APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
ESTUDO DO PONTO 
1. EIXO ORIENTADO 
Seja uma reta em que estabelecemos um sentido de orientação ( normalmente, da direita para 
à esquerda, como na figura abaixo ). 
 À essa reta damos o nome de eixo orientado. 
Seja um ponto O que chamaremos de origem, relacionado ao número zero. Quando 
estabelecemos uma unidade de medida, cada ponto A desse eixo estará a uma distância da 
origem, que será medida pela unidade de medida estabelecida. O número real que nos dá essa 
distância é chamado de abscissa do ponto A, e representaremos por Ax . Se A está à direita 
de O , Ax será dada como um número positivo e se estiver à esquerda, por um número 
negativo. O ponto A será representado por ( )AxA . 
Exemplos: Representar em um eixo orientado os pontos ( ) ( ) ( )232 CB,A − 
 
 
2 . MEDIDA ALÉBRICA DE UM SEGMENTO ORIENTADO 
Um segmento de reta de extremidades A e B contido em um eixo orientado é chamado de 
segmento orientado. A medida algébrica desse segmento é dada por . 
Exemplo: A medida algébrica do segmento de extremidades ( )2−A e ( )3B é: 
( ) 52323 =+=−−=BA . 
 
3 . DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Definimos como distância entre dois pontos A e B como sendo o valor absoluto da medida 
algébrica do segmento orientado de extremidades A e B . 
Assim, ( ) AB xxB,Ad −= . A distância entre os pontos A e B do exemplo citado no item 2, é 
igual a 5. 
 
4 . PONTO MÉDIO 
Chamamos ponto médio de um segmento orientado BA ao ponto M tal que BMMA = .Assim 
sendo, 
2
2 BAMBAMMBAM
xx
xxxxxxxx
+
=⇒+=⇒−=− 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) A distância entre dois pontos A e B de abscissas 3 e k, respectivamente, é igual a 10. 
Calcule os possíveis valores de k. 
02-) Determine os pontos que dividem o segmento BA em quatro partes congruentes, sabendo 
que as abscissas de A e B são, respectivamente, -2 e 5. 
03-) Determine os pontos que dividem o segmento BA em cinco partes congruentes, sabendo 
que as abscissas de A e B são, respectivamente, -2 e 5. 
04-) Determine até que ponto C devemos prolongar o segmento BA , no sentido de A para B , 
de modo que este segmento triplique, sabendo que as abscissas de A e B são, 
respectivamente, -3 e 1.. 
05-) Determine até que ponto C devemos prolongar o segmento BA , no sentido de B para A , 
de modo que este segmento triplique, sabendo que as abscissas de A e B são, 
respectivamente, -3 e 1.. 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Sabendo que a distância entre os pontos A e B indicados na figura abaixo é igual a 6, 
calcule a abscissa do ponto B R: 8 
 
 
O AB C
0 23− 2
AB xxBA −=
A B
2 Bx
 2
 
02-) Determine os pontos que dividem o segmento BA em cinco partes congruentes, sabendo 
que as abscissas de A e B são, respectivamente, 3 e - 4. R: 
5
8
5
1
5
6
5
13
,, −− 
03-) Determine até que ponto C devemos prolongar o segmento BA , no sentido de A para B , 
de modo que este segmento quadruplique, sabendo que as abscissas de A e B são, 
respectivamente, -2 e 5. R: 26 
 
5 . SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL 
Quando precisamos localizar um ponto no plano necessitamos de dois valores. Em Geometria 
Analítica chamaremos o plano de plano cartesiano. Cada ponto será dado por um par 
ordenado, que é representado dentro de parênteses. Termos dois eixos orientados, um na 
horizontal e outro na vertical. O ponto de intersecção entre esses eixos será chamado de 
origem e será representado pelo par ( )00, . Veja figura abaixo: 
 
O eixo da horizontal é chamado eixo das abscissas e o da vertical, eixo das ordenadas. Cada 
ponto portanto, será composto de duas coordenadas, chamadas abscissa e ordenada. 
As regiões I II III e IV são chamadas de quadrantes.( Primeiro, segundo terceiro e quarto 
quadrantes.) 
Observação importante 
Existem quatro representações genéricas de pontos muito importantes na solução de alguns 
exercícios. São elas: 
- Ponto pertencente ao eixo das abscissas : ( )0,x . 
- Ponto pertencente ao eixo das ordenadas : ( )y,0 . 
- Ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes ímpares : ( )x,x . 
- Ponto pertencente à bissetriz dos quadrantes pares : ( )x,x − ou ( )x,x− . 
 
6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS 
Sejam os pontos ( )AA y,xA e ( )BB y,xB , como na figura abaixo: 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Calcular a distância entre os pontos ( )41,A − e ( )23,B . 
02-) Sabe-se que o ponto ( )2,aP é eqüidistante dos pontos ( )13,A e ( )42,B . Calcular a 
abscissa do ponto A . 
03-) Classificar quanto aos lados o triângulo cujos vértices são ( )13,A , ( )13 −− ,B e ( )61,C . 
 
 
A
Ax
Ay
III
III IV
O
x
y
x
A
B
Ax Bx
Ay
By
Pelo teorema de Pitágoras, 
( ) ( )
( ) ( ) 22
222
222
ABAB
ABAB
ABAB
yyxxd
yyxxd
yyxxd
−+−=
−+−=
−+−=
 
y
 3
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Calcule o comprimento do segmento AB , sendo 





−
3
1
2
1
,A e 





3
1
2
5
,B . R: 
3
102
 
02-) Calcule a distância do ponto ( )912,M − à origem do sistema cartesiano. R: 15 
03-) Determine as coordenadas de um ponto A pertencente à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, sabendo que ele é eqüidistante dos pontos ( )27,B e ( )12,C − R: 





5
12
5
12
,A 
04-) A distância do ponto ( )1,aP ao ponto ( )20,A é igual a 3. Calcule o valor de a . 
R: 
05-) Calcule o perímetro do triângulo ABC de vértices ( ) ( )3731 ,B,,A e ( )117 ,C R: 24 
06-) Mostre que o triângulo de vértices ( ) ( )1631 ,B,,A −− e ( )52 −,C é retângulo. 
07-) O triângulo ABC é retângulo em A . Determine as coordenadas do ponto A sabendo que 
ele pertence ao eixo das abscissas e que os pontos B e C têm coordenadas ( 2 , 4 ) e ( 5, 0 ), 
respectivamente. R : ( )02,A 
 
7 . PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO 
O cálculo do ponto médio de um segmento no plano é uma extensão do mesmo cálculo feito no 
eixo orientado. Veja figura abaixo: 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar as coordenadas do ponto médio M do segmento AB , sendo ( )41,A − e ( )25,B 
02-) Uma das extremidades de um segmento é o ponto ( )913,A . Sendo ( )309,M − o ponto 
médio do segmento AB , calcular as coordenadas de B 
03-) Os vértices de um triângulo são os pontos ( ) ( )6240 −,B,,A e ( )24 ,C − . Calcule o 
comprimento da mediana relativa ao vértice A desse triângulo. 
04-) Determinar as coordenadas dos pontos que dividem em três partes congruentes o 
segmento de extremidades ( )21,A e ( )86,B . 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Sabe-se que ( )b,aM é o ponto médio do segmento AB . Sendo ( )711 −,A e ( )09,B − , 
calcule as coordenadas do ponto M . R : 





