Séries de Fourier

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Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
 1 
CAPÍTULO IV - SÉRIES DE FOURIER 
1. FUNÇÕES PERIÓDICAS: 
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas funções f(t) para as quais: 
)Tt(f)t(f += (1.1) 
para qualquer t real (vide Figura 1.1). A menor constante T que satisfaz (1.1) é chamada período da 
função f(t). Por iteração de (1.1), temos para todo t real que: 
( ) ,,2,1,0n,nTtf)t(f K±±=+= (1.2) 
 3p 2p -2p
 2
 4
 p -p
 T=2p
 
Figura 1.1. Um exemplo de função periódica de período T = 2p . 
 
Exemplo 1: Ache o período da função .
4
t
cos
3
t
cos)t(f += 
Solução: Se a função f(t) for periódica com um período T, então, de (1.1), resulta: 
( ) ( ) .
4
t
cos
3
t
cosTt
4
1
cosTt
3
1
cos +=+++ 
Como ( ) f=p+f cosm2cos , para qualquer inteiro m, então ,n2T
4
1
e,m2T
3
1
p=p= onde m e n 
são inteiros. Portanto, .n8m6T p=p= Quando m = 4 e n = 3, obtemos o menor valor de T. Isto pode 
ser visto mediante um processo de tentativa. Então, p= 24T . 
Em geral, se a função tcostcos)t(f 21 w+w= for periódica com período T, deverá ser 
possível, então, achar dois inteiros m e n, tais que: 
m2T1 p=w (1.3) 
e 
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 2 
n2T2 p=w . (1.4) 
O quociente de (1.3) por (1.4) é 
,
n
m
2
1 =
w
w
 (1.5) 
Isto é, a razão 21 / ww deve ser um número racional. 
Neste ponto, é importante observar que funções do tipo )tcos(A f+w (não devemos esquecer 
que os senos estão incluídos neste grupo, pois )2/tcos()tsen( p-= ) são funções periódicas de 
período T, denominadas senóides, onde: f2
T
2
p=
p
=w é dita velocidade angular, T
1f = é 
denominada freqüência, A é a amplitude e f o ângulo de fase. 
Exemplo 2: A função ( )t10cost10cos)t(f p++= é periódica? 
Solução: Neste caso, .10e10 21 p+=w=w Assim, p+
=
w
w
10
10
2
1 não é um número racional, 
ou seja, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja satisfeita. Portanto, f(t) não é periódica. 
Exemplo 3: Ache o período da função ( ) ( ) .tcos10tf 2= 
Solução: Usando a identidade trigonométrica ( )q+=q 2cos1
2
1
cos 2 , obtemos que: 
( ) ( ) .t2cos5050t2cos1
2
1
100tcos100tcos10)t(f 22 +=+=== 
Como a função constante é função de período T, para qualquer valor de T, e o período de cos(2t) é p , 
concluímos que o período de f(t) é p . 
Exemplo 4: Mostre que se f(t + T) = f (t), então: 
òò -
+
-
=
2/T
2/T
2/Ta
2/Ta
dt)t(fdt)t(f (1.6) 
e 
òò =
+ t
0
tT
T
dt)t(fdt)t(f . (1.7) 
Solução: Se f (t +T)=f(t), fazendo ,Tt -t= teremos que: 
( ) ( ) ( )TffTTf -t=t=+-t . (1.8) 
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 3 
Substituindo Tt -t= na integral ( )ò
b
a
dttf e usando (1.8), obtém-se que: 
( ) ( ) ( )òò ò
+b
+a
b
a
+b
+a
tt=t-t=
T
T
T
T
dfdTfdttf . 
Visto que qualquer símbolo pode representar a variável de integração na substituição acima, 
( )ò ò
b
a
+b
+a
=
T
T
dt)t(fdttf . (1.9) 
Assim, se ,te0 =b=a então (1.9) torna-se 
( )ò ò
+
=
t
0
tT
T
dttfdt)t(f (1.10) 
Por outro lado, podemos escrever o primeiro membro de (1.6) como: 
dt)t(fdt)t(fdt)t(f
2/Ta
2/T
2/T
2/Ta
2/Ta
2/Ta òòò
+
-
-
-
+
-
+= . 
