ache os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, b1 e b2 para a seguinte função: 
 -2
 2
 6 4 2 -2 -4
 
10) Ache os coeficientes de Fourier a0, a1, a2, b1 e b2 para a seguinte função: 
 3
 -3
 9 6 3 -3 -6
 
11) Encontre os coeficientes de Fourier correspondentes a função de período 10: 
( )
î
í
ì
<<
<<-
=
5x0se,3
0x5se,0
xf 
e escreva a série de Fourier correspondente. Como deverá ser definida a função f(x) em 
5xe0x,5x ==-= para que a série de Fourier convirja para f(x) em 5x5- ££ ? 
 
12) Desenvolva p<<= 2x0se,xf(x) 2 , numa série de Fourier se: 
a) o período é ,2p b) o período não é especificado. 
 
13) Desenvolva f(x) = x, se 2x0 << , numa série de meio período: 
a) em seno, b) em coseno. 
 
14) Desenvolva p<<= x0sesen x,f(x) , numa série de Fourier Coseno. 
 
15) Faça o gráfico de cada uma das seguintes funções e encontre suas séries de Fourier usando 
propriedades de funções pares e impares sempre que possível: 
a) ( ) 4Período
4x2se,8
2x0se,8
xf =
î
í
ì
<<-
<<
= 
b) ( ) 8Período
4x0se,x
0x4se,x
xf =
î
í
ì
££
££--
= 
c) ( ) 6Período
0x3se,0
3x0se,x2
xf =
î
í
ì
<<-
<£
= 
 
16) Desenvolva 
î
í
ì
<<-
<<-
=
8x4se,6x
4x0se,x2
)x(f numa série de Fourier de período 8. 
 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
3 
17) Desenvolva ( ) p<<= x0se,xcosxf , numa série de Fourier Seno. Como deverá ser 
definida a função f(x) em p== xe0x para que a série convirja para f(x) em p££ x0 ? 
 
18) Desenvolva 
î
í
ì
<<-
<<
=
8x4se,x8
4x0se,x
)x(f numa série de Fourier: 
a) Seno; b) Coseno. 
 
19) Encontre a série de Fourier de f(t) = t no intervalo [ ]3,3- . Esboce o gráfico da função gerada 
pela série no conjunto dos números reais. 
SÉRIE COMPLEXA DE FOURIER 
20) Encontre a série complexa de Fourier de ( ) t3etf = , se ( )pÎ 2,0t , e ( ) ( ) .t,tf2tf ÂÎ"=p+ 
 
21) Ache a série de Fourier complexa para a função tsen)t(f 4= , se ( )pÎ .0t , e 
( ) ( ) .t,tftf ÂÎ"=p+ 
 
22) Ache, por integração direta, a série de Fourier complexa para a função ( ) tetf = , se 
( )pÎ 2.0t , e ( ) ( ) .t,tf2tf ÂÎ"=p+ 
 
23) Ache os coeficientes de Fourier complexos e esboce o espectro de freqüências para a onda 
f(t) correspondente à retificação de meia senóide, definida por: 
( )
ïî
ï
í
ì
<<
<<w
=
Ttse,0
t0se,tsenA
tf
2
T
2
T
0
 e ( ) ( ) .
T
2
onde,t,tfTtf 0
p
=wÂÎ"=+ 
 
24) Ache os coeficientes de Fourier complexos e esboce o espectro de freqüências da função 
dente de serra definida por ÂÎ"=+<<+-= t),t(f)Tt(feTt0se,
2
1
t
T
1
)t(f . 
 