−
2
71,M 
02-) Uma das extremidades de um segmento é o ponto cujas coordenadas são ( )22 −− , . O 
ponto médio desse segmento tem coordenadas ( )23 −, . Determine as coordenadas da outra 
extremidade desse segmento. R : ( )28 −, 
03-) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de 
seus lados são ( ) ( )2512 ,N,,M − e ( )32 −,P . R : ( ) () ( )612945 ,e,,, −−− . 
04-) Determine as coordenadas do ponto B , simétrico do ponto ( )21,A − em relação ao ponto 
( )43,C . R : ( )67,B 
xAx Mx Bx
Ay
My
By
A
B
M
22±=a
y
Como visto anteriormente, 
2
BA
M
xx
x
+
= e do mesmo modo, 
2
BA yyy
+
= Portanto, 
 





 ++
22
BABA yy
,
xx
M 
 4
05-) Determine as coordenadas dos pontos que dividem em três partes congruentes o 
segmento de extremidades ( )12 −− , e ( )23, . R : 





− 0
3
1
, e 




 1
3
4
, 
06-) Determine até que ponto C devemos prolongar o segmento AB no sentido de A para B, 
de modo que ele quadruplique seu comprimento. Dados : ( )12 −− ,A e ( )23,B . R : ( )1118,C 
 
8 . BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO 
O baricentro de um triângulo é definido como o ponto de intersecção de suas medianas. 
Normalmente representamos o baricentro de um triângulo pela letra G e ele sempre estará 
localizado a 
3
2
 dos vértices e a 
3
1 dos lados. Veja figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Portanto, a fórmula que nos dá o baricentro G de qualquer triângulo de vértices ( )BA x,xA 
( )BB y,xB e ( )CC y,xC é: 




 ++++
33
CBACBA yyy
,
xxx
G 
Exemplo: Determine o baricentro do triângulo cujos vértices são os pontos ( ) ( )1541 ,B,,A − e 
( )42 ,C . 
Teremos: ( )32
3
414
3
251
,G,G ⇒




 ++++−
. 
 
ESTUDO DA RETA 
 
1. INCLINAÇÃO E DECLIVIDADE 
Chamamos inclinação de uma reta ao ângulo que ela faz com o eixo das abscissas no sentido 
positivo, e de declividade, a tangente trigonométrica desse ângulo. ( Veja figura abaixo: ) 
 
Assim, se uma reta faz um ângulo de rad
3
2pi
 com o eixo das abscissas, sua declividade será 
dada por 3
33
2
−=
pi
−=
pi
= tgtgm . 
Obs: A declividade de uma reta também pode ser chamada de coeficiente angular da reta 
α
r
x
y
A
C
MN
G
B
P
( )
3
3
2
2323
222
22
22
CBA
GCBAG
CB
AGMAG
GMAGGMAG
CBCB
xxx
xxxxx
xx
.xxx.xx
xxxxxx.xx
yy
,
xx
Me
MG
GAMG.GA
++
=⇒++=
=
+=⇒+=
−=−⇒−=−





 ++
=⇒=
 
Pelo mesmo raciocínio, 
3
CBA
G
yyy
y
++
= 
Inclinação da reta : α 
 
Declividade da reta: 
α= tgm 
 5
 
Quando conhecemos dois pontos de uma reta podemos determinar sua inclinação e sua 
declividade: 
 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
Determine a inclinação e a declividade de cada uma das retas definidas por dois pontos: 
01-) ( )30 −,A e ( )01,B 
02-) ( )23,A e ( )32,B 
03-) ( )21,A e ( )45,B 
04-) ( )52,A − e ( )33,B 
05-) ( )22,A − e ( )52,B − 
 
2 . CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS. 
Sejam os pontos ( ) ( )BBAA y,xB,y,xA e ( )CC y,xC pertencentes a uma mesma reta. Se 
calculamos a declividade dessa reta usando os pontos A e B ou B e C , temos de obter o 
mesmo resultado. Assim sendo, 
BC
BC
AB
AB
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
− ( ) ( ) ( ) ( ) 0=−−−−−⇒ ABBCBCAB xx.yyxx.yy , expressão que define 
se três pontos B,A e C estão alinhados. Porém, quando desenvolvemos o determinante 
0
1
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx
,chegamos a uma conclusão equivalente e é bem mais simples de memorizar. 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar o valor de m de modo que os pontos ( ) ( )523 −− ,B,,mA e ( )31 −− ,C sejam 
colineares. 
02-) Determinar o valor de a para que os pontos ( ) ( )2112 ,aB,,A + e ( )13 −− ,C sejam os 
vértices de um triângulo. 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Determine m para que os pontos ( ) ( )11230 ,mB,,A −− e ( )m,C 101− estejam em linha 
reta. R : 
10
71 =−= moum 
02-) Os pontos ( ) ( )1321 ,B,,A − e ( )b,aC são colineares. Calcule a e b de modo que o 
ponto C esteja localizado sobre o eixo das abscissas. R : 07 == bea 
03-) Determine x de modo que os pontos ( ) ( )131 ,xB,,A e ( )53,C sejam os vértices de um 
triângulo. R : 1−≠x 
04-) Seja P o ponto de intersecção de uma reta r com o eixo das ordenadas. Sendo a reta 
determinada pelos pontos ( )21 −− ,A e ( )24,B , calcule as coordenadas do ponto P. 
 R : 





−
5
60,P 
α
α
x
y
A
B
Ax Bx
Ay
By
BA yy −
BA xx −
AB
AB
xx
yy
mtgm
adjacentecateto
opostocateto
tg
−
−
=⇒α=
=α
 
 6
3 . EQUAÇÃO DE UMA RETA. 
 
3.1- EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR UM PONTO DADO COM DECLIVIDADE DADA: 
Seja uma reta r que passa pelo ponto ( )AA y,xA e tem uma declividade "m" . Suponhamos 
como um ponto genérico dessa reta o ponto ( )y,xP . Desse modo, 
A
A
xx
yy
m
−
−
= e então, 
( )AA xx.myy −=− , que é a fórmula que nos dá a equação de uma reta que passa por um 
ponto dado com inclinação dada. 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
Escrever a equação de cada uma das retas dadas pelas condições abaixo: 
01-) Passa pelo ponto ( )32,A − e tem declividade 5−=m . 
02-) Passa pelo ponto ( )23,A − e faz um ângulo de 
4
pi
rad com o eixo das abscissas. 
03-) Passa pela origem e faz um ângulo de 
3
2 pi
 rad com o eixo das abscissas. 
04-) Passa pelos pontos ( )32,A − e ( )13 −,B 
 
3.2- EQUAÇÃO DA RETA QUE PASSA POR DOIS PONTOS: 
 
Seja uma reta r que passa pelos pontos ( )AA y,xA e ( )BB y,xB . Admitamos como um ponto 
genérico dessa reta o ponto ( )y,xP . Como são pontos de uma mesma reta, eles obedecem a 
condição de alinhamento de três pontos. Assim, 0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
. 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Escreva a equação da reta que passa pelos pontos ( )35,A − e ( )12 −,B . 
02-) Escreva a equação da reta suporte da mediana relativa ao vértice A do triângulo ABC de 
vértices ( ) ( )2521 ,B,,A − e ( )61,C . 
 