Aplicando o resultado de (1.9) à primeira integral do segundo membro da equação acima, resulta: 
òòò òòò -+
+
-
+
-
+
-+
=+=+=
2/T
2/T
2/T
2/Ta
2/Ta
2/Ta
2/Ta
2/T
2/Ta
2/T
2/T
2/Ta
dt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(fdt)t(f . 
2. SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS: 
Uma série de senos e cosenos do tipo: 
å
¥
=
++
1n
nn
0 )nxsenbnxcosa(
2
a
 (2.1) 
é chamada de série trigonométrica. Na maior parte das aplicações a variável x é real. Então sen(nx) e 
cos(nx) são limitadas e a série convergirá sob condições bem fracas impostas a nn bea . 
Exemplo 1: 0ae,0nse
n
1
ba 02nn =¹== . A série será: 
K+++++ x3cosx2senx2cosxsenxcos 9
1
4
1
4
1 , 
a qual converge absoluta e uniformemente para todos os valores reais de x (para tal, usa-se o teste da 
razão ou o teste M de Weierstrass, por exemplo). 
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 4 
Exemplo 2: .n/1be0a nn == A série trigonométrica K+++ x3senx2senxsen 3
1
2
1 
converge para todos os valores de x (a verificação é obtida, digamos, pelo teste da integral, pois a 
integral ò
¥
1
dt
t
)tx(sen
 converge para todo x real). No entanto, a convergência não é absoluta; por 
exemplo, veja o ponto 2/x p= , e também não é uniforme (sobre todo o eixo real). 
Exemplo 3: 0be1a nn == . A série será K++++ x3cosx2cosxcos2
1
, a qual diverge 
(pelo teste do n-ésimo termo) para quase todos os valores de x (com exceção de pontos como 
2/x p= ). 
Se a série trigonométrica converge (uniformemente ou não), ela representa então uma certa 
função f(x), e podemos escrever: 
( ) ( )å
¥
=
++=
1n
nn
0 ,nxsenbnxcosa
2
a
xf (2.2) 
A pergunta que fica é a seguinte: “Que funções são representáveis desta maneira?” 
Por exemplo, para que exista uma representação em série de potências de uma função f(x), é 
exigido para todo x real que a função f(x) seja diferenciável um número arbitrário de vezes e que o 
resto da fórmula de Taylor tenda para zero. Estas condições são razoavelmente restritivas e uma 
propriedade notável nas séries trigonométricas (descobertas por Fourier) é que estas podem representar 
funções de uma classe bem mais ampla, incluindo funções descontínuas. 
No entanto, há uma propriedade das séries trigonométricas que nunca deve ser perdida de 
vista: por sua própria natureza, estas séries podem representar somente funções periódicas; com 
período p2 (não necessariamente o período primitivo, ou seja, f(x) pode ter um período menor T, mas 
p2 tem que ser um múltiplo inteiro de T). 