25) Ache a série de Fourier complexa da função dente de serra definida por 
.t),t(f)Tt(fe,Tt0se,t
T
A
)t(f ÂÎ"=+<<= 
 
26) Ache a série de Fourier complexa da função periódica f(t), resultante da retificação completa 
de uma onda senoidal, definida por: 
( ) ( ) .t),t(f1tfe,1t0se),tsen(Atf ÂÎ"=+<<p= 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 
27) Mostre que a função dente de serra: 
,t),t(f)Tt(fe,Tt0se,T/ta)t(f ÂÎ"=+<<= 
tem a seguinte série de Fourier: 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
4 
( ) ,
T
tn2
senfa
2
a
tf
1n
nå
¥
=
p
-= 
e ache a fórmula para nf . 
 
28) No exercício anterior, faça um gráfico preciso das somas parciais: 
( ) å
=
p
-=j
N
1n
nN T
tn2
senfa
2
a
t , 
para N=1,2,3 no intervalo (0,T), e superponha todos os três gráficos sobre o gráfico da f(t) a fim 
de ilustrar o processo de convergência da série de Fourier. 
 
29) Ache a série de Fourier no intervalo (0,T) para a seguinte imagem triangular: 
ï
ï
î
ïï
í
ì
££÷
ø
ö
ç
è
æ -
££
=
Tt
2
T
se,
T
t
1a2
2
T
t0se,
T
at2
)t(f . 
 
30) Desenvolvendo axcosh f(x) = em série de Fourier, mostre que 
( ) ( )å
¥
=
p<<p-
+
-
p
p
+
p
p
=
1n
22
n
.xnxcos
an
1asenha2
a
asenh
axcosh 
 
31) Desenvolva )kxcos()x(f = , onde k é um inteiro, em série de Fourier, no intervalo ),( p+p- . 
 
32) As séries de Fourier podem ser usadas para calcular certas somas importantes. Por exemplo, 
prove que, para ,x0 p££ 
a) ( ) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+++-
p
=-p K
222
2
3
x6cos
2
x4cos
1
x2cos
6
xx 
b) ( ) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+++
p
=-p K
333 5
x5sen
3
x3sen
1
xsen8
xx 
 
33) Use o problema anterior para mostrar que: 
a) 
6n
1 2
1n
2
p
=å
¥
-
 b) 
( )å
¥
-
- p
=
-
1n
2
2
1n
12n
1
 c) 
( )
( ) 321n2
1 3
1n
3
1n p
=
-
-å
¥
-
-
 