4 . FORMAS DA EQUAÇÃO DE UMA RETA 
 
4.1 – EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA 
Seja uma reta r que passa pelo ponto ( )AA y,xA e tem uma declividade "m" .Como vimos no 
item 3.1, ( )AA xx.myy −=− .Daí, 
AA
AA
yxmx.my
xmx.myy
+−=
−=−
. Fazendo qyxm AA +=+− , 
teremos: qxmy += que é a equação reduzida da reta r . O número real representado pela 
letra q é chamado coeficiente linear da reta e geometricamente, representa a intersecção da 
reta com o eixo das ordenadas. 
 
4.2 – EQUAÇÃO GERAL DE UMA RETA 
Admitamos em qxmy += que 
B
Cqe
B
A
m −=−= . Substituindo, teremos: 
0=++⇒−−=⇒−−= CyBxACxAyB
B
C
x
B
Ay que é a equação geral da reta r . 
 
4.2 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DE UMA RETA. 
Seja uma reta r não paralela aos eixos coordenados. Sejam ( )0,pP ( )q,Q 0 os pontos em 
que essa reta intercepta o eixo das abscissas e das ordenadas, respectivamente. ( Ver figura ): 
 
 
 
 
 
 
y
r
P
Q
x
1
00
10
10
1
=+⇒
=+⇒=+⇒
=−+⇒=
q
y
p
x
qp
qp
qp
yp
qp
xq
pq;pqypxq
pqypxq
p
q
yx
 
 7
4.3 – EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DE UMARETA 
Consideremos a equação reduzida de uma reta qxmy += , Façamos bt.ax += onde 
Rb,a ∈ e t uma variável que chamaremos de parâmetro, variando em R . Teremos: 
( ) qb.mt.a.myqbt.a.my ++=⇒++= . Supondo dqb.meca.m =+= , 
dt.cy += . Resumindo, Rt,
dt.cy
bt.ax
r ∈



+=
+=
→ que são as equações paramétricas da reta. 
Também podemos expressar as equações paramétricas de uma reta por : 
 
( ) ( ) Rtdt.c,bt.atC ∈++= 
Essas são as quatro formas da equação cartesiana de uma reta . 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Escreva nas formas geral, reduzida e segmentaria, a equação da reta que passa pelos 
pontos ( )32,A − e ( )13 −,A 
02-) Encontre uma forma paramétrica para a equação que define o segmento de reta de 
extremidades ( - 3, 1 ) e ( 4, 3 ) 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Escrever a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular 2 e cruza o eixo das 
ordenadas no ponto ( 0, 3 ) R : 32 −= xy 
02-) Determine a declividade da reta cuja equação geral é 0743 =−+ yx R : 
4
3
−=m 
03-) Uma reta passa pelo ponto ( )42 −− ,P e tem coeficiente angular 
3
2
− . Determine o 
coeficiente linear dessa reta. R : 
3
16
−=q 
04-) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A ( 2, 3 ) e B ( 8, 5 ). 
R: x – 3 y + 7 = 0 
05-) Determine a equação geral da reta que passa pelo ponto ( )32,P e pelo ponto Q , 
simétrico de P em relação à origem. R : 023 =− yx 
06-) A reta de equação ( ) 0433 =−−+ ykxk passa pelo ponto ( )12,P . Calcule o valor de 
k , escreva a equação da reta na forma geral e determine os coeficientes angular e linear 
dessa reta. R : 2
2
30423,1 −===−−= qemyxk 
07-) Os pontos ( )m,A 1− e ( )2,nB pertencem à reta de equação 0432 =−− yx . Calcule a 
distância entre os pontos A e B . R : 132 
08-) São dados os pontos ( ) ( ) ( )427531 −−− ,C,,B,,A e ( )20,D . O ponto M é o ponto médio 
do segmento BA e o ponto N é o ponto médio do segmento DC . Determine a equação 
segmentaria da reta que passa por M e N . R : 1
4
3
4
=
−
+
yx
 
09-) Dados os pontos ( )00,A e ( )21,B , determine o ponto C da reta 012 =−− yx tal que 
o triângulo ABC seja um triângulo retângulo com hipotenusa BC R : 





−
5
1
5
2
,C 
10-) Determine a equação geral da reta definida por ( ) ( ) Rt,t,ttC ∈−+= 351 R : 083 =−+ yx 
11-) Seja a reta definida por 



+=
−=
→
ky
kx
r
4
23
 ; Rk ∈ . 
a) Determine os pontos de intersecção dessa reta com os eixos coordenados. 
R : ( )011
2
110 ,e, 





 
b) Determine o ponto da reta cuja abscissa é 
2
1
 R : 





4
21
2
1
, 
 
 8
4.4- POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS 
 
4.4.1- PARALELISMO 
Sejam as retas paralelas 11 qxmyr +=→ e 22 qxmys +=→ conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que as retas estejam escritas em sua forma geral: 0111 =++→ CyBxAr e 
0222 =++→ CyBxAs . Sabemos que 
1
1
1
2
2
2
1
1
1 B
C
q,
B
A
m,
B
A
m −=−=−= e 
2
2
2 B
C
q −= ( ** ). 
Substituindo ( ** ) em ( * ) temos, se 
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
s//r ≠=⇒ ( *** ) 
As relações ( * ) e ( *** ) são as condições de paralelismo entre duas retas quando escritas na 
forma reduzida e geral, respectivamente. 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar a posição relativa entre as retas de equações 0532 =+−→ yxr e 
0164 =−−→ yxs . 
02-) Determine os valores de a de modo que as retas de equações ( ) 0522 =−−+ yax e 
014 =−+ yax sejam concorrentes. 
03-) Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( )53 −,A e é paralela à reta de 
equação 0128 =+− yx 
04-) Um quadrado tem como vértices os pontos ( ) ( ) ( )6826 ,C,,B,y,xA e ( )84,D . Escreva uma 
forma paramétrica para a equação da reta suporte do lado AB desse quadrado. 
 
Quando duas retas não são paralelas, elas são concorrentes em um ponto P. Para 
determinar esse ponto de concorrência basta resolver o sistema formado pelas 
equações dessas retas. 
Ex ( Deverá ser resolvido pelo professor em sala de aula ) 
Determine o ponto de interseção entre as retas de equações 01223 =−− yx e 0135 =−+ yx . 
 
4.4.2 - PERPENDICULARISMO 
Sejam as retas perpendiculares 11 qxmyr +=→ e 22 qxmys +=→ conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
s
1q
2q
α α
x
r
Como a inclinação das duas retas é a mesma, 
suas declividades são iguais. ( )21 mm = . Se as 
retas interceptam o eixo das ordenadas em 
pontos diferentes, 21 bb ≠ . 
Resumindo, se 



≠
=
⇒
21
21
qq
mm
s//r ( * ) 
x
α
2q
β1
q
y
r
s
α ( ),*
m
m
tg
tg
tg
gcottgtg
etgmetgm
2
1
21
11
1
22
2
−=⇒β−=α⇒
β−=β−=



 pi
−β=α⇒pi−β=α
β=pi+αβ=α=
 
 9
 
Suponhamos que as retas estejam escritas em sua forma geral: 0111 =++→ CyBxAr e 
0222 =++→ CyBxAs . Sabemos que 
2
2
2
1
1
1 B
A
me
B
A
m −=−= ( ** ).Substituindo ( ** ) em ( * ) 
temos: 2121
2
22
1 1 B.BA.A
B
AB
A
−=⇒
−
−=− . 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar o valor de k de modo que as retas de equações 019 =−− ykx e 
0362 =−+ yx sejam perpendiculares. 
02-) Determine a equação da reta que passa pelo ponto ( )53,A e é perpendicular à reta de 
equação 052 =+− yx 
03-) Escreva a equação da mediatriz do segmento de extremidades ( )31,A e ( )53 −− ,B . 
04-) Determine o ponto simétrico de ( )62,P em relação à reta de equação 02 =−+ yx . 
05-) Determine o ortocentro ( ponto de intersecção das alturas ) do triângulo cujos vértices são 
os pontos ( ) ( )3125 −,B,,A e ( )43,C − . 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Calcule os valores de p de modo que sejam paralelas as retas de equações 
018 =++ ypx e 012 =−+ pyx R : 4±=p 
02-) Dê a forma geral da equação da reta que passa pelo ponto ( )52,A − e é paralela à reta 
cujas equações paramétricas são ( ) Rt,t,ttC ∈