3. DEFINIÇÃO DAS SÉRIES DE FOURIER 
Suponhamos que uma certa função seja representada pela série trigonométrica: 
( ) å
¥
=
++=
1n
nn
0 ),nxsenbnxcosa(
2
a
xf (3.1) 
e que a série convirja uniformemente no intervalo .x p££p- Se isso acontecer, a série convergirá 
uniformemente para todos os valores de x. Multipliquemos a série por cos(mx), sendo m um número 
inteiro positivo: 
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 5 
åå
¥
=
¥
=
++=
1n
n
1n
n
0 .mxcosnxsenbmxcosnxcosamxcos
2
a
mxcos)x(f (3.2) 
A série é ainda uniformemente convergente e pode ser integrada termo a termo: 
òå
òåò ò
p+
p-
¥
=
p+
p-
¥
=
p+
p-
p+
p-
+
++=
dxmxcosnxsenb
dxmxcosnxcosadxmxcos
2
a
dxmxcos)x(f
1n
n
1n
n
0
 (3.3) 
Este processo permite a determinação dos coeficientes na , desde que se conheça a função f(x), 
baseando-se nas importantes propriedades de ortogonalidade dos senos e cosenos, quais sejam: 
( )
( )î
í
ì
=p
¹
=
ï
î
ï
í
ì
¹=p
==p
¹
=
=
ò
ò
ò
p+
p-
p+
p-
p+
p-
mnse
)mnse(0
dxmxsennxsen)c
0mnse
)0mnse(2
)mnse(0
mxdxcosnxcos)b
)m,nostodospara(0dxmxcosnxsen)a
 (3.4) 
Assim, vemos que todos os termos da soma infinita (3.3) se anularão, com uma única 
exceção, ou seja, ò
p+
p-
p= madxmxcos . Esta relação nos permite calcular qualquer coeficiente ma 
desejado, quando conhecemos a função f(x). Os Coeficientes mb são tratados de maneira semelhante, 
isto é, o desenvolvimento é multiplicado por sem(mx) e é integrado. As relações de ortogonalidade 
fornecem então que ( ) .bdxmxsenxf mp=ò
p+
p-
 Finalmente, para obter 0a , integramos (3.1) no 
intervalo (-p , p), resultando que ( )ò
p+
p-
p= 0adxxf . 
Segue-se que os coeficientes nn0 bea,apodem ser calculados por meio das fórmulas 
seguintes: 
( ) ( )
( ) ( )0ndxnxsenxf1b
e
0ndxnxcosxf
1
a
n
n
>
p
=
³
p
=
ò
ò
p+
p-
p+
p-
 (3.5) 
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 6 
Estes coeficientes nn bea são chamados de coeficientes de Fourier da função f(x). A série 
trigonométrica construída a partir destes coeficientes é conhecida como a série de Fourier da função 
f(x). É importante observar que os coeficientes de Fourier podem ser construídos para uma grande 
variedade de funções, incluindo algumas descontínuas. 
Convém chamar a atenção para o fato de que o período p2 não é obrigatório na teoria das 
séries de Fourier. A substituição de x por t
T
2p
 fornece uma série com período T: 
( ),)tnsen(b)tncos(a
2
a
)t(f
1n
nn
0 å
¥
=
w+w+= (3.6) 
onde T/2p=w é denominada freqüência angular fundamental da função f(t). 
Reciprocamente, se conhecemos f(t), obteremos os coeficientes de Fourier: 
dt)tnsen()x(f
T
2
b
e
dt)tncos()x(f
T
2
a
2/T
2/T
2/T
2/T
n
n
ò
ò
-
-
w=
w=
 (3.7) 
e a série de Fourier resultante deverá reproduzir f(t) no intervalo 2/Tt2/T <<- . Esta forma das 
séries de Fourier é mais freqüentemente usada no tratamento dos fenômenos periódicos no tempo ; 
onde o símbolo t representa a variável tempo . Neste contexto, as séries de Fourier são freqüentemente 
escritas sob uma forma envolvendo amplitudes e fases. Por exemplo, se escrevermos: 
( )0n
a
b
arctgebaA,
2
a
A
n
n
n
2
n
2
nn
0
0 >=f+== , (3.8) 
então a série de Fourier será: 
( )å
¥
=
f-w+=
1n
nnn0 tcosAA)x(f , (3.9) 
onde w=w nn é dito o n-ésimo Harmônico da Fundamental e os coeficientes nn eA f são 
denominados, respectivamente, Amplitude e Fase do n-ésimo harmônico. 
