Lista Funções de várias variáveis

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1
 
Lista de Exercícios - Prof. Marcelo Paraná 
 
CÁLCULO II - Funções de várias variáveis 
 
 
1) Representar graficamente em R3, num sistema ortogonal, os seguintes pontos: 
a) (0, 0, 1) b) (1, 1, 1) c) (1, 2, 3) d) (0, 1, 0) 
 
2) Determine o domínio das funções de duas variáveis dadas abaixo. 
a) 
yx
yx
z
−
+
= b) 
4
3
+
−
=
y
x
z c) 22 345 yyxxz −−−+−= 
d)
yx
z
11
+= e) ]3ln[ xyz −= 
 
3) Descreva as curvas de nível para as cotas 10, 20 e 30. 
a) 2216 yxz −−= b) yxz .= c) yxz 32 −= d) 22 4yxz += 
 
4) Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas para 
f(x,y) : fx(x,y) e fy(x,y) e para f(x,y,z): fx(x,y,z), fy(x,y,z) e fz(x,y,z) 
 
2
1222
22
2
22
22
2
3),,())(),,()
)2(ln4),,()23),,()
2),()),()
65),()63),()
34),()736),()
2
1
z
xy
tgezyxfjzyxzyxfi
xyzxyzzyxfhyzxyyxzyxfg
yx
yxyxffyxyxfe
yxyyxfdyxxyyxfc
xyxyxfbyxyxfa
xyz −+=++=
+=+−=
−
+
=+=
+−=−+=
−=−+=
−
 
 
5) Dadas as funções determine as derivadas parciais indicadas. 
 
)1;0;0()2;0;1(),17;0;3(),(ln),,()
4
;2,),()
,,cos2.cos54),,()
,.2cos),()
,2cos.3),()
2
2
2
2
zyx
xy
r
r
r
r
feffzyezyxfe
fsenrtgrrfd
feffsenesenrrfc
feftgrrrfb
fefsenfa
++=






−=
−+=
−=
=
piθθθ
φφθθφθ
θθθ
φθφθ
φθ
θ
φθ
 
 
 
6) Dada a função w = f(x,y,z) , mostre que a igualdade é válida 
 
 2222
322
)(;)
),,(3),,(.),,(.),,(.;),,()
zyx
z
w
y
w
x
w
xzzyyxwb
zyxfzyxfzzyxfyzyxfxzyzyxzyxfa zyx
++=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
++=
=++++=
 
 
 
 2
7) Determine as derivadas parciais indicadas, usando a regra da cadeia 
 
s
u
r
u
esyrexxysenuf
s
u
r
u
rssenyerxyxsenue
s
u
r
u
srzsryrsxyzxzxyud
s
u
r
u
srysrxyxyxyxuc
s
u
r
u
sryrsxyxub
s
u
r
u
srysrxyxua
rs
s
∂
∂
∂
∂
===
∂
∂
∂
∂
==+=
∂
∂
∂
∂
−=−==++=
∂
∂
∂
∂
+=−=−+−+=
∂
∂
∂
∂
−==−=
∂
∂
∂
∂
+=−=−=
−
−
,,,2,)()
,,,,)3()
,,)(,,,)
,,,32,323)
,,23;5;43)
,;2;3,)
2
21
222
22
22
22
 
8) Determine a derivada total 
dt
du
, usando a regra de cadeia 
tztsentyttxyzxzxyue
eytx
x
y
tgud
ttsenztyttgxzyxuc
eyexyxyub
tsenytxxeyeua
t
tt
yx
===++=
==





=
<<===++=
==+=
==+=
−
−
,.,cos.,)
,ln,)
0,,cos,,)
,,)(ln)
,cos,)
1
2
222
2
pi
 
 
 
9) Determine as equações do plano tangente para a superfície dada no ponto indicado. 
 