−−=
2
5
2
32 . R : 01623 =+− yx 
03-) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto ( )21,− e é paralela à reta determinada 
pelos pontos ( )32, e ( )41 −− , . R : 01337 =+− yx 
04-) Determine a equação da reta que passa pela origem do sistema cartesiano e pela 
intersecção das retas 062 =−+ yx e 0113 =+− yx . R : 04 =− yx 
05-) Determine a equação da reta que passa por sr ∩ e é paralela a t . Dados: 
06302 =+−→=+−→ yxs,yxr e ( ) ( ) Rt,t,ttCt ∈−−=→ 342 R : 022 =+− yx 
06-) As retas de equações 02 =−+ ayx e 074 =−+ ayx são perpendiculares. Determine o valor 
de a . R : 2−=a 
07-)Dê a forma geral da equação da reta que passa pelo ponto ( )23,A − e é perpendicular à 
reta de equação 0443 =−+ yx R : 01834 =+− yx 
08-) A reta r é perpendicular à reta 0543 =+− yx e passa pelo ponto ( )21,A . Determine os 
pontos de r que distam 5 unidades do ponto A R : ( )62,− e ( )24 −, 
09-) Determine a equação da reta perpendicular à reta de equação 0632 =−+ yx no ponto em 
que esta intercepta o eixo das abscissas. R : 0923 =−− yx 
10-) Escreva a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são os pontos ( )32,A e 
( )58,B . R : 0193 =−+ yx 
11-) Determine a projeção ortogonal do ponto ( )23,P sobre a reta de equação 01 =+− yx 
R : ( )32, 
12-) Determine o circuncentro ( ponto de intersecção das mediatrizes dos lados ) do triângulo 
cujos vértices são os pontos ( ) ( )3125 −,B,,A e ( )43,C − . R : 





12
17
48
29
, 
13-) Determine a equação da reta que passa por sr ∩ e é perpendicular a t . Dados: 
06302 =+−→=+−→ yxs,yxr e ( ) ( ) Rt,t,ttCt ∈−−=→ 342 R : 042 =++ yx 
14-) Determine o ortocentro ( ponto de intersecção das alturas ) do triângulo cujos vértices são 
os pontos ( ) ( )4420 ,B,,A − e ( )62,C . R : ( )20, 
15-) Determine o ponto simétrico de ( )71,P em relação à reta de equação 05 =−− yx . 
 R : ( )4,12 − 
 10
4.5- ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS 
Sejam as retas 11 qxmyr +=→ e 22 qxmys +=→ conforme figura abaixo, interceptando-se 
em um ponto P : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando uma das retas é perpendicular ao eixo das abscissas sua declividade não é definida 
pois Rtg ∉pi
2
 ( Veja figura abaixo ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar o ângulo formado pelos pares de retas: 
a) 012 =+− yx e 023 =−+ yx 
b) 032 =+− yx e 0232 =−+ yx 
c) 012 =+x e 012 =+− yx 
02-) Determinar as equações das retas que passam pelo ponto ( )32,P e que formam um 
ângulo de 045 com a reta de equação 0123 =+− yx . 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Determinar o ângulo formado pelos pares de retas: 
a) 0526 =+− yx e 0124 =−+ yx R : rad
4
pi
 
b) 013 =+− yx e 023 =+x R : rad
3
pi
 
02-) A reta r , cujo coeficiente angular é 
3
3 faz um ângulo de rad
6
pi
com a reta cujo coeficiente 
angular é m . Calcule o valor de m. R : 30 == moum 
03-) Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto ( )11,P e faz um ângulo de rad
4
pi
 
com a reta de equação 012 =+− yx . R : 023 =−− yx 
x
y
r
s
α
βθ
( )
12
12
1
1
m.m
mm
tg
tg.tg
tgtg
tgtgtg
+
−
=θ⇒
αβ+
α−β
=θ⇒α−β=θ
α−β=θ⇒θ+α=β
 
Para maior facilidade, calcularemos apenas o ângulo 
agudo, pois conforme a disposição das declividades 
podemos encontrar o suplementar do ângulo θ . Para 
isto, colocaremos a fórmula demonstrada em valor 
absoluto. Assim, 
21
21
1 m.m
mm
tg
+
−
=θ 
x
y
r
s
α
θ
1
11
2
22
m
tg
tg
tg
gcottgtgtg
−=θ⇒
α
−=θ⇒
α−=θ⇒





α−
pi
=θ
α−
pi
=θ⇒pi=θ+α
 
Para determinamos apenas o ângulo 
agudo como no caso anterior, temos: 
1
1
m
tg =θ 
 11
4.6- DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
Consideramos como distância entre ponto e reta como sendo a medida da perpendicular 
baixada desse ponto à reta.( Ver figura abaixo ) 
 Podemos calcular essa distância usando os conceitos 
de perpendicularismo, intersecção de retas e distância 
entre dois pontos como a seguir : 
Determine a distância entre o ponto ( )12,P e a reta de 
equação 0142 =−+ yx ( Deverá ser resolvido pelo 
professor em sala de aula.) 
 
 
 
Como foi visto, esse processo é muito trabalhoso. Existe uma fórmula cuja demonstração 
omitiremos devido à sua complexidade, que resolve o mesmo problema com extrema facilidade 
Seja uma reta 0=++→ CByAxr e um ponto ( )AA y,xA 
( )
22 BA
CByAx
r,Ad AA
+
++
= 
O mesmo exercício acima seria resolvido da seguinte forma: ( ) 52
21
14122
22
=
+
−×+
=r,Pd 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar o valor de a para que a distância entre o ponto ( )a,P 1− a reta de equações 
paramétricas ( ) Rt,t,ttC ∈





+−+=
2
1
4
31 , seja igual a 2 unidades. 
02-) Determinar a distância entre as retas paralelas 0632 =−+ yx e 01032 =−+ yx 
03-) Determinar a medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos ( )11,A , ( )16,B , 
( )32,C e ( )34,D . 
 