Em muitas aplicações, quando x representa uma distância, usar o período 2L é mais 
conveniente. Assim, as fórmulas (3.7)-(3.8) são rescritas como: 
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 7 
( )
ò
ò
å
+
-
+
-
¥
=
÷
ø
ö
ç
è
æ p=
÷
ø
ö
ç
è
æ p=
ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ p+÷
ø
ö
ç
è
æ p+=
L
Ln
L
Ln
1n
nn0
dx
L
xn
sen)x(f
L
1
b
e
dx
L
xn
cos)x(f
L
1
a
,
L
xn
senb
L
xn
cosa2/axf
 (3.10) 
Exemplo 1. Considere a função 2x)x(f = . Seus coeficientes de Fourier são facilmente 
calculados: 
( ) .0dxnxsenx1b,
n
4
1dxnxcosx
1
a,dxx
1
a 2n2
n2
n
2
3
22
0 òòò
p+
p-
p+
p-
p+
p-
=
p
=-=
p
=p=
p
= 
É fácil notar que a série de Fourier é uniformemente convergente para todos os valores de x e 
representa a função: 
( ) ( ) .
n
nxcos
14
3
xg
1n
2
n
2
å
¥
=
-+
p
= 
O gráfico da função g(x) está mostrado na figura 3.1. Fica evidente que a série de Fourier de 
2x)x(f = representa uma extensão periódica dos valores de f(x) no intervalo ( )., p+p- 
Figura 3.1. A função periódica g(x). 
 
Exemplo 2. Considere agora a função periódica descontínua ( ) ( )( )î
í
ì
<£+
<£--
=
Lx01
0xL1
xf , com 
f(x + 2L) = f(x), para todo x real. Os coeficientes de Fourier são: 
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 8 
( ) ( )
( )
( )
òòò
òò
òò
ïî
ï
í
ì
=
=
p=
p
=÷
ø
ö
ç
è
æ p++÷
ø
ö
ç
è
æ p-=
=÷
ø
ö
ç
è
æ p++÷
ø
ö
ç
è
æ p-=
=+-=++-=
-
-
-
L
0
L
0
0
Ln
L
0
0
Ln
L
0
0
L0
parn0
ímparn
n
4
dx
L
xn
sen
L
2
dx
L
xn
sen
L
1
dx
L
xn
sen
L
1
b
,0dx
L
xn
cos
L
1
dx
L
xn
cos
L
1
a
,011dx1
L
1
dx1
L
1
a
 
e a série de Fourier será å
¥
=
p+
+p
=
0n L
x)1n2(
sen
1n2
14
)x(g . A série é convergente no intervalo (-L,L) 
e, portanto, g(x) está bem definida. Explicitamente, a série de Fourier converge para 1, se 0 < x < L, 
para –1, se –L < x < 0 e para zero se x = 0 ou Lx ±= . Esta série “quase” reproduz f(x), sendo que as 
exceções se localizam nos pontos de descontinuidade da função f(x). 
Esta característica é uma propriedade geral das séries de Fourier. Se a função f(x) possui uma 
descontinuidade de salto em um certo ponto ,x0 então sua série de Fourier converge para o “ponto 
médio do salto”. Mais precisamente, considerando os limites laterais a direita e a esquerda da f(x) 
quando x tende para x0 : 
( ) ( ) )x(flim0xf),x(flim0xf
0
0
0
0
xx
xx
0
xx
xx
0
<
®
>
®
=-=+ , (3.11) 
então a série de Fourier converge para: 
( ) ( )[ ]0xf0xf 0021 -++ . (3.12) 
Devido a periodicidade da série de Fourier, os pontos Lx ±= se tornam freqüentemente 
pontos de descontinuidade para a soma da série. Por esta razão, nestes pontos a série converge para: 
2
)0L(f)0L(f -++-
. 