Dica: Para a superfície z = f(x; y) em P0 (x0; y0; f(x0,y0)) tem-se que o Plano tangente 
 pode ser dado pela equação : 0)(),())(,( 000000 =−−+− zzyxfxxyxf yx 
 
)0;0;0(cos)
)5;1;1(4))1;0;0()
)1;2;1())0;0;1()(ln)
)1;1;1(),())2;2;1(9),()
22)(
22
22
22
emyeyxzg
emyxzfemeze
emxyzdemyxzc
emxyxfbemyxyxfa
x
yx
y
−=
+==
−=+=
=−−−=
+−
 
 
 
10) Determine a expressão ���� a partir da equação: 
a) �√� = �� + �
� b) �
� + �� −�� = 7 c) (2� − �)� = 1 + �
� 
 
 
11) Os catetos de um triângulo retângulo foram medidos como tendo x = 3cm e y = 4cm, com um 
erro máximo de 0,05cm em cada medida. Use diferencial para aproximar o erro possível máximo no 
valor calculado para sua: 
a) hipotenusa utilizando a expressão �(�; �) = ��
 + �
 R) 0,07 cm 
b) área utilizando a expressão �(�; �) = ��
 R) 0,175 cm2 
 
 3
12) Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por 
� = 72,09	��,�
�	ℎ�,!
�, 
em que p é o peso (em kg), h é a altura (em cm) e S é a superfície (em cm2). 
 
Se numa pessoa que tenha peso de 60kg e altura de 1,7m os erros nas medidas do peso e da altura 
forem de 0,2 kg e 0,5 cm, respectivamente, qual é a estimativa para o erro obtido na medida de sua 
superfície? (Utilize diferencial!). R) 60,363 cm2 
 
 
13) Uma embalagem fechada de alumínio de um produto alimentício tem formato de cilindro 
circular reto com volume de 350 cm2. Encontre as medidas do raio da base e da altura para se gastar 
o mínimo de material em sua construção. R) Raio = "#$%& 	
' ≅	3,82 cm e Altura = dobro do Raio 
 
 
14) Uma caixa de papelão sem tampa deve ter um volume de 32000 cm2. Determine as dimensões 
que minimizem a quantidade de papelão utilizado. R) Base = 40 cm x 40 cm e Altura = 20 cm 
 
 
15) Um fabricante faz dois modelos de um item: padrão e de luxo. Custa R$40 para fabricar uma 
unidade de modelo padrão e R$60 o item de luxo. Uma firma de pesquisa de mercado estima que se 
o modelo padrão for vendido por x reais à unidade e o de luxo por y reais, então o fabricante 
venderá 500(y – x) unidades do item padrão e 500(90 + x – 2y) do item de luxo a cada ano. Com 
qual preço os itens devem ser vendidos para maximizar o lucro? R) x = 65 reais e y = 75 reais 
 
Sugestão: Verifique que o Lucro é expresso por )(�; �) = %**[(� − ,*)(� − �) + (� − -*)(.* + � − /�)] 
 
 
16) A figura, a seguir, é um paralelogramo de lados a e b e ângulo interno θ e cuja área S pode ser 
calculada pela expressão 0(1; 2; 3) = 12	4563	 (0 < θ < 180º). 
 
 
 
 
 
 
Com base nessas informações e para a condição 1 + 2 = /*	78, pede-se: 
 
a) Escreva essa área em função de a e θ , ou seja, expresse 0(1; 3). 
R) S(a; θ) = 20 a sen(θ) – a2sen(θ) 
 
b) Obtenha as derivadas parciais :0:1 e 
:0
:3 . 
R) :�:1 = /*	456(3) − /	1	456(3) :�:3 = /*	1	7;4(3) − 1/	7;4(3) 
 
c) Calcule os valores de a, b e θ para se obter a área máxima desse paralelogramo. 
 R) a = 10 cm; b = 10 cm e θ = 90o 
 
 
b 
a 
θ 
 4
17) A figura, a seguir, é formada por um semicírculo de raio R e um trapézio de base maior 4R, 
base menor 2R e altura (X – R). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Escreva a função S(X; R) que expresse a área dessa figura em função de X e R. 
 