4.7- CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
O cálculo da área de um triângulo pode ser feito com os conceitos já estudados. Como 
exemplo vamos calcula a área do triângulo de vértices ( )42,A , ( )26,B − , ( )20 −,C ( Deverá ser 
resolvido pelo professor em sala de aula ). 
Existe porém, uma fórmula que também omitiremos sua demonstração, que resolve o mesmo 
problema com mais facilidade. 
Seja o triângulo de vértices ( )AA y,xA , ( )BB y,xB e ( )CC y,xC . 
Área 
1
1
1
2
1
CC
BB
AA
ABC
yx
yx
yx
×=∆ 
O mesmo exercício acima seria resolvido da seguinte forma: 
Área 22
120
126
142
2
1
=
−
−×=∆ ABC 
EXERCÍCIO ( Para ser resolvido pelo professor em sala de aula ) 
01-) Calcular a área do quadrilátero de vértices ( )02,A , ( )13,B , ( )41,C e ( )20,D 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Calcule a distância entre o ponto ( )21 −,A e a reta 1
4
3
+−= xy R: 
5
9
 
02-) Determine a distância entre a origem e a reta que contém os pontos ( )11,A e ( )31,A − 
03-) Determine as equações das retas paralelas à reta 0534 =−+→ yxr que distam 4 unidades 
de r . R : 01534 =++ yx ou 02534 =−+ yx 
04-) A distância entre o ponto ( )k,A 0 e a reta 0234 =−+→ yxr é igual a 2 unidades. Determine 
o valor de k . R : 4
3
8
=−= kouk 
P
r
d
•
2:R
 12
05-) Os pontos ( )12,A , ( )42 −− ,B e ( )02,C são os vértices de um triângulo ABC . Determine a 
altura relativa ao vértice A desse triângulo. R : 
10
107
 
06-) Sejam 01043 =+− yx e 01586 =+− yx as equações das retas suportes das bases de um 
trapézio. Determine a altura desse trapézio. R : 
2
1
 
07-) Os pontos ( )42 −,A , ( )1,aB e ( )24,C são os vértices de um triângulo. Calcule o valor de 
a de modo que esse triângulo tenha área 2. R : 
3
13
=a ou 3=a 
08-) A retade equação 082 =−+ yx intercepta o eixo das abscissas no ponto A e a bissetriz 
dos quadrantes pares no ponto B . Calcule a área do triângulo OAB , sendo O a origem do 
sistema cartesiano. R : 32 
09-) Calcule a área do quadrilátero de vértices ( )04,A , ( )26,B , ( )42,C e ( )20,D R : 12 
10-) As retas suportes dos lados de um triângulo são as retas de equações 012 =−+ yx , 
072 =−− yx e 05 =−y . Calcule a área desse triângulo. R : 
2
169
 
11-) Dois vértices da base de um triângulo isósceles ABC são representados pelos pontos 
( )11 −,A e ( )33,B . Determine o vértice C sabendo que ele pertence à reta de equação 
02 =−+ yx . Determine também a área desse triângulo. R : ( )20,C e 5. 
12-) Dados os pontos ( )22,A e ( )25 −,B pede-se um ponto C de modo que o triângulo ABC 
seja retângulo em C . Determine também a área desse triângulo. R : ( )22 −,C e 6. 
 
ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
 
1. DEFINICÃO 
Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo chamado 
centro. Essa distância comum aos pontos é chamada de raio. 
 
1.1 – CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO “R” e CENTRO NA ORIGEM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2 – PARAMETRIZAÇÃO 
.
R
y
R
x
R
R
R
y
R
xRyx 1
22
2
2
2
2
2
2
222
=





+





⇒=+⇒=+ 
Fazendo tcos
R
x
= e tsen
R
y
= com pi<≤ 20 t , temos a forma parametrizada de uma 
circunferência de centro na origem e raio R . Assim, 
pi<≤



=
=
20 t,
tsenRy
tcosRx
 ou então, ( ) ( ) pi<≤= 20 t,tsenR,tcosRtC . 
 
 
 
 
 
O
( )y,xM
R
y
x
( )
222
22
Ryx
Ryx
RM,Od
=+
=+
=
 
Portanto, a equação da circunferência 
de entro na origem e raio R é dada por: 
 
222 Ryx =+ 
 13
1.3 – CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO “R” E CENTRO QUALQUER 
Seja a circunferência de centro ( )βα ,O e raio R conforme figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 – PARAMETRIZAÇÃO 
( ) ( ) ( ) ( ) 1
22
2
2
2
2
2
2
222
=




 β−
+




 α−
⇒=
β−
+
α−
⇒=β−+α−
R
y
R
x
R
R
R
y
R
x
Ryx . 
Fazendo tcos
R
x
=
α−
 e tsen
R
y
=
β−
, com pi<≤ 20 t , temos a forma parametrizada de uma 
circunferência de centro ( )βα , e raio R . Assim, 
pi<≤



+β=
+α=
20 t,
tsenRy
tcosRx
 ou então, ( ) ( ) tt,tsenR,tcosRtC <≤+β+α= 0 . 
Exemplo: escrever a equação da circunferência de centro ( )32,O − e raio 5=R . Dê a forma 
paramétrica da equação dessa circunferência. 
( ) ( ) 2532 22 =−++ yx ou então, na forma paramétrica, pi<≤



+=
+−=
20
3
2
t,
tseny
tcosx
ou ainda, 
( ) ( ) pi<≤++−= 2032 t,tsen,tcostC 
Obs: é comum desenvolvermos a equação de uma circunferência ( ) ( ) 222 Ryx =β−+α− . No 
nosso exemplo, teremos como resultado a equação 0126422 =−−++ yxyx . 
Esta forma de equação é chamada equação geral da circunferência. Quando temos a equação 
geral de uma circunferência e queremos o centro e o raio, temos que resolver o problema no 
sentido contrário. Por exemplo, vamos determinar o centro e o raio da circunferência de 
equação 094622 =++−+ yxyx e representa-la graficamente. 
( ) ( ) 423
4994496
22
22
=++−
++−=++++−
yx
.yyxx
 
Comparando com ( ) ( ) 222 Ryx =β−+α− , temos: 
22
33
−=β⇒=β−
=α⇒−=α−
 e 242 =⇒= RR 
Portanto, o centro da circunferência é ( )23 −,O e o raio é 2=R . Sua representação gráfica é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y
O
R
x
( )y,xM
( )
( ) ( )
( ) ( ) 222
22
Ryx
Ryx
RM,Od
=β−+α−
=β−+α−
=
 
Portanto, a equação da circunferência 
de centro ( )βα, e raio R é dada por: 
 
( ) ( ) 222 Ryx =β−+α− 
O
2−
3
y
x
 14
Consideremos a circunferência de equação ( ) ( ) 222 Ryx =β−+α− . Quando desenvolvemos 
esta equação, temos: 
( ) ( )
( )*R,,,Ryxyx
Ryyxx
Ryx
ℜ∈βα=−β+α+β−α−+
=β+β−+α+α−
=β−+α−
022
22
22222
22222
222
 
A equação de uma circunferência de centro ( )βα ,O e raio R pode então, ser escrita sob a 
forma: ( )**cybxayx 022 =++++ . Comparando ( * ) e ( ** ), temos: 
2
4
4
4
44
2
2
2
2
2222
2
22
2222222 cbaRcbaRcbaRcRcR
bb
a
a
−+
=⇒
−+
=⇒−+=⇒−β+α=⇒=−β+α
−=β⇒=β−
−=α⇒=α−
 
Portanto, dada a equação geral da circunferência 022 =++++ cybxayx podemos 
determinar centro e o raio da mesma com as fórmulas seguintes: 
2
4
22
22
cba
R
b
,
aO
−+
=






−−
 com 0422 >−+ cba 
O exemplo resolvido anteriormente seria resolvido pelas fórmulas da seguinte maneira: 
094622 =++−+ yxyx 
( ) 2
2
361636
23
2
4
2
6
=⇒
−+
=−⇒





−
−
− RRe,O,O 
 
Exercício : determine o centro e o raio da circunferência dada por 0137144363636 22 =++−+ yxyx . 
Nesse caso temos de dividir a equação por 36, como a seguir: 
0
36
1374
0
36
137
36
144
36
36
36
36
36
36
22
22
=++−+
=++−+
yxyx
yxyx
 