Observação: Estas duas afirmativas permanecem válidas quando os dois limites f(x0+0) e 
f(x0-0), ou ainda os limites f(-L+0) e f(L-0), são idênticos. Por exemplo, se f(x) é contínua no ponto 
0xx = , então f(x0+0) = f(x0-0) = f(x0) e a série de Fourier simplesmente converge para f(x0), que é o 
valor da função neste ponto. O outro exemplo interessante surge quando f(x) é descontínua em 0xx = 
devido à "remoção de um ponto da curva", como em ( )
( )ïî
ï
í
ì
=
¹
=
0x1
0xx
)x(f
2
1 . Esta função, construída de 
maneira bem artificial, possuirá os mesmos coeficientes de Fourier e, portanto, a mesma série de 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
 9 
Fourier que a função 2x)x(f = . Esta série de Fourier convergirá para a função g(x) do exemplo 1. 
Observe que ( ) ( ) ( )[ ] 000f00f)0(ge0)00(f00f 112
1
11 =-++==-=+ mas que ( ) ).0(f0g 1¹ 
Surge então um problema fundamental da teoria das séries de Fourier: "Que condições deve 
uma função f(x) satisfazer para que sua série de Fourier convirja para f(x) no intervalo LxL ££- ?" 
4. PROPRIEDADES DE PARIDADE 
Uma função f(x) é chamada função impar se f(-x) = - f(x), para todo x real. Assim, as funções 
f(x) = xn, com n ímpar, f(x) = sen(ax) e a função f(x) graficada na figura 4.1a são exemplos de funções 
ímpares. Uma função f(x) é chamada função par se f(-x) = f(x), para todo x real. Assim, por exemplo, 
as funções f(x) = xn, com n par, e f(x) = cos(ax) e a função graficada na figura 4.1b são funções pares. 
 -1
 1
 6 4 2 -2 -4
 
 1
 -1
 5
 1 -1
 3
 -3
 
(a) (b) 
Figura 4.1. Exemplos de funções pares e ímpares. 
 
Suponha que devemos desenvolver uma função f(x) em série de Fourier no intervalo (-L, L). 
Se f(x) for uma função par, então, pelas propriedades acima, todos os coeficientes nb devem anular-
se, enquanto que os coeficientes na são obtidos simplesmente pela integração de 0 a L, multiplicando-
se os resultados por dois, ou seja: 
( ) .dx
L
xn
cosxf
L
2
ae
L
xn
cosa
2
a
)x(f
L
0n
1n
n
0 òå
p
=
p
+=
¥
=
 (4.1) 
Semelhantemente, se f(x) é impar, então todos os coeficientes na são nulos e: 
( ) dx
L
xn
sen)x(f
L
2
be
L
xn
senbxf
L
0n
1n
n
p
=
p
= òå
¥
=
 (4.2) 
Os resultados (4.1) e (4.2) dão origem outros tipos de desenvolvimentos trigonométricos, 
conhecidos, respectivamente, como a Série de Fourier em Cosenos e a Série de Fourier em Senos. 
Exemplo 1: Ache a série de Fourier para a função onda quadrada, mostrada na figura 4.1a. 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
 10 
Solução: Da figura 4.1a, decorre que ),t(f)t(f -=- isto é, f(t) tem simetria ímpar. E mais, f(t) 
tem período T = 4. Ou seja, 2/p=w . Então: 
å
¥
=
úû
ù
êë
é p=1n
n t2
n
senb)t(f 
{ }
ïî
ï
í
ì
p=p-
p
=úû
ù
êë
é p
p
-
=úû
ù
êë
é p= ò
parnse,0
imparnse,
n
4
)ncos(1
n
2
t
2
n
cos
n
2
dtt
2
n
sen
4
4
b 2
2
0n 0
. 
Portanto, 
÷
ø
ö
ç
è
æ +
p
+
p
+
p
p
= Kt
2
5
sen
5
1
t
2
3
sen
3
1
t
2
sen
4
)t(f . 
Exemplo 2: Ache a série de Fourier para a função f(t) do tipo onda quadrada mostrada na 
figura 4.1b. 
Solução: Da figura 4.1b, observa-se que ( ) )t(ftf =- , isto é, a função f(t) tem simetria par. E 
mais, f(t) tem período T = 4. Ou seja, 2/p=w . Assim, 
å
¥
=
úû
ù
êë
é p=
1n
n t2
n
cosa)t(f 
.