 R) 0(<;=) = Á?51	@?1AéCD; + Á?51	�;	058D	7í?7FG; 
 
 0(<;=) = (,=H/=)/ (< − =) + &=
/
/ = '=< − (-I&)/ =/ 
 
b) Encontre JKJL e 
JK
JM 
 
R) :0:< = '= :0:= = '< − (- − &)= 
 
c) Essa figura foi medida com uma régua comum e os valores de X e R foram, 
respectivamente, de 20 cm e 5 cm. Se o erro máximo da medida é de meio milímetro (0,05 
cm), Qual é o erro máximo esperado para o cálculo dessa área? (Calcule utilizando 
diferencial!) R) 3,0354 cm2 
 
18) Sejam as distâncias x e y (medidas em cm) e T a temperatura (medida em ºC) na 
superfície dada por T(x, y) = x2y + xy3. Determine: 
 
a) O vetor gradiente no ponto P(1; 2; 10). R) N@(#; /) = #/OP + #'QP = 〈#/; #'〉 
 
b) A derivada direcional da temperatura na direção TP = 3VP+ 4XP a partir do ponto P. 
 
 R) YZ[[P@(#; /) = #$, -;\ 78⁄ 
 
19) Seja a superfície dada por ^(�, �) = 	3�√� 	+ 12	��_ . Determine: 
 
a) O vetor gradiente no ponto P(9; 8; 96). R) N`(.; a) = ,OP + #*QP = 〈,; #*〉 
 
b) A derivada direcional na direção TP = 6VP+ 8XP a partir do ponto P. 
 
 R) YZ[[P`(.; a) = #*, , 
 
20) Calcule as integrais dadas por 
 
d)	e e (3 + 2�)f�	f��
g� b) e e (3 + 2�)f�	f���hg� c) e e (12� + 6�)f�	f�
��hg� 
 
 
 
 
X 
2R
 
4R
 
 5
Algumas Respostas de cálculo: derivadas parciais 
 
Nº 2 
yxa ≠) 
3) ≥xb e 4−≥y 
41) ≤≤ xc e 30 ≤≤ y 
0.) ≠yxd 
xye 3) > 
Nº 4 
 
3
6)
=
=
y
x
f
fa
 
xf
yxf
b
y
x
3
38
)
−=
−=
 
yxf
yf
c
y
x
23
63
)
−=
+=
 
52
)
2
−=
=
xyf
yf
d
y
x 
22
22
)
yx
yf
yx
xf
e
y
x
+
=
+
=
 
( )
( )22
2
222
2
22
2
423
)
yx
xxf
yx
xyyxf
f
y
x
−
+
=
−
+−
= 
 
yf
zxyxf
yxyf
g
z
y
x
2
26
32
)
2
2
=
+−=
−=
 
 
z
xyf
y
xzf
x
yzf
h
z
y
x
14
14
14
)
+=
+=
+=
 
 
( )
( )
( )3222
3
222
3
222
)
zyx
zf
zyx
yf
zyx
xf
i
z
y
x
++
−=
++
−=
++
−=
 
 
)9(2
3
.
9
3
.
9
3
.
)
224
3
224
2
224
2
yxz
xyz
exyf
yxz
xz
exzf
yxz
yz
eyzf
j
xyz
z
xyz
y
xyz
x
+
+=
+
+=
+
+=
 
Nº 5 
a) 
2
2
.3
2cos.
3
3cos
φθ
φθ
φ
θ
sen
senf
f
−=
=
 
b) 
θθ
θθ
θ
22 sec2
cos2
rsenrf
tgrf r
−−=
−=
 
c) 
φφθ
φθθ
φθθ
φ
θ
senef
sensenerf
senersenf
r
r
r
r
2cos.cos5
.5cos4
.cos58
2
+=
−=
+=
 
d) -1 
 
e) 
0
1
0
=
=
=
z
y
x
f
f
f