3
2
2
9
16
2
9
13717
2
36
1374161
2
2
1
2
4
2
1
==
−
=⇒
×−+
=






−⇒





−
−
−
RR
,O,O
 
Portanto, o centro da circunferência é o ponto 





− 2
2
1
, e o raio é 
3
2
. 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determine a equação geral da circunferência com centro ( )32,O sabendo-se que ela 
passa pelo ponto ( )21,A − . Dê a forma paramétrica para a equação dessa circunferência. 
02-) Determine a equação da circunferência cujas extremidades de um de seus diâmetros são 
os pontos ( )81 −− ,A e ( )27,B 
03-) Escreva a forma geral da circunferência que tem centro na reta 04 =−−→ yxr e passa 
pelos pontos ( )20 −,A e ( )02,B 
04-) Escreva a equação da circunferência que passa pelos pontos ( )24,A , ( )11,B − e 
( )11 −,C 
05-) Verifique se a equação 098444 22 =++++ yxyx representa uma circunferência. 
06-) Escreva a equação geral da circunferência com centro no ponto ( )31,O e que é tangente 
à reta de equação 02 =+−→ yxr 
07-) Determine a equação da reta tangente à circunferência 0276222 =−−++ yxyx no 
ponto ( )25 ,A 
 15
08-) Seja ( )21 −,A um ponto do plano. Determine as equações das retas tangentes à 
circunferência 034222 =−−−+ yxyx e que passam pelo ponto A 
09-) Determine as equações das retas tangentes à circunferência 0114222 =−−−+ yxyx e 
que são paralelas à reta de equação 0243 =−−→ yxr . 
10-) Determine as equações das retas tangentes à circunferência 0822 =−+ xyx e que são 
perpendiculares à reta de equação 0243 =−−→ yxr . 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
 
01-) Determine a equação geral da circunferência com centro ( )21,O sabendo-se que ela 
passa pelo ponto ( )62,A − . Dê a forma paramétrica para a equação dessa circunferência. 
 R : ( ) ( ) pi<<++==−−−+ 202510204222 ttsen,tcostCeyxyx 
02-) Determine as equações da circunferência de raio 2 que passam pelos pontos ( )00,A e 
( )22,A R : 012422 =−−+ yyx e 012422 =−−+ xyx 
03-) Escreva a equação da circunferência que passa pelos pontos ( )11,A , ( )02,B e ( )11 −,CR : 0222 =−+ xyx 
04-) Escreva a forma geral da circunferência que tem centro na reta 092 =+−→ yxr e passa 
pelos pontos ( )41 −,A e ( )25,B R : 0476622 =−−++ yxyx 
05-) Determine o centro e o raio da circunferência dada por 014444 22 =+−++ yxyx . 
R : 





−
2
1
2
1
,O e 
2
1
=R 
06-) Calcule os valores de k de modo que a equação 0610222 =++−+ kyxyx represente 
uma circunferência. R : 
3
13
<ℜ∈ kk 
07-) A reta 07 =−+→ yxr e a circunferência 094622 =+−−+ yxyx , são secantes nos 
pontos A e B . Calcule o comprimento da corda AB . R : 22 
08-) A circunferência com centro no ponto ( )11,O é tangente à reta 010 =−+→ yxr . Escreva 
a equação dessa circunferência R : 0302222 =−−−+ yxyx . 
09-) Escreva a equação da circunferência concêntrica à circunferência de equação 
044822 =+−−+ yxyx e que é tangente à reta 01334 =++→ yxr 
 R : 0924822 =−−−+ yxyx 
10-) Determine a equação da reta tangente à circunferência 032222 =−−−+ yxyx no ponto 
( )32 ,A R : 082 =−+→ yxr 
11-) Seja ( )30,A um ponto do plano. Determine as equações das retas tangentes à 
circunferência 022222 =−−−+ yxyx e que passam pelo ponto A . 
 R: 093403 =+−=− yxouy 
12-) Determine as equações das retas tangentes à circunferência 03422 =+−+ yyx e que 
são paralelas à reta de equação 0243 =−+→ yxr . R : 01343 =−+ yx e 0343 =−+ yx 
13-) Determine as equações das retas tangentes à circunferência 03422 =+−+ xyx e que 
são perpendiculares à reta de equação 0134 =+−→ yxr . R: 0143 =−+ yx e 01143 =−+ yx 
 
 
 
 
 
 
 
 16
ESTUDO DAS CÔNICAS 
 
1 . ELIPSE 
 
1.1 – DEFINIÇÃO : conjunto de pontos do plano cujas somas de suas distâncias a dois pontos 
fixos chamados focos é sempre constante. 
A curva que representa uma elipse tem o formato seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a definição, =+ 21 PFPF constante. Se admitirmos que P coincide com 1A ou 
com 2A aPFPF 221 =+ 
1.2 – DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO CARTESIANA DA ELIPSE 
Para demonstrarmos a equação da elipse vamos considerar uma que esteja com centro na 
origem, eixo maior sobre o eixo das abscissas e eixo menor sobre o eixo das ordenadas, como 
na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 2222
2121
020
22
−+−−=−++
−=⇒=+
ycxaycx
PFaPFaPFPF
 
Elevando os dois membros da equação ao quadrado, temos: 
( ) 222222222 2442 yccxxycxaayccxx ++−++−−=+++ 
Simplificando, 
( ) cxaycxa 444 222 −=+− 
Dividindo por 4 e elevando novamente ao quadrado, ( )
( ) ( )
222222
22222222
224222222
22242222222
22242222
22
22
bayaxb
caayaxca
caayaxcxa
xccxaayacacxaxa
xccxaayccxxa
=+
−=+−
−=+−
+−=++−
+−=++−
 
Dividindo toda a equação por 22ba , temos a equação da elipse: 12
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
2F1F
2B
1B
2A1A
O
Elementos: 
O : centro 
1F e 2F = focos 
1A e 2A = vértices 
aAA 221 = = eixo maior 
bBB 221 = = eixo menor 
cFF 221 = = distância focal 
P
1A 2A
1B
2B
1F 2F
P
c
b
a
x
y
Observando a figura podemos concluir que: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )00
00
00
21
21
21
,cFe,cF
b,Beb,B
,aAe,aA
−
−
−
 
Seja ( )y,xP um ponto genérico da elipse 
222222 bcacba,figuraPela =−⇒+= 
 17
Esta equação é específica para a elipse posicionada como no início da demonstração. Quando 
posicionamos a elipse de outra forma sua equação será modificada e as demonstrações são 
análogas. Veja figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
Uma elipse também pode se apresentar de forma oblíqua em relação aos eixos coordenados. 
Para o estudo desse tipo de elipse é necessário se introduzir o conceito de rotação de eixos e 
essa parte não será vista em nosso curso. 
A parametrização da equação de uma elipse é feita da mesma maneira que a circunferência. 
Mostraremos apenas a parametrização de elipses centradas na origem e eixos sobre os eixos 
coordenados 
11
22
2
2
2
2
=





+





⇒=+
b
y
a
x
b
y
a
x
. Fazendo 






=
=
tsen
b
y
tcos
a
x
 , pi<≤ 20 t , termos como formas 
paramétricas para a elipse: 