2
n
sen
n
4
2
n
sen
n
2
)nsen(
n
2
2
n
sen
n
2
t
2
n
sen
n
2
t
2
n
sen
n
2
dtt
2
n
cosdtt
2
n
cosdtt
2
n
cos)t(f
4
4
a 2
2
1
1
0
2
0n 1
1
0
p
p
=
p
p
+p
p
-
p
p
=
=úû
ù
êë
é p
p
-úû
ù
êë
é p
p
=úû
ù
êë
é p-úû
ù
êë
é p=úû
ù
êë
é p= òòò
 
Portanto, 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ -
p
+
p
-
p
p
= Kt
2
5
cos
5
1
t
2
3
cos
3
1
t
2
cos
4
tf . 
 1
3T2T T -T -2T 
 -1/2 3T2T T -T -2T
 1/2
 
(a) f(t) (b) g(t) 
Figura 4.2. As funções f(t) e g(t) do exemplo 3. 
 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
 11 
Pelos Exemplos acima, notamos que para adequadas escolhas da origem, isto é, mediante 
deslocamentos na abscissa tempo, podemos desenvolver a função tanto em série de cosenos como em 
série de senos. A origem pode, certamente, ser escolhida em outro ponto, resultando em uma série 
trigonométrica completa. 
Exemplo 3: Ache a série de Fourier para a função f(t) mostrada na Figura 4.2a acima. 
Solução: Como mostra a figura 4.2b, a função ( ) 2
1tf)t(g -= é uma função impar; então: 
( )òå w=w=
¥
=
2/T
0n
1n
n .dttnsen)t(gT
4
bcom),tnsen(b)t(g 
Como ,Tt0para,
T
t
2
1
)t(g <<-= então: ( ) dttnsent
T
1
2
1
T
4
b
2/T
0n
w÷
ø
ö
ç
è
æ -= ò . Integrando por partes: 
( ) p
=
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
w
w
-
w
w
÷
ø
ö
ç
è
æ --=
n
1
nT
)tnsen(
n
)tncos(
t
T
1
2
1
T
4
b
2/T
02n
. 
Assim, 
( )tg
2
1
)t(f += å
¥
=
w
p
+=
1n
)tnsen(
n
11
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ +w+w+w
p
+= K)t3sen(
3
1
)t2sen(
2
1
)tsen(
1
2
1
. 
5. FORMA COMPLEXA DA SÉRIE DE FOURIER 
O desenvolvimento de Fourier dado pela equação (3.6) pode ser escrito sob forma complexa. 
Para tanto, escreve-se: 
( ) ( )tjtjntjtjn nnnn eej2
1
)t(seneee
2
1
)t(cos w-ww-w -=w+=w (5.1) 
e introduz-se estas expressões na série de Fourier (3.6). É conveniente definir os coeficientes: 
( ) ( )
( ) ( )
( )ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
<+
>-
=
.0na
,0njba
,0njba
c
02
1
nn2
1
nn2
1
n (5.2) 
Então a série de Fourier pode ser rescrita em sua forma complexa: 
( )2/Tt2/Tec)t(f
n
tj
n n <<-= å
+¥
-¥=
w , (5.3) 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
 12 
onde os coeficientes nc são obtidos substituindo-se as fórmulas (3.7) para nn bea nas equações (5.2), 
resultando: 
dte)t(f
T
1
c
2/T
2/T
tj
n nò-
w-= . (5.4) 
Alternativamente, a fórmula (5.4) acima pode ser deduzida multiplicando-se a série complexa 
de Fourier (5.3) acima por tj ne w- e integrando. Mostra-se facilmente que as exponenciais complexas 
são ortogonais, no sentido de que: 
( )î
í
ì
=
¹
=w-
+
-
wò mnT
)mn(0
dtee tj
L
L
tj nn (5.5) 
e segue-se então a fórmula para nc . 