RESPOSTAS: 
1) å
¥
=
÷
ø
ö
ç
è
æ p
+
+p
+-=
0n
22
t
2
1n2
cos
)1n2(
18
1)t(f . 2) 0b,
3
4
a,3a 5230 =p
-== . 
3) 0b,
parnse,0
imparnse,)n/(8a n
2
n =
ïî
ï
í
ì p= ; ú
û
ù
ê
ë
é
+÷
ø
öç
è
æ p+÷
ø
öç
è
æ p+÷
ø
öç
è
æ p
p
= K
2
t5cos
25
1
2
t3cos
9
1
2
tcos8)t(f
2
. 
4) 0be
3
2
9
4
a,
2
a,
24
a,
2
1
a n2122210 =p
+
p
=
p
=
p
-
p
=-= . 
5) 
p
-=¹==
n
4b),0n(0a,4a nn0 ; ÷ø
öç
è
æ +
p
p
+
p
p
+
p
p
-= K
3
)t3sen(
2
)t2sen()tsen(
42)t(f . 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
5 
6) [ ]nnn0 )1(1n
2b),0n(0a,6a --
p
=¹== ; ( ) K+p
p
+÷
ø
ö
ç
è
æ p
p
+= tsen
3
4
t
3
sen
4
3)t(f . 
7) [ ] [ ]1)1(
n
2
b),0n(1)1(
n
4
a,4a nn
n
22n0
+-
p
-=¹--
p
== ; K-
p
-
p
-= )t2sen(
2
tcos
8
2)t(f
2
. 
8) 0b),0n()1(
n
4
a,
3
2
a n
n
2n
2
0 =¹-=
p
= ; K-+-p= t2costcos4
3
)t(f
2
. 
9) ( )å
¥
=
p
p
-=
1n
tnsen
n
14
)t(f . 10) å
¥
=
÷
ø
ö
ç
è
æ p
p
=
1n 3
tn2
sen
n
16
)t(f . 
11) ÷
ø
ö
ç
è
æ +
p
+
p
+
p
p
+= K
5
x5
sen
5
1
5
x3
sen
3
1
5
x
sen
6
2
3
)x(f . Se redefinirmos 
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
<<
=
<<-
-=
=
5xse,
5x0se,3
0xse,
0x5se,0
5xse,
)x(f
2
3
2
3
2
3
, de período 
T=10, então a série de Fourier convergirá para f(x) em 5x5 ££- . 
12) a)å
¥
=
÷÷ø
ö
ççè
æ p
-+
p
==
1n
2
2
2 .nxsen
n
4
nxcos
n
4
3
4
x)x(f Isso é válido para .2x0 p<< Em x = 0 e x = p2 , a série 
converge para .2 2p b) Se o período não é especificado, a série de Fourier não pode ser determinada de maneira 
única em geral. 
13) a) ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ -
p
+
p
-
p
p
= K
2
x3
sen
3
1
2
x2
sen
2
1
2
x
sen
4
xf ; b) ÷÷ø
ö
ççè
æ
+p+p+p
p
-= K
2
x5cos
5
1
2
x3cos
3
1
2
xcos81)x(f
222
. 
14) ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
-
+
-
+
-p
-
p
= K
16
x6cos
14
x4cos
12
x2cos42)x(f
222
. 15) a) 
( )å
¥
=
pp-
p
=
1n
2
xn
sen
n
ncos116
)x(f ; 
b) 
( )
4
xn
cos
n
ncos18
2)x(f
1n
22
pp-
p
-= å
¥
=
; c) 
( )å
¥
= þ
ý
ü
î
í
ì p
p
p
-
p
p
-p
+=
1n
22 3
xn
sen
n
ncos6
3
xn
cos
n
1ncos6
2
3
)x(f . 
16) 
þ
ý
ü
î
í
ì
+p+p+p
p
= K
4
x5cos
5
1
4
x3cos
3
1
4
xcos16)x(f
222
. 17) å
¥
= -p
=
1n
2 1n4
nx2senn8
)x(f ; 0)(f)0(f =p= . 
18) a) å
¥
=
pp
p
=
1n
22 8
xn
sen
2
n
sen
n
132
)x(f ; b) å
¥
=
p
p
÷÷
÷
ø
ö
çç
ç
è
æ -p-
p
=
1n
2
2
n
2 8
xn
cos
n
1ncoscos216
)x(f . 
19) å
¥
=
+
÷
ø
ö
ç
è
æ p-
p
=
1n
1n
3
tn
sen
n
)1(6
)t(f . 20) å
+¥
-¥=
+p
p-p
p=
n
jnt3
jn3
e
)3senh()t(f . 
21) ( )jt4jt2jt2jt4 ee46e4e
16
1)t(f -- +-+-= . 22) .e
jn1
1
2
1e
)t(f
n
jnt
2
å
¥
-¥=
p
-p
-
= 
23) ( ) ( ) .4
jA
cce,1npara,e1
n12
A
c 11
jn
2n
-=-=±¹+
-p
= -
p- 
24) 0c,
nj
1c 02n =p
= . 25) 
( )
å
¥
-¥=
+w p
p
+=
n
tnj 20e
n
1
2
A
2
A
)t(f . 26) ( ) å
¥
-¥=
p
-p
-=
n
nt2j
2
e
1n4
1A2
tf . 
27) 
p
=
n
1b n . 29) å
¥
=
÷
ø
ö
ç
è
æ p--
p
+=
1n
2
n
2 T
nt2cos
n
1)1(a2
2
a)t(f . 31) )kxcos()x(f = .