=
=
tcosby
tcos.ax
 , pi<≤ 20 t ou ( ) ( ) ,tsenb,tcosatC = pi<≤ 20 t 
 
 Ou ainda, se , 



=
=
tcosay
tcos.bx
 , pi<≤ 20 t ou ( ) ( ) ,tsena,tcosbtC = pi<≤ 20 t 
1.3 – EXCENTRICIDADE DA ELIPSE 
Definimos como excentricidade de uma elipse ao número real 
a
c
e = . Como 
100 <<>< e,ceac . Esse número mede o grau de “achatamento” da elipse. Se 1→c a elipse 
tende para um segmento de reta e se 0→c a elipse tende para uma circunferência. 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Numa elipse, o eixo maior está contido no eixo das abscissas e seu comprimento é 16. 
Sabendo-se que a distância entre os focos é 10, determinar a equação da elipse na forma 
cartesiana e na forma paramétrica. 
02-) Determinar a equação parametrizada da elipse de focos ( ) ( )3030 21 ,Fe,F − , sabendo-se 
que o comprimento do eixo menor é 2. 
03-) Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices da elipse de equação 
0100254 22 =−+ yx 
04-) Determinar a equação paramétrica da elipse de vértices ( ) ( )6060 21 −,Ae,A e que passa 
pelo ponto ( )23,P 
05-) Determinar a excentricidade da elipse de equação 0205 22 =−+ yx 
06-) Determinar as coordenadas do centro, dos vértices e a excentricidade da elipse de 
equação 019405459 22 =−−++ yxyx 
y
x
x
y
α
β
β
y
α
12
2
2
2
=+
a
y
b
x ( ) ( ) 12
2
2
2
=
β−
+
α−
b
y
a
x ( ) ( ) 12
2
2
2
=
β−
+
α−
a
y
b
x
x
12
2
2
2
=+
a
y
b
x
 18
07-) Determine a equação da elipse de centro na origem, eixo maior sobre o eixo das 
abscissas sabendo-se que ela contém os pontos 








−
3
24
1,A e 








−
3
52
2,B 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Determine a equação da elipse de focos ( ) ( )0303 21 ,Fe,F − , sabendo que o 
comprimento do eixo maior é 8. R : 1
716
22
=+
yx
 
02-) Determine a equação da elipse de vértices ( ) ( )5050 21 ,Ae,A − , sabendo que o 
comprimento do eixo menor é 3. R : 1
9
4
25
22
=+
yx
 
03-) Determine as medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação 
03649 22 =−+ yx R : 6 e 4 
04-) O eixo maior de uma elipse de centro na origem está contido no eixo das abscissas. 
Sabendo que o comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10, determine a equação 
da elipse R: 1
934
22 yx
+ 
05) Determine a distância focal e a excentricidade da elipse 033 22 =−+ yx R : 
3
2
22 e 
06-) Determine a equação da elipse de centro na origem, eixo maior igual a 18, situado sobre 
o eixo das abscissas, sabendo que sua excentricidade é3
2
. R : 1
4581
22
=+
yx
 
07-) Determine a equação geral da elipse de eixo maior vertical, sabendo que as coordenadas 
do centro são ( )72 −, e os semi-eixos valem 8 e 1. R : 02411425664 22 =++−+ yxyx 
08-) Faça um estudo completo da elipse de equação 0186643001625 22 =−−++ yxyx 
 
2 . HIPÉRBOLE 
 
2.1 – DEFINIÇÃO : conjunto de pontos do plano cujas diferenças de suas distâncias a dois 
pontos fixos chamados focos é sempre constante. 
A curva que representa uma hipérbole tem o formato seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e = assíntotas 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com a definição, =− 21 PFPF constante. Se admitirmos que P coincide com 1A ou 
com 2A aPFPF 221 =− 
 
 
 
2F
1F
2B
1B
2A
1A
O
Elementos: 
O : centro 
1F e 2F = focos 
1A e 2A = vértices 
aAA 221 = = eixo real 
bBB 221 = = eixo imaginário 
cFF 221 = = distância focal 
P
1r
2r
1r
1r
2r
 19
1.2 – DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO CARTESIANA DA HIPÉRBOLE 
Para demonstrarmos a equação da hipérbole vamos considerar uma que esteja com centro na 
origem, eixo real sobre o eixo das abscissas e eixo imaginário sobre o eixo das ordenadas, 
como na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 2222
2121
020
22
−+−+=−++
+=⇒=−
ycxaycx
PFaPFaPFPF
 
Elevando os dois membros da equação ao quadrado, temos: 
( ) 222222222 2442 yccxxycxaayccxx ++−++−+=+++ 
Simplificando, 
( ) ( ) 222222 444444 acxycxacxaycxa −=+−⇒−=+−− 
Dividindo por 4 e elevando novamente ao quadrado, ( )
( ) ( )
222222
22222222
422222222
22222224222
42222222
22
22
bayaxb
acayaxac
acayaxaxc
yacacxaxaacxaxc
acxaxcyccxxa
=−
−=−−
−=−−
++−=+−
+−=++−
 
Dividindo toda a equação por 22ba , temos a equação da hipérbole: 1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
Esta equação é específica para a hipérbole posicionada como no início da demonstração. 
Quando posicionamos a hipérbole de outra forma sua equação será modificada e as 
demonstrações são análogas. Veja figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
Observando a figura podemos concluir que: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )00
00
00
21
21
21
,cFe,cF
b,Beb,B
,aAe,aA
−
−
−
 
Seja ( )y,xP um ponto genérico da elipse 
222222 bacbac,figuraPela =−⇒+= 
1F 2F
1A 2A
1B
2B P
O
b
a
c
12
2
2
2
=−
b
x
a
y ( ) ( ) 12
2
2
2
=
β−
−
α−
b
y
a
x ( ) ( ) 12
2
2
2
=
α−
−
β−
b
x
a
y
x x
x
yy
y
αα
β β
 20
Uma hipérbole também pode se apresentar de forma oblíqua em relação aos eixos 
coordenados. Para o estudo desse tipo de hipérbole é necessário se introduzir o conceito de 
rotação de eixos e essa parte não será vista em nosso curso. 
Também a parametrização da equação de uma hipérbole é mais trabalhosa que as estudadas 
anteriormente pois essas curvas apresentam assíntotas em seus gráficos e este assunto não 
será tratado em nosso curso. 
 
2.3 – EXCENTRICIDADE DA HIPÉRBOLE 
Definimos como excentricidade de uma hipérbole ao número real 
a
c
e = . Como 1>> e,ac . 
Esse número mede o grau de “abertura” da hipérbole. 
 
2.4 – HIPERBOLE EQUILÁTERA 
Uma hipérbole é eqüilátera quando ba = .Como exercício, demonstre que toda hipérbole 
eqüilátera tem excentricidade igual a 2 
Obs: Para determinarmos as equações das assíntotas de uma hipérbole, devemos determinar 
dois pontos em que elas passam por eles. Um deles é o centro da hipérbole e o outro, vai 
depender da posição da mesma. 
Exemplo: ( deverá ser resolvido pelo professor ): 
Determine as equações das assíntotas da hipérbole de equação: 0436894 22 =++−− yxyx . 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Determinar a equação da hipérbole de focos ( )051 ,F − e ( )052 ,F e de vértices ( )031 ,A − 
e ( )052 ,A 
02-) Determinar a equação da hipérbole de focos ( )401 −,F e ( )402 ,F , sabendo-se que o 
comprimento do eixo real é 6 unidades. 
03-) Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário e da distância focal da hipérbole de 
equação 0144169 22 =−− yx . Determine também a excentricidade e as equações das 
assíntotas dessa hipérbole. 
04-) Escrever a equação geral da hipérbole de centro ( )24 −, e eixo real igual a 10, paralelo ao 
eixo das abscissas, e eixo imaginário igual a 4. Escreva também as equações das assíntotas 
dessa hipérbole. 
05-) Faça um estudo completo da hipérbole de equação 0436894 22 =++−− yxyx . 
 