Observação: Embora a série de Fourier apareça agora sob forma complexa, sua soma f(t) é 
ainda supostamente real. Neste caso, as propriedades seguintes são facilmente verificadas: 
1) 0c é real; nn cc =- ; 
2) Se f(t) é par, todos os coeficientes nc são reais; 
3) Se f(t) é ímpar, 0c0 = e todos os coeficientes nc são imaginários puros. 
Exemplo: A função 
( )
( )î
í
ì
p£<
£<p-
=
x01
0x0
)x(f pode ser representada por uma série de Fourier 
complexa. Os coeficientes serão: 
( )
( )òò
p
p
p-
-p
ïî
ï
í
ì
=
=
=
p
-
=
p
==
p
=
0
nj
1
jn
jnx
n00 imparn
parn0
nj2
e1
dxe
2
1
ce
2
1
dx
2
1
c 
e, portanto, a série complexa de Fourier da f(x) será: 
( ) å
+¥
-¥=
=
p
+=
ímparn
n
jnxe
n
1
j
1
2
1
xf . 
6. CONVERGÊNCIA PONTUAL DAS SÉRIES DE FOURIER 
Deseja-se saber se a série de Fourier de uma dada função f(x) convergirá de fato para f(x). 
Exemplos simples parecem indicar que, em via de regra, a série de Fourier (3.10) convergirá para 
( ) ( )[ ]0xf0xf
2
1 -++ em todos os pontos do intervalo (-L, L) e para ( ) ( )[ ]0Lf0Lf
2
1 -++- nos pontos 
Cálculo Avançado A - Séries de Fourier 
 
 13 
extremos do intervalo. A determinação das condições exatas sob as quais este resultado pode ser 
esperado tem sido assunto de pesquisa intensa durante mais de um século. Achou-se uma variedade de 
condições suficientes. O teorema abaixo é suficiente para a maioria das aplicações físicas. 
Definição: Uma função definida em um intervalo fechado bxa ££ é dita seccionalmente 
contínua quando o intervalo pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(x) é 
contínua e possui limites finitos nas extremidades esquerda e direita destes subintervalos. 
Definição 2: Uma função definida em um interva lo fechado bxa ££ é dita satisfazer as 
condições de Dirichlet se f(x) é seccionalmente contínua em [a, b] e o intervalo (a, b) pode ser 
dividido em um número finito de subintervalos nos quais f(x) é monótona. 
Teorema. Se f(x) satisfaz as condições de Dirichlet para LxL ££- , então sua série de 
Fourier (3.10) converge para 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] .Lxse,0Lf0Lfou,LxLse,0xf0xf 2121 ±=-++-+<<-++- 
A convergência é uniforme em qualquer subintervalo fechado em que f(x) seja contínua. 
Observação: O teorema acima não encerra, de nenhuma maneira, a teoria das séries de 
Fourier, pois existem funções que não o satisfazem, mas mesmo assim, possuem série de Fourier. Este 
fato pode ser ilustrado com o seguinte exemplo: 
Exemplo: A função ( ) ( ) ,xse,coslogxf 2x p<<p-= com f(x+2p) = f(x), para todo x real, 
possui a série de Fourier ( ) ( ) .nxcos
n
1
2logxg
1n
n
å
¥
=
-
--= Vemos que: a série de Fourier convergirá 
uniformemente para f(x), em qualquer intervalo 21 xxx ££ com .xex 21 p<p-> Ela vai divergir 
para :x p±= podemos dizer que se aproxima de "menos infinito" quando p±®x , mas o mesmo 
acontece com f(x). Evidentemente a série de Fourier representa f(x) de maneira extremamente fiel, e 
no entanto f(x) não satisfaz as condições de Dirichlet. 
A maioria das dificuldades da teoria das séries de Fourier tem origem no conceito de 
convergência ponto a ponto. Há, no entanto, outros tipos de convergência, como a convergência em 
média, mais apropriadas, talvez, para aplicações físicas.