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
01-) Determine a equação da hipérbole de focos ( ) ( )6060 21 ,Fe,F − , sabendo que o 
comprimento do eixo imaginário é 8. R : 1
1620
22
=−
xy
 
02-) Numa hipérbole, a distância focal é 16 e o comprimento do eixo real é 12. Determine a 
equação dessa hipérbole, sabendo que os focos pertencem ao eixo das abscissas. 
 R : 1
28
4
36
22
=−
yx
 
03-) Determine a equação da hipérbole de focos ( ) ( )4040 21 ,Fe,F − e de vértices 
( ) ( )1010 21 ,Ae,A − R : 115
2
2
=−
xy 
04-) Os focos de uma hipérbole são ( ) ( )0404 21 ,Fe,F − , e o eixo imaginário mede 32 . 
Determine a equação dessa hipérbole. R: 1
313
22 yx
− 
05) Uma hipérbole tem focos ( ) ( )013013 21 ,Fe,F − e passa pelo ponto ( )01,P . Determine 
a equação dessa hipérbole. R : 1
12
2
2
=−
y
x 
 21
06-) Determine as coordenadas dos focos e dos vértices da hipérbole de equação 
0100254 22 =−− yx . R : ( ) ( ) ( )05029029 121 ,A,,F,F −− e ( )052 ,A 
06-) Determine a equação da hipérbole de focos ( )051 ,F − e ( )052 ,F e de excentricidade igual 
a 
3
5
. R : 1
169
22
=−
yx
 
07-) Determine a equação da hipérbole eqüilátera de focos ( )081 ,F − e ( )082 ,F . 
 R : 1
3232
22
=−
yx
 
07-) Determine a equação geral da hipérbole de eixo real igual a 10, paralelo ao eixo das 
abscissas, centro ( )25, e distância focal igual a 26. R : ( ) ( ) 1
144
2
25
5 22
=
−
−
− yx
 
08-) Faça um estudo completo da hipérbole de equação 022154894 22 =−−−− yxyx 
 
3. PARÁBOLA 
3.1 – DEFINIÇÃO 
Conjunto de pontos eqüidistantes de um ponto fixo F chamado foco e de uma reta fixa 
d chamada diretriz, com dF ∉ . Cama-se parâmetro “ p ”da parábola à distância do seu foco à 
diretriz e como dF ∉ ( ) 0>=⇒ pd,Fd A parábola possui como gráfico uma curva como a 
abaixo representada: 
 
 
 
 
 
 
 
 p = parâmetro 
 
 
 
 
3.2 – DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO CARTESIANA DA PARÁBOLA 
Para demonstrarmos a equação cartesiana da parábola iremos admitir uma que esteja com 
vértice na origem, foco no eixo das abscissas e diretriz perpendicular a este eixo, como na 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos, portanto, a equação da parábola:xpy 22 = 
Como p está representando uma distância, consideraremos sempre que p > 0 
Esta equação é específica para a parábola posicionada como no início da demonstração. 
Quando posicionamos a parábola de outra forma sua equação será modificada e as 
demonstrações são análogas. Veja as figuras seguintes: 
P
F
d
P = ponto qualquer 
F = foco 
d = diretriz 
V = vértice 
F
d
P
Consideremos que a distância entre o foco e a diretriz seja p 
Assim, 
 
( ) 0
2
0
2
=+→




 p
xde,pF,y,xP
( ) ( ) ( )2
2
0
22
−+





−=+⇒= ypxpxF,Pdd,Pd
Elevando ao quadrado e simplificando: 
xpyxpy
ypxpxpxpx
ypxpx
22
44
22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
=⇒−=−
++−=++










+





−=





+
x
y
simtriadeeixo
p
 22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma parábola pode ainda ter seu eixo de simetria paralelo a um dos eixos coordenados e seu 
vértice posicionado em um ponto ( )βα ,V como na figura abaixo: 
 
 
 A equação dessa parábola é da forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se modificarmos a posição da parábola com vértice fora da origem e eixo de simetria paralelo a 
um dos eixos coordenados, modificamos sua equação do mesmo modo que foi feito acima. 
Uma parábola pode ainda ter seu eixo de simetria oblíquo aos eixos coordenados. Para esse 
estudo devemos introduzir o conceito de rotação de eixos, conteúdo que não será visto em 
nosso curso. 
 
3.3 – FORMA PARAMÉTRICA 
A parametrização da equação cartesiana de uma parábola é bem simples. Basta chamarmos a 
variável que está no segundo grau de t e encontrarmos a variável que está no primeiro grau 
em função de t . Assim, se a parábola tem equação xpy 22 = , sua parametrização será feita 
da seguinte forma: 
( ) ℜ∈








=⇒=⇒=⇒= t,t,
p
t
tC
p
t
xtxpty
22
2
22
2
 
 
EXERCÍCIOS ( Para serem resolvidos pelo professor em sala de aula ) 
01-) Uma parábola tem o vértice na origem e foco ( )08,F . Determine a equação dessa 
parábola e de sua diretriz. 
02-) Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem e o eixo de simetria é o eixo das 
ordenadas, sabendo que ela passa pelo ponto P ( -3, 7 ).Dê uma parametrização da equação 
dessa parábola. 
03-) Dada uma parábola de equação xy 202 −= , pede-se as coordenadas do foco, a equação 
da diretriz e um esboço de seu gráfico. 
04-) Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da 
parábola de equação 028842 =+−− xyy . 
05-) Determine a equação da parábola de foco ( )32,F e diretriz dada pela equação 04 =+x . 
06-) Determine a equação da parábola de foco ( )41,F e diretriz dada pela equação 02 =+y . 
07-) Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da 
parábola de equação 015422 =−++ yxx . 
 
 
x x
x
y yy
d
d
d
F
F
F
xpy 22 −= ypx 22 = ypx 22 −=
α
β
d
x
y
( ) ( )α−=β− xpy 22
 23
EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO ( Deverão ser resolvidos pelos alunos ) 
 
01-) Uma parábola tem o vértice na origem e foco ( )30,F . Determine a equação dessa 
parábola e de sua diretriz. R : 0162 =+ xy 
02-) Determine as coordenadas dos foco e a equação da reta diretriz da parábola de equação 
02 =+ yx R : 014
4
10 =−→





− yde,F 
03-) Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem e o eixo de simetria é o eixo das 
abscissas, sabendo que ela passa pelo ponto P ( 3, - 6 ).Dê uma parametrização da equação 
dessa parábola. R : ( ) ℜ∈








==− t,
t
,ttCexy
12
012
2
2
 
04-) Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco e a equação da diretriz da 
parábola de equação 01012404 2 =+−+ xyy . R : 0385
8
55
2
1
=−





−





− xe,F,,V 
05-) Escreva a equação da parábola de foco ( )34 −− ,F e diretriz 08 =+x 
R : 039862 =−−+ xyy 
06-) Determine a equação da parábola de foco ( )22 −,F e diretriz dada pela equação 
06 =+y . R : 028842 =−−− yxx 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto. Matemática 2º Grau, Vol 3, Editora FTD, 
São Paulo, 1992.